Cómo multiplicar un número mixto por una fracción. Acciones con fracciones
La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (ver la lección "Sumar y restar fracciones"). El momento más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de averiguar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más fáciles de realizar que la suma y la resta. Para empezar, considere el caso más simple cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera dedicada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar por separado sus numeradores y denominadores. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por el segundo "invertido".
Designacion:
De la definición se desprende que la división de fracciones se reduce a una multiplicación. Para "voltear" una fracción, basta con intercambiar las posiciones del numerador y denominador. Por lo tanto, toda la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir una fracción cancelable (y a menudo surge); por supuesto, debe cancelarse. Si, después de todas las contracciones, la fracción resulta ser incorrecta, se debe seleccionar toda la parte en ella. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos cruzados, factores más grandes y múltiplos menos comunes.
Por definición, tenemos:
Multiplicación de fracciones enteras y fracciones negativas.
Si las fracciones contienen Toda una parte, deben traducirse en incorrectos, y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un signo menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de ella, se puede sacar del rango de multiplicación o incluso eliminar según las siguientes reglas:
- Más y menos dan un menos;
- Dos negativos hacen afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas se encontraban solo al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte completa. Para la producción, se pueden generalizar para "quemar" varias desventajas a la vez:
- Tacha las menos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En un caso extremo, uno menos puede sobrevivir, aquel para el que no había par;
- Si no quedan menos, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no está tachado, ya que no encontró par, lo movemos fuera de los límites de la multiplicación. Obtienes una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Traducimos todas las fracciones a las incorrectas y luego sacamos los menos del rango de multiplicación. Lo que queda, lo multiplicamos según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el signo menos que está delante de una fracción con una parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
Además, preste atención a los números negativos: al multiplicar, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los menos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucho tiempo. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar la tarea, puede intentar reducir la fracción aún más. antes de la multiplicación... De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, pueden cancelarse utilizando la propiedad básica de una fracción. Eche un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición, tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se han reducido por completo. En su lugar, solo hay unos pocos que, en general, pueden omitirse. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculo aún disminuyó.
Sin embargo, bajo ninguna circunstancia use esta técnica al sumar y restar fracciones. Sí, a veces hay números similares que solo desea reducir. Aquí, echa un vistazo:
¡No puedes hacer eso!
El error se produce porque al sumar aparece una suma en el numerador de una fracción y no un producto de números. Por tanto, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata precisamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otra razón para reducir fracciones, por lo que la solución correcta al problema anterior se ve así:
La decisión correcta:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan bonita. En general, tenga cuidado.
En el siglo V aC, el filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía "Aquiles y la tortuga". Así suena:Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que una tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará diez pasos más, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento fue un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El impacto fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... el análisis matemático, la teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema ; ninguno de ellos se ha convertido en una solución generalmente aceptada a la pregunta ..."[Wikipedia," Las aporías de Zeno "]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie comprende qué es el engaño.
Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de magnitud a. Esta transición implica aplicación en lugar de constantes. Hasta donde tengo entendido, el aparato matemático para usar unidades variables de medida aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia de pensamiento, aplicamos unidades constantes de medida de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece una dilatación del tiempo hasta que se detiene por completo en el momento en que Aquiles está al nivel de la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.
Si damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápidamente a la tortuga".
¿Cómo puedes evitar esta trampa lógica? Manténgase en unidades de tiempo constantes y no retroceda. En el lenguaje de Zenón, se ve así:
Durante el tiempo en el que Aquiles correrá mil pasos, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la insuperable velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zeno "Aquiles y la tortuga". Aún tenemos que estudiar, repensar y solucionar este problema. Y la solución debe buscarse no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante que Zeno habla sobre una flecha voladora:
La flecha voladora está inmóvil, ya que en todo momento está en reposo, y como está en reposo en todo momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento del tiempo una flecha voladora descansa en diferentes puntos del espacio, que, de hecho, es movimiento. Aquí conviene señalar otro punto. A partir de una sola fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías, tomadas desde el mismo punto en diferentes puntos en el tiempo, pero es imposible determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento desde ellas (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará) . Que quiero convertir Atención especial, entonces es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
Miércoles, 4 de julio de 2018
La distinción entre conjuntos y conjuntos múltiples está muy bien documentada en Wikipedia. Miramos.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiset". Los seres racionales jamás comprenderán semejante lógica del absurdo. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, que carecen de la inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como entrenadores ordinarios y nos predican sus ideas absurdas.
Una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el incompetente ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente pudiera soportar la carga, un ingeniero talentoso construiría otros puentes.
No importa cuánto se escondan los matemáticos detrás de la frase "chur, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos matemáticas muy bien y ahora estamos sentados en la caja dando sueldos. Aquí viene un matemático por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos en nuestra mesa en diferentes pilas, en las que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada pila y le entregamos al matemático su “conjunto matemático de salario”. Expliquemos las matemáticas que recibirá el resto de las facturas solo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: "¡Puedes aplicarlo a otros, no puedes aplicarlo a mí!" Además, comenzaremos a asegurarnos que en billetes de la misma denominación hay diferentes números proyectos de ley, lo que significa que no pueden considerarse los mismos elementos. De acuerdo, contemos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos en cada moneda es única ...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiset se convierten en elementos de un set y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia no se encuentra cerca de aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con el mismo campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un multiset. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es un conjunto y un conjunto múltiple al mismo tiempo. ¿Cómo es correcto? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de su manga y comienza a contarnos sobre el set o sobre el multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, atándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "pensable como un todo único" o "no pensable como un todo".
Domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de los dígitos del número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero es por eso que son chamanes para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente morirán.
¿Necesitas una prueba? Abra Wikipedia e intente encontrar la página Suma de dígitos de un número. No existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números y en el lenguaje de las matemáticas la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes, es elemental.
Veamos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué se debe hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Repasemos todos los pasos en orden.
1. Escribimos el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en el símbolo gráfico del número. Ésta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Ésta no es una operación matemática.
4. Sume los números resultantes. Eso es matemáticas.
La suma de los dígitos de 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribamos el número. Entonces, en diferentes sistemas calculando, la suma de los dígitos del mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un gran número 12345, no quiero engañarme, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No miraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puede ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si obtuvieras resultados completamente diferentes al determinar el área de un rectángulo en metros y centímetros.
El cero en todos los sistemas numéricos se ve igual y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento para el hecho de que. Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa algo que no es un número en matemáticas? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida para números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende de la magnitud del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Ay! ¿No es este un baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indiscriminada de las almas durante la ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha apuntando hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Femenino ... El nimbo de arriba y la flecha hacia abajo es masculino.
Si tiene un trabajo de este tipo ante sus ojos varias veces al día arte de diseño,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en mí mismo para que en una persona que hace caca (una imagen), pueda ver menos cuatro grados (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sepa física. Simplemente tiene un estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto constantemente. He aquí un ejemplo.
1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es "hombre caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Las personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.
Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesita saber reglas simples... Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicación de una fracción ordinaria por una fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
\ (\ bf \ frac (a) (b) \ times \ frac (c) (d) = \ frac (a \ times c) (b \ times d) \\\)
Consideremos un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
\ (\ frac (6) (7) \ times \ frac (2) (3) = \ frac (6 \ times 2) (7 \ times 3) = \ frac (12) (21) = \ frac (4 \ por 3) (7 \ times 3) = \ frac (4) (7) \\\)
La fracción \ (\ frac (12) (21) = \ frac (4 \ times 3) (7 \ times 3) = \ frac (4) (7) \\\) se ha reducido en 3.
Multiplicación de una fracción por un número.
Primero, recordemos la regla cualquier número se puede representar como una fracción \ (\ bf n = \ frac (n) (1) \).
Usemos esta regla al multiplicar.
\ (5 \ times \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ times \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ times 4) (1 \ times 7) = \ frac (20) (7) = 2 \ frac (6) (7) \\\)
Fracción irregular \ (\ frac (20) (7) = \ frac (14 + 6) (7) = \ frac (14) (7) + \ frac (6) (7) = 2 + \ frac (6) ( 7) = 2 \ frac (6) (7) \\\) se convirtió en una fracción mixta.
En otras palabras, al multiplicar un número por una fracción, el número se multiplica por el numerador y el denominador se deja sin cambios. Ejemplo:
\ (\ frac (2) (5) \ times 3 = \ frac (2 \ times 3) (5) = \ frac (6) (5) = 1 \ frac (1) (5) \\\\\) \ (\ bf \ frac (a) (b) \ times c = \ frac (a \ times c) (b) \\\)
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción incorrecta y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.
Ejemplo:
\ (2 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (5) (6) = \ frac (9) (4) \ times \ frac (23) (6) = \ frac (9 \ times 23) (4 \ times 6) = \ frac (3 \ times \ color (rojo) (3) \ times 23) (4 \ times 2 \ times \ color (rojo) (3)) = \ frac (69) (8) = 8 \ frac (5) (8) \\\)
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
La fracción \ (\ bf \ frac (a) (b) \) es la inversa de \ (\ bf \ frac (b) (a) \), siempre que a ≠ 0, b ≠ 0.
Las fracciones \ (\ bf \ frac (a) (b) \) y \ (\ bf \ frac (b) (a) \) se llaman fracciones recíprocas. El producto de fracciones recíprocas es 1.
\ (\ bf \ frac (a) (b) \ times \ frac (b) (a) = 1 \\\)
Ejemplo:
\ (\ frac (5) (9) \ times \ frac (9) (5) = \ frac (45) (45) = 1 \\\)
Preguntas sobre el tema:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicar de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplico fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: no importa lo mismo o diferentes denominadores para las fracciones, la multiplicación ocurre de acuerdo con la regla de encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debes traducir la fracción mixta a una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: multiplicamos el número con el numerador y dejamos el denominador igual.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) \) b) \ (\ frac (2) (15) \ times \ frac (10) (13) \)
Solución:
a) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) = \ frac (8 \ times 7) (9 \ times 11) = \ frac (56) (99) \\\\ \)
b) \ (\ frac (2) (15) \ times \ frac (10) (13) = \ frac (2 \ times 10) (15 \ times 13) = \ frac (2 \ times 2 \ times \ color ( rojo) (5)) (3 \ times \ color (rojo) (5) \ times 13) = \ frac (4) (39) \)
Ejemplo # 2:
Calcula los productos de un número y una fracción: a) \ (3 \ times \ frac (17) (23) \) b) \ (\ frac (2) (3) \ times 11 \)
Solución:
a) \ (3 \ times \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ times \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ times 17) (1 \ times 23) = \ frac (51) (23) = 2 \ frac (5) (23) \\\\\)
b) \ (\ frac (2) (3) \ times 11 = \ frac (2) (3) \ times \ frac (11) (1) = \ frac (2 \ times 11) (3 \ times 1) = \ frac (22) (3) = 7 \ frac (1) (3) \)
Ejemplo n. ° 3:
Escribe el recíproco de la fracción \ (\ frac (1) (3) \)?
Respuesta: \ (\ frac (3) (1) = 3 \)
Ejemplo # 4:
Calcula el producto de dos fracciones recíprocas: a) \ (\ frac (104) (215) \ times \ frac (215) (104) \)
Solución:
a) \ (\ frac (104) (215) \ times \ frac (215) (104) = 1 \)
Ejemplo # 5:
¿Pueden las fracciones recíprocas ser:
a) al mismo tiempo con fracciones regulares;
b) al mismo tiempo con fracciones incorrectas;
c) simultáneamente números naturales?
Solución:
a) para responder a la primera pregunta, demos un ejemplo. La fracción \ (\ frac (2) (3) \) es correcta, su recíproco será \ (\ frac (3) (2) \) es una fracción impropia. La respuesta es no.
b) para casi todas las enumeraciones de fracciones, esta condición no se cumple, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser al mismo tiempo una fracción impropia. Por ejemplo, la fracción impropia \ (\ frac (3) (3) \), su recíproco es \ (\ frac (3) (3) \). Obtenemos dos fracciones irregulares. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones, cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3,…. Si tomamos el número \ (3 = \ frac (3) (1) \), entonces su recíproco es \ (\ frac (1) (3) \). La fracción \ (\ frac (1) (3) \) no es un número natural. Si iteramos sobre todos los números, obtener el recíproco es siempre una fracción, excepto 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \ (\ frac (1) (1) = \ frac (1) (1) = 1 \). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser números naturales al mismo tiempo solo en un caso, si este número es 1.
Ejemplo # 6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \ (4 \ times 2 \ frac (4) (5) \) b) \ (1 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (2) (7) \ )
Solución:
a) \ (4 \ times 2 \ frac (4) (5) = \ frac (4) (1) \ times \ frac (14) (5) = \ frac (56) (5) = 11 \ frac (1 ) (5) \\\\ \)
b) \ (1 \ frac (1) (4) \ veces 3 \ frac (2) (7) = \ frac (5) (4) \ veces \ frac (23) (7) = \ frac (115) ( 28) = 4 \ frac (3) (7) \)
Ejemplo # 7:
¿Pueden dos números mutuamente inversos ser números mixtos al mismo tiempo?
Veamos un ejemplo. Tome una fracción mixta \ (1 \ frac (1) (2) \), encuentre su recíproco, para esto la convertimos en una fracción impropia \ (1 \ frac (1) (2) = \ frac (3) (2 ) \). Su recíproco será \ (\ frac (2) (3) \). La fracción \ (\ frac (2) (3) \) es una fracción regular. Respuesta: dos fracciones recíprocas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicación de fracciones ordinarias
Veamos un ejemplo.
Sea $ \ frac (1) (3) $ parte de una manzana en el plato. Necesitas encontrar la parte $ \ frac (1) (2) $. La parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $ \ frac (1) (3) $ y $ \ frac (1) (2) $. El resultado de multiplicar dos fracciones es una fracción ordinaria.
Multiplicación de dos fracciones
La regla para multiplicar fracciones ordinarias:
El resultado de multiplicar una fracción por una fracción es una fracción, cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones multiplicadas, y el denominador es igual al producto de los denominadores:
Ejemplo 1
Realiza la multiplicación de fracciones ordinarias $ \ frac (3) (7) $ y $ \ frac (5) (11) $.
Solución.
Usemos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\ [\ frac (3) (7) \ cdot \ frac (5) (11) = \ frac (3 \ cdot 5) (7 \ cdot 11) = \ frac (15) (77) \]
Respuesta:$ \ frac (15) (77) $
Si, como resultado de multiplicar fracciones, se obtiene una fracción anulable o irregular, entonces debe simplificarla.
Ejemplo 2
Multiplica las fracciones $ \ frac (3) (8) $ y $ \ frac (1) (9) $.
Solución.
Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) \]
Como resultado, obtuvimos una fracción cancelable (por división por $ 3 $. El numerador y el denominador de la fracción se dividen por $ 3 $, obtenemos:
\ [\ frac (3) (72) = \ frac (3: 3) (72: 3) = \ frac (1) (24) \]
Solución corta:
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) = \ frac (1) (24) \]
Respuesta:$ \ frac (1) (24). $
Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores hasta encontrar su producto. En este caso, el numerador y denominador de la fracción se descompone en factores primos, después de lo cual se cancelan los factores repetidos y se encuentra el resultado.
Ejemplo 3
Calcula el producto de las fracciones $ \ frac (6) (75) $ y $ \ frac (15) (24) $.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:
\ [\ frac (6) (75) \ cdot \ frac (15) (24) = \ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) \]
Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden cancelar en pares con los números $ 2 $, $ 3 $ y $ 5 $. Expandamos el numerador y el denominador en factores primos y realicemos la cancelación:
\ [\ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) = \ frac (2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5) (3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (1) (5 \ cdot 2 \ cdot 2) = \ frac (1) (20) \]
Respuesta:$ \ frac (1) (20). $
Al multiplicar fracciones, puede aplicar la ley de desplazamiento:
Multiplicación de una fracción ordinaria por un número natural
Regla de multiplicación fracción común para un número natural:
El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción, en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicado por un número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:
donde $ \ frac (a) (b) $ es una fracción ordinaria, $ n $ es un número natural.
Ejemplo 4
Multiplica $ \ frac (3) (17) $ por $ 4 $.
Solución.
Usemos la regla de multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:
\ [\ frac (3) (17) \ cdot 4 = \ frac (3 \ cdot 4) (17) = \ frac (12) (17) \]
Respuesta:$ \ frac (12) (17). $
No te olvides de comprobar el resultado de la multiplicación por la cancelación de una fracción o por una fracción impropia.
Ejemplo 5
Multiplica la fracción $ \ frac (7) (15) $ por $ 3 $.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) \]
Al dividir por el número $ 3 $), puede determinar que la fracción resultante se puede reducir:
\ [\ frac (21) (15) = \ frac (21: 3) (15: 3) = \ frac (7) (5) \]
Como resultado, obtuvimos una fracción incorrecta. Seleccionemos la parte completa:
\ [\ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
Solución corta:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
También fue posible reducir fracciones reemplazando los números en el numerador y denominador por su factorización en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse así:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (7 \ cdot 3) (3 \ cdot 5) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
Respuesta:$ 1 \ frac (2) (5). $
Al multiplicar una fracción por un número natural, puede usar la ley de desplazamiento:
División de fracciones ordinarias
La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la cual necesitas multiplicar la fracción conocida para obtener el producto conocido de dos fracciones.
División de dos fracciones
La regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y denominador de la fracción resultante se puede expandir a factores primos y reducirse:
\ [\ frac (8 \ cdot 35) (15 \ cdot 12) = \ frac (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 7) (3 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (2 \ cdot 7) (3 \ cdot 3) = \ frac (14) (9) \]
Como resultado, obtuvimos una fracción incorrecta, de la cual seleccionamos la parte completa:
\ [\ frac (14) (9) = 1 \ frac (5) (9) \]
Respuesta:$ 1 \ frac (5) (9). $
En este artículo analizaremos multiplicación de números mixtos... Primero, expresaremos la regla para multiplicar números mixtos y consideraremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos. A continuación, hablemos de multiplicar un número mixto y un número natural. Finalmente, aprenderemos a realizar la multiplicación de un número mixto y una fracción ordinaria.
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Multiplicación de números mixtos.
Multiplicación de números mixtos se puede reducir a la multiplicación de fracciones ordinarias. Para hacer esto, basta con traducir los números mixtos en fracciones impropias.
Vamos a escribir regla de multiplicación de números mixtos:
- Primero, los números mixtos que se van a multiplicar deben reemplazarse con fracciones impropias;
- En segundo lugar, debes usar la regla de multiplicar una fracción por una fracción.
Consideremos ejemplos de cómo aplicar esta regla al multiplicar un número mixto por un número mixto.
Multiplica los números mixtos y.
Primero, representemos los números mixtos que se multiplicarán como fracciones impropias: 
y 
... Ahora podemos reemplazar la multiplicación de números mixtos con la multiplicación de fracciones ordinarias: 
... Aplicando la regla para multiplicar fracciones, obtenemos 
... La fracción resultante es irreductible (ver fracciones cancelables y no cancelables), pero es incorrecta (ver fracciones correctas e incorrectas), por lo tanto, para obtener la respuesta final, queda separar la parte entera de la fracción impropia :.
Escribamos la solución completa en una línea :.
.
Para consolidar las habilidades de multiplicar números mixtos, considere la solución de otro ejemplo.
Realiza una multiplicación.
Los números divertidos y son iguales, respectivamente, a las fracciones 13/5 y 10/9. Entonces 
... En esta etapa, es hora de recordar la reducción de la fracción: reemplazaremos todos los números de la fracción con sus descomposiciones en factores primos y realizaremos la reducción de los mismos factores.
Multiplicación de un número mixto y un número natural
Después de reemplazar un número mixto con una fracción impropia, multiplicación de un número mixto y un número natural reducido a la multiplicación de una fracción ordinaria y un número natural.
Multiplica el número mixto y el número natural 45.
El número mixto es igual a una fracción, entonces 
... Reemplazamos los números en la fracción resultante por sus descomposiciones en factores primos, realizamos una reducción y luego seleccionamos la parte entera :.
.
A veces es conveniente multiplicar un número mixto y un número natural usando la propiedad de distribución de la multiplicación con respecto a la suma. En este caso, el producto del número mixto y el número natural es igual a la suma de los productos de la parte entera por el número natural dado y la parte fraccionaria por el número natural dado, es decir, 
.
Calcula el producto.
Reemplazamos el número mixto con la suma de las partes entera y fraccionaria, después de lo cual aplicamos la propiedad de distribución de la multiplicación :.
Multiplicación de un número mixto y una fracción Es más conveniente reducirlo a la multiplicación de fracciones ordinarias, presentando el número mixto multiplicado como una fracción impropia.
Multiplica el número mixto por la fracción 4/15.
Reemplazando el número mixto con una fracción, obtenemos 
.
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Multiplicación fraccionada
Sección 140. Definiciones... 1) La multiplicación de un número fraccionario por un entero se define de la misma forma que la multiplicación de números enteros, a saber: Multiplicar un número (multiplicable) por un número entero (multiplicador) significa hacer la suma de los mismos términos, en la que cada término es igual al multiplicador y el número de términos es igual al factor.
Entonces, multiplicar por 5 significa encontrar la suma:
2) Multiplicar un número (multiplicador) por una fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicador.
Por lo tanto, para encontrar una fracción de un número dado, que hemos considerado antes, ahora lo llamaremos multiplicación por una fracción.
3) Multiplicar un número (multiplicador) por un número mixto (multiplicador) significa multiplicar el multiplicador primero por el número entero del multiplicador, luego por la fracción del multiplicador, y sumar los resultados de estas dos multiplicaciones.
Por ejemplo:
El número obtenido después de la multiplicación se denomina en todos estos casos producto, es decir, de la misma forma que cuando se multiplican números enteros.
De estas definiciones queda claro que la multiplicación de números fraccionarios es una acción siempre posible y siempre inequívoca.
§ 141. La conveniencia de estas definiciones. Para comprender la conveniencia de introducir las dos últimas definiciones de multiplicación en aritmética, tomemos el siguiente problema:
Tarea. El tren, moviéndose uniformemente, corre a 40 km por hora; ¿Cómo saber cuántos kilómetros recorrerá este tren en un número determinado de horas?
Si nos hubiéramos quedado con la misma definición de multiplicación, que se indica en la aritmética de enteros (suma de términos iguales), entonces nuestro problema tendría tres soluciones diferentes, a saber:
Si el número de horas dado es un número entero (por ejemplo, 5 horas), entonces para resolver el problema es necesario multiplicar 40 km por este número de horas.
Si el número dado de horas se expresa como una fracción (por ejemplo, horas), entonces tendrá que encontrar el valor de esta fracción a partir de 40 km.
Finalmente, si se mezcla el número dado de horas (por ejemplo, horas), entonces será necesario multiplicar 40 km por el número entero contenido en el número mixto, y sumar al resultado una fracción de 40 km como está en el número mixto.
Las definiciones que hemos dado nos permiten dar una respuesta general para todos estos casos posibles:
es necesario multiplicar 40 km por el número de horas dado, cualquiera que sea.
Por tanto, si el problema se presenta en vista general Entonces:
El tren, moviéndose uniformemente, viaja v km por hora. ¿Cuántos kilómetros viajará el tren en t horas?
entonces, sean cuales sean los números v y t, podemos dar una respuesta: el número requerido se expresa mediante la fórmula v · t.
Nota. Encontrar alguna fracción de un número dado, según nuestra definición, significa lo mismo que multiplicar un número dado por esta fracción; por lo tanto, por ejemplo, encontrar el 5% (es decir, cinco centésimas) de un número dado significa lo mismo que multiplicar el número dado por o por; encontrar el 125% de un número dado es lo mismo que multiplicar ese número por o por, y así sucesivamente.
§ 142. Una nota sobre cuándo aumenta el número de la multiplicación y cuándo disminuye.
De multiplicar por una fracción regular, el número disminuye, y de multiplicar por una fracción impropia, el número aumenta si esta fracción impropia es mayor que uno, y permanece sin cambios si es igual a uno.
Comentario. Al multiplicar números fraccionarios, así como números enteros, el producto se toma como cero si alguno de los factores es cero.
§ 143. Derivación de las reglas de la multiplicación.
1) Multiplicación de una fracción por un número entero. Deje que la fracción se multiplique por 5. Esto significa aumentar en 5 veces. Para aumentar una fracción en 5 veces, basta con aumentar su numerador o disminuir su denominador en 5 veces (§ 127).
Entonces:
Regla 1. Para multiplicar una fracción por un número entero, debes multiplicar el numerador por este número entero y dejar el denominador igual; en su lugar, también puede dividir el denominador de la fracción por el entero dado (si es posible) y dejar el numerador igual.
Comentario. El producto de una fracción por su denominador es igual a su numerador.
Entonces:
Regla 2. Para multiplicar un número entero por una fracción, debes multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de esta fracción como denominador.
Regla 3. Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.
Comentario. Esta regla se puede aplicar a la multiplicación de una fracción por un número entero y un número entero por una fracción, si solo el número entero se considera una fracción con el denominador uno. Entonces:
Por lo tanto, las tres reglas descritas ahora están contenidas en una, que en forma general se puede expresar de la siguiente manera:
4) Multiplicación de números mixtos.
Regla 4. Para multiplicar números mixtos, debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con las reglas para multiplicar fracciones. Por ejemplo:
§ 144. Reducción de la multiplicación... Al multiplicar fracciones, si es posible, es necesario hacer una reducción preliminar, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Tal reducción es posible porque el valor de la fracción no cambiará si su numerador y denominador se reducen el mismo número de veces.
Artículo 145. Modificación de una obra con cambio de factores. El producto de números fraccionarios cuando los factores cambian cambiará exactamente de la misma manera que el producto de números enteros (§ 53), a saber: si aumenta (o disminuye) cualquier factor varias veces, entonces el producto aumentará (o disminuirá) por la misma cantidad ...
Entonces, si en el ejemplo:
para multiplicar varias fracciones, es necesario multiplicar sus numeradores entre sí y los denominadores entre sí y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar a aquellos productos en los que algunos factores del número son enteros o mixtos, si solo el número entero se considerará como una fracción en la que el denominador es uno, y los números mixtos se convertirán en fracciones impropias. Por ejemplo:
§ 147. Propiedades básicas de la multiplicación. Las propiedades de la multiplicación que indicamos para los números enteros (§ 56, 57, 59) también pertenecen a la multiplicación de números fraccionarios. Indiquemos estas propiedades.
1) El trabajo no cambia de cambiar el lugar de los factores.
Por ejemplo:
De hecho, según la regla del párrafo anterior, el primer producto es igual a una fracción y el segundo es igual a una fracción. Pero estas fracciones son iguales, porque sus miembros difieren solo en el orden de los factores enteros, y el producto de los números enteros no cambia cuando se cambian los lugares de los factores.
2) El producto no cambiará si algún grupo de factores es reemplazado por un producto.
Por ejemplo:
Los resultados son los mismos.
De esta propiedad de la multiplicación se puede deducir la siguiente conclusión:
para multiplicar un número por el producto, puede multiplicar este número por el primer factor, multiplicar el número resultante por el segundo, etc.
Por ejemplo:
3) Ley distributiva de la multiplicación (con respecto a la suma). Para multiplicar la suma por algún número, puede multiplicar cada término por este número por separado y sumar los resultados.
Esta ley fue explicada por nosotros (§ 59) como aplicada a números enteros. Sigue siendo cierto sin cambios y para números fraccionarios.
Demostremos, de hecho, que la igualdad
(a + b + c +.) m = am + bm + cm +.
(la ley de distribución de la multiplicación con respecto a la suma) permanece verdadera incluso cuando las letras significan números fraccionarios. Consideremos tres casos.
1) Suponga primero que el factor m es un número entero, por ejemplo m = 3 (a, b, c - los números que desee). De acuerdo con la definición de multiplicación por un número entero, puedes escribir (limitándonos a tres términos para simplificar):
(a + segundo + do) * 3 = (a + segundo + do) + (a + segundo + do) + (a + segundo + do).
Según la ley de combinación de la suma, podemos omitir todos los corchetes en el lado derecho; Aplicando la ley de desplazamiento de la adición, y luego nuevamente la ley de combinación, obviamente podemos reescribir el lado derecho de la siguiente manera:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Esto significa que la ley de distribución en este caso está confirmada.
Multiplicación y división de fracciones.
La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (ver la lección "Sumar y restar fracciones"). El momento más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de averiguar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más fáciles de realizar que la suma y la resta. Para empezar, considere el caso más simple cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera dedicada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar por separado sus numeradores y denominadores. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por el segundo "invertido".
De la definición se desprende que la división de fracciones se reduce a una multiplicación. Para "voltear" una fracción, basta con intercambiar las posiciones del numerador y denominador. Por lo tanto, toda la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir una fracción cancelable (y a menudo surge); por supuesto, debe cancelarse. Si, después de todas las contracciones, la fracción resulta ser incorrecta, se debe seleccionar toda la parte en ella. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos cruzados, factores más grandes y múltiplos menos comunes.
Por definición, tenemos:
Multiplicación de fracciones enteras y fracciones negativas.
Si hay una parte entera en las fracciones, deben convertirse en incorrectas, y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un signo menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de ella, se puede sacar del rango de multiplicación o incluso eliminar según las siguientes reglas:
- Más y menos dan un menos;
- Dos negativos hacen afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas se encontraban solo al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte completa. Para la producción, se pueden generalizar para "quemar" varias desventajas a la vez:
- Tacha las menos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En un caso extremo, uno menos puede sobrevivir, aquel para el que no había par;
- Si no quedan menos, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no está tachado, ya que no encontró par, lo movemos fuera de los límites de la multiplicación. Obtienes una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Traducimos todas las fracciones a las incorrectas y luego sacamos los menos del rango de multiplicación. Lo que queda, lo multiplicamos según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el signo menos que está delante de una fracción con una parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
Además, preste atención a los números negativos: al multiplicar, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los menos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucho tiempo. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar la tarea, puede intentar reducir la fracción aún más. antes de la multiplicación... De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, pueden cancelarse utilizando la propiedad básica de una fracción. Eche un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición, tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se han reducido por completo. En su lugar, solo hay unos pocos que, en general, pueden omitirse. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculo aún disminuyó.
Sin embargo, bajo ninguna circunstancia use esta técnica al sumar y restar fracciones. Sí, a veces hay números similares que solo desea reducir. Aquí, echa un vistazo:
¡No puedes hacer eso!
El error se produce porque al sumar aparece una suma en el numerador de una fracción y no un producto de números. Por tanto, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata precisamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otra razón para reducir fracciones, por lo que la solución correcta al problema anterior se ve así:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan bonita. En general, tenga cuidado.
Multiplicación de fracciones.
Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas conocer reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicación de una fracción ordinaria por una fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
Consideremos un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
Multiplicación de una fracción por un número.
Primero, recordemos la regla cualquier número se puede representar como una fracción \ (\ bf n = \ frac \).
Usemos esta regla al multiplicar.
La fracción impropia \ (\ frac = \ frac = \ frac + \ frac = 2 + \ frac = 2 \ frac \\\) se convirtió en una fracción mixta.
En otras palabras, al multiplicar un número por una fracción, el número se multiplica por el numerador y el denominador se deja sin cambios. Ejemplo:
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción incorrecta y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
Preguntas sobre el tema:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicar de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplico fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: no importa si las fracciones tienen el mismo o diferente denominador, la multiplicación ocurre según la regla de encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debes traducir la fracción mixta a una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: multiplicamos el número con el numerador y dejamos el denominador igual.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \ (\ frac \ times \ frac \) b) \ (\ frac \ times \ frac \)
Ejemplo # 2:
Calcula los productos de un número y una fracción: a) \ (3 \ times \ frac \) b) \ (\ frac \ times 11 \)
Ejemplo n. ° 3:
Escribe el recíproco \ (\ frac \)?
Respuesta: \ (\ frac = 3 \)
Ejemplo # 4:
Calcula el producto de dos fracciones recíprocas: a) \ (\ frac \ times \ frac \)
Ejemplo # 5:
¿Pueden las fracciones recíprocas ser:
a) al mismo tiempo con fracciones regulares;
b) al mismo tiempo con fracciones incorrectas;
c) simultáneamente números naturales?
Solución:
a) para responder a la primera pregunta, demos un ejemplo. La fracción \ (\ frac \) es una fracción regular, su recíproco será \ (\ frac \) - una fracción impropia. La respuesta es no.
b) para casi todas las enumeraciones de fracciones, esta condición no se cumple, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser al mismo tiempo una fracción impropia. Por ejemplo, una fracción impropia \ (\ frac \), su recíproco es \ (\ frac \). Obtenemos dos fracciones irregulares. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones, cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3,…. Si tomamos el número \ (3 = \ frac \), entonces su recíproco es \ (\ frac \). La fracción \ (\ frac \) no es un número natural. Si iteramos sobre todos los números, obtener el recíproco es siempre una fracción, excepto 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \ (\ frac = \ frac = 1 \). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser números naturales al mismo tiempo solo en un caso, si este número es 1.
Ejemplo # 6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \ (4 \ times 2 \ frac \) b) \ (1 \ frac \ times 3 \ frac \)
Solución:
a) \ (4 \ times 2 \ frac = \ frac \ times \ frac = \ frac = 11 \ frac \\\\ \)
b) \ (1 \ frac \ times 3 \ frac = \ frac \ times \ frac = \ frac = 4 \ frac \)
Ejemplo # 7:
¿Pueden dos números mutuamente inversos ser números mixtos al mismo tiempo?
Veamos un ejemplo. Tome la fracción mixta \ (1 \ frac \), encuentre su fracción inversa, para esto la traducimos a una fracción impropia \ (1 \ frac = \ frac \). Su fracción inversa será \ (\ frac \). La fracción \ (\ frac \) es una fracción regular. Respuesta: dos fracciones recíprocas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicación decimal por un número natural
Presentación de la lección
¡Atención! Las vistas previas de diapositivas son solo para fines informativos y es posible que no representen todas las opciones de presentación. Si usted está interesado en este trabajo descargue la versión completa.
- Presente a los estudiantes de forma divertida la regla para multiplicar una fracción decimal por un número natural, por una unidad de dígitos y la regla para expresar una fracción decimal como porcentaje. Desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos al resolver ejemplos y problemas.
- Desarrollar y activar el pensamiento lógico de los estudiantes, la capacidad de identificar patrones y generalizarlos, fortalecer la memoria, la capacidad de cooperar, brindar asistencia, evaluar su trabajo y el trabajo de los demás.
- Fomentar el interés por las matemáticas, la actividad, la movilidad, la capacidad de comunicarse.
Equipo: pizarra interactiva, cartel con cifrado, carteles con declaraciones de matemáticos.
- Organizar el tiempo.
- El conteo oral es una generalización de material previamente estudiado, preparación para el estudio de material nuevo.
- Explicación del nuevo material.
- Cosas del hogar.
- Minuto de educación física matemática.
- Generalización y sistematización de los conocimientos adquiridos en forma de juego utilizando una computadora.
- Calificación.
2. Chicos, hoy nuestra lección será algo inusual, porque no la enseñaré solo, sino con mi amigo. Y mi amigo también es inusual, ahora lo verás. (Aparece una computadora de dibujos animados en la pantalla). Mi amigo tiene nombre y puede hablar. ¿Cuál es tu nombre, amigo? Komposha responde: "Mi nombre es Komposha". ¿Estás listo para ayudarme hoy? ¡SÍ! Bueno, entonces comencemos la lección.
Hoy recibí un cifrado encriptado, muchachos, que debemos resolver y descifrar juntos. (Se publica un póster en la pizarra con el conteo oral para la suma y resta de fracciones decimales, como resultado de lo cual los chicos obtienen el siguiente código 523914687. )
Composha ayuda a descifrar el código recibido. Como resultado de la decodificación, se obtiene la palabra MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es la palabra clave para la lección de hoy. El tema de la lección se muestra en el monitor: "Multiplicar una fracción decimal por un número natural"
Chicos, sabemos cómo se hace la multiplicación números naturales... Hoy veremos la multiplicación de números decimales por un número natural. La multiplicación de una fracción decimal por un número natural se puede considerar como la suma de términos, cada uno de los cuales es igual a esta fracción decimal, y el número de términos es igual a este número natural. Por ejemplo: 5.21 · 3 = 5.21 + 5.11 + 5.21 = 15.63 Entonces, 5.21 · 3 = 15.63. Al representar 5.21 como una fracción ordinaria por un número natural, obtenemos
Y en este caso obtuvimos el mismo resultado 15,63. Ahora, sin tener en cuenta la coma, tomaremos el número 521 en lugar del número 5.21 y lo multiplicaremos por este número natural. Aquí debemos recordar que en uno de los factores la coma se ha movido dos lugares a la derecha. Al multiplicar los números 5, 21 y 3, obtenemos el producto igual a 15,63. Ahora, en este ejemplo, moveremos la coma hacia la izquierda dos lugares. Por lo tanto, la cantidad de veces que se incrementó uno de los factores, el producto se redujo en esa cantidad de veces. Basándonos en las similitudes de estos métodos, sacamos una conclusión.
Multiplicar decimal para un número natural, necesita:
1) ignorando la coma, realice la multiplicación de números naturales;
2) en el producto resultante, separe con una coma a la derecha tantos dígitos como haya en una fracción decimal.
Los siguientes ejemplos se muestran en el monitor, que analizamos junto con Kompoche y los chicos: 5.21 · 3 = 15.63 y 7.624 · 15 = 114.34. Luego muestro la multiplicación por el número redondo 12,6 50 = 630. A continuación, paso a multiplicar la fracción decimal por la unidad de dígitos. Muestro los siguientes ejemplos: 7.423 · 100 = 742.3 y 5.2 · 1000 = 5200. Entonces, presento la regla para multiplicar una fracción decimal por una unidad de dígito:
Para multiplicar el decimal por unidades de bits 10, 100, 1000, etc., es necesario mover la coma hacia la derecha en esta fracción tantos dígitos como ceros haya en el registro de la unidad de bit.
Termino la explicación con un porcentaje decimal. Introduzco una regla:
Para expresar una fracción decimal como porcentaje, debes multiplicarla por 100 y asignarle un signo de%.
Doy un ejemplo en una computadora 0.5 · 100 = 50 o 0.5 = 50%.
4. Al final de la explicación, les doy a los chicos tarea, que también se muestra en el monitor de la computadora: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Para que los chicos descansen un poco, para consolidar el tema, hacemos una educación física matemática junto con Komposha. Todos se ponen de pie, les muestro a la clase ejemplos resueltos y deben responder si el ejemplo se resolvió correctamente o no. Si el ejemplo es correcto, levantan las manos por encima de la cabeza y aplauden. Si el ejemplo no se resuelve correctamente, los chicos estiran los brazos hacia los lados y se amasan los dedos.
6. Y ahora tienes un poco de descanso, puedes resolver las tareas. Abra el tutorial en la página 205, № 1029. en esta tarea, debe calcular el valor de las expresiones:
Las tareas aparecen en la computadora. A medida que se resuelven, aparece una imagen con la imagen de un barco que, cuando está completamente ensamblado, se aleja flotando.
Resolviendo esta tarea en la computadora, el cohete se desarrolla gradualmente, resolviendo el último ejemplo, el cohete se va volando. El profesor da una pequeña información a los alumnos: “Todos los años desde la tierra kazaja desde el cosmódromo de Baikonur despegan hacia las estrellas naves espaciales... Kazajstán está construyendo su nuevo cosmódromo de Baiterek cerca de Baikonur.
¿Cuál es la distancia que recorrerá un automóvil de pasajeros en 4 horas si la velocidad de un automóvil de pasajeros es de 74,8 km / h?
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