Fracciones

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy ..."
Y para los que son "muy parejos ...")

Las fracciones en la escuela secundaria no son muy molestas. Siendo por el momento. Hasta que te encuentres con potencias con exponentes racionales y logaritmos. Pero hay…. Presiona, presiona la calculadora y muestra una pantalla completa de algunos números. Tengo que pensar con la cabeza como en tercer grado.

¡Tratemos ya con las fracciones! Bueno, ¿cuánto te puedes confundir con ellos? Además, todo es simple y lógico. Entonces, que fracciones hay

Tipos de fracciones. Transformaciones.

Las fracciones son de tres tipos.

1. Fracciones ordinarias , Por ejemplo:

A veces se usa una barra en lugar de una línea horizontal: 1/2, 3/4, 19/5, bueno, etc. Aquí usaremos a menudo esta ortografía. El número superior se llama numerador, fondo - el denominador. Si confundes constantemente estos nombres (sucede ...), repítete con la expresión la frase: " Zzzzz¡recordar! Zzzzz referenciando - he aquí zzzzz"Mira, todo será recordado.)

Un guión que es horizontal, que es oblicuo, significa división el número superior (numerador) al inferior (denominador). ¡Y eso es! En lugar de un guión, es muy posible poner un signo de división: dos puntos.

Cuando la división sea posible por completo, debe hacerse. Entonces, en lugar de la fracción "32/8", es mucho más agradable escribir el número "4". Esos. 32 es fácil de dividir entre 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ni siquiera estoy hablando de la fracción "4/1". Que también es solo "4". Y si no se divide por completo, lo dejamos en forma de fracción. A veces tienes que hacer la operación inversa. Haz una fracción de un número entero. Pero más sobre eso más adelante.

2. Fracciones decimales , Por ejemplo:

Es en este formulario que deberá anotar las respuestas a las tareas "B".

3. Numeros mezclados , Por ejemplo:

Los números mixtos apenas se usan en la escuela secundaria. Para trabajar con ellos, deben traducirse a fracciones comunes... ¡Pero definitivamente necesitas poder hacerlo! Y luego obtienes ese número en el rompecabezas y te congelas ... Desde cero. ¡Pero recordaremos este procedimiento! Debajo.

Más versátil fracciones comunes... Empecemos por ellos. Por cierto, si la fracción contiene todo tipo de logaritmos, senos y otras letras, esto no cambia nada. En el sentido de que todo las acciones con expresiones fraccionarias no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias!

Propiedad principal de una fracción.

¡Entonces vamos! Para empezar, te sorprenderé. ¡Toda la variedad de transformaciones de fracciones es proporcionada por una única propiedad! Se llama así, propiedad básica de una fracción... Recordar: si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, la fracción no cambiará. Esos:

Está claro que puede escribir más, hasta que se ponga azul. No dejes que los senos y los logaritmos te confundan, nos ocuparemos de ellos más a fondo. Lo principal es comprender que todas estas diversas expresiones son la misma fracción . 2/3.

¿Lo necesitamos, todas estas transformaciones? ¡Y cómo! Ahora lo verás por ti mismo. Para empezar, usamos la propiedad básica de la fracción para reducción de fracciones... Parecería que la cosa es elemental. Divide el numerador y el denominador por el mismo número y todos los casos. ¡Es imposible equivocarse! Pero ... el hombre es un ser creativo. ¡Los errores pueden estar en todas partes! Especialmente si tiene que reducir no una fracción como 5/10, sino una expresión fraccionaria con todo tipo de letras.

Cómo reducir fracciones de manera correcta y rápida, sin hacer un trabajo innecesario, se puede leer en una Sección 555 especial.

¡Un estudiante normal no se molesta en dividir el numerador y el denominador por el mismo número (o expresión)! ¡Simplemente tacha todo lo que es igual arriba y abajo! Aquí es donde acecha error típico, un blooper si quieres.

Por ejemplo, necesitas simplificar la expresión:

No hay nada en qué pensar, ¡tachamos la letra "a" arriba y dos abajo! Obtenemos:

Todo es correcto. Pero realmente lo compartiste El conjunto numerador y El conjunto el denominador es "a". Si está acostumbrado a tachar, entonces, rápidamente, puede tachar la "a" en la expresión

y consíguelo de nuevo

Lo cual será categóricamente incorrecto. Porque aqui El conjunto el numerador en "a" ya es no comparte! Esta fracción no se puede cancelar. Por cierto, tal reducción es, um ... un serio desafío para el maestro. ¡Esto no está perdonado! ¿Recordar? Al acortar, es necesario dividir El conjunto numerador y El conjunto ¡denominador!

Reducir fracciones hace la vida mucho más fácil. Obtienes una fracción en algún lugar, por ejemplo, 375/1000. ¿Y cómo trabajar con ella ahora? ¿Sin calculadora? Multiplicar, decir, sumar, al cuadrado!? Y si no eres demasiado perezoso, sino que lo reduzcas ordenadamente en cinco, e incluso en cinco, e incluso ... mientras se reduce, en fin. ¡Obtenemos 3/8! Mucho mejor, ¿verdad?

La propiedad principal de una fracción le permite convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa. sin calculadora! Esto es importante en el examen, ¿verdad?

Cómo convertir fracciones de un tipo a otro.

Las fracciones decimales son simples. ¡Como se oye, está escrito! Digamos 0,25. Este es el punto cero, veinticinco centésimas. Entonces escribimos: 25/100. Reduciendo (dividiendo el numerador y el denominador por 25), obtenemos la fracción habitual: 1/4. Todo. Sucede, y nada se reduce. Como 0.3. Esto es tres décimas, es decir 3/10.

¿Y si los enteros no son cero? Está bien. Escribimos toda la fracción sin comas en el numerador y en el denominador lo que se escucha. Por ejemplo: 3.17. Son tres puntos, diecisiete centésimas. Escribimos 317 en el numerador y 100 en el denominador. Obtenemos 317/100. Nada se reduce, todo significa. Esta es la respuesta. ¡Watson elemental! De todo lo dicho, una conclusión útil: cualquier fracción decimal se puede convertir en una ordinaria .

Pero la conversión inversa, ordinaria a decimal, algunos no pueden prescindir de una calculadora. ¡Pero debes hacerlo! ¿Cómo escribirás tu respuesta en el examen? Leemos detenidamente y dominamos este proceso.

¿Cuál es la característica de la fracción decimal? Ella tiene en el denominador siempre cuesta 10, 100, 1000 o 10000, etc. Si tu fracción regular tiene este denominador, no hay problema. Por ejemplo, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. ¿Y si la respuesta a la tarea en la sección "B" es 1/2? ¿Qué escribiremos en respuesta? Se requieren decimales ...

Recordando propiedad básica de una fracción ! Las matemáticas permiten que el numerador y el denominador se multipliquen favorablemente por el mismo número. ¡Cualquier cosa, por cierto! Excepto cero, por supuesto. ¡Así que aplicaremos esta propiedad a nuestro favor! ¿Por qué se puede multiplicar el denominador, es decir, 2 para que se convierta en 10, o 100, o 1000 (más pequeño es mejor, por supuesto ...)? A las 5, obviamente. Multiplicamos audazmente el denominador (esto es nosotros es necesario) por 5. Pero, entonces, el numerador también debe multiplicarse por 5. Esto ya es matemáticas requiere! Obtenemos 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5. Eso es todo.

Sin embargo, se encuentran todo tipo de denominadores. Se encontrará, por ejemplo, con la fracción 3/16. Prueba, averigua aquí qué multiplicar 16 para hacer 100 o 1000 ... ¿No funciona? Luego, simplemente puede dividir 3 entre 16. En ausencia de una calculadora, tendrá que dividir por una esquina, en una hoja de papel, como se enseñó en los grados de primaria. Obtenemos 0.1875.

Y también hay muy malos denominadores. Por ejemplo, no puede convertir una fracción 1/3 en un buen decimal. Tanto en una calculadora como en una hoja de papel, obtenemos 0.3333333 ... Esto significa que 1/3 es una fracción decimal exacta no traduce... Lo mismo que 1/7, 5/6, etc. Hay muchos intraducibles. De ahí otra útil conclusión. No todas las fracciones se convierten a decimales !

Por cierto, esto informacion util para autocomprobación. En la sección "B", se debe escribir la fracción decimal en la respuesta. Y obtuviste, por ejemplo, 4/3. Esta fracción no se convierte a decimal. ¡Esto significa que en algún lugar te equivocaste en el camino! Vuelve y comprueba la solución.

Entonces, averiguamos las fracciones común y decimal. Queda por lidiar con los números mixtos. Para trabajar con ellos, todos deben convertirse en fracciones ordinarias. ¿Cómo hacerlo? Puedes encontrar a un alumno de sexto grado y preguntarle. Pero el alumno de sexto grado no siempre estará disponible ... Tendremos que hacerlo nosotros mismos. No es difícil. Es necesario multiplicar el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y sumar el numerador de la parte fraccionaria. Este será el numerador de la fracción regular. ¿Y el denominador? El denominador seguirá siendo el mismo. Suena complicado, pero en realidad todo es elemental. Veamos un ejemplo.

Suponga que ve con horror el número en el rompecabezas:

Con calma, sin pánico, pensamos. La parte completa es 1. Uno. Parte fraccionaria - 3/7. Por tanto, el denominador de la parte fraccionaria es 7. Este denominador será el denominador de la fracción ordinaria. Contamos el numerador. 7 por 1 ( Toda una parte) y sume 3 (numerador fraccionario). Obtenemos 10. Este será el numerador de la fracción común. Eso es todo. Parece aún más simple en notación matemática:

¿Está limpio? ¡Entonces consolide su éxito! Convierte a fracciones. Debe tener 10/7, 7/2, 23/10 y 21/4.

La operación inversa, convertir una fracción impropia en un número mixto, rara vez se requiere en la escuela secundaria. Bueno, si ... Y si no estás en la escuela secundaria, puedes consultar la Sección 555 especial. En el mismo lugar, por cierto, aprenderás sobre las fracciones incorrectas.

Bueno, prácticamente eso es todo. Recordaste los tipos de fracciones y te diste cuenta cómo transferirlos de un tipo a otro. La pregunta sigue siendo: por qué ¿hazlo? ¿Dónde y cuándo aplicar este profundo conocimiento?

Respondo. Cualquier ejemplo en sí mismo sugiere las acciones necesarias. Si en el ejemplo fracciones ordinarias, decimales e incluso números mixtos se mezclan en un montón, traducimos todo en fracciones ordinarias. Esto siempre se puede hacer... Bueno, si está escrito, algo así como 0.8 + 0.3, entonces creemos que sí, sin ninguna traducción. ¿Por qué necesitamos trabajo extra? Elegimos la solución que nos conviene nosotros !

Si la tarea esta completa decimales, pero um ... algunos malvados, ve a los ordinarios, ¡pruébalo! Mira, todo saldrá bien. Por ejemplo, debes elevar al cuadrado el número 0.125. ¡No es tan fácil si no estás fuera del hábito de la calculadora! No solo necesitas multiplicar los números en una columna, ¡también piensa en dónde insertar la coma! ¡Definitivamente no funcionará en la mente! ¿Y si pasamos a una fracción ordinaria?

0,125 = 125/1000. Reducirlo en 5 (esto es para empezar). Obtenemos 25/200. De nuevo por 5. Obtenemos 5/40. ¡Oh, todavía encogiéndome! ¡De vuelta a las 5! Obtenemos 1/8. Lo cuadramos fácilmente (¡en la mente!) Y obtenemos 1/64. ¡Todo!

Resumamos esta lección.

1. Las fracciones son de tres tipos. Números ordinarios, decimales y mixtos.

2. Fracciones decimales y números mixtos siempre se puede convertir en fracciones. Traducción inversa no siempre disponible.

3. La elección del tipo de fracciones para trabajar con la tarea depende de esta misma tarea. En la presencia de diferentes tipos fracciones en una tarea, la más confiable es ir a fracciones ordinarias.

Ahora puedes practicar. Primero, convierta estas fracciones decimales en fracciones comunes:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Debería obtener las siguientes respuestas (¡en un lío!):

Esto concluye. En esta lección, refrescamos puntos clave por fracciones. Sucede, sin embargo, que no hay nada especial que refrescar ...) Si alguien se ha olvidado por completo, o aún no ha dominado ... Eso puede ir a una Sección 555 especial. Todos los conceptos básicos se describen en detalle allí. Muchos de repente entender todo comienzo. Y las fracciones deciden sobre la marcha).

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

En la lección anterior ya se introdujo el concepto de expresión racional, en la lección de hoy seguimos trabajando con expresiones racionales y el énfasis principal está en transformarlas. Usando ejemplos específicos, consideraremos métodos para resolver problemas de transformación. expresiones racionales y una prueba de las identidades relacionadas.

Tema:Fracciones algebraicas. Operaciones aritméticas sobre fracciones algebraicas

Lección:Convertir expresiones racionales

Recordemos primero la definición de expresión racional.

Definición.Racionalexpresión- una expresión algebraica que no contiene raíces e incluye solo las acciones de suma, resta, multiplicación y división (elevar a una potencia).

Por el concepto de "transformar una expresión racional" queremos decir, en primer lugar, su simplificación. Y esto se lleva a cabo en el orden de acciones que conocemos: primero las acciones entre paréntesis, luego producto de números(exponenciación), división de números y luego acciones de suma / resta.

El objetivo principal de la lección de hoy será ganar experiencia en la resolución de problemas más complejos para simplificar expresiones racionales.

Ejemplo 1.

Solución. En un principio puede parecer que las fracciones indicadas se pueden cancelar, ya que las expresiones en los numeradores de las fracciones son muy similares a las fórmulas para los cuadrados perfectos de sus correspondientes denominadores. En este caso, es importante no apresurarse, sino verificar por separado si esto es así.

Comprobemos el numerador de la primera fracción :. Ahora el numerador es el segundo :.

Como puede ver, nuestras expectativas no se cumplieron y las expresiones en los numeradores no son cuadrados perfectos, ya que no tienen una duplicación del producto. Tales expresiones, si recordamos el curso del séptimo grado, se llaman cuadrados incompletos. Debe tener mucho cuidado en tales casos, ya que confundir la fórmula de un cuadrado completo con un cuadrado incompleto es muy Error común, y ejemplos como este ponen a prueba la atención del alumno.

Dado que la cancelación es imposible, agreguemos las fracciones. Los denominadores no tienen factores comunes, por lo que simplemente se multiplican para obtener el mínimo común denominador, y el factor adicional para cada fracción es el denominador de la otra fracción.

Por supuesto, además puede abrir los corchetes y luego dar términos similares, sin embargo, en este caso, puede arreglárselas con menos esfuerzo y notar que en el numerador el primer término es la fórmula para la suma de cubos, y el segundo es la diferencia entre cubos. Por conveniencia, recordemos estas fórmulas en forma general:

En nuestro caso, las expresiones en el numerador se contraen de la siguiente manera:

, la segunda expresión es la misma. Tenemos:

Respuesta..

Ejemplo 2. Simplifica la expresión racional .

Solución. Este ejemplo es similar al anterior, pero aquí puedes ver inmediatamente que hay cuadrados incompletos en los numeradores de fracciones, por lo que la reducción en etapa inicial no hay solución posible. De manera similar al ejemplo anterior, agregue las fracciones:

Aquí, de manera similar al método indicado anteriormente, notamos y colapsamos las expresiones de acuerdo con las fórmulas para la suma y diferencia de cubos.

Respuesta..

Ejemplo 3. Simplifica la expresión racional.

Solución. Puedes notar que el denominador de la segunda fracción se factoriza usando la fórmula para la suma de cubos. Como ya sabemos, factorizar los denominadores es útil para encontrar aún más el mínimo común denominador de fracciones.

Indicamos el mínimo común denominador de fracciones, es igual a :, porque se divide por el denominador de la tercera fracción, y la primera expresión es generalmente un número entero, y cualquier denominador le conviene. Habiendo indicado los factores adicionales obvios, escribimos:

Respuesta.

Consideremos un ejemplo más complejo con fracciones de "niveles múltiples".

Ejemplo 4. Demuestra la identidad para todos valores permitidos variable.

Prueba. Para probar la identidad indicada, intentaremos simplificar su lado izquierdo (el complejo) a la forma simple que se nos exige. Para hacer esto, realizaremos todas las acciones con fracciones en el numerador y denominador, y luego dividiremos las fracciones y simplificaremos el resultado.

Probado para todos los valores admisibles de la variable.

Probado.

En la próxima lección, veremos más de cerca ejemplos complejos transformar expresiones racionales.

Bibliografía

1. Bashmakov M.I. Álgebra de octavo grado. - M.: Educación, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educación, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra de octavo grado. Libro de texto para instituciones educativas. - M.: Educación, 2006.

2. Elaboración de lecciones, presentaciones, apuntes de clase ().

Tarea

1. No. 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educación, 2010.

2. Simplifica la expresión .

3. Simplifica la expresión.

4. Demuestre la identidad.

En una escuela del tipo VIII, los estudiantes se familiarizan con las siguientes transformaciones de fracciones: expresar una fracción en fracciones más grandes (6 ° grado), expresar una fracción incorrecta con un número entero o mixto (6 ° grado), expresar fracciones en fracciones iguales ( 7mo grado), expresión numero mixto fracción incorrecta (séptimo grado).

Expresar una fracción impropia con un número enteroo mixto

I El estudio de este material debe comenzar con la tarea: tomar 2 círculos cosidos y dividir cada uno de ellos en 4 partes iguales, contar el número de cuartos (Fig. 25). A continuación, se propone escribir esta cantidad como una fracción (t) Luego, las cuartas partes se unen entre sí y los estudiantes están convencidos de que resultó

1er círculo. Como consecuencia, -t = uno . A las cuatro cuartas partes, agrega secuencialmente otra -T, y los estudiantes escriben: m = 1, -7=1 6 2 7 3 8 9

El docente llama la atención de los alumnos sobre el hecho de que en todos los casos considerados tomaron la fracción equivocada, y como resultado de la transformación recibieron un número entero o mixto, es decir, expresaron la fracción equivocada con un número entero. o un número mixto. Además, uno debe esforzarse por asegurarse de que los estudiantes determinen independientemente mediante qué operación aritmética se puede realizar esta transformación.

4. 8 0 5, 1 7, 3 „L

a la pregunta son: -2- =! y t = 2, 4 "= 1t y t T " YV ° D : para

Para expresar una fracción impropia con un número entero o mixto, debes dividir el numerador de la fracción por el denominador, escribir el cociente como un número entero, escribir el resto en el numerador y dejar el denominador igual. Dado que la regla es engorrosa, no es necesario que los estudiantes la memoricen. Deben poder comunicar constantemente los pasos para realizar una transformación determinada.

Antes de introducir a los estudiantes a la expresión de una fracción incorrecta con un número entero o mixto, es recomendable repetir con ellos la división de un número entero por un número entero con resto.

La consolidación de la transformación que es nueva para los estudiantes se facilita mediante la resolución de problemas de carácter vital y práctico, por ejemplo:

“El jarrón contiene nueve cuartos de naranja. Astillado | ¿Se pueden agregar naranjas enteras de estas fracciones? ¿Cuántas fracciones quedarán? "

"Para la fabricación de tapas para cajas, cada hoja del mapa

35 se cortan en 16 partes iguales. Obtuvo -^. ¡Cuánto intacto!

cortar las hojas de carton? ¡Cuántas dieciseisavos de corte! de la siguiente pieza? " Etc.

Expresión de números enteros y mixtosfracción incorrecta

El aprendizaje de esta nueva transformación debe ir precedido de la resolución de problemas, por ejemplo:

“2 piezas de tela en forma de cuadrado de igual longitud. > cortar en 4 trozos iguales. Se cosió una bufanda de cada una de esas partes. ¿Cuántas bufandas obtuviste? " Yo registro: 2 = - 1 4 ^ -, 2 = -% ]

vinos ¿funcionó? Escribe: había 1 * círculo, se convirtió en * círculo, lo que significa

Por lo tanto, basándonos en una base visual y práctica, consideramos una serie de otros ejemplos. En los ejemplos bajo consideración, se les pide a los estudiantes que comparen el número original (mixto o entero) y el número que resultó después de la conversión (fracción impropia).

Para familiarizar a los estudiantes con la regla de expresar un número entero y un número mixto con una fracción impropia, es necesario llamar su atención sobre la comparación de los denominadores de un número mixto y una fracción impropia, así como sobre cómo se obtiene el numerador, por ejemplo:

1 2 "=?, 1 = 2", además ^, total ^ 3 ^ =?, 3 = - ^ -, además ^, total

será - ^ -. Como resultado, se formula una regla: de modo que el número mixto

Expresar por una fracción irregular, el denominador debe multiplicarse por un número entero, el numerador debe agregarse al producto y la suma debe escribirse como el numerador, y el denominador debe dejarse sin cambios.

Primero, debe ejercitar a los estudiantes para que expresen la fracción incorrecta de uno, luego cualquier otro número entero que indique el denominador, y solo luego el número mixto:

Propiedad básica de una fracción 1

[comprender la inmutabilidad de una fracción mientras aumenta

1 reducción de sus integrantes, es decir, el numerador y denominador, es asimilada por los alumnos del tipo VIII con gran dificultad. Este concepto debe introducirse utilizando material visual y didáctico,

, "y por qué es importante que los estudiantes no solo observen las actividades del profesor, sino que también trabajen activamente con el material didáctico ellos mismos y, en base a observaciones y actividades prácticas, lleguen a ciertas conclusiones y generalizaciones.

Por ejemplo, un maestro toma un nabo entero, lo divide en dos partes iguales para vengarse y pregunta: “¿Qué obtuviste al dividir un nabo entero?

¿a la mitad? (2 mitades.) Mostrar * nabos. Cortar (dividir)

la mitad de los nabos en 2 partes iguales más. ¿Qué obtenemos? -y. Anotemos:

тт = -т- Comparemos los numeradores y denominadores de estas fracciones. Qué hora

veces el numerador ha aumentado? ¿Cuántas veces ha aumentado el denominador? ¿Cuántas veces han aumentado tanto el numerador como el denominador? ¿Ha cambiado la fracción? ¿Por qué no ha cambiado? ¿Cuáles son las acciones: más grandes o más pequeñas? ¿Ha aumentado o disminuido el número?

Luego, todos los estudiantes dividen el círculo en 2 partes iguales, dividen cada mitad en 2 partes iguales más, cada cuarto en

2 partes iguales, etc. y escriben: "o ^ A ^ tr ^ mr y m - L- Luego establecen cuántas veces el numerador y denominador de la fracción ha aumentado, si la fracción ha cambiado. Luego dibujan un segmento y dividirlo secuencialmente por 3, 6, 12 partes iguales y escribir:

1 21 4 Al comparar las fracciones - ^ y - ^, - ^ y - ^, se encuentra que

el numerador y denominador de la fracción r aumenta en el mismo número de veces, la fracción no cambia de esto.

Después de considerar una serie de ejemplos, se debe pedir a los estudiantes que respondan la pregunta: "¿Cambiará la fracción si el numerador? Algunos conocimientos sobre el tema" Fracciones ordinarias "se excluyen del plan de estudios de matemáticas en las escuelas especiales de tipo VIII, pero son comunicados a los alumnos en las escuelas para niños con retraso mental, en clases niveladas para niños con dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. En este libro de texto, los párrafos donde se da la metodología para el estudio de este material,

marcado con un asterisco (*).

y el denominador de la fracción para multiplicar por el mismo número (aumentar el mismo número de veces)? " Además, se debe pedir a los estudiantes que proporcionen ejemplos ellos mismos.

Se dan ejemplos similares cuando se considera disminuir el numerador y el denominador por el mismo número de veces (los numeradores y el denominador son divisibles por el mismo número). Por ejemplo, cr> "

( 4 \ divide en 8 partes iguales, toma 4 octavos del círculo I -]

al agrandar las acciones, toman el cuarto, habrá 2. Al agrandar las acciones

4 2 1 toma el segundo. Habrá 1 : ~ th = -D -% -¡Compara seguidor!

los numeradores y denominadores de estas fracciones, respondiendo a las preguntas: “En<>¿Cuántas veces disminuyen el numerador y el denominador? ¿Cambiará la fracción? "

Las rayas divididas en 12, 6, 3 partes iguales son una buena guía (fig. 26).

H

12 6 3 Fig. 26

Con base en los ejemplos considerados, los estudiantes pueden concluir: la fracción no cambiará si el numerador y el denominador de la fracción se dividen por el mismo número (disminuir por el mismo número de veces). Luego se da una conclusión generalizada, la propiedad principal de una fracción: la fracción no cambiará si el numerador y el denominador de la fracción aumentan o disminuyen en el mismo número de veces.

Este articulo trata sobre transformación de expresiones racionales, principalmente fraccionalmente racional, es una de las preguntas clave del curso de álgebra para 8 clases. Primero, recordamos qué tipo de expresiones se llaman racionales. Además, nos centraremos en realizar transformaciones estándar con expresiones racionales, como agrupación de términos, paréntesis de factores comunes, reducción de términos similares, etc. Finalmente, aprenderemos a representar expresiones racionales fraccionarias en forma de fracciones racionales.

Navegación de página.

Definición y ejemplos de expresiones racionales.

Las expresiones racionales son uno de los tipos de expresiones que se enseñan en las lecciones de álgebra en la escuela. Demos una definición.

Definición.

Expresiones compuestas por números, variables, corchetes, potencias con exponentes enteros, conectados por signos. operaciones aritmeticas+, -, expresiones racionales.

A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales:

Las expresiones racionales comienzan a estudiarse a propósito en el séptimo grado. Además, en el séptimo grado, los conceptos básicos para trabajar con los llamados expresiones racionales completas, es decir, con expresiones racionales que no contienen división en expresiones con variables. Para ello se estudian secuencialmente monomios y polinomios, así como los principios para realizar acciones con ellos. Todo este conocimiento en última instancia te permite realizar la transformación de expresiones enteras.

En octavo grado, pasan al estudio de expresiones racionales que contienen división por una expresión con variables llamadas expresiones racionales fraccionarias... Donde Atención especial dado a los llamados fracciones racionales(también llamado fracciones algebraicas), es decir, fracciones con polinomios en el numerador y denominador. Esto finalmente hace posible realizar la transformación de fracciones racionales.

Las habilidades adquiridas nos permiten proceder a la transformación de expresiones racionales de forma arbitraria. Esto se debe al hecho de que cualquier expresión racional puede verse como una expresión compuesta de fracciones racionales y expresiones enteras, conectadas por signos de operaciones aritméticas. Y ya sabemos trabajar con expresiones enteras y fracciones algebraicas.

Los principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Con expresiones racionales se puede realizar cualquiera de las transformaciones idénticas básicas, ya sea una agrupación de términos o factores, reducción de términos similares, realizar acciones con números, etc. Normalmente, el propósito de realizar estas transformaciones es simplificación de la expresión racional.

Ejemplo.

.

Solución.

Está claro que esta expresión racional es la diferencia entre dos expresiones y, y estas expresiones son similares, ya que tienen la misma parte de letra. Así, podemos realizar la conversión de términos similares:

Respuesta:

.

Está claro que al realizar transformaciones con expresiones racionales, como, de hecho, con cualquier otra expresión, es necesario permanecer dentro del orden aceptado de realización de acciones.

Ejemplo.

Realizar transformación de expresión racional.

Solución.

Sabemos que las acciones entre paréntesis se realizan primero. Por tanto, en primer lugar, transformamos la expresión entre paréntesis: 3 x - x = 2 x.

Ahora puede sustituir el resultado obtenido en la expresión racional original :. Entonces llegamos a una expresión que contiene las acciones de un paso: suma y multiplicación.

Eliminemos los paréntesis al final de la expresión aplicando la propiedad de división del producto :.

Finalmente, podemos agrupar los factores numéricos y multiplicadores con la variable x, luego realizar las acciones apropiadas sobre los números y aplicar :.

Esto completa la transformación de la expresión racional y, como resultado, obtuvimos un monomio.

Respuesta:

Ejemplo.

Convertir expresión racional .

Solución.

Primero, transformamos el numerador y el denominador. Este orden de transformación de fracciones se explica por el hecho de que la barra oblicua de una fracción es, en esencia, otra designación para la división, y la expresión racional original es esencialmente un cociente de la forma y las acciones entre paréntesis se realizan primero.

Entonces, en el numerador realizamos operaciones con polinomios, primero multiplicación, luego resta, y en el denominador agrupamos los factores numéricos y calculamos su producto: .

Representemos también el numerador y denominador de la fracción resultante en forma de producto: de repente, es posible reducir una fracción algebraica. Para hacer esto, usamos en el numerador la fórmula para la diferencia de cuadrados, y en el denominador sacamos dos del paréntesis, tenemos .

Respuesta:

.

Entonces, el conocimiento inicial de la transformación de expresiones racionales puede considerarse válido. Pasamos, por así decirlo, a los más dulces.

Representación de fracción racional

Muy a menudo, el objetivo final de transformar expresiones es simplificar su apariencia. En esta luz la mayor parte forma simple, a la que se puede transformar una expresión racional fraccionaria, es una fracción racional (algebraica) y, en un caso particular, un polinomio, monomio o número.

¿Es posible representar alguna expresión racional en forma de fracción racional? La respuesta es sí. Expliquemos por qué es así.

Como ya dijimos, cualquier expresión racional puede verse como polinomios y fracciones racionales conectadas por signos más, menos, multiplicar y dividir. Todas las acciones correspondientes con polinomios dan un polinomio o una fracción racional. A su vez, cualquier polinomio se puede transformar en una fracción algebraica escribiéndola con el denominador 1. Y la suma, resta, multiplicación y división de fracciones racionales da como resultado una nueva fracción racional. Por lo tanto, después de realizar todas las operaciones con polinomios y fracciones racionales en una expresión racional, obtenemos una fracción racional.

Ejemplo.

Racionalizar la expresión .

Solución.

La expresión racional original es la diferencia entre una fracción y un producto de fracciones de la forma ... Según el orden de realización de las acciones, primero debemos realizar la multiplicación, y solo luego la suma.

Comenzamos multiplicando fracciones algebraicas:

Sustituimos el resultado obtenido en la expresión racional original :.

Llegamos a la resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

Entonces, habiendo realizado acciones con fracciones racionales que componen la expresión racional original, la presentamos en forma de fracción racional.

Respuesta:

.

Para consolidar el material, analizaremos la solución de un ejemplo más.

Ejemplo.

Imagina una expresión racional como una fracción racional.

Del curso de álgebra en el plan de estudios de la escuela, pasamos a los detalles. En este artículo, exploraremos en detalle un tipo especial de expresiones racionales: fracciones racionales, y también analizar qué característica idéntica transformaciones de fracciones racionales tener lugar.

Notamos de inmediato que las fracciones racionales en el sentido en que las definimos a continuación se denominan fracciones algebraicas en algunos libros de texto de álgebra. Es decir, en este artículo nos referiremos a lo mismo que fracciones racionales y algebraicas.

Como de costumbre, comencemos con una definición y ejemplos. A continuación, hablemos de reducir una fracción racional a un nuevo denominador y de cambiar los signos de los miembros de la fracción. Después de eso, analizaremos cómo se realiza la reducción de fracciones. Finalmente, detengámonos en la representación de una fracción racional como una suma de varias fracciones. Toda la información se proporcionará con ejemplos con descripciones detalladas soluciones.

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Definición y ejemplos de fracciones racionales.

Las fracciones racionales se enseñan en las lecciones de álgebra del octavo grado. Usaremos la definición de fracción racional, que se da en el libro de texto de álgebra para 8 clases por Yu.N. Makarychev et al.

EN esta definición no se especifica si los polinomios en el numerador y denominador de la fracción racional deben ser polinomios de la forma estándar o no. Por lo tanto, asumiremos que los registros de fracciones racionales pueden contener polinomios estándar y no estándar.

Aquí hay algunos ejemplos de fracciones racionales... Entonces, x / 8 y - fracciones racionales. Y fracciones y no se ajustan a la definición sonora de fracción racional, ya que en la primera de ellas no hay polinomio en el numerador, y en la segunda, tanto en el numerador como en el denominador hay expresiones que no son polinomios.

Convertir el numerador y el denominador de una fracción racional

El numerador y denominador de cualquier fracción son autosuficientes expresiones matemáticas, en el caso de fracciones racionales, se trata de polinomios, en el caso particular, monomios y números. Por tanto, con el numerador y denominador de una fracción racional, como con cualquier expresión, es posible realizar transformaciones idénticas. En otras palabras, la expresión en el numerador de una fracción racional se puede reemplazar por una expresión idéntica a ella, como el denominador.

Se pueden realizar transformaciones idénticas en el numerador y denominador de una fracción racional. Por ejemplo, en el numerador, puede agrupar y traer términos similares, y en el denominador, el producto de varios números, reemplazarlo con su valor. Y dado que el numerador y denominador de una fracción racional son polinomios, es posible realizar transformaciones características de polinomios con ellos, por ejemplo, reducción a la forma estándar o representación en forma de producto.

Para mayor claridad, considere las soluciones de varios ejemplos.

Ejemplo.

Convertir fracción racional de modo que el numerador contiene un polinomio de la forma estándar y el denominador contiene el producto de polinomios.

Solución.

La reducción de fracciones racionales a un nuevo denominador se usa principalmente al sumar y restar fracciones racionales.

Cambio de signo delante de una fracción, así como en su numerador y denominador.

La propiedad básica de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos de los miembros de una fracción. De hecho, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción racional por -1 equivale a cambiar sus signos, y el resultado es una fracción que es idénticamente igual a la dada. Esta transformación debe abordarse con bastante frecuencia cuando se trabaja con fracciones racionales.

Por lo tanto, si cambia simultáneamente los signos del numerador y el denominador de la fracción, obtiene una fracción igual a la original. La igualdad corresponde a esta afirmación.

Pongamos un ejemplo. Una fracción racional se puede reemplazar con una fracción idénticamente igual con signos cambiados del numerador y denominador de la forma.

Se puede realizar una transformación más idéntica con fracciones, en las que el signo cambia en el numerador o en el denominador. Anunciaremos la regla correspondiente. Si reemplaza el signo de la fracción junto con el signo del numerador o denominador, obtiene una fracción que es idénticamente igual a la original. La declaración escrita corresponde a las igualdades y.

No es difícil demostrar estas igualdades. La demostración se basa en las propiedades de la multiplicación de números. Probemos el primero de ellos :. La igualdad se prueba con la ayuda de transformaciones similares.

Por ejemplo, puede reemplazar una fracción con o.

Para concluir esta subsección, presentamos dos igualdades útiles y. Es decir, si cambia el signo solo del numerador o solo del denominador, la fracción cambiará su signo. Por ejemplo, y .

Las transformaciones consideradas, que permiten cambiar el signo de los miembros de una fracción, se utilizan a menudo cuando se transforman expresiones racionales fraccionadas.

Reducir fracciones racionales

La siguiente transformación de fracciones racionales, que se llama cancelación de fracciones racionales, se basa en la misma propiedad básica de una fracción. Esta transformación corresponde a la igualdad, donde a, b y c son algunos polinomios, y b y c son distintos de cero.

De la igualdad anterior, queda claro que reducir la fracción racional implica deshacerse del factor común en su numerador y denominador.

Ejemplo.

Reducir la fracción racional.

Solución.

El factor común 2 es inmediatamente visible, realizaremos una reducción por él (al anotar los factores comunes, por lo que conviene tachar). Tenemos ... Dado que x 2 = x x y y 7 = y 3 y 4 (ver si es necesario), está claro que x es el factor común del numerador y denominador de la fracción resultante, como y 3. Reduzcamos por estos factores: ... Esto completa la reducción.

Arriba, realizamos la reducción de la fracción racional de forma secuencial. Y fue posible realizar la reducción en un paso, reduciendo inmediatamente la fracción en 2 · x · y 3. En este caso, la solución se vería así: .

Respuesta:

.

Al cancelar fracciones racionales, el principal problema es que el factor común del numerador y denominador no siempre es visible. Además, no siempre existe. Para encontrar el factor común o asegurarse de que esté ausente, debe factorizar el numerador y el denominador de la fracción racional. Si no hay un factor común, entonces no es necesario cancelar la fracción racional original; de lo contrario, se lleva a cabo la cancelación.

En el proceso de reducción de fracciones racionales, pueden surgir varios matices. Las principales sutilezas con ejemplos y en detalle se discuten en el artículo la reducción de fracciones algebraicas.

Concluyendo la conversación sobre la cancelación de fracciones racionales, notamos que esta transformación es idéntica, y la principal dificultad en su implementación radica en factorizar los polinomios en el numerador y denominador.

Representación de una fracción racional como suma de fracciones

Bastante específica, pero en algunos casos muy útil, es la transformación de una fracción racional, que consiste en su representación como la suma de varias fracciones, o la suma de una expresión entera y una fracción.

Una fracción racional, en cuyo numerador hay un polinomio, que es la suma de varios monomios, siempre se puede escribir como la suma de fracciones con los mismos denominadores, en cuyos numeradores hay monomios correspondientes. Por ejemplo, ... Esta representación se explica por la regla de suma y resta de fracciones algebraicas con los mismos denominadores.

En general, cualquier fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de muchas formas diferentes. Por ejemplo, la fracción a / b se puede representar como la suma de dos fracciones: una fracción arbitraria c / dy una fracción igual a la diferencia entre las fracciones a / byc / d. Esta afirmación es cierta, ya que la igualdad ... Por ejemplo, una fracción racional se puede representar como una suma de fracciones diferentes caminos: Representemos la fracción original como la suma de una expresión entera y una fracción. Al dividir el numerador por el denominador en una columna, obtenemos la igualdad ... El valor de la expresión n 3 +4 para cualquier número entero n es un número entero. Y el valor de una fracción es un número entero si y solo si su denominador es 1, −1, 3 o −3. Estos valores corresponden a los valores n = 3, n = 1, n = 5 y n = −1, respectivamente.

Respuesta:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografía.

• Álgebra: estudiar. por 8 cl. educación general. instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16a ed. - M .: Educación, 2008 .-- 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. MordkovichÁlgebra. Séptimo grado. A las 14 h. Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich. - 13a ed., Rev. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 160 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• A. G. MordkovichÁlgebra. Octavo grado. A las 14 h. Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich. - 11a ed., Borrado. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (manual para aspirantes a escuelas técnicas): Libro de texto. manual. - M.; Más alto. shk., 1984.-351 p., ill.