Instrucciones

Los ángulos opuestos a los catetos a y b se denotarán respectivamente por A y B. La hipotenusa, por definición, es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto (mientras que la hipotenusa forma ángulos agudos con los otros lados del triángulo). el triangulo). Denotamos la longitud de la hipotenusa por c.

Necesitará:
Calculadora.

Usa la siguiente expresión para el cateto: a=sqrt(c^2-b^2), si conoces los valores de la hipotenusa y el otro cateto. Esta expresión se deriva del teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo es la suma de los cuadrados de los catetos. El operador sqrt extrae raíces cuadradas. El signo "^2" significa elevar a la segunda potencia.

Utilice la fórmula a=c*sinA si conoce la hipotenusa (c) y el ángulo opuesto al deseado (denotamos este ángulo como A).
Utilice la expresión a=c*cosB para encontrar un cateto si conoce la hipotenusa (c) y el ángulo adyacente al cateto deseado (denotamos este ángulo como B).
Calcule el cateto a partir de a=b*tgA en el caso de que se den el cateto b y el ángulo opuesto al cateto deseado (acordamos denotar este ángulo como A).

Nota:
Si en su problema la pierna no se encuentra de ninguna de las formas descritas, lo más probable es que se pueda reducir a una de ellas.

Consejos útiles:
Todas estas expresiones se obtienen de definiciones conocidas de funciones trigonométricas, por lo tanto, incluso si olvida una de ellas, siempre puede derivarla rápidamente mediante operaciones simples. También es útil conocer los valores de funciones trigonométricas para los ángulos más comunes de 30, 45, 60, 90, 180 grados.

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• “Un manual de matemáticas para quienes ingresan a la universidad”, ed. G.N. Yakovleva, 1982
• cateto de un triángulo rectángulo

Un triángulo cuadrado se llama más exactamente triángulo rectángulo. Las relaciones entre los lados y los ángulos de esta figura geométrica se analizan en detalle en la disciplina matemática de la trigonometría.

Necesitará

• - papel;
• - bolígrafo;
• - mesas Bradis;
• - calculadora.

Instrucciones

Encontrar triángulo utilizando el teorema de Pitágoras. Según este teorema, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c2 = a2+b2, donde c es la hipotenusa triángulo, a y b son sus patas. Para aplicar esto, necesitas saber la longitud de dos lados cualesquiera del rectángulo. triángulo.

Si las condiciones especifican las dimensiones de los catetos, encuentre la longitud de la hipotenusa. Para hacer esto, use Raíz cuadrada de la suma de los catetos, cada uno de los cuales primero debe elevarse al cuadrado.

Calcula la longitud de uno de los catetos si se conocen las dimensiones de la hipotenusa y del otro cateto. Usando una calculadora, extrae la raíz cuadrada de la diferencia entre la hipotenusa y el cateto conocido, también al cuadrado.

Si el problema especifica la hipotenusa y uno de los ángulos agudos adyacentes a ella, utilice las tablas de Bradis. Muestran los valores de funciones trigonométricas para gran número esquinas Utilice una calculadora con funciones seno y coseno, así como teoremas de trigonometría que describen las relaciones entre lados y rectángulos. triángulo.

Encuentre los catetos usando funciones trigonométricas básicas: a = c*sin α, b = c*cos α, donde a es el cateto opuesto al ángulo α, b es el cateto adyacente al ángulo α. Calcula el tamaño de los lados de la misma manera. triángulo, si se dan la hipotenusa y otro ángulo agudo: b = c*sin β, a = c*cos β, donde b es el cateto opuesto al ángulo β, y es el cateto adyacente al ángulo β.

En el caso de a y un ángulo agudo adyacente β, no olvidemos que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos siempre es igual a 90°: α + β = 90°. Encuentra el valor del ángulo opuesto al cateto a: α = 90° – β. O utilice fórmulas de reducción trigonométrica: sen α = sen (90° – β) = cos β; tan α = tan (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• Cómo encontrar los lados de un triángulo rectángulo por cateto y ángulo agudo en 2019

Consejo 3: Cómo encontrar un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Directamente carbónico El triángulo es probablemente una de las figuras geométricas más famosas, desde un punto de vista histórico. Los “pantalones” pitagóricos sólo pueden competir con “¡Eureka!” Arquímedes.

Necesitará

• - dibujo de un triángulo;
• - gobernante;
• - transportador

Instrucciones

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. en un rectangular triángulo un ángulo (recto) siempre será de 90 grados, y el resto serán agudos, es decir menos de 90 grados cada uno. Para determinar qué ángulo tiene un rectángulo. triángulo es recto, usa una regla para medir los lados del triángulo y determinar el más grande. Es la hipotenusa (AB) y está ubicada enfrente ángulo recto(C). Los dos lados restantes forman un ángulo recto y catetos (AC, BC).

Una vez que hayas determinado qué ángulo es agudo, puedes usar un transportador para calcular el ángulo usando fórmulas matemáticas.

Para determinar el ángulo usando un transportador, alinee su parte superior (llamémoslo con la letra A) con una marca especial en la regla en el centro del transportador; el cateto AC debe coincidir con su borde superior. Marca en la parte semicircular del transportador el punto por donde pasa la hipotenusa AB. El valor en este punto corresponde al ángulo en grados. Si hay 2 valores indicados en el transportador, entonces para un ángulo agudo debe elegir el más pequeño, para un ángulo obtuso, el más grande.

Encuentre el valor resultante en los libros de referencia de Bradis y determine a qué ángulo corresponde el valor numérico resultante. Nuestras abuelas usaban este método.

En el nuestro basta con tomar la función de calcular fórmulas trigonométricas. Por ejemplo, la calculadora integrada de Windows. Inicie la aplicación "Calculadora", en el elemento del menú "Ver", seleccione "Ingeniería". Calcule el seno del ángulo deseado, por ejemplo, sen (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Cambie la calculadora al modo de función inversa haciendo clic en el botón INV en la pantalla de la calculadora, luego haga clic en el botón de función arcoseno (indicado en la pantalla como sen menos la primera potencia). El siguiente mensaje aparecerá en la ventana de cálculo: asind (0,5) = 30. Es decir el valor del ángulo deseado es 30 grados.

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.

y en esto

y en esto

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... primero que nada, hay especiales. hermosos nombres por sus costados.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!

Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales, y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?

Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos.

¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."

¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:

Debería ser fácil ahora:

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si te interesa cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora pasemos... a bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!

¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y

¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?

¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?

Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:

Resumen

Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.

Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y!

Ahora conectemos los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.

Juntémoslo todo ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría.

Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:

Seno de un ángulo agudo igual a la proporción lado opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Y una vez más todo esto en forma de tablet:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

I. En dos lados

II. Por cateto e hipotenusa

III. Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.

a)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:

ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.

¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?

La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de similitud de triángulos rectángulos.

I. A lo largo de un ángulo agudo

II. en dos lados

III. Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por qué esto es tan?

En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces resultó que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.

¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto

Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?

Así que comencemos con este “además…”.

Miremos y.

¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora dibujémoslo juntos:

¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos lados:
• por cateto e hipotenusa: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de similitud de triángulos rectángulos:

• una esquina aguda: o
• de la proporcionalidad de dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de las piernas:

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.

y en esto

y en esto

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno..., en primer lugar, sus lados tienen nombres especiales y bonitos.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!

Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales, y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?

Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos.

¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."

¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:

Debería ser fácil ahora:

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si estás interesado en cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora vayamos más allá… al bosque oscuro… ¡de la trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!

¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y

¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?

¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?

Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:

Resumen

Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.

Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y!

Ahora conectemos los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.

Juntémoslo todo ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría.

Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Y una vez más todo esto en forma de tablet:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

I. En dos lados

II. Por cateto e hipotenusa

III. Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.

a)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:

ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.

¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?

La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de similitud de triángulos rectángulos.

I. A lo largo de un ángulo agudo

II. en dos lados

III. Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por qué esto es tan?

En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces resultó que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.

¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto

Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?

Así que comencemos con este “además…”.

Miremos y.

¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora dibujémoslo juntos:

¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos lados:
• por cateto e hipotenusa: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de similitud de triángulos rectángulos:

• una esquina aguda: o
• de la proporcionalidad de dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de las piernas:

Lado a puede ser identificado como adyacente al ángulo B Y opuesto al ángulo A, y el lado b- Cómo adyacente al ángulo A Y opuesto al ángulo B.

Tipos de triángulos rectángulos

• Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, entonces el triángulo se llama triángulo pitagórico, y las longitudes de sus lados forman el llamado triple pitagórico.

Propiedades

Altura

La altura de un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas

Dejar h Y s (h>s) lados de dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa C. Entonces:

El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios de los círculos inscritos y tres circunscritos.

Notas

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A. Un libro de texto de geometría. -Ginn & Co., 1895.

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es un “Triángulo rectángulo” en otros diccionarios:

triángulo rectángulo- - Temas industria del petróleo y el gas ES triángulo rectángulo ... Guía del traductor técnico

Y (simple) trígono, triángulo, hombre. 1. Figura geométrica, delimitado por tres líneas que se cruzan mutuamente formando tres esquinas internas(estera.). Triángulo obtuso. Triángulo agudo. Triángulo rectángulo.… … Diccionario Ushakova

RECTANGULAR, rectangular, rectangular (geom.). Tener un ángulo recto (o ángulos rectos). Triángulo rectángulo. Formas rectangulares. Diccionario explicativo de Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Diccionario explicativo de Ushakov

Este término tiene otros significados, ver Triángulo (significados). Un triángulo (en el espacio euclidiano) es una figura geométrica formada por tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta. Tres puntos,... ... Wikipedia

triángulo- ▲ un polígono con tres ángulos, un triángulo, el polígono más simple; está definido por 3 puntos que no se encuentran en la misma línea. triangular. ángulo agudo. de ángulo agudo. triángulo rectángulo: cateto. hipotenusa. triángulo isósceles. ▼… … Diccionario ideográfico de la lengua rusa.

TRIÁNGULO, eh, marido. 1. Una figura geométrica, un polígono de tres ángulos, así como cualquier objeto o dispositivo de esta forma. T. rectangular T. de madera (para dibujar). T. de soldado (carta de soldado sin sobre, doblada en una esquina; plegable). 2... Diccionario explicativo de Ozhegov

Triángulo (polígono)- Triángulos: 1 agudo, rectangular y obtuso; 2 regulares (equiláteros) e isósceles; 3 bisectrices; 4 medianas y centro de gravedad; 5 alturas; 6 ortocentro; 7 línea media. TRIÁNGULO, un polígono de 3 lados. A veces bajo... ... Diccionario enciclopédico ilustrado

diccionario enciclopédico

triángulo- A; m.1) a) Una figura geométrica delimitada por tres líneas que se cruzan formando tres ángulos internos. Triángulo rectangular e isósceles. Calcula el área del triángulo. b) ot. qué o con def. Una figura u objeto de esta forma... ... Diccionario de muchas expresiones.

A; m.1. Figura geométrica delimitada por tres líneas que se cruzan formando tres ángulos internos. Rectangular, isósceles t. Calcula el área del triángulo. // qué o con def. Una figura u objeto de esta forma. T. techos. T.…… … diccionario enciclopédico

Definición.Triángulo rectángulo - un triángulo, uno de cuyos ángulos es recto (igual a ).

Triángulo rectángulo - caso especial un triángulo ordinario. Por lo tanto, se conservan todas las propiedades de los triángulos ordinarios para los triángulos rectángulos. Pero también existen algunas propiedades particulares debidas a la presencia de un ángulo recto.

Designaciones comunes (Fig.1):

- ángulo recto;

- hipotenusa;

- piernas;

.

Arroz. 1.

CONpropiedades de un triángulo rectángulo.

Propiedad 1. La suma de los ángulos y un triángulo rectángulo es igual a .

Prueba. Recuerda que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a . Teniendo en cuenta que , encontramos que la suma de los dos ángulos restantes es igual a Es decir,

Propiedad 2. en un triangulo rectángulo hipotenusa más que cualquiera de piernas(es el lado más grande).

Prueba. Recuerde que en un triángulo, el lado mayor se encuentra opuesto al ángulo mayor (y viceversa). De la Propiedad 1 demostrada anteriormente se deduce que la suma de los ángulos y un triángulo rectángulo es igual a . Como el ángulo de un triángulo no puede ser igual a 0, entonces cada uno de ellos es menor que . Esto significa que es el más grande, lo que significa que el lado más grande del triángulo está opuesto a él. Esto significa que la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, es decir: .

Propiedad 3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es menor que la suma de los catetos.

Prueba. Esta propiedad se vuelve obvia si recordamos desigualdad triangular.

Desigualdad triangular

En cualquier triángulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado.

La propiedad 3 se deriva inmediatamente de esta desigualdad.

Nota: A pesar de que cada uno de los catetos individualmente es más pequeño que la hipotenusa, su suma resulta ser mayor. En un ejemplo numérico se ve así: , pero .

V:

1er signo (en 2 lados y el ángulo entre ellos): Si los triángulos tienen dos lados iguales y el ángulo entre ellos, entonces dichos triángulos son congruentes.

2do signo (por lado y dos ángulos adyacentes): Si los triángulos tienen lados iguales y dos ángulos adyacentes a un lado dado, entonces dichos triángulos son congruentes. Nota: Utilizando el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es constante e igual a , es fácil demostrar que la condición de “adherencia” de los ángulos no es necesaria, es decir, el signo será verdadero en la siguiente formulación: “...el lado y dos ángulos son iguales, entonces...”.

3er signo (en 3 lados): Si los triángulos tienen los tres lados iguales, entonces son congruentes.

Naturalmente, todos estos signos siguen siendo válidos para los triángulos rectángulos. Sin embargo, los triángulos rectángulos tienen una característica importante: siempre tienen un par de ángulos rectos iguales. Por tanto, estas señales están simplificadas para ellos. Entonces, formulemos los signos de igualdad de triángulos rectángulos:

1er signo (en dos lados): si los triángulos rectángulos tienen pares de catetos iguales, entonces dichos triángulos son iguales entre sí (Fig. 2).

Dado:

Arroz. 2. Ilustración del primer signo de igualdad de triángulos rectángulos.

Probar:

Prueba: en triángulos rectángulos: . Esto significa que podemos usar el primer signo de igualdad de los triángulos (por 2 lados y el ángulo entre ellos) y obtener: .

2-ésimo signo (por cateto y ángulo): si el cateto y el ángulo agudo de un triángulo rectángulo son iguales al cateto y el ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos son congruentes (Fig. 3).

Dado:

Arroz. 3. Ilustración del segundo signo de igualdad de triángulos rectángulos.

Probar:

Prueba: Observemos de inmediato que el hecho de que los ángulos adyacentes a catetos iguales sean iguales no es fundamental. De hecho, la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (según la propiedad 1) es igual a . Esto significa que si un par de estos ángulos es igual, entonces el otro es igual (ya que sus sumas son iguales).

La prueba de esta característica se reduce al uso segundo signo de igualdad de triángulos(en 2 esquinas y un lado). De hecho, por condición, los catetos y un par de ángulos adyacentes son iguales. Pero el segundo par de ángulos adyacentes está formado por los ángulos . Esto significa que podemos usar el segundo criterio para la igualdad de triángulos y obtener: .

3er signo (por hipotenusa y ángulo): si la hipotenusa y el ángulo agudo de un triángulo rectángulo son iguales a la hipotenusa y el ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos son congruentes (Fig. 4).

Dado:

Arroz. 4. Ilustración del tercer signo de igualdad de triángulos rectángulos.

Probar:

Prueba: para probar este signo puedes usar inmediatamente segundo signo de igualdad de triángulos- en un lado y dos ángulos (más precisamente, un corolario, que establece que los ángulos no tienen por qué ser adyacentes al lado). De hecho, de acuerdo con la condición: , , y de las propiedades de los triángulos rectángulos se deduce que . Esto significa que podemos usar el segundo criterio para la igualdad de triángulos y obtener: .

4to signo (por hipotenusa y cateto): si la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo son iguales, respectivamente, a la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos son iguales entre sí (Fig. 5).

Dado:

Arroz. 5. Ilustración del cuarto signo de igualdad de triángulos rectángulos.

Probar:

Prueba: Para probar este criterio, usaremos el criterio de igualdad de triángulos, que formulamos y demostramos en la última lección, a saber: si los triángulos tienen dos lados iguales y un ángulo mayor, entonces dichos triángulos son iguales. De hecho, por condición tenemos dos lados iguales. Además, según la propiedad de los triángulos rectángulos: . Queda por demostrar que el ángulo recto es el mayor del triángulo. Supongamos que este no es el caso, lo que significa que debe haber al menos un ángulo más que sea mayor que . Pero entonces la suma de los ángulos del triángulo ya será mayor. Pero esto es imposible, lo que significa que tal ángulo no puede existir en un triángulo. Esto significa que el ángulo recto es el más grande en un triángulo rectángulo. Esto significa que puede utilizar el signo formulado anteriormente y obtener: .

Formulemos ahora otra propiedad que es característica únicamente de los triángulos rectángulos.

Propiedad

El cateto opuesto al ángulo b es 2 veces menor que la hipotenusa.(Figura 6).

Dado:

Arroz. 6.

Probar:AB

Prueba: Realicemos una construcción adicional: extienda la línea recta más allá del punto hasta un segmento igual a . Entendamos un punto. Como los ángulos y son adyacentes, su suma es igual a . Desde entonces el ángulo .

Entonces los triángulos rectángulos (en dos lados: - general, - por construcción) - el primer signo de igualdad de triángulos rectángulos.

De la igualdad de triángulos se deduce que todos los elementos correspondientes son iguales. Medio, . Dónde: . Además, (de la igualdad de los mismos triángulos). Esto significa que el triángulo es isósceles (ya que sus ángulos de base son iguales), pero un triángulo isósceles, uno de cuyos ángulos es igual a , es equilátero. De esto se desprende, en particular, que .

Propiedad de un cateto opuesto a un ángulo en

Vale la pena señalar que la afirmación opuesta también es cierta: si en un triángulo rectángulo la hipotenusa es el doble del tamaño de uno de los catetos, entonces el ángulo agudo opuesto a este cateto es igual a .

Nota: firmar significa que si alguna afirmación es verdadera, entonces el triángulo es rectángulo. Es decir, la función le permite identificar un triángulo rectángulo.

Es importante no confundir un cartel con propiedad- es decir, si el triángulo es rectángulo, entonces tiene las siguientes propiedades... A menudo, los signos y las propiedades son mutuamente inversos, pero no siempre. Por ejemplo, la propiedad de un triángulo equilátero: un triángulo equilátero tiene un ángulo. Pero esto no será un signo de un triángulo equilátero, ya que no todo triángulo que tenga un ángulo, es equilátero.