4 பேருக்கு ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு? நீங்கள் மகிழ்ச்சியில் வெடிக்க மாட்டீர்களா?

கேள்வி, அவர்கள் சொல்வது போல், சுவாரஸ்யமானது ... இது சாத்தியம், 4 உடன் தேர்ச்சி பெறுவது சாத்தியம்! மற்றும் அதே நேரத்தில் வெடிக்க கூடாது ... முக்கிய நிபந்தனை தொடர்ந்து உடற்பயிற்சி செய்ய வேண்டும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான அடிப்படை தயாரிப்பு இங்கே. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் அனைத்து ரகசியங்கள் மற்றும் மர்மங்களுடன், நீங்கள் பாடப்புத்தகங்களில் படிக்க மாட்டீர்கள் ... இந்த பகுதியைப் படிக்கவும், பல்வேறு ஆதாரங்களில் இருந்து கூடுதல் பணிகளைத் தீர்க்கவும் - எல்லாம் செயல்படும்! அடிப்படைப் பிரிவு "உங்களுக்கு ஏ சி போதும்!" அது உங்களுக்கு எந்த பிரச்சனையும் ஏற்படுத்தாது. ஆனால் திடீரென்று ... இணைப்புகளைப் பின்தொடரவும், சோம்பேறியாக இருக்காதீர்கள்!

நாங்கள் ஒரு பெரிய மற்றும் பயங்கரமான தலைப்புடன் தொடங்குவோம்.

முக்கோணவியல்

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

இந்த தலைப்பு மாணவர்களுக்கு பல பிரச்சனைகளை ஏற்படுத்துகிறது. இது மிகவும் கடுமையான ஒன்றாக கருதப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் என்றால் என்ன? தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன? எண் வட்டம் என்றால் என்ன?இந்த தீங்கற்ற கேள்விகளைக் கேட்டவுடன், நபர் வெளிர் நிறமாகி, உரையாடலைத் திசைதிருப்ப முயற்சிக்கிறார் ... ஆனால் வீண். இவை எளிய கருத்துக்கள். இந்த தலைப்பு மற்றவர்களை விட கடினமாக இல்லை. இந்தக் கேள்விகளுக்கான பதில்களை நீங்கள் ஆரம்பத்தில் இருந்தே தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இது மிகவும் முக்கியமானது. புரிந்து கொண்டால் முக்கோணவியல் பிடிக்கும். அதனால்,

சைன் மற்றும் கொசைன் என்றால் என்ன? தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன?

பண்டைய காலங்களிலிருந்து ஆரம்பிக்கலாம். கவலைப்பட வேண்டாம், 20 நூற்றாண்டுகளின் முக்கோணவியலை 15 நிமிடங்களில் கடந்துவிடுவோம். மேலும், அதைக் கவனிக்காமல், 8ஆம் வகுப்பில் இருந்து வடிவவியலின் ஒரு பகுதியை மீண்டும் செய்வோம்.

பக்கங்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை வரைவோம் a, b, cமற்றும் கோணம் எக்ஸ். அது இங்கே உள்ளது.

வலது கோணத்தை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். a மற்றும் c- கால்கள். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன. மீதமுள்ள பக்கம் ஹைப்போடென்யூஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உடன்- ஹைப்போடென்யூஸ்.

முக்கோணமும் முக்கோணமும் யோசியுங்கள்! அவரை என்ன செய்வது? ஆனால் பழங்கால மக்களுக்கு என்ன செய்வது என்று தெரியும்! அவர்களின் செயல்களை மீண்டும் செய்வோம். பக்கத்தை அளப்போம் வி. படத்தில், செல்கள் சிறப்பாக வரையப்பட்டுள்ளன ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள்அது நடக்கும். பக்கம் விநான்கு செல்களுக்கு சமம். சரி. பக்கத்தை அளப்போம் ஏ.மூன்று செல்கள்.

இப்போது பக்கத்தின் நீளத்தை பிரிப்போம் ஏஒரு பக்க நீளம் வி. அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், அணுகுமுறையை எடுத்துக் கொள்வோம் ஏசெய்ய வி. a/v= 3/4.

மாறாக, நீங்கள் பிரிக்கலாம் விஅன்று ஏ.நமக்கு 4/3 கிடைக்கும். முடியும் விபிரித்து உடன்.ஹைபோடென்யூஸ் உடன்செல்கள் மூலம் எண்ணுவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் அது 5 க்கு சமம். நாம் பெறுகிறோம் உயர் தரம்= 4/5. சுருக்கமாக, நீங்கள் பக்கங்களின் நீளத்தை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்து சில எண்களைப் பெறலாம்.

அதனால் என்ன? இந்த சுவாரஸ்யமான செயல்பாட்டின் பயன் என்ன? இன்னும் இல்லை. ஒரு அர்த்தமற்ற உடற்பயிற்சி, அதை அப்பட்டமாகச் சொல்வதென்றால்.)

இப்போது இதைச் செய்வோம். முக்கோணத்தை பெரிதாக்குவோம். பக்கங்களை நீட்டிப்போம் உள்ளே மற்றும் உடன், ஆனால் அதனால் முக்கோணம் செவ்வகமாக இருக்கும். மூலை எக்ஸ், நிச்சயமாக, மாறாது. இதைப் பார்க்க, உங்கள் சுட்டியை படத்தின் மேல் வைக்கவும் அல்லது அதைத் தொடவும் (உங்களிடம் டேப்லெட் இருந்தால்). கட்சிகள் a, b மற்றும் cஆக மாறும் மீ, என், கே, மற்றும், நிச்சயமாக, பக்கங்களின் நீளம் மாறும்.

ஆனால் அவர்களின் உறவு இல்லை!

மனோபாவம் a/vஇருந்தது: a/v= 3/4, ஆனது m/n= 6/8 = 3/4. பிற தொடர்புடைய கட்சிகளின் உறவுகளும் உள்ளன மாறாது . நீங்கள் விரும்பியபடி பக்கங்களின் நீளத்தை வலது முக்கோணத்தில் மாற்றலாம், அதிகரிக்கலாம், குறைக்கலாம், x கோணத்தை மாற்றாமல் – தொடர்புடைய கட்சிகளுக்கு இடையிலான உறவு மாறாது . நீங்கள் அதை சரிபார்க்கலாம் அல்லது பழங்கால மக்களின் வார்த்தையை நீங்கள் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

ஆனால் இது ஏற்கனவே மிகவும் முக்கியமானது! ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள பக்கங்களின் விகிதங்கள் பக்கங்களின் நீளத்தை (அதே கோணத்தில்) எந்த வகையிலும் சார்ந்து இருக்காது. இது மிகவும் முக்கியமானது, கட்சிகளுக்கு இடையிலான உறவு அதன் சொந்த சிறப்புப் பெயரைப் பெற்றுள்ளது. உங்கள் பெயர்கள், பேசலாம்.) என்னை சந்திக்கவும்.

கோணம் x இன் சைன் என்ன ? இது ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கத்தின் விகிதம்:

sinx = a/c

x கோணத்தின் கொசைன் என்ன ? இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதம்:

உடன்osx= உயர் தரம்

டேன்ஜென்ட் x என்றால் என்ன ? இது எதிர் பக்கத்திற்கும் அருகிலுள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதம்:

tgx =a/v

கோணம் x இன் கோடேன்ஜென்ட் என்ன ? இது எதிர் பக்கத்திற்கு அருகிலுள்ள பக்கத்தின் விகிதம்:

ctgx = v/a

எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. Sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவை சில எண்கள். பரிமாணமற்றது. வெறும் எண்கள். ஒவ்வொரு கோணத்திற்கும் அதன் சொந்த உள்ளது.

நான் ஏன் எல்லாவற்றையும் மிகவும் சலிப்பாக மீண்டும் சொல்கிறேன்? அப்புறம் என்ன இது நினைவில் கொள்ள வேண்டும். நினைவில் கொள்வது முக்கியம். மனப்பாடம் செய்வதை எளிதாக்கலாம். "தூரத்தில் இருந்து தொடங்குவோம்..." என்ற சொற்றொடர் நன்கு தெரிந்ததா? எனவே தூரத்திலிருந்து தொடங்குங்கள்.

நீர் சேர்க்கைகோணம் என்பது ஒரு விகிதம் தொலைவில்கால் கோணத்தில் இருந்து ஹைப்போடென்யூஸ் வரை. கொசைன்- ஹைபோடென்யூஸுக்கு அண்டை வீட்டாரின் விகிதம்.

தொடுகோடுகோணம் என்பது ஒரு விகிதம் தொலைவில்கால் கோணத்தில் இருந்து அருகில். கோட்டான்ஜென்ட்- நேர்மாறாக.

இது எளிதானது, இல்லையா?

சரி, டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்டில் கால்கள் மட்டுமே உள்ளன என்பதையும், சைன் மற்றும் கோசைனில் ஹைப்போடென்யூஸ் தோன்றும் என்பதையும் நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால், எல்லாம் மிகவும் எளிமையானதாகிவிடும்.

இந்த முழு புகழ்பெற்ற குடும்பம் - சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

இப்போது கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய ஒரு கேள்வி.

நாம் ஏன் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்று சொல்கிறோம் மூலையில்?கட்சிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் பற்றி நாங்கள் பேசுகிறோம், இது போல... அதற்கும் என்ன சம்பந்தம்? மூலையில்?

இரண்டாவது படத்தைப் பார்ப்போம். முதல்வரைப் போலவே.

படத்தின் மீது உங்கள் சுட்டியை வட்டமிடுங்கள். கோணத்தை மாற்றினேன் எக்ஸ். இருந்து அதிகரித்தது x முதல் x வரை.எல்லா உறவுகளும் மாறிவிட்டன! மனோபாவம் a/v 3/4, மற்றும் தொடர்புடைய விகிதம் t/v 6/4 ஆனது.

மற்ற எல்லா உறவுகளும் வேறுபட்டன!

எனவே, பக்கங்களின் விகிதங்கள் அவற்றின் நீளத்தை (ஒரு கோணத்தில் x) எந்த வகையிலும் சார்ந்து இல்லை, ஆனால் இந்த கோணத்தையே கடுமையாக சார்ந்துள்ளது! மேலும் அவரிடமிருந்து மட்டுமே.எனவே, sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகிய சொற்கள் குறிப்பிடுகின்றன மூலையில்.இங்கே கோணம் முக்கியமானது.

கோணம் அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒவ்வொரு கோணத்திற்கும் அதன் சொந்த சைன் மற்றும் கொசைன் உள்ளது. மேலும் ஏறக்குறைய ஒவ்வொருவருக்கும் அவரவர் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் உள்ளது.அது முக்கியம். நமக்கு ஒரு கோணம் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்று நம்பப்படுகிறது. எங்களுக்கு தெரியும் ! மற்றும் நேர்மாறாகவும். ஒரு சைன் அல்லது வேறு ஏதேனும் முக்கோணவியல் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், கோணம் நமக்குத் தெரியும்.

ஒவ்வொரு கோணத்திற்கும் அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் விவரிக்கப்படும் சிறப்பு அட்டவணைகள் உள்ளன. அவை பிராடிஸ் அட்டவணைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை மிக நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே தொகுக்கப்பட்டவை. இதுவரை கால்குலேட்டர்களோ கணினிகளோ இல்லாத போது...

நிச்சயமாக, அனைத்து கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை நினைவில் கொள்வது சாத்தியமில்லை. ஒரு சில கோணங்களில் மட்டுமே அவற்றை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், இதைப் பற்றி பின்னர். ஆனால் மந்திரம் எனக்கு ஒரு கோணம் தெரியும், அதாவது அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எனக்குத் தெரியும்” -எப்போதும் வேலை செய்கிறது!

எனவே நாங்கள் 8 ஆம் வகுப்பிலிருந்து வடிவவியலின் ஒரு பகுதியை மீண்டும் மீண்டும் செய்தோம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு இது தேவையா? அவசியமானது. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இருந்து ஒரு பொதுவான சிக்கல் இங்கே உள்ளது. இப்பிரச்னைக்கு தீர்வு காண, 8ம் வகுப்பு படித்தால் போதும். கொடுக்கப்பட்ட படம்:

அனைத்து. மேலும் தரவு எதுவும் இல்லை. விமானத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

செல்கள் அதிகம் உதவாது, முக்கோணம் எப்படியோ தவறாக நிலைநிறுத்தப்பட்டுள்ளது.... வேண்டுமென்றே, நான் யூகிக்கிறேன்... தகவலில் இருந்து ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் உள்ளது. 8 செல்கள். சில காரணங்களால், கோணம் கொடுக்கப்பட்டது.

இங்குதான் முக்கோணவியல் பற்றி நீங்கள் உடனடியாக நினைவில் கொள்ள வேண்டும். ஒரு கோணம் உள்ளது, அதாவது அதன் அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளையும் நாம் அறிவோம். நான்கு செயல்பாடுகளில் எதை நாம் பயன்படுத்த வேண்டும்? பார்ப்போம், நமக்கு என்ன தெரியும்? ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கோணம் எங்களுக்குத் தெரியும், ஆனால் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் அருகில்இந்த மூலையில் வடிகுழாய்! இது தெளிவாக உள்ளது, கொசைன் செயல்பட வேண்டும்! இதோ போகிறோம். கொசைன் (விகிதம்) வரையறையின்படி நாம் எளிமையாக எழுதுகிறோம் அருகில்கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்):

cosC = BC/8

எங்கள் கோணம் C 60 டிகிரி, அதன் கொசைன் 1/2. எந்த அட்டவணையும் இல்லாமல் இதை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்! அது:

1/2 = கிமு/8

தொடக்கநிலை நேரியல் சமன்பாடு. தெரியவில்லை - சூரியன். சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை மறந்துவிட்டவர்கள், இணைப்பைப் பாருங்கள், மீதமுள்ளவை தீர்க்கவும்:

கிமு = 4

ஒவ்வொரு கோணத்திற்கும் அதன் சொந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இருப்பதை பண்டைய மக்கள் உணர்ந்தபோது, ​​அவர்களுக்கு ஒரு நியாயமான கேள்வி இருந்தது. சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை எப்படியாவது ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையதா?ஒரு கோண செயல்பாட்டை அறிந்து, மற்றவற்றைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? கோணத்தையே கணக்கிடாமல்?

அவர்கள் மிகவும் அமைதியற்றவர்களாக இருந்தனர்...)

ஒரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவு.

நிச்சயமாக, ஒரே கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை. வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையிலான எந்த தொடர்பும் சூத்திரங்களால் கணிதத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. முக்கோணவியலில் ஏராளமான சூத்திரங்கள் உள்ளன. ஆனால் இங்கே நாம் மிக அடிப்படையானவற்றைப் பார்ப்போம். இந்த சூத்திரங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன: அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்.இங்கே அவர்கள்:

இந்த சூத்திரங்களை நீங்கள் முழுமையாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அவை இல்லாமல் பொதுவாக முக்கோணவியலில் எதுவும் செய்ய முடியாது. இந்த அடிப்படை அடையாளங்களிலிருந்து மேலும் மூன்று துணை அடையாளங்கள் பின்பற்றப்படுகின்றன:

கடைசி மூன்று சூத்திரங்கள் உங்கள் நினைவிலிருந்து விரைவாக வெளியேறும் என்று நான் இப்போதே எச்சரிக்கிறேன். சில காரணங்களால்.) நிச்சயமாக, நீங்கள் முதல் மூன்றில் இருந்து இந்த சூத்திரங்களைப் பெறலாம். ஆனால், கடினமான காலங்களில்... உங்களுக்குப் புரியும்.)

கீழே உள்ளதைப் போன்ற நிலையான சிக்கல்களில், இந்த மறக்கக்கூடிய சூத்திரங்களைத் தவிர்க்க ஒரு வழி உள்ளது. மற்றும் வியத்தகு பிழைகளை குறைக்கமறதி காரணமாகவும், கணக்கீடுகளிலும் கூட. இந்த நடைமுறை பிரிவு 555, பாடம் "ஒரே கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள்" இல் உள்ளது.

எந்தப் பணிகளில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன? மற்றொன்று கொடுக்கப்பட்டால் சில கோண செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே மிகவும் பிரபலமான பணியாகும். ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில், அத்தகைய பணி ஆண்டுதோறும் உள்ளது.) எடுத்துக்காட்டாக:

x ஒரு தீவிர கோணம் மற்றும் cosx=0.8 எனில் sinx இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

பணி கிட்டத்தட்ட ஆரம்பமானது. சைன் மற்றும் கொசைன் அடங்கிய ஃபார்முலாவை நாங்கள் தேடுகிறோம். இதோ சூத்திரம்:

பாவம் 2 x + cos 2 x = 1

அறியப்பட்ட மதிப்பை இங்கே மாற்றுகிறோம், அதாவது கொசைனுக்குப் பதிலாக 0.8:

பாவம் 2 x + 0.8 2 = 1

சரி, நாங்கள் வழக்கம் போல் எண்ணுகிறோம்:

பாவம் 2 x + 0.64 = 1

பாவம் 2 x = 1 - 0.64

நடைமுறையில் அவ்வளவுதான். சைனின் வர்க்கத்தைக் கணக்கிட்டுவிட்டோம், வர்க்கமூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதுதான் மிச்சம், விடை தயார்! 0.36 இன் வேர் 0.6 ஆகும்.

பணி கிட்டத்தட்ட ஆரம்பமானது. ஆனால் "கிட்டத்தட்ட" என்ற வார்த்தை ஒரு காரணத்திற்காக உள்ளது... உண்மை என்னவென்றால், sinx= - 0.6 என்ற பதில் கூட பொருத்தமானது ... (-0.6) 2 0.36 ஆகவும் இருக்கும்.

இரண்டு வெவ்வேறு பதில்கள் உள்ளன. மற்றும் உங்களுக்கு ஒன்று வேண்டும். இரண்டாவது தவறானது. எப்படி இருக்க!? ஆம், வழக்கம் போல்.) வேலையை கவனமாகப் படியுங்கள். சில காரணங்களால் அது கூறுகிறது:... x ஒரு தீவிர கோணம் என்றால்...மற்றும் பணிகளில், ஒவ்வொரு வார்த்தைக்கும் ஒரு அர்த்தம் உள்ளது, ஆம்... இந்த சொற்றொடர் தீர்வுக்கான கூடுதல் தகவல்.

கடுமையான கோணம் என்பது 90°க்கும் குறைவான கோணமாகும். மற்றும் அத்தகைய மூலைகளிலும் அனைத்துமுக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் - சைன், கொசைன் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் கொண்ட டேன்ஜென்ட் - நேர்மறை.அந்த. எதிர்மறையான பதிலை இங்கே நிராகரிக்கிறோம். எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.

உண்மையில், எட்டாம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு இதுபோன்ற நுணுக்கங்கள் தேவையில்லை. அவை வலது முக்கோணங்களுடன் மட்டுமே வேலை செய்கின்றன, அங்கு மூலைகள் மட்டுமே கடுமையானதாக இருக்கும். மேலும் அவர்களுக்குத் தெரியாது, மகிழ்ச்சியானவர்களே, எதிர்மறைக் கோணங்களும் 1000° கோணங்களும் உள்ளன... மேலும் இந்த பயங்கரமான கோணங்கள் அனைத்தும் அவற்றின் சொந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன, கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்...

ஆனால் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு, அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல் - வழி இல்லை. அதிக அறிவு துக்கங்களைப் பெருக்குகிறது, ஆம்...) மேலும் சரியான முடிவுபணியில் கூடுதல் தகவல்கள் இருக்க வேண்டும் (தேவைப்பட்டால்). எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் உள்ளீடு மூலம் அதை வழங்கலாம்:

அல்லது வேறு வழி. கீழே உள்ள உதாரணங்களில் நீங்கள் பார்க்கலாம்.) அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்க்க நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் கொடுக்கப்பட்ட கோணம் x எந்த காலாண்டில் விழுகிறது மற்றும் இந்த காலாண்டில் விரும்பிய முக்கோணவியல் செயல்பாடு எந்த அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது?

இந்த முக்கோணவியல் அடிப்படைகள் முக்கோணவியல் வட்டம் என்றால் என்ன, இந்த வட்டத்தில் உள்ள கோணங்களின் அளவீடு, ஒரு கோணத்தின் ரேடியன் அளவு பற்றிய பாடங்களில் விவாதிக்கப்படுகின்றன. சில நேரங்களில் நீங்கள் சைன்களின் அட்டவணை, தொடுகோடுகளின் கோசைன்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, மிக முக்கியமான விஷயத்தைக் கவனியுங்கள்:

நடைமுறை ஆலோசனை:

1. sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

2. நாங்கள் தெளிவாக புரிந்துகொள்கிறோம்: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை கோணங்களுடன் இறுக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. நமக்கு ஒன்று தெரியும், அதாவது மற்றொன்று தெரியும்.

3. நாம் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்கிறோம்: ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்களால் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை. எங்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு தெரியும், அதாவது (தேவையான கூடுதல் தகவல் இருந்தால்) மற்ற அனைத்தையும் கணக்கிட முடியும்.

இப்போது வழக்கம் போல் முடிவு செய்வோம். முதலாவதாக, 8 ஆம் வகுப்பின் நோக்கத்தில் பணிகள். ஆனால் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களும் இதைச் செய்யலாம்...)

1. ctgA = 0.4 எனில் tgA இன் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்.

2. β என்பது செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள ஒரு கோணம். sinβ = 12/13 எனில் tanβ இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

3. tgх = 4/3 எனில் தீவிர கோணம் x இன் சைனைத் தீர்மானிக்கவும்.

4. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

(1-cosx)(1+cosx), sinx = 0.3

பதில்கள் (அரைப்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டு, குழப்பத்தில்):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

நடந்ததா? நன்று! எட்டாம் வகுப்பு மாணவர்கள் ஏற்கனவே A களைப் பெறலாம்.)

எல்லாம் சரியாகவில்லையா? பணிகள் 2 மற்றும் 3 எப்படியோ நன்றாக இல்லை...? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! ஒரு அழகான தந்திரம் உள்ளது ஒத்த பணிகள். சூத்திரங்கள் இல்லாமல் எல்லாவற்றையும் நடைமுறையில் தீர்க்க முடியும்! எனவே, பிழைகள் இல்லாமல். இந்த நுட்பம் பாடத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது: பிரிவு 555 இல் "ஒரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள்". மற்ற அனைத்து பணிகளும் அங்கு கையாளப்படுகின்றன.

இவை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு போன்ற சிக்கல்கள், ஆனால் அகற்றப்பட்ட பதிப்பில். ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு - ஒளி). இப்போது கிட்டத்தட்ட அதே பணிகள், ஆனால் முழு அளவிலான வடிவத்தில். அறிவுச் சுமையுள்ள உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு.)

6. sinβ = 12/13, மற்றும் என்றால் tanβ இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

7. tgх = 4/3, மற்றும் x என்பது இடைவெளியில் (- 540°; - 450°) சேர்ந்தால் sinх என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

8. ctgβ = 1 எனில் sinβ cosβ வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

0,8; 0,5; -2,4.

இங்கே சிக்கல் 6 இல் கோணம் மிகத் தெளிவாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை... ஆனால் சிக்கல் 8 இல் அது குறிப்பிடப்படவில்லை! இது வேண்டுமென்றே). கூடுதல் தகவல் பணியிலிருந்து மட்டுமல்ல, தலையிலிருந்தும் எடுக்கப்படுகிறது.) ஆனால் நீங்கள் முடிவு செய்தால், ஒரு சரியான பணி உத்தரவாதம்!

நீங்கள் முடிவு செய்யவில்லை என்றால் என்ன செய்வது? ம்ம்... சரி, பிரிவு 555 இங்கே உதவும். இந்த பணிகள் அனைத்திற்கும் தீர்வுகள் விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன, புரிந்து கொள்ளாமல் இருப்பது கடினம்.

இந்தப் பாடம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பற்றிய மிகக் குறைந்த புரிதலை வழங்குகிறது. 8 ஆம் வகுப்புக்குள். மேலும் பெரியவர்களுக்கு இன்னும் கேள்விகள் உள்ளன ...

உதாரணமாக, கோணம் என்றால் எக்ஸ்(இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள இரண்டாவது படத்தைப் பாருங்கள்) - அதை முட்டாளாக்கு!? முக்கோணம் முற்றிலும் உடைந்துவிடும்! எனவே நாம் என்ன செய்ய வேண்டும்? கால் இருக்காது, ஹைப்போடென்யூஸ் இருக்காது... சைன் மறைந்துவிட்டது...

பழங்கால மக்கள் இந்த சூழ்நிலையிலிருந்து ஒரு வழியைக் கண்டுபிடிக்கவில்லை என்றால், இப்போது நம்மிடம் செல்போன், டிவி அல்லது மின்சாரம் இருக்காது. ஆம் ஆம்! தத்துவார்த்த அடிப்படைமுக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இல்லாத இவை அனைத்தும் ஒரு குச்சி இல்லாமல் பூஜ்ஜியமாகும். ஆனால் பண்டைய மக்கள் ஏமாற்றமடையவில்லை. அவர்கள் எப்படி வெளியேறினார்கள் என்பது அடுத்த பாடத்தில்.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

வாழ்க்கையில், நாம் அடிக்கடி கணித சிக்கல்களைச் சமாளிக்க வேண்டியிருக்கும்: பள்ளியில், பல்கலைக்கழகத்தில், பின்னர் நம் குழந்தைக்கு முடிக்க உதவுவது. வீட்டு பாடம். குறிப்பிட்ட தொழில்களில் உள்ளவர்கள் தினசரி அடிப்படையில் கணிதத்தை சந்திப்பார்கள். எனவே, கணித விதிகளை மனப்பாடம் செய்வது அல்லது நினைவுபடுத்துவது பயனுள்ளது. இந்த கட்டுரையில் நாம் அவற்றில் ஒன்றைப் பார்ப்போம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கத்தைக் கண்டறிதல்.

செங்கோண முக்கோணம் என்றால் என்ன

முதலில், செங்கோண முக்கோணம் என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். வலது முக்கோணம்- இது வடிவியல் உருவம்ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத புள்ளிகளை இணைக்கும் மூன்று பிரிவுகளில், இந்த உருவத்தின் கோணங்களில் ஒன்று 90 டிகிரி ஆகும். வலது கோணத்தை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்கள் என்றும், வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கமானது ஹைப்போடென்யூஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

செங்கோண முக்கோணத்தின் காலை கண்டறிதல்

காலின் நீளத்தைக் கண்டறிய பல வழிகள் உள்ளன. நான் அவற்றை இன்னும் விரிவாகக் கருத்தில் கொள்ள விரும்புகிறேன்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றம்

ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால் தெரிந்தால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தெரியாத காலின் நீளத்தைக் கண்டறியலாம். இது போல் தெரிகிறது: "ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்." சூத்திரம்: c²=a²+b², இதில் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ், a மற்றும் b ஆகியவை கால்கள். நாங்கள் சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுகிறோம்: a²=c²-b².

உதாரணமாக. ஹைப்போடென்யூஸ் 5 செ.மீ. மற்றும் கால் 3 செ.மீ. நாங்கள் சூத்திரத்தை மாற்றுகிறோம்: c²=a²+b² → a²=c²-b². அடுத்து நாம் தீர்க்கிறோம்: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (செ.மீ.)

செங்கோண முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறிய முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

செங்கோண முக்கோணத்தின் வேறு எந்தப் பக்கமும், தீவிரக் கோணமும் தெரிந்தால், அறியப்படாத கால்களையும் நீங்கள் காணலாம். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு காலைக் கண்டறிய நான்கு விருப்பங்கள் உள்ளன: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட். கீழே உள்ள அட்டவணை சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவும். இந்த விருப்பங்களை கருத்தில் கொள்வோம்.

சைனைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஒரு கோணத்தின் சைன் (பாவம்) என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும். சூத்திரம்: sin=a/c, இங்கு a என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால், மற்றும் c என்பது ஹைபோடென்யூஸ். அடுத்து, சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுவோம்: a=sin*c.

உதாரணமாக. ஹைப்போடென்யூஸ் 10 செ.மீ., கோணம் A 30 டிகிரி. அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, கோணம் A இன் சைனைக் கணக்கிடுகிறோம், அது 1/2 க்கு சமம். பின்னர், மாற்றப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் தீர்க்கிறோம்: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (செ.மீ.)

கோசைனைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஒரு கோணத்தின் கோசைன் (cos) என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதமாகும். சூத்திரம்: cos=b/c, இங்கு b என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு அருகில் இருக்கும் கால், மற்றும் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ். சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுவோம்: b=cos*c.

உதாரணமாக. கோணம் A 60 டிகிரிக்கு சமம், ஹைபோடென்யூஸ் 10 செ.மீ., அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, கோணம் A இன் கொசைனைக் கணக்கிடுகிறோம், அது 1/2 க்கு சமம். அடுத்து நாம் தீர்க்கிறோம்: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

தொடுகோணத்தைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு (tg) என்பது எதிரெதிர் பக்கத்திற்கும் அருகிலுள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும். சூத்திரம்: tg=a/b, இதில் a என்பது கோணத்திற்கு எதிர் பக்கமாகும், மேலும் b என்பது அருகிலுள்ள பக்கமாகும். சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுவோம்: a=tg*b.

உதாரணமாக. கோணம் A 45 டிகிரிக்கு சமம், ஹைப்போடென்யூஸ் 10 செ.மீ., அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, கோணம் A இன் தொடுகைக் கணக்கிடுகிறோம், அது தீர்வுக்கு சமம்: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (செ.மீ.)

கோடேன்ஜென்ட்டைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஆங்கிள் கோட்டான்ஜென்ட் (சிடிஜி) என்பது அருகில் உள்ள பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும். சூத்திரம்: ctg=b/a, இங்கு b என்பது கோணத்தை ஒட்டிய கால் மற்றும் எதிர் கால். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கோட்டான்ஜென்ட் என்பது "தலைகீழ் தொடுகோடு" ஆகும். நாம் பெறுகிறோம்: b=ctg*a.

உதாரணமாக. கோணம் A 30 டிகிரி, எதிர் கால் 5 செ.மீ. அட்டவணையின்படி, கோணம் A இன் தொடுகோடு √3 ஆகும். நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

வலது முக்கோணத்தில் ஒரு காலை எப்படி கண்டுபிடிப்பது என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இது அவ்வளவு கடினம் அல்ல, முக்கிய விஷயம் சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வது.

நீர் சேர்க்கைசெங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணம் α என்பது விகிதமாகும் எதிர்கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்.
இது பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: sin α.

கொசைன்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணம் α என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகில் உள்ள காலின் விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: cos α.

தொடுகோடுகடுமையான கோணம் α என்பது எதிர் பக்கத்திற்கும் அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: tg α.

கோட்டான்ஜென்ட்கடுமையான கோணம் α என்பது அருகிலுள்ள பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: ctg α.

ஒரு கோணத்தின் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை கோணத்தின் அளவைப் பொறுத்தது.

விதிகள்:

செங்கோண முக்கோணத்தில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்:

(α - காலுக்கு எதிரே கடுமையான கோணம் பி மற்றும் காலுக்கு அருகில் அ . பக்கம் உடன் - ஹைப்போடென்யூஸ். β - இரண்டாவது கடுமையான கோணம்).

பி பாவம் α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
அ cos α = - c	1 1 + டான் 2 α = -- விலை 2 α
பி டான் α = - அ	1 1 + ctg 2 α = -- பாவம் 2 α
அ ctg α = - பி	1 1 1 + -- = -- டான் 2 α பாவம் 2 α
பாவம் α tg α = -- cos α

கடுமையான கோணம் அதிகரிக்கும் போதுபாவம் α மற்றும்டான் α அதிகரிப்பு, மற்றும்cos α குறைகிறது.

எந்த தீவிர கோணத்திற்கும் α:

பாவம் (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

உதாரணம்-விளக்கம்:

ஒரு செங்கோண முக்கோண ABC இல் விடவும்
ஏபி = 6,
BC = 3,
கோணம் A = 30º.

A கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோண B இன் கொசைன் ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீர்வு .

1) முதலில், கோண B இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இங்கே எல்லாம் எளிமையானது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90º, பின்னர் கோணம் B = 60º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) பாவத்தை கணக்கிடுவோம் A. அந்த பாவத்தை நாம் அறிவோம் விகிதத்திற்கு சமம்ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கம். கோணம் Aக்கு, எதிர் பக்கம் கி.மு. அதனால்:

கிமு 3 1
பாவம் A = -- = - = -
ஏபி 6 2

3) இப்போது cos B ஐக் கணக்கிடுவோம். கொசைன், அருகில் உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். கோணம் Bக்கு, அருகில் உள்ள கால் கி.மு. இதன் பொருள் நாம் மீண்டும் BC ஐ AB ஆல் வகுக்க வேண்டும் - அதாவது, A கோணத்தின் சைனைக் கணக்கிடும்போது அதே செயல்களைச் செய்யுங்கள்:

கிமு 3 1
cos B = -- = - = -
ஏபி 6 2

முடிவு:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

இதிலிருந்து ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஒரு தீவிர கோணத்தின் சைன் மற்றொரு தீவிர கோணத்தின் கோசைனுக்கு சமம் - மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். எங்கள் இரண்டு சூத்திரங்களும் இதைத்தான் குறிக்கின்றன:
பாவம் (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

இதை மீண்டும் உறுதி செய்வோம்:

1) α = 60º. α இன் மதிப்பை சைன் சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
பாவம் (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) α = 30º. கொசைன் சூத்திரத்தில் α இன் மதிப்பை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = பாவம் 30º.

(முக்கோணவியல் பற்றிய கூடுதல் தகவலுக்கு, இயற்கணிதம் பகுதியைப் பார்க்கவும்)

அத்தியாயம் I. செங்கோண முக்கோணங்களைத் தீர்ப்பது

§3 (37). அடிப்படை உறவுகள் மற்றும் பிரச்சனைகள்

முக்கோணவியல் என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் குறிப்பிட்ட கூறுகளை அதன் கொடுக்கப்பட்ட தனிமங்களின் போதுமான எண்ணிக்கையிலான எண் மதிப்புகளிலிருந்து கணக்கிட வேண்டிய சிக்கல்களைக் கையாள்கிறது. இந்த சிக்கல்கள் பொதுவாக சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன தீர்வுமுக்கோணம்.

ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகவும், C ஒரு செங்கோணமாகவும் இருக்கட்டும், ஏமற்றும் பி- கடுமையான கோணங்களில் A மற்றும் B க்கு எதிர் கால்கள், உடன்- ஹைபோடென்யூஸ் (படம் 3);

பின்னர் எங்களிடம் உள்ளது:

கடுமையான கோணத்தின் கொசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள பக்கத்தின் விகிதமாகும்:

cos A = b/ c, cos V = ஒரு/ c (1)

கடுமையான கோணத்தின் சைன் என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்:

பாவம் ஏ = ஒரு/ c, பாவம் பி = b/ c (2)

கடுமையான கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிரெதிர் பக்கத்திற்கும் அருகிலுள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும்:

டான் ஏ = ஒரு/ பி, டான் பி = b/ அ (3)

ஒரு தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் என்பது எதிர் பக்கத்திற்கு அருகிலுள்ள பக்கத்தின் விகிதமாகும்:

ctg A = b/ அ, ctg B = ஒரு/ பி (4)

கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°.

வலது முக்கோணங்களில் அடிப்படை பிரச்சனைகள்.

பணி I. ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணங்களில் ஒன்றைக் கொண்டு, மற்ற உறுப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.அவை கொடுக்கப்படட்டும் உடன்மற்றும் A. கோணம் B = 90° - A என்பதும் அறியப்படுகிறது; கால்கள் (1) மற்றும் (2) சூத்திரங்களிலிருந்து காணப்படுகின்றன.

a = cபாவம், b = cகாஸ் ஏ.

பிரச்சனை II . ஒரு கால் மற்றும் கடுமையான கோணங்களில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற உறுப்புகளை கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.அவை கொடுக்கப்படட்டும் ஏமற்றும் A. கோணம் B = 90° - A அறியப்படுகிறது; (3) மற்றும் (2) சூத்திரங்களிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்:

பி = அடான் பி (= அ ctg A), உடன் = அ/ sinA

பணி III. ஒரு கால் மற்றும் ஒரு ஹைப்போடென்யூஸ் கொடுக்கப்பட்டால், மீதமுள்ள கூறுகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.அவை கொடுக்கப்படட்டும் ஏமற்றும் உடன்(மற்றும் ஏ< с ) சமத்துவங்களிலிருந்து (2) கோணம் A ஐக் காண்கிறோம்:

பாவம் ஏ = ஒரு/ cமற்றும் A = பரிதி பாவம் ஒரு/ c ,

இறுதியாக கால் பி:

பி = உடன் cos A (= உடன்பாவம் பி).

பணி IV. கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்கள் a மற்றும் b, மற்ற உறுப்புகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.சமத்துவங்களிலிருந்து (3) நாம் ஒரு கடுமையான கோணத்தைக் காண்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக A:

tg A = ஒரு/ பி, ஏ = ஆர்க் டிஜி ஒரு/ பி ,

கோணம் B = 90° - A,

ஹைப்போடென்யூஸ்: c = அ/ பாவம் ஏ (= பி/sinB; = அ/ காஸ் பி)

மடக்கை அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி செங்கோண முக்கோணத்தைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளது*.

* இயற்கை அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணங்களின் தனிமங்களின் கணக்கீடு VIII கிரேடு வடிவியல் பாடத்திலிருந்து அறியப்படுகிறது.

மடக்கை அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடும் போது, ​​நீங்கள் தொடர்புடைய சூத்திரங்களை எழுத வேண்டும், அவற்றை புரோலோகரிதம், மாற்று எண் தரவு, அறியப்பட்ட உறுப்புகளின் தேவையான மடக்கைகளை (அல்லது அவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்) கண்டுபிடிக்க அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தவும், தேவையான உறுப்புகளின் மடக்கைகளைக் கணக்கிடவும் (அல்லது அவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்) மற்றும் தேவையான கூறுகளைக் கண்டறிய அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தவும்.

உதாரணமாக.கால்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன ஏ= 166.1 மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் உடன்= 187.3; கடுமையான கோணங்கள், மறுபக்கம் மற்றும் பகுதி ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது:

பாவம் ஏ = ஒரு/ c; பதிவு பாவம் A = பதிவு அ-எல்ஜி c;

A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

கால் கணக்கீடு பி:

b = aடான் பி ; lg பி= பதிவு பி+ பதிவு டான் பி ;

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

எஸ் = 1/2 ab = 0,5 அ 2 டிஜி வி;

கட்டுப்படுத்த, ஸ்லைடு விதியில் A கோணத்தைக் கணக்கிடுவோம்:

எ = பரிதி பாவம் ஒரு/ c= ஆர்க் சின் 166 / 187 ≈ 62°.

குறிப்பு.கால் பிசதுரங்கள் மற்றும் சதுர வேர்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் (அட்டவணைகள் III மற்றும் IV):

பி= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

முன்பு பெறப்பட்ட மதிப்பில் இருந்து முரண்பாடு b= 86.48 அட்டவணைகளின் பிழைகளால் விளக்கப்படுகிறது, இது செயல்பாடுகளின் தோராயமான மதிப்புகளை அளிக்கிறது. 86.54 இன் முடிவு மிகவும் துல்லியமானது.

ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் என்ன அழைக்கப்படுகிறது? அது சரி, ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்கள்: ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கமாகும் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது பக்கமானது \(ஏசி\)); கால்கள் இரண்டு மீதமுள்ள பக்கங்கள் \(AB\) மற்றும் \(BC\) (அருகிலுள்ளவை வலது கோணம்), மற்றும், நாம் கோணத்துடன் தொடர்புடைய கால்களைக் கருத்தில் கொண்டால் \(BC\), பின்னர் கால் \(AB\) அருகில் இருக்கும் கால், மற்றும் கால் \(BC\) எதிர். எனவே, இப்போது கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன?

கோணத்தின் சைன்- இது எதிர் (தொலைதூர) காலின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

கோணத்தின் கோசைன்- இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் விகிதம்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

கோணத்தின் தொடுகோடு- இது எதிர் (தொலைதூர) பக்கத்தின் அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

கோணத்தின் கோட்டான்ஜென்ட்- இது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் எதிர் (தொலைவு) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

இந்த வரையறைகள் அவசியம் நினைவில் கொள்க! எந்தக் காலை எதில் பிரிக்க வேண்டும் என்பதை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, அதை நீங்கள் தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும் தொடுகோடுமற்றும் கோடேன்ஜென்ட்கால்கள் மட்டுமே உட்காரும், மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் மட்டுமே தோன்றும் நீர் சேர்க்கைமற்றும் கொசைன். பின்னர் நீங்கள் சங்கங்களின் சங்கிலியைக் கொண்டு வரலாம். உதாரணமாக, இது:

கொசைன்→டச்→டச்→அருகில்;

கோட்டான்ஜென்ட்→டச்→டச்→அருகில்.

முதலில், முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களாக சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை இந்த பக்கங்களின் நீளத்தை (அதே கோணத்தில்) சார்ந்து இல்லை என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். நம்பாதே? பின்னர் படத்தைப் பார்த்து உறுதிப்படுத்தவும்:

எடுத்துக்காட்டாக, கோணத்தின் கோசைன் \(\beta \) . வரையறையின்படி, ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ஆனால் முக்கோணத்திலிருந்து \(\beta \) கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடலாம் \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், பக்கங்களின் நீளம் வேறுபட்டது, ஆனால் ஒரு கோணத்தின் கொசைனின் மதிப்பு ஒன்றுதான். எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் கோணத்தின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

நீங்கள் வரையறைகளைப் புரிந்து கொண்டால், மேலே சென்று அவற்றை ஒருங்கிணைக்கவும்!

கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள \(ABC \) முக்கோணத்திற்கு, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\\alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

சரி, கிடைத்ததா? பிறகு நீங்களே முயற்சி செய்து பாருங்கள்: \(\beta \) கோணத்திற்கும் இதையே கணக்கிடுங்கள்.

பதில்கள்: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

அலகு (முக்கோணவியல்) வட்டம்

டிகிரி மற்றும் ரேடியன்களின் கருத்துகளைப் புரிந்துகொண்டு, \(1\) க்கு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை நாங்கள் கருதினோம். அத்தகைய வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை. முக்கோணவியல் படிக்கும் போது இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, அதை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வட்டம் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம், அதே சமயம் வட்டத்தின் மையம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் உள்ளது, ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை \(x\) அச்சின் நேர்மறையான திசையில் சரி செய்யப்படுகிறது (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது ஆரம் \(AB\)) ஆகும்.

வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒத்திருக்கும்: \(x\) அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் \(y\) அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு. இந்த ஆய எண்கள் என்ன? பொதுவாக, அவர்கள் கையில் இருக்கும் தலைப்புடன் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைச் செய்ய, கருதப்படும் வலது முக்கோணத்தைப் பற்றி நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். மேலே உள்ள படத்தில், நீங்கள் இரண்டு முழு வலது முக்கோணங்களைக் காணலாம். முக்கோணத்தை கருதுங்கள் \(ACG\) . \(CG\) \(x\) அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் இது செவ்வகமானது.

\(ACG \) முக்கோணத்திலிருந்து \(\cos \\alpha \) என்றால் என்ன? அது சரி \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). கூடுதலாக, \(AC\) என்பது அலகு வட்டத்தின் ஆரம், அதாவது \(AC=1\) . இந்த மதிப்பை கொசைன் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம். என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \\alpha \) முக்கோணத்தில் இருந்து \(ACG \) எதற்கு சமம்? சரி, நிச்சயமாக, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! இந்த சூத்திரத்தில் \(AC\) ஆரம் மதிப்பை மாற்றி, பெறவும்:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

எனவே, வட்டத்தைச் சேர்ந்த புள்ளி \(C\) என்ன ஒருங்கிணைக்கிறது என்று உங்களால் சொல்ல முடியுமா? சரி, வழி இல்லையா? \(\cos \\alpha \) மற்றும் \(\sin \alpha \) வெறும் எண்கள் என்பதை நீங்கள் உணர்ந்தால் என்ன செய்வது? \(\cos \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? சரி, நிச்சயமாக, ஒருங்கிணைப்பு \(x\)! மேலும் \(\sin \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? அது சரி, ஒருங்கிணைப்பு \(y\)! எனவே புள்ளி \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

\(tg \alpha \) மற்றும் \(ctg \alpha \) எதற்கு சமம்? அது சரி, டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் தொடர்புடைய வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைப் பெறுவோம் \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ஏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

கோணம் பெரியதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, இந்த படத்தில் உள்ளதைப் போல:

என்ன மாறிவிட்டது இந்த எடுத்துக்காட்டில்? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். இதைச் செய்ய, மீண்டும் ஒரு வலது முக்கோணத்திற்கு திரும்புவோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : கோணம் (கோணத்திற்கு அருகில் \(\பீட்டா \) ). ஒரு கோணத்திற்கான சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்பு என்ன \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? அது சரி, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய வரையறைகளை நாங்கள் கடைபிடிக்கிறோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

சரி, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கோணத்தின் சைனின் மதிப்பு இன்னும் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது \(y\) ; கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு - ஒருங்கிணைப்பு \(x\) ; மற்றும் தொடர்புடைய விகிதங்களுக்கு தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள். எனவே, இந்த உறவுகள் ஆரம் திசையன் எந்த சுழற்சிக்கும் பொருந்தும்.

ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை \(x\) அச்சின் நேர்மறையான திசையில் உள்ளது என்று ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இதுவரை இந்த வெக்டரை எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றினோம், ஆனால் அதை கடிகார திசையில் சுழற்றினால் என்ன ஆகும்? அசாதாரணமானது எதுவுமில்லை, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் கோணத்தையும் பெறுவீர்கள், ஆனால் அது எதிர்மறையாக மட்டுமே இருக்கும். இவ்வாறு, ஆரம் திசையன் எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம் நேர்மறை கோணங்கள், மற்றும் கடிகார திசையில் சுழலும் போது - எதிர்மறை.

எனவே, வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள ஆரம் திசையன் முழுப் புரட்சியும் \(360()^\circ \) அல்லது \(2\pi \) . ஆரம் வெக்டரை \(390()^\circ \) அல்லது \(-1140()^\circ \) மூலம் சுழற்ற முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! முதல் வழக்கில், \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), இதனால், ஆரம் திசையன் ஒரு முழுப் புரட்சியை செய்து \(30()^\circ \) அல்லது \(\dfrac(\pi )(6) \) நிலையில் நிறுத்தப்படும்.

இரண்டாவது வழக்கில், \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), அதாவது, ஆரம் திசையன் மூன்று முழுப் புரட்சிகளைச் செய்து \(-60()^\circ \) அல்லது \(-\dfrac(\pi )(3) \) நிலையில் நிறுத்தப்படும்.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, \(360()^\circ \cdot m \) அல்லது \(2\pi \cdot m \) (\(m \) எந்த முழு எண்ணாக இருந்தாலும்) வேறுபடும் கோணங்கள் என்று முடிவு செய்யலாம். ஆரம் திசையன் அதே நிலைக்கு ஒத்துள்ளது.

கீழே உள்ள படம் \(\beta =-60()^\circ \) கோணத்தைக் காட்டுகிறது. அதே படம் மூலைக்கு ஒத்திருக்கிறது \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)முதலியன இந்த பட்டியலை காலவரையின்றி தொடரலாம். இந்தக் கோணங்கள் அனைத்தையும் பொதுச் சூத்திரத்தால் எழுதலாம் \(\beta +360()^\circ \cdot m\)அல்லது \(\beta +2\pi \cdot m \) (இங்கு \(m \) எந்த முழு எண் ஆகும்)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

இப்போது, ​​அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகளை அறிந்து, அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மதிப்புகள் என்னவென்று பதிலளிக்க முயற்சிக்கவும்:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\\pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

உங்களுக்கு உதவ ஒரு யூனிட் வட்டம் இங்கே:

சிரமங்கள் உள்ளதா? பின்னர் அதை கண்டுபிடிக்கலாம். எனவே நாங்கள் அதை அறிவோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

இங்கிருந்து, சில கோண நடவடிக்கைகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். சரி, வரிசையில் ஆரம்பிக்கலாம்: மூலையில் \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\இடது(0;1 \வலது) \) ஆயத்தொகுதிகளுடன் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- இல்லை;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

மேலும், அதே தர்க்கத்தை கடைபிடிப்பதன் மூலம், மூலைகள் உள்ளே இருப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளுடன் ஒத்துள்ளது \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \வலது) \), முறையே. இதை அறிந்தால், தொடர்புடைய புள்ளிகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்க எளிதானது. முதலில் நீங்களே முயற்சிக்கவும், பின்னர் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்.

பதில்கள்:

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\\pi \)- இல்லை

\(\ பாவம் \270()^\ சர்க் =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- இல்லை

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

எனவே, நாம் பின்வரும் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்:

இந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை நினைவில் கொள்வது போதுமானது:

\(\இடது. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும் அல்லது அதை காண்பிக்க முடியும்!! \) !}

ஆனால் கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மற்றும் \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

பயப்பட வேண்டாம், இப்போது தொடர்புடைய மதிப்புகளை மிகவும் எளிமையான மனப்பாடம் செய்வதற்கான ஒரு உதாரணத்தைக் காண்பிப்போம்:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, கோணத்தின் மூன்று அளவுகளுக்கும் சைன் மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது அவசியம் ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), அத்துடன் \(30()^\circ \) இல் உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு மதிப்பு. இந்த \(4\) மதிப்புகளை அறிந்தால், முழு அட்டவணையையும் மீட்டெடுப்பது மிகவும் எளிது - கொசைன் மதிப்புகள் அம்புகளுக்கு ஏற்ப மாற்றப்படுகின்றன, அதாவது:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ முடிவு(வரிசை) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), இதை அறிந்தால், நீங்கள் மதிப்புகளை மீட்டெடுக்கலாம் \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" என்ற எண் \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) உடன் ஒத்திருக்கும் மற்றும் "\(\sqrt(\text(3)) \)" \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அம்புகளுக்கு ஏற்ப கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள் மாற்றப்படுகின்றன. நீங்கள் இதைப் புரிந்துகொண்டு அம்புக்குறிகளுடன் வரைபடத்தை நினைவில் வைத்திருந்தால், அட்டவணையில் இருந்து \(4\) மதிப்புகளை மட்டும் நினைவில் வைத்திருந்தால் போதும்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்

வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள், அதன் ஆரம் மற்றும் சுழற்சியின் கோணம் ஆகியவற்றை அறிந்து, ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியை (அதன் ஆயத்தொலைவுகள்) கண்டுபிடிக்க முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! அதை வெளியே எடுப்போம் பொது சூத்திரம்ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்க. உதாரணமாக, இங்கே நமக்கு முன்னால் ஒரு வட்டம் உள்ளது:

எங்களுக்கு அந்த புள்ளி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- வட்டத்தின் மையம். வட்டத்தின் ஆரம் \(1.5\) . \(O\) புள்ளியை \(\டெல்டா \) டிகிரிகளால் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட \(P\) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், \(P\) புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு \(x\) பிரிவின் நீளம் \(TP=UQ=UK+KQ\) . பிரிவின் நீளம் \(UK\) வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்பு \(x\) உடன் ஒத்துள்ளது, அதாவது \(3\) க்கு சமம். கோசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி \(KQ\) பிரிவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தலாம்:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

பின் \(P\) ஆயப் புள்ளிக்கு அது உள்ளது \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

அதே தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்தி, \(P\) புள்ளிக்கான y ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இதனால்,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

எனவே, உள்ளே பொதுவான பார்வைபுள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), எங்கே

\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள்,

\(r\) - வட்டத்தின் ஆரம்,

\(\டெல்டா \) - திசையன் ஆரத்தின் சுழற்சி கோணம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் கருத்தில் கொண்ட யூனிட் வட்டத்திற்கு, இந்த சூத்திரங்கள் கணிசமாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம்:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \\delta \end(array) \)

உங்கள் உலாவியில் Javascript முடக்கப்பட்டுள்ளது.
கணக்கீடுகளைச் செய்ய, நீங்கள் ActiveX கட்டுப்பாடுகளை இயக்க வேண்டும்!