¿Examen estatal unificado para 4? ¿No estallarás de felicidad?

La pregunta, como dicen, es interesante... ¡Es posible, es posible aprobar con un 4! Y al mismo tiempo no reventar... La condición principal es hacer ejercicio con regularidad. Aquí está la preparación básica para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Con todos los secretos y misterios del Examen Estatal Unificado, sobre los cuales no leerá en los libros de texto... Estudie esta sección, resuelva más tareas de diversas fuentes, ¡y todo saldrá bien! Se supone que la sección básica "¡A C es suficiente para ti!" no te causa ningún problema. Pero si de repente… Sigue los enlaces, ¡no seas perezoso!

Y comenzaremos con un tema grande y terrible.

Trigonometría

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Este tema causa muchos problemas a los estudiantes. Se considera uno de los más graves. ¿Qué son el seno y el coseno? ¿Qué son la tangente y la cotangente? ¿Qué es un círculo numérico? En cuanto haces estas preguntas inofensivas, la persona palidece e intenta desviar la conversación... Pero es en vano. Estos son conceptos simples. Y este tema no es más difícil que otros. Solo necesita comprender claramente las respuestas a estas preguntas desde el principio. Es muy importante. Si lo entiendes, te gustará la trigonometría. Entonces,

¿Qué son el seno y el coseno? ¿Qué son la tangente y la cotangente?

Empecemos por la antigüedad. No te preocupes, repasaremos los 20 siglos de trigonometría en unos 15 minutos y, sin darnos cuenta, repetiremos un trozo de geometría de octavo grado.

Dibujemos un triángulo rectángulo con lados. a B C y ángulo X. Aquí lo tienes.

Déjame recordarte que los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos. a y c- piernas. Hay dos de ellos. El lado restante se llama hipotenusa. Con– hipotenusa.

Triángulo y triángulo, ¡piensa! ¿Qué hacer con él? ¡Pero los antiguos sabían qué hacer! Repitamos sus acciones. midamos el lado V. En la figura, las celdas están dibujadas especialmente, como en Asignaciones del examen estatal unificado Sucede. Lado V igual a cuatro celdas. DE ACUERDO. midamos el lado A. Tres celdas.

Ahora dividamos la longitud del lado. A por longitud de lado V. O, como también dicen, tomemos la actitud A A V. AV= 3/4.

Por el contrario, puedes dividir V en A. Obtenemos 4/3. Poder V dividido por Con. Hipotenusa Con Es imposible contar por celdas, pero es igual a 5. Obtenemos alta calidad= 4/5. En resumen, puedes dividir las longitudes de los lados entre sí y obtener algunos números.

¿Así que lo que? ¿Cuál es el objetivo de esta interesante actividad? Ninguna todavia. Un ejercicio inútil, para decirlo sin rodeos.)

Ahora hagamos esto. Ampliemos el triángulo. Extendamos los lados en y con, pero para que el triángulo siga siendo rectangular. Esquina X, por supuesto, no cambia. Para ver esto, coloque el mouse sobre la imagen o tóquela (si tiene una tableta). Fiestas a, b y c se convertirá en m, n, k y, por supuesto, las longitudes de los lados cambiarán.

¡Pero su relación no lo es!

Actitud AV era: AV= 3/4, se convirtió Minnesota= 6/8 = 3/4. Las relaciones de otras partes relevantes también son no cambiará . Puedes cambiar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo como quieras, aumentar, disminuir, sin cambiar el ángulo x – la relación entre las partes relevantes no cambiará . Puedes comprobarlo o puedes confiar en la palabra de los antiguos.

¡Pero esto ya es muy importante! Las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo no dependen de ninguna manera de las longitudes de los lados (en el mismo ángulo). Esto es tan importante que la relación entre las partes se ha ganado un nombre especial. Sus nombres, por así decirlo.) Conózcame.

¿Cuál es el seno del ángulo x? ? Esta es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

senx = a/c

¿Cuál es el coseno del ángulo x? ? Esta es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Conosx= alta calidad

¿Qué es la tangente x? ? Esta es la razón del lado opuesto al adyacente:

tgx =AV

¿Cuál es la cotangente del ángulo x? ? Esta es la razón del lado adyacente al opuesto:

ctgx = v/a

Todo es muy sencillo. Seno, coseno, tangente y cotangente son algunos números. Sin dimensiones. Sólo números. Cada ángulo tiene el suyo.

¿Por qué repito todo de manera tan aburrida? Entonces ¿qué es esto? necesito recordar. Es importante recordar. La memorización se puede hacer más fácil. ¿Te resulta familiar la frase “Empecemos desde lejos…”? Así que empieza desde lejos.

Seno El ángulo es una razón. distante desde el ángulo del cateto hasta la hipotenusa. Coseno– la relación entre el vecino y la hipotenusa.

Tangente El ángulo es una razón. distante desde el ángulo de la pierna hasta el cercano. Cotangente- viceversa.

Es más fácil, ¿verdad?

Bueno, si recuerdas que en tangente y cotangente solo hay catetos, y en seno y coseno aparece la hipotenusa, entonces todo será bastante simple.

Toda esta gloriosa familia: seno, coseno, tangente y cotangente también se llama funciones trigonométricas.

Ahora una cuestión a considerar.

¿Por qué decimos seno, coseno, tangente y cotangente? ¿esquina? Estamos hablando de la relación entre las partes, como... ¿Qué tiene que ver con eso? ¿esquina?

Veamos la segunda imagen. Exactamente igual que el primero.

Pase el mouse sobre la imagen. cambié el ángulo X. Lo incrementé de x a x.¡Todas las relaciones han cambiado! Actitud AV era 3/4, y la proporción correspondiente televisor se convirtió en 6/4.

¡Y todas las demás relaciones se volvieron diferentes!

Por lo tanto, las proporciones de los lados no dependen de ninguna manera de sus longitudes (en un ángulo x), ¡sino que dependen marcadamente de este mismo ángulo! Y sólo de él. Por lo tanto, los términos seno, coseno, tangente y cotangente se refieren a esquina. El ángulo aquí es el principal.

Debe quedar claramente claro que el ángulo está indisolublemente ligado a sus funciones trigonométricas. Cada ángulo tiene su propio seno y coseno. Y casi todo el mundo tiene su propia tangente y cotangente. Es importante. Se cree que si nos dan un ángulo, entonces su seno, coseno, tangente y cotangente. sabemos ! Y viceversa. Dado un seno, o cualquier otra función trigonométrica, significa que conocemos el ángulo.

Existen tablas especiales donde para cada ángulo se describen sus funciones trigonométricas. Se llaman mesas Bradis. Fueron compilados hace mucho tiempo. Cuando aún no había calculadoras ni ordenadores...

Por supuesto, es imposible recordar las funciones trigonométricas de todos los ángulos. Es necesario que los conozcas sólo desde algunos ángulos; hablaremos de esto más adelante. Pero el hechizo Conozco un ángulo, lo que significa que conozco sus funciones trigonométricas” - siempre funciona!

Entonces repetimos una pieza de geometría del octavo grado. ¿Lo necesitamos para el Examen Estatal Unificado? Necesario. Aquí hay un problema típico del Examen Estatal Unificado. Para solucionar este problema, basta con el octavo grado. Imagen dada:

Todo. No hay más datos. Necesitamos encontrar la longitud del costado del avión.

Las celdas no ayudan mucho, el triángulo está de algún modo mal colocado... Supongo que a propósito... De la información se desprende la longitud de la hipotenusa. 8 celdas. Por alguna razón, se dio el ángulo.

Aquí es donde debes recordar inmediatamente sobre la trigonometría. Hay un ángulo, lo que significa que conocemos todas sus funciones trigonométricas. ¿Cuál de las cuatro funciones debemos utilizar? A ver, ¿qué sabemos? Conocemos la hipotenusa y el ángulo, pero necesitamos encontrar adyacente catéter a esta esquina! ¡Está claro que hay que poner en acción el coseno! Aquí vamos. Simplemente escribimos, según la definición de coseno (la razón adyacente cateto a hipotenusa):

cosC = BC/8

Nuestro ángulo C mide 60 grados, su coseno es 1/2. ¡Necesitas saber esto, sin tablas! Eso es:

1/2 = BC/8

Elemental ecuación lineal. Desconocido - Sol. Los que se hayan olvidado de cómo resolver ecuaciones, miren el enlace, el resto resuelven:

antes de Cristo = 4

Cuando los antiguos se dieron cuenta de que cada ángulo tiene su propio conjunto de funciones trigonométricas, tuvieron una pregunta razonable. ¿Están el seno, el coseno, la tangente y la cotangente relacionados de alguna manera entre sí?¿De modo que conociendo la función de un ángulo, puedas encontrar las demás? ¿Sin calcular el ángulo en sí?

Estaban tan inquietos...)

Relación entre funciones trigonométricas de un ángulo.

Por supuesto, el seno, el coseno, la tangente y la cotangente del mismo ángulo están relacionados entre sí. Cualquier conexión entre expresiones está dada en matemáticas mediante fórmulas. En trigonometría hay una cantidad colosal de fórmulas. Pero aquí veremos los más básicos. Estas fórmulas se llaman: Identidades trigonométricas básicas. Aquí están:

Es necesario conocer estas fórmulas a fondo. Sin ellos, generalmente no hay nada que hacer en trigonometría. De estas identidades básicas se derivan tres identidades auxiliares más:

Te advierto de inmediato que las últimas tres fórmulas se te olvidan rápidamente. Por alguna razón.) Por supuesto, puede derivar estas fórmulas a partir de las tres primeras. Pero, en tiempos difíciles... Ya lo entiendes.)

En problemas estándar, como los siguientes, hay una manera de evitar estas fórmulas olvidables. Y reducir drásticamente los errores por olvido, y también en los cálculos. Esta práctica se encuentra en la Sección 555, lección "Relaciones entre funciones trigonométricas del mismo ángulo".

¿En qué tareas y cómo se utilizan las identidades trigonométricas básicas? La tarea más popular es encontrar alguna función angular si se da otra. En el Examen Estatal Unificado, esta tarea está presente de año en año). Por ejemplo:

Encuentra el valor de senx si x es un ángulo agudo y cosx=0,8.

La tarea es casi elemental. Buscamos una fórmula que contenga seno y coseno. Aquí está la fórmula:

pecado 2 x + cos 2 x = 1

Sustituimos aquí un valor conocido, concretamente 0,8 en lugar de coseno:

pecado 2 x + 0,8 2 = 1

Bueno, contamos como siempre:

pecado 2 x + 0,64 = 1

pecado 2 x = 1 - 0,64

Eso es prácticamente todo. Hemos calculado el cuadrado del seno, solo queda extraer la raíz cuadrada y ¡la respuesta está lista! La raíz de 0,36 es 0,6.

La tarea es casi elemental. Pero la palabra “casi” no está ahí por una razón... El hecho es que la respuesta sinx= - 0,6 también es adecuada... (-0,6) 2 también será 0,36.

Hay dos respuestas diferentes. Y necesitas uno. La segunda es incorrecta. ¿¡Cómo ser!? Sí, como siempre.) Lea la tarea con atención. Por alguna razón dice:... si x es un ángulo agudo... Y en las tareas cada palabra tiene un significado, sí... Esta frase es información adicional para la solución.

Un ángulo agudo es un ángulo menor de 90°. Y en esos rincones Todo funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente con cotangente) positivo. Aquellos. Simplemente descartamos aquí la respuesta negativa. Tenemos el derecho.

En realidad, los alumnos de octavo grado no necesitan tales sutilezas. Sólo funcionan con triángulos rectángulos, donde las esquinas sólo pueden ser agudas. Y no saben, felices, que existen tanto los ángulos negativos como los ángulos de 1000°... Y todos estos terribles ángulos tienen sus propias funciones trigonométricas, tanto más como menos...

Pero para los estudiantes de secundaria, sin tener en cuenta la señal, de ninguna manera. Mucho conocimiento multiplica las penas, sí...) Y por la decisión correcta La tarea debe contener información adicional (si es necesario). Por ejemplo, puede venir dado por la siguiente entrada:

O de alguna otra manera. Verá en los ejemplos a continuación). Para resolver tales ejemplos necesita saber ¿En qué cuarto cae el ángulo x dado y qué signo tiene la función trigonométrica deseada en este cuarto?

Estos conceptos básicos de trigonometría se analizan en las lecciones sobre qué es un círculo trigonométrico, la medida de los ángulos en este círculo y la medida en radianes de un ángulo. A veces es necesario conocer la tabla de senos, cosenos de tangentes y cotangentes.

Entonces, observemos lo más importante:

Consejo practico:

1. Recuerda las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Será muy útil.

2. Entendemos claramente: el seno, el coseno, la tangente y la cotangente están estrechamente relacionados con los ángulos. Sabemos una cosa, lo que significa que sabemos otra.

3. Entendemos claramente: el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo están relacionados entre sí mediante identidades trigonométricas básicas. Conocemos una función, lo que significa que podemos (si tenemos la información adicional necesaria) calcular todas las demás.

Ahora decidamos, como siempre. Primero, tareas en el ámbito del octavo grado. Pero los estudiantes de secundaria también pueden hacerlo...)

1. Calcule el valor de tgA si ctgA = 0,4.

2. β es un ángulo en un triángulo rectángulo. Encuentra el valor de tanβ si sinβ = 12/13.

3. Determina el seno del ángulo agudo x si tgх = 4/3.

4. Encuentra el significado de la expresión:

6sen 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Encuentra el significado de la expresión:

(1-cosx)(1+cosx), si senx = 0,3

Respuestas (separadas por punto y coma, en desorden):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

¿Sucedió? ¡Excelente! Los estudiantes de octavo grado ya pueden obtener sus A).

¿No salió todo bien? ¿Las tareas 2 y 3 de alguna manera no son muy buenas...? ¡Ningún problema! Hay un hermoso truco para tareas similares. ¡Todo se puede resolver prácticamente sin fórmulas! Y, por tanto, sin errores. Esta técnica se describe en la lección: “Relaciones entre funciones trigonométricas de un ángulo” en la Sección 555. Allí también se tratan todas las demás tareas.

Eran problemas como el Examen Estatal Unificado, pero en una versión simplificada. Examen estatal unificado - ligero). Y ahora casi las mismas tareas, pero en un formato completo. Para estudiantes de secundaria sobrecargados de conocimientos.)

6. Encuentre el valor de tanβ si sinβ = 12/13, y

7. Determine senх si tgх = 4/3 y x pertenece al intervalo (- 540°; - 450°).

8. Encuentre el valor de la expresión sinβ cosβ si ctgβ = 1.

Respuestas (en desorden):

0,8; 0,5; -2,4.

Aquí en el problema 6 el ángulo no se especifica muy claramente... ¡Pero en el problema 8 no se especifica en absoluto! Esto es a propósito). Se toma información adicional no solo de la tarea, sino también del líder). Pero si usted lo decide, ¡se garantiza una tarea correcta!

¿Y si no lo has decidido? Hmm... Bueno, la Sección 555 ayudará aquí. Allí se describen en detalle las soluciones a todas estas tareas, es difícil no entenderlas.

Esta lección proporciona una comprensión muy limitada de las funciones trigonométricas. Dentro del octavo grado. Y los mayores todavía tienen preguntas...

Por ejemplo, si el ángulo X(mira la segunda imagen de esta página) - ¡¿Hazlo estúpido?! ¡El triángulo se desmoronará por completo! ¿Entonces, qué debemos hacer? No habrá cateto, ni hipotenusa... El seno ha desaparecido...

Si los antiguos no hubieran encontrado una salida a esta situación, ahora no tendríamos teléfonos móviles, televisión ni electricidad. ¡Sí Sí! Bases teóricas todas estas cosas sin funciones trigonométricas son cero sin palo. Pero los antiguos no decepcionaron. Cómo salieron se verá en la siguiente lección.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

En la vida, a menudo tendremos que lidiar con problemas matemáticos: en la escuela, en la universidad y luego ayudando a nuestro hijo a completar tarea. Las personas de determinadas profesiones se encontrarán con las matemáticas a diario. Por tanto, es útil memorizar o recordar reglas matemáticas. En este artículo veremos uno de ellos: encontrar el lado de un triángulo rectángulo.

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Primero, recordemos qué es un triángulo rectángulo. Triángulo rectángulo- Este figura geométrica de tres segmentos que conectan puntos que no se encuentran en la misma recta, y uno de los ángulos de esta figura mide 90 grados. Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Encontrar el cateto de un triángulo rectángulo

Hay varias formas de saber la longitud de la pierna. Me gustaría considerarlos con más detalle.

Teorema de Pitágoras para encontrar el lado de un triángulo rectángulo

Si conocemos la hipotenusa y el cateto, entonces podemos encontrar la longitud del cateto desconocido usando el teorema de Pitágoras. Suena así: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Fórmula: c²=a²+b², donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos. Transformamos la fórmula y obtenemos: a²=c²-b².

Ejemplo. La hipotenusa mide 5 cm y el cateto mide 3 cm Transformamos la fórmula: c²=a²+b² → a²=c²-b². A continuación resolvemos: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Razones trigonométricas para encontrar el cateto de un triángulo rectángulo

También puedes encontrar un cateto desconocido si se conocen cualquier otro lado y cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Hay cuatro opciones para encontrar un cateto usando funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente. La siguiente tabla nos ayudará a resolver problemas. Consideremos estas opciones.

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el seno

El seno de un ángulo (pecado) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Fórmula: sin=a/c, donde a es el cateto opuesto al ángulo dado y c es la hipotenusa. A continuación, transformamos la fórmula y obtenemos: a=sin*c.

Ejemplo. La hipotenusa mide 10 cm y el ángulo A mide 30 grados. Usando la tabla calculamos el seno del ángulo A, es igual a 1/2. Luego, usando la fórmula transformada, resolvemos: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el coseno

El coseno de un ángulo (cos) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Fórmula: cos=b/c, donde b es el cateto adyacente a un ángulo dado y c es la hipotenusa. Transformemos la fórmula y obtengamos: b=cos*c.

Ejemplo. El ángulo A mide 60 grados, la hipotenusa mide 10 cm, usando la tabla calculamos el coseno del ángulo A, es igual a 1/2. A continuación resolvemos: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando tangente

La tangente de un ángulo (tg) es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Fórmula: tg=a/b, donde a es el lado opuesto al ángulo y b es el lado adyacente. Transformemos la fórmula y obtengamos: a=tg*b.

Ejemplo. El ángulo A mide 45 grados, la hipotenusa mide 10 cm, usando la tabla calculamos la tangente del ángulo A, es igual a Resolver: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando cotangente

El ángulo cotangente (ctg) es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto. Fórmula: ctg=b/a, donde b es el cateto adyacente al ángulo y es el cateto opuesto. En otras palabras, la cotangente es una "tangente invertida". Obtenemos: b=ctg*a.

Ejemplo. El ángulo A mide 30 grados, el cateto opuesto mide 5 cm. Según la tabla, la tangente del ángulo A es √3. Calculamos: b=ctg∠A*a; segundo=√3*5; b=5√3 (cm).

Ahora ya sabes cómo encontrar un cateto en un triángulo rectángulo. Como ves, no es tan difícil, lo principal es recordar las fórmulas.

Seno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón. opuesto cateto a la hipotenusa.
Se denota de la siguiente manera: sen α.

Coseno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Se designa de la siguiente manera: cos α.

Tangente El ángulo agudo α es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Se designa de la siguiente manera: tg α.

Cotangente El ángulo agudo α es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Se designa de la siguiente manera: ctg α.

El seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo dependen únicamente del tamaño del ángulo.

Normas:

Identidades trigonométricas básicas en un triángulo rectángulo:

(α – ángulo agudo opuesto a la pierna b y adyacente a la pierna a . Lado Con – hipotenusa. β – segundo ángulo agudo).

b pecado α = - C	pecado 2 α + cos 2 α = 1
a porque α = - C	1 1 + tan 2 α = -- porque 2 α
b bronceado α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- pecado 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sen 2 α
pecado α tg α = -- porque α

A medida que aumenta el ángulo agudopecado α yaumento de tan α, ycos α disminuye.

Para cualquier ángulo agudo α:

sen (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sen α

Ejemplo-explicación:

Sea un triángulo rectángulo ABC.
AB = 6,
antes de Cristo = 3,
ángulo A = 30º.

Averigüemos el seno del ángulo A y el coseno del ángulo B.

Solución .

1) Primero encontramos el valor del ángulo B. Aquí todo es simple: como en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es 90º, entonces el ángulo B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Calculemos el seno A. Sabemos que el seno igual a la proporción lado opuesto a la hipotenusa. Para el ángulo A, el lado opuesto es el lado BC. Entonces:

antes de Cristo 3 1
pecado A = -- = - = -
AB 6 2

3) Ahora calculemos cos B. Sabemos que el coseno es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Para el ángulo B, el cateto adyacente es el mismo lado BC. Esto significa que nuevamente necesitamos dividir BC por AB, es decir, realizar las mismas acciones que cuando calculamos el seno del ángulo A:

antes de Cristo 3 1
porque B = -- = - = -
AB 6 2

El resultado es:
pecado A = cos B = 1/2.

sen 30º = cos 60º = 1/2.

De esto se deduce que en un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es igual al coseno de otro ángulo agudo, y viceversa. Esto es exactamente lo que significan nuestras dos fórmulas:
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α

Asegurémonos de esto nuevamente:

1) Sea α = 60º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del seno, obtenemos:
sen (90º – 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.

2) Sea α = 30º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del coseno, obtenemos:
cos (90° – 30º) = sen 30º.
cos 60° = sen 30°.

(Para obtener más información sobre trigonometría, consulte la sección de Álgebra)

Capítulo I. Resolución de triángulos rectángulos

§3 (37). Relaciones y problemas básicos.

La trigonometría se ocupa de problemas en los que es necesario calcular ciertos elementos de un triángulo a partir de un número suficiente de valores numéricos de sus elementos dados. Estos problemas generalmente se denominan problemas en solución triángulo.

Sea ABC un triángulo rectángulo, C un ángulo recto, A Y b- piernas opuestas a los ángulos agudos A y B, Con- hipotenusa (Fig. 3);

entonces nosotros tenemos:

El coseno de un ángulo agudo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

porque A = b/ C, porque V = a/ C (1)

El seno de un ángulo agudo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

pecado A = a/ C, pecado B = b/ C (2)

La tangente de un ángulo agudo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente:

bronceado A = a/ b, bronceado B = b/ a (3)

La cotangente de un ángulo agudo es la relación entre el lado adyacente y el opuesto:

ctg A = b/ a, caja B = a/ b (4)

La suma de los ángulos agudos es 90°.

Problemas básicos sobre triángulos rectángulos.

Tarea I. Dada la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, calcula los demás elementos.

Solución. Que se les dé Con y A. Ángulo B = 90° - A también se conoce; los catetos se encuentran a partir de las fórmulas (1) y (2).

a = c pecadoA, segundo = c Porque A.

Problema II . Dado un cateto y uno de los ángulos agudos, calcula los demás elementos.

Solución. Que se les dé A y A. Ángulo B = 90° - A es conocido; de las fórmulas (3) y (2) encontramos:

b = a bronceado B (= a ctg A), Con = a/pecadoA

Tarea III. Dados un cateto y una hipotenusa, calcula los elementos restantes.

Solución. Que se les dé A Y Con(y A< с ). De las igualdades (2) encontramos el ángulo A:

pecado A = a/ C y A = arco sen a/ C ,

y finalmente la pierna b:

b = Con porque A (= Con pecado B).

Tarea IV. Dados los lados a y b, encuentre los otros elementos.

Solución. De las igualdades (3) encontramos un ángulo agudo, por ejemplo A:

tg A = a/ b, A = arco tg a/ b ,

ángulo B = 90° - A,

hipotenusa: C = a/ pecado A (= b/senB; = a/ porque B)

A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver un triángulo rectángulo usando tablas logarítmicas*.

* El cálculo de elementos de triángulos rectángulos utilizando tablas naturales se conoce del curso de geometría de VIII grado.

Al realizar cálculos utilizando tablas logarítmicas, debe escribir las fórmulas correspondientes, prologaritmarlas, sustituir datos numéricos, usar las tablas para encontrar los logaritmos requeridos de elementos conocidos (o sus funciones trigonométricas), calcular los logaritmos de los elementos requeridos (o sus funciones trigonométricas). funciones) y utilice las tablas para encontrar los elementos requeridos.

Ejemplo. Se dan piernas A= 166,1 y hipotenusa Con= 187,3; calcular ángulos agudos, otro lado y área.

Solución. Tenemos:

pecado A = a/ C; log sen A = log a-lg C;

A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

calculando la pierna b:

segundo = un bronceado B; LG b= iniciar sesión b+ log tan B ;

El área de un triángulo se puede calcular mediante la fórmula

S = 1/2 ab = 0,5 a 2 mg de V;

Para controlar, calculemos el ángulo A con una regla de cálculo:

A = arco pecado a/ C= arco sen 166/187 ≈ 62°.

Nota. Pierna b Se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras, utilizando tablas de cuadrados y raíces cuadradas (Tablas III y IV):

b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

Discrepancia del valor obtenido previamente. b= 86,48 se explica por los errores de las tablas, que dan valores aproximados de las funciones. El resultado de 86,54 es más preciso.

¿Qué es el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo te ayudará a comprender un triángulo rectángulo?

¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, hipotenusa y catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo este es el lado \(AC\)); Los catetos son los dos lados restantes \(AB\) y \(BC\) (los adyacentes a ángulo recto), y, si consideramos los catetos con respecto al ángulo \(BC\), entonces el cateto \(AB\) es el cateto adyacente, y el cateto \(BC\) es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?

Seno de ángulo– esta es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

coseno de ángulo– esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

tangente del ángulo– esta es la relación entre el lado opuesto (distante) y el adyacente (cercano).

En nuestro triángulo:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente de ángulo– esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y el opuesto (lejos).

En nuestro triángulo:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe comprender claramente que en tangente Y cotangente solo las piernas se sientan y la hipotenusa aparece solo en seno Y coseno. Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:

Coseno→toque→toque→adyacente;

Cotangente→toque→toque→adyacente.

En primer lugar, debes recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como proporciones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en el mismo ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrate mirando la imagen:

Considere, por ejemplo, el coseno del ángulo \(\beta \) . Por definición, de un triángulo \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), pero podemos calcular el coseno del ángulo \(\beta \) del triángulo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.

Si comprende las definiciones, ¡adelante y consolidelas!

Para el triángulo \(ABC \) que se muestra en la siguiente figura, encontramos \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Bueno, ¿lo entendiste? Entonces pruébalo tú mismo: calcula lo mismo para el ángulo \(\beta \) .

Respuestas: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Círculo unitario (trigonométrico)

Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a \(1\) . Tal círculo se llama soltero. Te será muy útil a la hora de estudiar trigonometría. Por tanto, veámoslo con un poco más de detalle.

Como puede ver, este círculo está construido en el sistema de coordenadas cartesiano. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen de coordenadas, la posición inicial del vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje \(x\) (en nuestro ejemplo, esto es el radio \(AB\)).

Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada a lo largo del eje \(x\) y la coordenada a lo largo del eje \(y\). ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, debemos recordar el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos completos. Considere el triángulo \(ACG\) . Es rectangular porque \(CG\) es perpendicular al eje \(x\).

¿Qué es \(\cos \ \alpha \) del triángulo \(ACG \)? Así es \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Además, sabemos que \(AC\) es el radio del círculo unitario, lo que significa \(AC=1\) . Sustituyamos este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

¿A qué es igual \(\sin \ \alpha \) del triángulo \(ACG \)? Bueno, por supuesto, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Sustituye el valor del radio \(AC\) en esta fórmula y obtienes:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Entonces, ¿puedes decir qué coordenadas tiene el punto \(C\) que pertenece al círculo? Bueno, ¿de ninguna manera? ¿Qué pasa si te das cuenta de que \(\cos \ \alpha \) y \(\sin \alpha \) son solo números? ¿A qué coordenada corresponde \(\cos \alpha \)? Bueno, por supuesto, ¡la coordenada \(x\)! ¿Y a qué coordenada corresponde \(\sin \alpha \)? Así es, ¡coordina \(y\)! Entonces el punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Entonces, ¿a qué son iguales \(tg \alpha \) y \(ctg \alpha \)? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Por ejemplo, como en esta imagen:

¿Qué ha cambiado en en este ejemplo? Vamos a resolverlo. Para hacer esto, volvamos nuevamente a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo \(((A)_(1))((C)_(1))G \): ángulo (como adyacente al ángulo \(\beta \) ). ¿Cuál es el valor del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada \(y\) ; el valor del coseno del ángulo - coordenada \(x\) ; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector radio.

Ya se ha mencionado que la posición inicial del vector radio está a lo largo de la dirección positiva del eje \(x\). Hasta ahora hemos rotado este vector en el sentido contrario a las agujas del reloj, pero ¿qué pasa si lo rotamos en el sentido de las agujas del reloj? Nada extraordinario, también obtendrás un ángulo de cierto valor, pero solo será negativo. Por lo tanto, al girar el vector de radio en sentido antihorario, obtenemos ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj – negativo.

Entonces, sabemos que la revolución completa del vector radio alrededor del círculo es \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . ¿Es posible rotar el vector de radio en \(390()^\circ \) o en \(-1140()^\circ \)? ¡Bueno, por supuesto que puedes! En el primer caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), por lo tanto, el vector de radio hará una revolución completa y se detendrá en la posición \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .

En el segundo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), es decir, el vector de radio hará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Por lo tanto, de los ejemplos anteriores podemos concluir que los ángulos que difieren en \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero), corresponden a la misma posición del vector radio.

La siguiente figura muestra el ángulo \(\beta =-60()^\circ \) . La misma imagen corresponde a la esquina. \(-420()^\circ,-780()^\circ,\ 300()^\circ,660()^\circ \) etc. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Ahora bien, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder cuáles son los valores:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Aquí tienes un círculo unitario para ayudarte:

¿Tiene dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces sabemos que:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)

A partir de aquí determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas de ángulos. Bueno, empecemos en orden: la esquina en \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corresponde a un punto con coordenadas \(\left(0;1 \right) \) , por lo tanto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- no existe;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas en \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corresponden a puntos con coordenadas \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \derecha) \), respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero y luego verifique las respuestas.

Respuestas:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- no existe

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- no existe

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\pecado \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- no existe

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- no existe

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Así, podemos hacer la siguiente tabla:

No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(¡¡Debes recordarlo o poder mostrarlo!! \) !}

Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indicado en la siguiente tabla, debe recordar:

No te asustes, ahora te mostramos un ejemplo de memorización bastante sencilla de los valores correspondientes:

Para utilizar este método, es vital recordar los valores de los senos para las tres medidas de ángulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi (3)\)), así como el valor de la tangente del ángulo en \(30()^\circ \) . Conociendo estos valores \(4\), es bastante sencillo restaurar toda la tabla: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(matriz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sabiendo esto, puedes restaurar los valores para \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). El numerador "\(1 \)" corresponderá a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) y el denominador "\(\sqrt(\text(3)) \)" corresponderá a \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas indicadas en la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con las flechas, será suficiente recordar solo \(4\) valores de la tabla.

Coordenadas de un punto en un círculo.

¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo, conociendo las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación? ¡Bueno, por supuesto que puedes! vamos a sacarlo formula general para encontrar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, aquí hay un círculo frente a nosotros:

Nos dan ese punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centro del círculo. El radio del círculo es \(1,5\). Es necesario encontrar las coordenadas del punto \(P\) obtenidas al rotar el punto \(O\) en \(\delta \) grados.

Como se puede ver en la figura, la coordenada \(x\) del punto \(P\) corresponde a la longitud del segmento \(TP=UQ=UK+KQ\). La longitud del segmento \(UK\) corresponde a la coordenada \(x\) del centro del círculo, es decir, es igual a \(3\) . La longitud del segmento \(KQ\) se puede expresar usando la definición de coseno:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Entonces tenemos que para el punto \(P\) la coordenada \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto \(P\). De este modo,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Entonces, en vista general Las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matriz) \), Dónde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordenadas del centro del círculo,

\(r\) - radio del círculo,

\(\delta \) - ángulo de rotación del radio del vector.

Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es uno:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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