Cochera 

Tema: propiedades de las operaciones con números racionales. Propiedades básicas de las operaciones con números racionales (desarrollo metodológico)

Esta lección cubre la suma y resta de números racionales. El tema se clasifica como complejo. Aquí es necesario utilizar todo el arsenal de conocimientos previamente adquiridos.

Las reglas para sumar y restar números enteros también se aplican a los números racionales. Recuerde que los números racionales son números que se pueden representar como una fracción, donde a - este es el numerador de la fracción, b es el denominador de la fracción. Donde, b no debe ser cero.

En esta lección, llamaremos cada vez más a las fracciones y números mixtos mediante una frase común: numeros racionales.

Navegación de lecciones:

Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el más dado en la expresión es un signo de operación y no se aplica a la fracción. Esta fracción tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Para sumar números racionales con diferentes signos, debes restar el módulo más pequeño del módulo más grande, y antes de la respuesta resultante poner el signo del número racional cuyo módulo es mayor. Y para entender qué módulo es mayor y cuál es menor, debes poder comparar los módulos de estas fracciones antes de calcularlas:

El módulo de un número racional es mayor que el módulo de un número racional. Por lo tanto, restamos de . Recibimos una respuesta. Luego, reduciendo esta fracción a 2, obtuvimos la respuesta final.

Se pueden omitir algunas acciones primitivas, como poner números entre paréntesis y agregar módulos. Este ejemplo se puede escribir brevemente:

Ejemplo 2. Encuentra el significado de la expresión:

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el menos que se interpone entre numeros racionales y es un signo de operación y no se refiere a una fracción. Esta fracción tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:

Reemplacemos la resta con la suma. Te recordamos que para hacer esto necesitas sumar al minuendo el número opuesto al sustraendo:

Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Para sumar números racionales negativos, debes sumar sus módulos y poner un menos delante de la respuesta resultante:

Nota. No es necesario encerrar todos los números racionales entre paréntesis. Esto se hace por conveniencia, para ver claramente qué signos tienen los números racionales.

Ejemplo 3. Encuentra el significado de la expresión:

En esta expresión, las fracciones diferentes denominadores. Para facilitar nuestra tarea, reduzcamos estas fracciones a un denominador común. No nos detendremos en detalles sobre cómo hacer esto. Si tiene dificultades, asegúrese de repetir la lección.

Después de reducir las fracciones a un denominador común, la expresión tomará la siguiente forma:

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:

Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:

Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión.

Calculemos esta expresión de la siguiente manera: sumamos los números racionales y luego restamos el número racional del resultado resultante.

Primera acción:

Segunda acción:

Ejemplo 5. Encuentra el significado de la expresión:

Representemos el número entero −1 como una fracción y convirtamos el número mixto en fracción impropia:

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:

Obtuvimos la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:

Recibimos una respuesta.

Hay una segunda solución. Consiste en juntar partes enteras por separado.

Entonces, volvamos a la expresión original:

Incluyamos cada número entre paréntesis. Para ello, el número mixto es temporal:

Calculemos las partes enteras:

(−1) + (+2) = 1

En la expresión principal, en lugar de (−1) + (+2), escribimos la unidad resultante:

La expresión resultante es. Para hacer esto, escribe la unidad y la fracción juntas:

Escribamos la solución de esta manera de forma más breve:

Ejemplo 6. Encuentra el valor de una expresión.

Convertimos el número mixto a una fracción impropia. Reescribamos el resto sin cambiar:

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:

Ejemplo 7. Encuentra el valor de una expresión.

Representemos el número entero −5 como una fracción y convirtamos el número mixto en una fracción impropia:

Llevemos estas fracciones a un denominador común. Una vez reducidos a un denominador común, adoptarán la siguiente forma:

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:

Por tanto, el valor de la expresión es .

Vamos a decidir este ejemplo la segunda manera. Volvamos a la expresión original:

Escribamos el número mixto en forma desarrollada. Reescribamos el resto sin cambios:

Encerramos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:

Calculemos las partes enteras:

En la expresión principal, en lugar de escribir el número resultante −7

La expresión es una forma ampliada de escribir un número mixto. Escribimos el número −7 y la fracción juntos para formar la respuesta final:

Escribamos esta solución brevemente:

Ejemplo 8. Encuentra el valor de una expresión.

Encerramos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:

Entonces el valor de la expresión es

Este ejemplo se puede resolver de la segunda forma. Consiste en sumar partes enteras y fraccionarias por separado. Volvamos a la expresión original:

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante. Pero esta vez sumaremos las partes enteras (−1 y −2), tanto fraccionarias como

Escribamos esta solución brevemente:

Ejemplo 9. Encuentra expresiones de expresión.

Convertimos números mixtos a fracciones impropias:

Incluyamos un número racional entre paréntesis junto con su signo. No es necesario poner un número racional entre paréntesis, ya que ya está entre paréntesis:

Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:

Entonces el valor de la expresión es

Ahora intentemos resolver el mismo ejemplo de la segunda forma, es decir, sumando partes enteras y fraccionarias por separado.

Esta vez, para obtener una solución breve, intentemos omitir algunos pasos, como escribir un número mixto en forma desarrollada y reemplazar la resta por la suma:

Tenga en cuenta que las partes fraccionarias se han reducido a un denominador común.

Ejemplo 10. Encuentra el valor de una expresión.

Reemplacemos la resta con la suma:

La expresión resultante no contiene números negativos, que son la principal causa de errores. Y como no hay números negativos, podemos quitar el más delante del sustraendo y también quitar los paréntesis:

El resultado es una expresión sencilla y fácil de calcular. Calculémoslo de la forma que más nos convenga:

Ejemplo 11. Encuentra el valor de una expresión.

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:

Ejemplo 12. Encuentra el valor de una expresión.

La expresión consta de varios números racionales. Según, primero que nada debes realizar los pasos entre paréntesis.

Primero calculamos la expresión y luego sumamos los resultados obtenidos.

Primera acción:

Segunda acción:

Tercera acción:

Respuesta: valor de expresión es igual

Ejemplo 13. Encuentra el valor de una expresión.

Convertimos números mixtos a fracciones impropias:

Pongamos entre paréntesis el número racional junto con su signo. No es necesario poner entre paréntesis el número racional, ya que ya está entre paréntesis:

Llevemos estas fracciones a un denominador común. Una vez reducidos a un denominador común, adoptarán la siguiente forma:

Reemplacemos la resta con la suma:

Obtuvimos la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:

Así, el significado de la expresión es igual

Veamos cómo sumar y restar decimales, que también son números racionales y pueden ser positivos o negativos.

Ejemplo 14. Encuentra el valor de la expresión −3,2 + 4,3

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el signo más dado en la expresión es un signo de operación y no se aplica a la fracción decimal 4.3. Esta fracción decimal tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:

(−3,2) + (+4,3)

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Para sumar números racionales con diferentes signos, debes restar el módulo más pequeño del módulo más grande, y antes de la respuesta resultante poner el número racional cuyo módulo es mayor. Y para entender qué módulo es mayor y cuál es menor, debes poder comparar los módulos de estas fracciones decimales antes de calcularlas:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

El módulo del número 4,3 es mayor que el módulo del número −3,2, por lo que restamos 3,2 de 4,3. Recibimos la respuesta 1.1. La respuesta es positiva, ya que la respuesta debe ir precedida del signo del número racional cuyo módulo es mayor. Y el módulo del número 4,3 es mayor que el módulo del número −3,2

Así, el valor de la expresión −3,2 + (+4,3) es 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Ejemplo 15. Encuentra el valor de la expresión 3,5 + (−8,3)

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Como en el ejemplo anterior, restamos el menor al módulo mayor y antes de la respuesta ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Así, el valor de la expresión 3,5 + (−8,3) es −4,8

Este ejemplo se puede escribir brevemente:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Ejemplo 16. Encuentra el valor de la expresión −7,2 + (−3,11)

Esta es la suma de números racionales negativos. Para sumar números racionales negativos, debes sumar sus módulos y poner un menos delante de la respuesta resultante.

Puedes omitir la entrada con módulos para no saturar la expresión:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Así, el valor de la expresión −7,2 + (−3,11) es −10,31

Este ejemplo se puede escribir brevemente:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Ejemplo 17. Encuentra el valor de la expresión −0,48 + (−2,7)

Esta es la suma de números racionales negativos. Agreguemos sus módulos y pongamos un menos delante de la respuesta resultante. Puedes omitir la entrada con módulos para no saturar la expresión:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Ejemplo 18. Encuentra el valor de la expresión −4,9 − 5,9

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el menos, que se encuentra entre los números racionales −4,9 y 5,9, es un signo de operación y no pertenece al número 5,9. Este número racional tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:

(−4,9) − (+5,9)

Reemplacemos la resta con la suma:

(−4,9) + (−5,9)

Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Agreguemos sus módulos y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Por tanto, el valor de la expresión −4,9 − 5,9 es −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Ejemplo 19. Encuentra el valor de la expresión 7 − 9,3

Pongamos cada número entre paréntesis junto con sus signos.

(+7) − (+9,3)

Reemplacemos la resta con la suma.

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Por tanto, el valor de la expresión 7 − 9,3 es −2,3

Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:

7 − 9,3 = −2,3

Ejemplo 20. Encuentra el valor de la expresión −0,25 − (−1,2)

Reemplacemos la resta con la suma:

−0,25 + (+1,2)

Obtuvimos la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta ponemos el signo del número cuyo módulo es mayor:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Ejemplo 21. Encuentra el valor de la expresión −3,5 + (4,1 − 7,1)

Realicemos las acciones entre paréntesis, luego agreguemos la respuesta resultante con el número −3.5

Primera acción:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Segunda acción:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Respuesta: el valor de la expresión −3,5 + (4,1 − 7,1) es −6,5.

Ejemplo 22. Encuentra el valor de la expresión (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Hagamos los pasos entre paréntesis. Luego, del número que se obtuvo como resultado de ejecutar los primeros paréntesis, reste el número que se obtuvo como resultado de ejecutar los segundos paréntesis:

Primera acción:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Segunda acción:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

tercer acto

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Respuesta: el valor de la expresión (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) es 6.

Ejemplo 23. Encuentra el valor de una expresión. −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos.

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Reemplacemos la resta con la suma cuando sea posible:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

La expresión consta de varios términos. Según la ley combinatoria de la suma, si una expresión consta de varios términos, la suma no dependerá del orden de las acciones. Esto significa que los términos se pueden agregar en cualquier orden.

No reinventemos la rueda, sino agreguemos todos los términos de izquierda a derecha en el orden en que aparecen:

Primera acción:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Segunda acción:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Tercera acción:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Respuesta: el valor de la expresión −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 es 1.

Ejemplo 24. Encuentra el valor de una expresión.

Convirtamos la fracción decimal −1,8 a un número mixto. Reescribamos el resto sin cambiar:

) son números con signo positivo o negativo (enteros y fraccionarios) y cero. Un concepto más preciso de números racionales suena así:

Número racional- el número que está representado fracción ordinaria Minnesota, donde el numerador metro son números enteros y el denominador norte — números enteros, por ejemplo 2/3.

Las fracciones infinitas no periódicas NO están incluidas en el conjunto de los números racionales.

a/b, Dónde a∈ z (a pertenece a números enteros), b∈ norte (b pertenece a los números naturales).

Usar números racionales en la vida real.

EN vida real el conjunto de los números racionales se utiliza para contar las partes de algunos objetos enteros divisibles, Por ejemplo, pasteles u otros alimentos que se cortan en pedazos antes del consumo, o para estimar aproximadamente las relaciones espaciales de objetos extendidos.

Propiedades de los números racionales.

Propiedades básicas de los números racionales.

1. Orden a Y b existe una regla que permite identificar sin ambigüedades 1 y sólo una de 3 relaciones entre ellas: “<», «>" o "=". Esta regla es - regla de pedido y formularlo así:

  • 2 números positivos a=m a /n a Y b=m b /n b están relacionados por la misma relación que 2 números enteros m un⋅ nb Y mb⋅ n / A;
  • 2 números negativos a Y b están relacionados por la misma razón que 2 números positivos |b| Y |a|;
  • Cuando a positivo y b- negativo, entonces a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operación de suma. Para todos los números racionales a Y b Hay regla de suma, que les asigna un determinado número racional C. Además, el número mismo C- Este suma números a Y b y se denota como (a+b) suma.

Regla de suma tiene este aspecto:

m un/n a + m b/norte segundo =(m un⋅ norte segundo + metro segundo⋅ n / A)/(n / A⋅ nb).

∀ a,b∈ q∃ !(a+b)∈ q

3. Operación de multiplicación. Para todos los números racionales a Y b Hay regla de multiplicación, los asocia a un determinado número racional C. El numero c se llama trabajar números a Y b y denotar (a⋅b), y el proceso de encontrar este número se llama multiplicación.

regla de multiplicacion tiene este aspecto: hombre⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitividad de la relación de orden. Para tres números racionales cualesquiera a, b Y C Si a menos b Y b menos C, Eso a menos C, y si a es igual b Y b es igual C, Eso a es igual C.

∀ a B C∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ segundo = c⇒ a=c)

5. Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Adición de asociatividad. El orden en que se suman 3 números racionales no afecta el resultado.

∀ a B C∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Presencia de cero. Hay un número racional 0, conserva todos los demás números racionales cuando se suma.

∃ 0 ∈ q∀ a∈ Qa+0=a

8. Presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto y al sumarlos el resultado es 0.

∀ a∈ q∃ (-un)∈ Q a+(−a)=0

9. Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.

∀ a,b∈ qa⋅ b=b⋅ a

10. Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican 3 números racionales no influye en el resultado.

∀ a B C∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ C)

11. Disponibilidad de unidades. Existe un número racional 1, que preserva todos los demás números racionales en el proceso de multiplicación.

∃ 1 ∈ q∀ a∈ qa⋅ 1=un

12. Presencia de números recíprocos. Todo número racional distinto de cero tiene un número racional inverso, al multiplicarlo obtenemos 1 .

∀ a∈ q∃ a-1∈ qa⋅ a−1=1

13. Distributividad de la multiplicación relativa a la suma.. La operación de multiplicación está relacionada con la suma usando la ley distributiva:

∀ a B C∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Relación entre la relación de orden y la operación de suma. A las partes izquierda y derecha desigualdad racional sumar el mismo número racional.

∀ a B C∈ P a ⇒ a+c

15. Relación entre la relación de orden y la operación de multiplicación. Los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional se pueden multiplicar por el mismo número racional no negativo.

∀ a B C∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ C ⋅ C

16. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, es fácil tomar tantas unidades que su suma será mayor a.

En esta lección recordaremos las propiedades básicas de las operaciones con números. No sólo repasaremos las propiedades básicas, sino que también aprenderemos a aplicarlas a los números racionales. Consolidaremos todos los conocimientos adquiridos resolviendo ejemplos.

Propiedades básicas de las operaciones con números:

Las dos primeras propiedades son propiedades de la suma, las dos siguientes son propiedades de la multiplicación. La quinta propiedad se aplica a ambas operaciones.

No hay nada nuevo en estas propiedades. Eran válidos tanto para números naturales como enteros. También son válidos para los números racionales y lo serán para los números que estudiaremos a continuación (por ejemplo, los números irracionales).

Propiedades de permutación:

Reorganizar los términos o factores no cambia el resultado.

Propiedades combinadas:, .

Se pueden sumar o multiplicar varios números en cualquier orden.

Propiedad de distribución:.

La propiedad conecta ambas operaciones: suma y multiplicación. Además, si se lee de izquierda a derecha, entonces se llama regla para abrir corchetes, y si se lee en sentido contrario, se llama regla para colocar el factor común fuera de corchetes.

Las siguientes dos propiedades describen elementos neutros para suma y multiplicación: sumar cero y multiplicar por uno no cambia el número original.

Dos propiedades más que describen elementos simétricos para la suma y la multiplicación, la suma de los números opuestos es cero; el producto de números recíprocos es igual a uno.

Siguiente propiedad: . Si un número se multiplica por cero, el resultado siempre será cero.

La última propiedad que veremos es: .

Multiplicando un número por , obtenemos el número opuesto. Esta propiedad tiene una característica especial. Todas las demás propiedades consideradas no pueden demostrarse utilizando las demás. La misma propiedad se puede probar utilizando las anteriores.

Multiplicando por

Demostremos que si multiplicamos un número por , obtenemos el número opuesto. Para ello utilizamos la propiedad de distribución: .

Esto es válido para cualquier número. Sustituyamos y en lugar del número:

A la izquierda, entre paréntesis, está la suma de números mutuamente opuestos. Su suma es cero (tenemos esa propiedad). Ahora a la izquierda. A la derecha obtenemos: .

Ahora tenemos el cero a la izquierda y la suma de dos números a la derecha. Pero si la suma de dos números es cero, entonces estos números son mutuamente opuestos. Pero el número sólo tiene un número opuesto: . Entonces, esto es lo que es: .

La propiedad ha sido probada.

Esta propiedad, que puede demostrarse utilizando propiedades anteriores, se llama teorema

¿Por qué no hay aquí propiedades de resta y división? Por ejemplo, se podría escribir la propiedad distributiva de la resta: .

Pero desde:

  • Restar cualquier número se puede escribir de manera equivalente como suma reemplazando el número con su opuesto:

  • La división se puede escribir como multiplicación por su recíproco:

Esto significa que las propiedades de la suma y la multiplicación se pueden aplicar a la resta y la división. Como resultado, la lista de propiedades que es necesario recordar es más corta.

Todas las propiedades que hemos considerado no son propiedades exclusivas de los números racionales. Otros números, por ejemplo los irracionales, también obedecen todas estas reglas. Por ejemplo, la suma de su número opuesto es cero: .

Ahora pasaremos a la parte práctica, resolviendo varios ejemplos.

Números racionales en la vida.

Aquellas propiedades de los objetos que podemos describir cuantitativamente, designar con algún número, se llaman valores: longitud, peso, temperatura, cantidad.

La misma cantidad se puede denotar tanto con un número entero como con un número fraccionario, positivo o negativo.

Por ejemplo, tu altura m es un número fraccionario. Pero podemos decir que es igual a cm; esto ya es un número entero (Fig. 1).


Arroz. 1. Ilustración por ejemplo

Un ejemplo más. Una temperatura negativa en la escala Celsius será positiva en la escala Kelvin (Fig. 2).


Arroz. 2. Ilustración por ejemplo

Al construir la pared de una casa, una persona puede medir el ancho y el alto en metros. Produce cantidades fraccionarias. Realizará todos los cálculos posteriores con números fraccionarios (racionales). Otra persona puede medir todo en la cantidad de ladrillos en ancho y alto. Habiendo recibido sólo valores enteros, realizará cálculos con números enteros.

Las cantidades en sí no son ni enteras ni fraccionarias, ni negativas ni positivas. Pero el número con el que describimos el valor de una cantidad ya es bastante específico (por ejemplo, negativo y fraccionario). Depende de la escala de medida. Y cuando pasamos de cantidades reales a un modelo matemático, trabajamos con un tipo específico de números.

Comencemos con la suma. Los términos se pueden reorganizar de la forma que nos convenga y las acciones se pueden realizar en cualquier orden. Si términos de diferente signo terminan en el mismo dígito, entonces es conveniente realizar operaciones con ellos primero. Para hacer esto, intercambiemos los términos. Por ejemplo:

fracciones comunes con mismos denominadores fácil de plegar.

Los números opuestos suman cero. Los números con las mismas colas decimales son fáciles de restar. Utilizando estas propiedades, así como la ley conmutativa de la suma, puedes facilitar el cálculo del valor de, por ejemplo, la siguiente expresión:

Los números con colas decimales complementarias son fáciles de sumar. Con partes enteras y fraccionarias. Numeros mezclados conveniente trabajar por separado. Usamos estas propiedades al calcular el valor de la siguiente expresión:

Pasemos a la multiplicación. Hay pares de números que son fáciles de multiplicar. Usando la propiedad conmutativa, puedes reorganizar los factores para que sean adyacentes. El número de desventajas de un producto se puede contar inmediatamente y se puede sacar una conclusión sobre el signo del resultado.

Considere este ejemplo:

Si uno de los factores es igual a cero, entonces el producto es igual a cero, por ejemplo: .

El producto de números recíprocos es igual a uno y la multiplicación por uno no cambia el valor del producto. Considere este ejemplo:

Veamos un ejemplo usando la propiedad distributiva. Si abres los paréntesis, cada multiplicación es fácil.

Lección 4
GRADO CON INDICADOR NATURAL

Objetivos: promover la formación de habilidades y conocimientos informáticos, la acumulación de conocimientos sobre titulaciones basadas en la experiencia informática; Introducir la escritura de números grandes y pequeños usando potencias de 10.

durante las clases

I. Actualización de conocimientos básicos.

El maestro analiza los resultados del trabajo de prueba, cada estudiante recibe recomendaciones para desarrollar un plan individual para corregir las habilidades informáticas.

Luego se pide a los estudiantes que realicen cálculos y lean los nombres de matemáticos famosos que contribuyeron a la construcción de la teoría de potencias:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Llave:

Utilizando una computadora o un epiproyector, se proyectan en la pantalla retratos de los científicos Diofanto, René Descartes y Simon Stevin. Se invita a los estudiantes a preparar, si lo desean, información histórica sobre la vida y obra de estos matemáticos.

II. Formación de nuevos conceptos y métodos de acción.

Los estudiantes escriben las siguientes expresiones en sus cuadernos:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

A términos

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

norte multiplicadores

5. A∙ A∙ … ∙ A;

norte multiplicadores

Se pide a los estudiantes que respondan la pregunta: “¿Cómo se pueden presentar estos registros de manera más compacta para que sean “observables”?

Luego el profesor lleva a cabo una conversación sobre nuevo tema, introduce a los estudiantes al concepto de la primera potencia de un número. Los estudiantes pueden preparar una dramatización de la antigua leyenda india sobre el inventor del ajedrez, Seth, y el rey Sheram. Es necesario finalizar la conversación con una historia sobre el uso de potencias de 10 al escribir cantidades grandes y pequeñas y ofrecer a los estudiantes varios libros de referencia sobre física, tecnología y astronomía para su consideración, dándoles la oportunidad de encontrar ejemplos de tales cantidades. en los libros.

III. Formación de habilidades y destrezas.

1. Solución de los ejercicios No. 40 d), e), f); 51.

Durante la solución, los estudiantes concluyen que es útil recordar: Una potencia con base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

2. Solución de los ejercicios nº 41, 47.

IV. Resumiendo.

El profesor comenta y evalúa el trabajo de los alumnos en clase.

Tarea: párrafo 1.3, números 42, 43, 52; opcional: preparar informes sobre Diofanto, Descartes, Stevin.

Referencia histórica

Diofanto- antiguo matemático griego de Alejandría (siglo III). Se conserva parte de su tratado matemático “Aritmética” (6 libros de 13), donde se da la solución a problemas, la mayoría de ellos conducen a las llamadas “ecuaciones diofánticas”, cuya solución se busca en términos racionales positivos. números (Diofanto no tiene números negativos).

Para denotar lo desconocido y sus grados (hasta el sexto), el signo igual, Diofanto utilizó una notación abreviada de las palabras correspondientes. Los científicos también han descubierto el texto árabe de otros cuatro libros de la Aritmética de Diofanto. Las obras de Diofanto fueron el punto de partida de las investigaciones de P. Fermat, L. Euler, K. Gauss y otros.

Descartes René (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Filósofo y matemático francés, provenía de una antigua familia noble. Recibió su educación en el colegio jesuita La Flèche de Anjou. Al inicio de la Guerra de los Treinta Años sirvió en el ejército, que abandonó en 1621; tras varios años de viaje, se trasladó a los Países Bajos (1629), donde pasó veinte años dedicado a estudios científicos en solitario. En 1649, por invitación de la reina sueca, se trasladó a Estocolmo, pero pronto murió.

Descartes sentó las bases de la geometría analítica e introdujo muchas notaciones algebraicas modernas. Descartes mejoró significativamente el sistema de notación al introducir signos generalmente aceptados para las variables.
(X, en,z...) y coeficientes ( A, b, Con...), así como las designaciones de títulos ( X 4 , A 5…). La escritura de fórmulas de Descartes casi no se diferencia de las modernas.

En geometría analítica, el principal logro de Descartes fue el método de coordenadas que creó.

Stevin Simón (1548-1620) - Científico e ingeniero holandés. Desde 1583 enseñó en la Universidad de Leiden, en 1600 organizó una escuela de ingeniería en la Universidad de Leiden, donde dio conferencias sobre matemáticas. La obra de Stevin "Diezmo" (1585) está dedicada al sistema decimal de medidas y fracciones decimales, que Simon Stevin introdujo en Europa.

Bádamshinskaya escuela secundaria №2

Desarrollo metodológico

matemáticas
en sexto grado

"Acciones con números racionales"

preparado

profesor de matematicas

Babenko Larisa Grigorievna

Con. badamsha
2014

Tema de la lección:« Operaciones con números racionales».

tipo de lección :

Lección de generalización y sistematización del conocimiento.

Objetivos de la lección:

educativo:

Resumir y sistematizar los conocimientos de los estudiantes sobre las reglas de las operaciones con números positivos y negativos;

Fortalecer la capacidad de aplicar reglas durante los ejercicios;

Desarrollar habilidades de trabajo independiente;

desarrollando:

Desarrollar el pensamiento lógico, el habla matemática y las habilidades computacionales; - desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos para resolver problemas aplicados; - ampliar sus horizontes;

levantamiento:

Educación interés cognitivo al tema.

Equipo:

Hojas con textos de tareas, asignaciones para cada alumno;

Matemáticas. Libro de texto para 6to grado de instituciones de educación general/

N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhojov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – M., 2010.

Plan de estudios:

    Organizar el tiempo.

    Trabajar oralmente

    Repasar las reglas para sumar y restar números con diferentes signos. Actualización de conocimientos.

    Resolver tareas según el libro de texto.

    ejecutando la prueba

    Resumiendo la lección. Poner la tarea

Reflexión

durante las clases

    Organizar el tiempo.

Saludos de profesores y alumnos.

Informe el tema de la lección, el plan de trabajo de la lección.

Hoy tenemos una lección inusual. En esta lección recordaremos todas las reglas de las operaciones con números racionales y la capacidad de realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

El lema de nuestra lección será una parábola china:

“Dímelo y lo olvidaré;

Muéstrame y lo recordaré;

Déjame hacerlo y lo entenderé”.

Quiero invitarte a un viaje.

En medio del espacio donde se veía claramente el amanecer, se extendía un país estrecho y deshabitado: una recta numérica. Se desconoce dónde comenzó y se desconoce dónde terminó. Y los primeros en poblar este país fueron los números naturales. ¿Qué números se llaman números naturales y cómo se designan?

Respuesta:

Los números 1, 2, 3, 4,…..utilizados para contar objetos o para indicar el número de serie de un objeto entre objetos homogéneos se llaman naturales (norte ).

conteo verbal

88-19 72:8 200-60

Respuestas: 134; 61; 2180.

Había un número infinito de ellos, pero el país, aunque pequeño en ancho, era infinito en largo, de modo que todo, desde uno hasta el infinito, encajaba y formaba el primer estado, un conjunto de números naturales.

Trabajando en una tarea.

El país era extraordinariamente hermoso. En todo su territorio se ubicaron magníficos jardines. Estos son cereza, manzana, melocotón. Echaremos un vistazo a uno de ellos ahora.

Cada tres días hay un 20 por ciento más de cerezas maduras. ¿Cuántos frutos maduros tendrá esta cereza después de 9 días, si al inicio de la observación tenía 250 cerezas maduras?

Respuesta: En esta cereza habrá 432 frutos maduros en 9 días (300; 360; 432).

Trabajo independiente.

Algunos números nuevos comenzaron a asentarse en el territorio del primer estado, y estos números, junto con los naturales, formaron un nuevo estado, descubriremos cuál resolviendo el problema.

Los alumnos tienen dos hojas de papel sobre sus pupitres:

1. Calcular:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3

1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)

Ejercicio: Conecta todos los números naturales en secuencia sin levantar la mano y nombra la letra resultante.

Respuestas al examen:

5 68 15 60

72 6 20 16

Pregunta:¿Qué significa este símbolo? ¿Qué números se llaman números enteros?

Respuestas: 1) A la izquierda, desde el territorio del primer estado, se asentó el número 0, a su izquierda -1, aún más a la izquierda -2, etc. hasta el infinito. Estos números, junto con los números naturales, formaron un nuevo estado extendido, el conjunto de los números enteros.

2) Los números naturales, sus opuestos y el cero se llaman números enteros ( z ).

Repetición de lo aprendido..

1) La siguiente página de nuestro cuento de hadas está encantada. Desencantémoslo, corrigiendo errores.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Respuestas:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4 -36: 6

2) Sigamos escuchando la historia.

En los lugares libres de la recta numérica se les sumaron fracciones 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;... Las fracciones, junto con los primeros pobladores, formaron el siguiente estado expandido: un conjunto de números racionales. ( q)

1) ¿Qué números se llaman racionales?

2) ¿Es cualquier número entero o fracción decimal un número racional?

3) Demuestre que cualquier número entero, cualquier fracción decimal, es un número racional.

Tarea en la pizarra: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Respuestas:

1) Un número que se puede escribir como una razón. , donde a es un número entero y n es un número natural, se llama número racional .

2) Sí.

3) .

Ahora conoces los números enteros y fraccionarios, positivos y negativos, e incluso el número cero. Todos estos números se llaman racionales, lo que traducido al ruso significa “ sujeto a la mente."

Numeros racionales

positivo cero negativo

fraccionario entero fraccionario entero

Para poder estudiar matemáticas con éxito (y no solo matemáticas) en el futuro, es necesario tener un buen conocimiento de las reglas de las operaciones aritméticas con números racionales, incluidas las reglas de los signos. ¡Y son tan diferentes! No tardará mucho en confundirse.

Minuto de educación física.

Pausa dinámica.

Maestro: Cualquier trabajo requiere un descanso. ¡Descansemos!

Hagamos ejercicios de recuperación:

1) Uno, dos, tres, cuatro, cinco -

¡Una vez! Levántate, levántate,

¡Dos! Inclínate, endereza,

¡Tres! Tres palmadas de tus manos,

Tres movimientos de cabeza.

Cuatro significa manos más anchas.

Cinco: agita los brazos. Seis: siéntate tranquilamente en tu escritorio.

(Los niños realizan movimientos siguiendo al maestro según el contenido del texto).

2) Parpadea rápidamente, cierra los ojos y siéntate ahí mientras cuentas hasta cinco. Repita 5 veces.

3) Cierra bien los ojos, cuenta hasta tres, ábrelos y mira a lo lejos, contando hasta cinco. Repita 5 veces.

Página histórica.

En la vida, como en los cuentos de hadas, la gente “descubrió” gradualmente los números racionales. Al principio, al contar objetos, surgieron los números naturales. Al principio eran pocos. Al principio solo surgieron los números 1 y 2. Las palabras “solista”, “sol”, “solidaridad” provienen del latín “solus” (uno). Muchas tribus no tenían otros números. En lugar de "3" dijeron "uno-dos", en lugar de "4" dijeron "dos-dos". Y así hasta las seis. Y luego vino "mucho". La gente se topaba con fracciones al dividir el botín y al medir cantidades. Para facilitar el trabajo con fracciones, se inventaron los decimales. Fueron introducidos en Europa en 1585 por un matemático holandés.

Trabajando en ecuaciones

Descubrirás el nombre de un matemático resolviendo ecuaciones y usando la línea de coordenadas para encontrar la letra correspondiente a una coordenada determinada.

1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4

4) – 0,8: x = -0,4 5)a · (-8) =0 6)metro + (- )=

E A T M I O V R N U S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Respuestas:

    6 (C) 4)2 (B)

    -2 (T) 5) 0 (yo)

    -4(E) 6)4(H)

STEVIN - Matemático e ingeniero holandés (Simon Stevin)

Página histórica.

Maestro:

Sin conocer el pasado en el desarrollo de la ciencia, es imposible comprender su presente. La gente aprendió a realizar operaciones con números negativos incluso antes de nuestra era. Los matemáticos indios consideraban los números positivos como “propiedades” y los números negativos como “deudas”. Así es como el matemático indio Brahmagupta (siglo VII) estableció algunas reglas para realizar operaciones con números positivos y negativos:

"La suma de dos propiedades es propiedad"

"La suma de dos deudas es una deuda"

"La suma de los bienes y las deudas es igual a su diferencia".

“El producto de dos activos o dos deudas es propiedad”, “El producto de activos y deuda es deuda”.

Chicos, traduzcan las antiguas reglas indias al lenguaje moderno.

Mensaje del maestro:

Como si no hubiera calor en el mundo sin el sol,

Sin nieve invernal y sin hojas de flores,

¡No hay operaciones sin signos en matemáticas!

Se pide a los niños que adivinen qué señal de acción falta.

Ejercicio. Completa el carácter que falta.

    − 1,3 2,8 = 1,5

  1. − 1,2 1,4 = − 2,6

    3,2 (− 8) = − 0,4

    1 (− 1,7) = 2,7

    − 4,5 (− 0,5) = 9

Respuestas: 1) + 2) ∙ 3) − 4): 5) − 6):

Trabajo independiente(escriba las respuestas a las tareas en la hoja):

    Comparar números

    encontrar sus módulos

    comparar con cero

    encontrar su suma

    encontrar su diferencia

    encontrar el trabajo

    encontrar el cociente

    escribe los números opuestos

    encuentra la distancia entre estos números

10) cuántos números enteros se encuentran entre ellos

11) encuentra la suma de todos los números enteros ubicados entre ellos.

Criterios de evaluación: todo se resolvió correctamente – “5”

1-2 errores - "4"

3-4 errores - "3"

más de 4 errores - “2”

Trabajo individual por tarjetas(además).

Tarjeta 1. Resuelve la ecuación: 8,4 – (x – 3,6) = 18

Tarjeta 2. Resuelve la ecuación: -0,2x · (-4) = -0,8

Tarjeta 3. Resuelve la ecuación: =

respuestas a las tarjetas :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Juego "Examen".

Los habitantes del país vivían felices, jugaban, resolvían problemas, ecuaciones y nos invitaban a jugar para resumir los resultados.

Los estudiantes se acercan a la pizarra, toman una tarjeta y responden la pregunta escrita en el reverso.

Preguntas:

1. ¿Cuál de dos números negativos se considera mayor?

2. Formule la regla para dividir números negativos.

3. Formule la regla para multiplicar números negativos.

4. Formule una regla para multiplicar números con diferentes signos.

5. Formule una regla para dividir números con diferentes signos.

6. Formule la regla para sumar números negativos.

7. Formule una regla para sumar números con diferentes signos.

8.¿Cómo encontrar la longitud de un segmento en una recta de coordenadas?

9. ¿Qué números se llaman números enteros?

10. ¿Qué números se llaman racionales?

Resumiendo.

Maestro: Hoy tarea será creativo:

Prepare un mensaje "Números positivos y negativos que nos rodean" o redacte un cuento de hadas.

« ¡¡¡Gracias por la leccion!!!"