Cómo multiplicar un número mixto por una fracción. Operaciones con fracciones
La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (consulte la lección “Suma y resta de fracciones”). La parte más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, consideremos el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera separada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".
Designación:
De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.
Por definición tenemos:
Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas
Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más por menos da menos;
- Dos negativos hacen una afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas sólo se encontraban al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:
- Los negativos tachamos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
- Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Convertimos todas las fracciones a impropias y luego quitamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También preste atención a los números negativos: al multiplicarlos, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí, mira:
¡No puedes hacer eso!
El error ocurre porque al sumar, el numerador de una fracción produce una suma, no un producto de números. En consecuencia, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata específicamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que solución correcta la tarea anterior se ve así:
Solución correcta:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.
En el siglo V a. C., el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero señalar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Entonces empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes numeros billetes, lo que significa que no pueden considerarse elementos idénticos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas En cálculo, la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.
El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.
Si algo así aparece ante tus ojos varias veces al día diseño de arte,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.
1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.
Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas saber reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicar una fracción común por una fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, debes calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Veamos un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ multiplicado por 3)(7 \multiplicado por 3) = \frac(4)(7)\\\)
La fracción \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) se redujo en 3.
Multiplicar una fracción por un número.
Primero, recordemos la regla, cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Usemos esta regla al multiplicar.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Fracción impropia \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertido a fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplicamos el número por el numerador y dejamos el denominador sin cambios. Ejemplo:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de multiplicación. Multiplicamos el numerador por el numerador y multiplicamos el denominador por el denominador.
Ejemplo:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rojo) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rojo) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
La fracción \(\bf \frac(a)(b)\) es la inversa de la fracción \(\bf \frac(b)(a)\), siempre que a≠0,b≠0.
Las fracciones \(\bf \frac(a)(b)\) y \(\bf \frac(b)(a)\) se llaman fracciones recíprocas. El producto de fracciones recíprocas es igual a 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Ejemplo:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación de un numerador por un numerador, un denominador por un denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas necesitas convertirlas a fracción impropia y multiplicar según las reglas.
¿Cómo multiplicar fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: no importa si son iguales o diferentes denominadores Para fracciones, la multiplicación se produce de acuerdo con la regla de encontrar el producto del numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: primero que nada, debes convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto usando las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: multiplicamos el número por el numerador, pero dejamos el denominador igual.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Solución:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rojo) (5))(3 \times \color(rojo) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Ejemplo #2:
Calcula los productos de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Solución:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Ejemplo #3:
¿Escribe el recíproco de la fracción \(\frac(1)(3)\)?
Respuesta: \(\frac(3)(1) = 3\)
Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones mutuamente inversas: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Solución:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Ejemplo #5:
¿Pueden las fracciones recíprocas ser:
a) simultáneamente con fracciones propias;
b) fracciones simultáneamente impropias;
c) números simultáneamente naturales?
Solución:
a) para responder a la primera pregunta, pongamos un ejemplo. La fracción \(\frac(2)(3)\) es propia, su fracción inversa será igual a \(\frac(3)(2)\) - una fracción impropia. Respuesta: no.
b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser a la vez fracción impropia. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac(3)(3)\), su fracción inversa es igual a \(\frac(3)(3)\). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son números que utilizamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3,…. Si tomamos el número \(3 = \frac(3)(1)\), entonces su fracción inversa será \(\frac(1)(3)\). La fracción \(\frac(1)(3)\) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco del número siempre es una fracción, excepto 1. Si tomamos el número 1, entonces su fracción recíproca será \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales sólo en un caso, si es el número 1.
Ejemplo #6:
Haz el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Solución:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Ejemplo #7:
¿Pueden dos recíprocos ser números mixtos al mismo tiempo?
Veamos un ejemplo. Tomemos una fracción mixta \(1\frac(1)(2)\), encontremos su fracción inversa, para ello la convertimos en fracción impropia \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2)\) . Su fracción inversa será igual a \(\frac(2)(3)\) . La fracción \(\frac(2)(3)\) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones que son mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicar fracciones comunes
Veamos un ejemplo.
Sea $\frac(1)(3)$ parte de una manzana en un plato. Necesitamos encontrar la parte $\frac(1)(2)$. La parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(2)$. El resultado de multiplicar dos fracciones comunes es una fracción común.
Multiplicar dos fracciones ordinarias
Regla para multiplicar fracciones ordinarias:
El resultado de multiplicar una fracción por una fracción es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones que se multiplican, y el denominador es igual al producto de los denominadores:
Ejemplo 1
Realizar la multiplicación de fracciones comunes $\frac(3)(7)$ y $\frac(5)(11)$.
Solución.
Usemos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Respuesta:$\frac(15)(77)$
Si al multiplicar fracciones se obtiene una fracción reducible o impropia, debes simplificarla.
Ejemplo 2
Multiplica las fracciones $\frac(3)(8)$ y $\frac(1)(9)$.
Solución.
Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción reducible (basada en la división por $3$. Dividimos el numerador y el denominador de la fracción por $3$, obtenemos:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Solución corta:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Respuesta:$\frac(1)(24).$
Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores hasta encontrar su producto. En este caso, el numerador y el denominador de la fracción se descomponen en factores simples, después de lo cual se cancelan los factores repetidos y se encuentra el resultado.
Ejemplo 3
Calcula el producto de las fracciones $\frac(6)(75)$ y $\frac(15)(24)$.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden reducir en pares a los números $2$, $3$ y $5$. Factoricemos el numerador y el denominador en factores simples y hagamos una reducción:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Respuesta:$\frac(1)(20).$
Al multiplicar fracciones, puedes aplicar la ley conmutativa:
Multiplicar una fracción común por un número natural
regla de multiplicacion fracción común a un número natural:
El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicada por el número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:
donde $\frac(a)(b)$ es una fracción ordinaria, $n$ es un número natural.
Ejemplo 4
Multiplica la fracción $\frac(3)(17)$ por $4$.
Solución.
Usemos la regla para multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Respuesta:$\frac(12)(17).$
No olvides comprobar el resultado de la multiplicación por la reducibilidad de una fracción o por una fracción impropia.
Ejemplo 5
Multiplica la fracción $\frac(7)(15)$ por el número $3$.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Dividiendo por el número $3$) podemos determinar que la fracción resultante se puede reducir:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
El resultado fue una fracción incorrecta. Seleccionemos la parte completa:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Solución corta:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Las fracciones también se pueden reducir reemplazando los números del numerador y denominador con sus factorizaciones en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse de la siguiente manera:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Respuesta:$1\frac(2)(5).$
Al multiplicar una fracción por un número natural, puedes utilizar la ley conmutativa:
Dividir fracciones
La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la cual se debe multiplicar una fracción conocida para obtener el producto conocido de dos fracciones.
Dividiendo dos fracciones ordinarias
Regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y denominador de la fracción resultante se pueden factorizar y reducir:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Como resultado, obtenemos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Respuesta:$1\frac(5)(9).$
En este artículo veremos multiplicar números mixtos. Primero, describiremos la regla para multiplicar números mixtos y consideraremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos. A continuación hablaremos de multiplicar un número mixto y un número natural. Finalmente, aprenderemos a multiplicar un número mixto y una fracción común.
Navegación de páginas.
Multiplicar números mixtos.
Multiplicar números mixtos se puede reducir a multiplicar fracciones ordinarias. Para ello, basta con convertir números mixtos a fracciones impropias.
vamos a escribirlo regla de multiplicación de números mixtos:
- En primer lugar, los números mixtos que se multiplican deben sustituirse por fracciones impropias;
- En segundo lugar, debes utilizar la regla para multiplicar fracciones por fracciones.
Veamos ejemplos de aplicación de esta regla al multiplicar un número mixto por un número mixto.
Realizar multiplicaciones de números mixtos y .
Primero, representemos los números mixtos que se multiplican como fracciones impropias: 
Y 
. Ahora podemos sustituir la multiplicación de números mixtos por la multiplicación de fracciones ordinarias: 
. Aplicando la regla para multiplicar fracciones, obtenemos 
. La fracción resultante es irreducible (ver fracciones reducibles e irreducibles), pero es impropia (ver fracciones propias e impropias), por lo tanto, para obtener la respuesta final, queda aislar la parte entera de la fracción impropia: .
Escribamos la solución completa en una línea: .
.
Para fortalecer las habilidades de multiplicar números mixtos, considere resolver otro ejemplo.
Haz la multiplicación.
Números divertidos y son iguales a las fracciones 13/5 y 10/9, respectivamente. Entonces 
. En esta etapa, es hora de recordar lo que es reducir una fracción: reemplazar todos los números de la fracción con sus descomposiciones en factores primos y realizar una reducción de factores idénticos.
Multiplicar un número mixto y un número natural
Después de reemplazar un número mixto con una fracción impropia, multiplicar un numero mixto y un numero natural conduce a la multiplicación de una fracción ordinaria y un número natural.
Multiplica un número mixto y el número natural 45.
Un número mixto es igual a una fracción, entonces 
. Reemplacemos los números en la fracción resultante con sus descomposiciones en factores primos, realicemos una reducción y luego seleccionemos la parte completa: .
.
La multiplicación de un número mixto y un número natural a veces se realiza convenientemente utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma. En este caso, el producto de un número mixto y un número natural es igual a la suma de los productos de la parte entera por el número natural dado y la parte fraccionaria por el número natural dado, es decir, 
.
Calcula el producto.
Reemplacemos el número mixto con la suma de las partes enteras y fraccionarias, luego de lo cual aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación: .
Multiplicar números mixtos y fracciones Lo más conveniente es reducirlo a la multiplicación de fracciones ordinarias representando el número mixto que se multiplica como una fracción impropia.
Multiplica el número mixto por la fracción común 4/15.
Reemplazando el número mixto con una fracción, obtenemos 
.
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Multiplicar fracciones
§ 140. Definiciones. 1) Multiplicar una fracción por un número entero se define de la misma manera que multiplicar números enteros, a saber: multiplicar un número (multiplicando) por un número entero (factor) significa componer una suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando y el número de términos es igual al multiplicando.
Entonces multiplicar por 5 significa encontrar la suma:
2) Multiplicar un número (multiplicando) por una fracción (factor) significa encontrar esta fracción del multiplicando.
Por lo tanto, ahora llamaremos a encontrar una fracción de un número dado, que consideramos antes, multiplicación por una fracción.
3) Multiplicar un número (multiplicando) por un número mixto (factor) significa multiplicar el multiplicando primero por el número entero del multiplicador, luego por la fracción del multiplicador y sumar los resultados de estas dos multiplicaciones.
Por ejemplo:
El número obtenido tras la multiplicación en todos estos casos se llama trabajar, es decir, lo mismo que cuando se multiplican números enteros.
De estas definiciones se desprende claramente que la multiplicación de números fraccionarios es una acción siempre posible y siempre inequívoca.
§ 141. La conveniencia de estas definiciones. Para comprender la conveniencia de introducir las dos últimas definiciones de multiplicación en la aritmética, tomemos el siguiente problema:
Tarea. Un tren, moviéndose uniformemente, recorre 40 km por hora; ¿Cómo saber cuántos kilómetros recorrerá este tren en un número determinado de horas?
Si nos quedáramos con la única definición de multiplicación que se indica en la aritmética de enteros (la suma de términos iguales), entonces nuestro problema tendría tres soluciones diferentes, a saber:
Si el número de horas dado es un número entero (por ejemplo, 5 horas), entonces para resolver el problema es necesario multiplicar 40 km por este número de horas.
Si un número determinado de horas se expresa como una fracción (por ejemplo, una hora), entonces tendrás que encontrar el valor de esta fracción a partir de 40 km.
Finalmente, si el número de horas dado es mixto (por ejemplo, horas), entonces será necesario multiplicar 40 km por el número entero contenido en el número mixto, y al resultado agregar otra fracción de 40 km, que está en el número mixto. número.
Las definiciones que hemos dado nos permiten dar una respuesta general a todos estos casos posibles:
hay que multiplicar 40 km por un número determinado de horas, cualquiera que sea.
Así, si el problema se representa en vista general Entonces:
Un tren, que se mueve uniformemente, recorre v km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el tren en t horas?
entonces, no importa cuáles sean los números v y t, podemos dar una respuesta: el número deseado se expresa mediante la fórmula v · t.
Nota. Encontrar alguna fracción de un número dado, según nuestra definición, significa lo mismo que multiplicar un número dado por esta fracción; por lo tanto, por ejemplo, encontrar el 5% (es decir, cinco centésimas) de un número dado significa lo mismo que multiplicar un número dado por o por ; encontrar el 125% de un número dado significa lo mismo que multiplicar este número por o por, etc.
§ 142. Una nota sobre cuándo un número aumenta y cuándo disminuye por multiplicación.
La multiplicación por una fracción propia disminuye el número y la multiplicación por una fracción impropia aumenta el número si esta fracción impropia es mayor que uno y permanece sin cambios si es igual a uno.
Comentario. Al multiplicar números fraccionarios, así como números enteros, el producto se toma igual a cero si alguno de los factores es igual a cero, entonces.
§ 143. Derivación de reglas de multiplicación.
1) Multiplicar una fracción por un número entero. Dejemos que una fracción se multiplique por 5. Esto significa aumentarla 5 veces. Para aumentar una fracción 5 veces, basta con aumentar su numerador o disminuir su denominador 5 veces (§ 127).
Es por eso:
Regla 1. Para multiplicar una fracción por un número entero, debes multiplicar el numerador por este número entero, pero dejar el denominador igual; en su lugar, también puedes dividir el denominador de la fracción por el número entero dado (si es posible) y dejar el numerador igual.
Comentario. El producto de una fracción por su denominador es igual a su numerador.
Entonces:
Regla 2. Para multiplicar un número entero por una fracción, debes multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de esta fracción como denominador.
Regla 3. Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador, y convertir el primer producto en el numerador y el segundo en el denominador del producto.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar para multiplicar una fracción por un número entero y un número entero por una fracción, siempre que consideremos el número entero como una fracción con denominador uno. Entonces:
Así, las tres reglas ahora esbozadas quedan contenidas en una, que de forma general puede expresarse de la siguiente manera:
4) Multiplicación de números mixtos.
Regla 4ta. Para multiplicar números mixtos, debes convertirlos a fracciones impropias y luego multiplicarlos de acuerdo con las reglas para multiplicar fracciones. Por ejemplo:
§ 144. Reducción durante la multiplicación. Al multiplicar fracciones, si es posible, es necesario hacer una reducción preliminar, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Esta reducción se puede realizar porque el valor de una fracción no cambiará si su numerador y denominador se reducen la misma cantidad de veces.
§ 145. Cambio de producto con factores cambiantes. Cuando los factores cambian, el producto de números fraccionarios cambiará exactamente de la misma manera que el producto de números enteros (§ 53), a saber: si aumenta (o disminuye) cualquier factor varias veces, entonces el producto aumentará (o disminuirá) por la misma cantidad.
Entonces, si en el ejemplo:
para multiplicar varias fracciones, debes multiplicar sus numeradores entre sí y los denominadores entre sí y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar a productos en los que algunos de los factores del número son enteros o mixtos, si tan solo consideramos el número entero como una fracción con denominador uno y convertimos los números mixtos en fracciones impropias. Por ejemplo:
§ 147. Propiedades básicas de la multiplicación. Las propiedades de la multiplicación que indicamos para los números enteros (§ 56, 57, 59) también se aplican a la multiplicación de números fraccionarios. Indiquemos estas propiedades.
1) El producto no cambia cuando se cambian los factores.
Por ejemplo:
En efecto, según la regla del párrafo anterior, el primer producto es igual a la fracción y el segundo es igual a la fracción. Pero estas fracciones son iguales, porque sus términos difieren sólo en el orden de los factores enteros, y el producto de los números enteros no cambia cuando se cambian los lugares de los factores.
2) El producto no cambiará si algún grupo de factores es reemplazado por su producto.
Por ejemplo:
Los resultados son los mismos.
De esta propiedad de la multiplicación se puede sacar la siguiente conclusión:
para multiplicar un número por un producto, puedes multiplicar este número por el primer factor, multiplicar el número resultante por el segundo, etc.
Por ejemplo:
3) Ley distributiva de la multiplicación (relativa a la suma). Para multiplicar una suma por un número, puedes multiplicar cada término por separado por ese número y sumar los resultados.
Esta ley fue explicada por nosotros (§ 59) aplicada a los números enteros. Sigue siendo cierto sin ningún cambio para los números fraccionarios.
Demostremos, de hecho, que la igualdad
(a + b + c + .)m = soy + bm + cm + .
(la ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma) sigue siendo cierta incluso cuando las letras representan números fraccionarios. Consideremos tres casos.
1) Supongamos primero que el factor m es un número entero, por ejemplo m = 3 (a, b, c – cualquier número). Según la definición de multiplicación por un número entero, podemos escribir (limitándonos a tres términos por simplicidad):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Con base en la ley asociativa de la suma, podemos omitir todos los paréntesis del lado derecho; Aplicando la ley conmutativa de la suma y luego nuevamente la ley asociativa, obviamente podemos reescribir el lado derecho de la siguiente manera:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Esto significa que en este caso se confirma la ley distributiva.
Multiplicar y dividir fracciones
La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (consulte la lección “Suma y resta de fracciones”). La parte más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, consideremos el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera separada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".
De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.
Por definición tenemos:
Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas
Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más por menos da menos;
- Dos negativos hacen una afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas sólo se encontraban al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:
- Los negativos tachamos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
- Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Convertimos todas las fracciones a impropias y luego quitamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También preste atención a los números negativos: al multiplicarlos, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí, mira:
¡No puedes hacer eso!
El error ocurre porque al sumar, el numerador de una fracción produce una suma, no un producto de números. En consecuencia, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata específicamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que la solución correcta al problema anterior se ve así:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.
Multiplicar fracciones.
Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas conocer reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicar una fracción común por una fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, debes calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
Veamos un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
Multiplicar una fracción por un número.
Primero, recordemos la regla, cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac \) .
Usemos esta regla al multiplicar.
La fracción impropia \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) se convirtió en una fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplicamos el número por el numerador y dejamos el denominador sin cambios. Ejemplo:
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de multiplicación. Multiplicamos el numerador por el numerador y multiplicamos el denominador por el denominador.
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación de un numerador por un numerador, un denominador por un denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplicar fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: no importa si las fracciones tienen denominadores iguales o diferentes, la multiplicación se produce de acuerdo con la regla de encontrar el producto de un numerador por un numerador, un denominador por un denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: primero que nada, debes convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto usando las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: multiplicamos el número por el numerador, pero dejamos el denominador igual.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
Ejemplo #2:
Calcula los productos de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
Ejemplo #3:
¿Escribe el recíproco de la fracción \(\frac \)?
Respuesta: \(\frac = 3\)
Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones mutuamente inversas: a) \(\frac \times \frac \)
Ejemplo #5:
¿Pueden las fracciones recíprocas ser:
a) simultáneamente con fracciones propias;
b) fracciones simultáneamente impropias;
c) números simultáneamente naturales?
Solución:
a) para responder a la primera pregunta, pongamos un ejemplo. La fracción \(\frac \) es propia, su fracción inversa será igual a \(\frac \) - una fracción impropia. Respuesta: no.
b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser a la vez fracción impropia. Por ejemplo, una fracción impropia es \(\frac \) , su fracción inversa es igual a \(\frac \). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son números que utilizamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3,…. Si tomamos el número \(3 = \frac \), entonces su fracción inversa será \(\frac \). La fracción \(\frac \) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco del número siempre es una fracción, excepto 1. Si tomamos el número 1, entonces su fracción recíproca será \(\frac = \frac = 1\). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales sólo en un caso, si es el número 1.
Ejemplo #6:
Haz el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
Solución:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
Ejemplo #7:
¿Pueden dos recíprocos ser números mixtos al mismo tiempo?
Veamos un ejemplo. Tomemos una fracción mixta \(1\frac \), encontremos su fracción inversa, para ello la convertimos en fracción impropia \(1\frac = \frac \) . Su fracción inversa será igual a \(\frac \) . La fracción \(\frac\) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones que son mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicar un decimal por un número natural
Presentación para la lección.
¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.
- De una manera divertida, presente a los estudiantes la regla para multiplicar una fracción decimal por un número natural, por una unidad de valor posicional y la regla para expresar una fracción decimal como porcentaje. Desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ejemplos y problemas.
- Desarrollar y activar el pensamiento lógico de los estudiantes, la capacidad de identificar patrones y generalizarlos, fortalecer la memoria, la capacidad de cooperar, brindar asistencia, evaluar su propio trabajo y el trabajo de los demás.
- Cultivar el interés por las matemáticas, la actividad, la movilidad y las habilidades comunicativas.
Equipo: pizarra interactiva, cartel con un cifrado, carteles con declaraciones de matemáticos.
- Organizar el tiempo.
- Aritmética oral: generalización de material previamente estudiado, preparación para estudiar material nuevo.
- Explicación de material nuevo.
- Asignación de tareas.
- Educación física matemática.
- Generalización y sistematización de los conocimientos adquiridos de forma lúdica utilizando el ordenador.
- Calificación.
2. Chicos, nuestra lección de hoy será algo inusual, porque no la enseñaré solo, sino con mi amigo. Y mi amigo también es inusual, lo verás ahora. (Aparece una computadora de dibujos animados en la pantalla). Mi amigo tiene un nombre y puede hablar. ¿Cómo te llamas, amigo? Komposha responde: "Mi nombre es Komposha". ¿Estás listo para ayudarme hoy? ¡SÍ! Pues bien, comencemos la lección.
Hoy recibí, muchachos, un cifrado cifrado que debemos resolver y descifrar juntos. (Se cuelga un cartel en la pizarra con un cálculo oral para sumar y restar fracciones decimales, como resultado de lo cual los niños reciben el siguiente código 523914687. )
Komposha ayuda a descifrar el código recibido. El resultado de la decodificación es la palabra MULTIPLICACIÓN. Multiplicación es la palabra clave del tema de la lección de hoy. El tema de la lección se muestra en el monitor: "Multiplicar una fracción decimal por un número natural"
Chicos, sabemos multiplicar. números naturales. Hoy veremos cómo multiplicar números decimales por un número natural. Multiplicar una fracción decimal por un número natural se puede considerar como una suma de términos, cada uno de los cuales es igual a esta fracción decimal, y el número de términos es igual a este número natural. Por ejemplo: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Entonces, 5,21 ·3 = 15,63. Presentando 5,21 como una fracción común a un número natural, obtenemos
Y en este caso obtuvimos el mismo resultado: 15,63. Ahora, ignorando la coma, en lugar del número 5,21, toma el número 521 y multiplícalo por este número natural. Aquí debemos recordar que en uno de los factores la coma se ha movido dos lugares hacia la derecha. Al multiplicar los números 5, 21 y 3, obtenemos un producto igual a 15,63. Ahora, en este ejemplo, movemos la coma dos lugares a la izquierda. Por lo tanto, cuántas veces se incrementó uno de los factores, cuántas veces se redujo el producto. Basándonos en las similitudes de estos métodos, sacaremos una conclusión.
Multiplicar decimal para un número natural, necesitas:
1) sin prestar atención a la coma, multiplicar números naturales;
2) en el producto resultante, separe con una coma tantos dígitos de la derecha como haya en la fracción decimal.
En el monitor se muestran los siguientes ejemplos, que analizamos junto con Komposha y los chicos: 5,21 ·3 = 15,63 y 7,624 ·15 = 114,34. Luego muestro la multiplicación por un número redondo 12,6 · 50 = 630. A continuación, paso a multiplicar una fracción decimal por una unidad de valor posicional. Muestro los siguientes ejemplos: 7,423 · 100 = 742,3 y 5,2 · 1000 = 5200. Entonces, introduzco la regla para multiplicar una fracción decimal por una unidad de dígito:
Para multiplicar un decimal por unidades de dígitos 10, 100, 1000, etc., debes mover el punto decimal en esta fracción hacia la derecha tantos lugares como ceros hay en la notación de unidades de dígitos.
Termino mi explicación expresando la fracción decimal como porcentaje. Introduzco la regla:
Para expresar una fracción decimal como porcentaje, debes multiplicarla por 100 y sumarle el signo %.
Daré un ejemplo en una computadora: 0,5 · 100 = 50 o 0,5 = 50%.
4. Al final de la explicación les doy a los chicos. tarea, que también se muestra en el monitor de la computadora: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Para que los chicos descansen un poco, estamos haciendo una sesión de educación física matemática junto con Komposha para consolidar el tema. Todos se ponen de pie, muestran los ejemplos resueltos a la clase y deben responder si el ejemplo se resolvió correctamente o incorrectamente. Si el ejemplo se resuelve correctamente, levantan los brazos por encima de la cabeza y aplauden. Si el ejemplo no se resuelve correctamente, los chicos estiran los brazos hacia los lados y estiran los dedos.
6. Y ahora que has descansado un poco, puedes resolver las tareas. Abra su libro de texto en la página 205, № 1029. En esta tarea necesitas calcular el valor de las expresiones:
Las tareas aparecen en la computadora. A medida que se resuelven, aparece un cuadro con la imagen de un barco que se aleja flotando cuando está completamente ensamblado.
Al resolver esta tarea en una computadora, el cohete se pliega gradualmente; después de resolver el último ejemplo, el cohete se va volando. El profesor da una pequeña información a los alumnos: “Cada año desde el suelo de Kazajstán, desde el cosmódromo de Baikonur, despegan hacia las estrellas. naves espaciales. Kazajstán está construyendo su nuevo cosmódromo de Baiterek cerca de Baikonur.
¿Qué distancia recorrerá un automóvil de pasajeros en 4 horas si la velocidad del automóvil es de 74,8 km/h?
Certificado de regalo ¿No sabes qué regalar a tu pareja, amigos, empleados, familiares? Aprovecha nuestra oferta especial: “Certificado regalo para el Blue Sedge Country Hotel”. El certificado otorga […]