வலது முக்கோணம் பற்றி எல்லாம். வலது முக்கோணம்: கருத்து மற்றும் பண்புகள்

21.09.2019

வழிமுறைகள்

கால்கள் a மற்றும் b க்கு எதிரே உள்ள கோணங்கள் முறையே A மற்றும் B ஆல் குறிக்கப்படும், ஹைபோடென்யூஸ் என்பது, வரையறையின்படி, வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கமாகும் (ஹைபோடென்யூஸ் மற்ற பக்கங்களுடன் கடுமையான கோணங்களை உருவாக்குகிறது. முக்கோணம்). ஹைபோடென்யூஸின் நீளத்தை c ஆல் குறிக்கிறோம்.

உனக்கு தேவைப்படும்:
கால்குலேட்டர்.

காலுக்கு பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும்: a=sqrt(c^2-b^2), ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் மற்ற காலின் மதிப்புகள் உங்களுக்குத் தெரிந்தால். இந்த வெளிப்பாடு பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்பட்டது, இது ஒரு முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை என்று கூறுகிறது. sqrt ஆபரேட்டர் சதுர வேர்களை பிரித்தெடுக்கிறது. "^2" என்ற அடையாளம் இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்துவதைக் குறிக்கிறது.

ஹைபோடென்யூஸ் (c) மற்றும் விரும்பிய ஒன்றின் எதிர் கோணம் உங்களுக்குத் தெரிந்தால் a=c*sinA சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் (இந்த கோணத்தை A எனக் குறிப்பிட்டோம்).
ஹைப்போடென்யூஸ் (c) மற்றும் விரும்பிய காலுக்கு அருகிலுள்ள கோணம் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், ஒரு காலைக் கண்டுபிடிக்க a=c*cosB என்ற வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும் (இந்த கோணத்தை B எனக் குறிப்பிட்டோம்).
லெக் b மற்றும் விரும்பிய காலுக்கு எதிர் கோணம் கொடுக்கப்பட்டால் a=b*tgA இலிருந்து காலைக் கணக்கிடவும் (இந்தக் கோணத்தை A எனக் குறிப்பிட ஒப்புக்கொண்டோம்).

குறிப்பு:
உங்கள் பிரச்சனையில், விவரிக்கப்பட்ட எந்த வழிகளிலும் கால் காணப்படவில்லை என்றால், பெரும்பாலும் அது அவற்றில் ஒன்றாகக் குறைக்கப்படலாம்.

பயனுள்ள குறிப்புகள்:
இந்த வெளிப்பாடுகள் அனைத்தும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் நன்கு அறியப்பட்ட வரையறைகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன, எனவே, அவற்றில் ஒன்றை நீங்கள் மறந்துவிட்டாலும், எளிய செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி அதை எப்போதும் விரைவாகப் பெறலாம். 30, 45, 60, 90, 180 டிகிரிகளின் மிகவும் பொதுவான கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை அறிந்து கொள்வதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

தலைப்பில் வீடியோ

ஆதாரங்கள்:

"பல்கலைக்கழகங்களில் நுழைபவர்களுக்கான கணிதம் பற்றிய ஒரு கையேடு," பதிப்பு. ஜி.என். யாகோவ்லேவா, 1982
வலது முக்கோணத்தின் கால்

ஒரு சதுர முக்கோணம் மிகவும் துல்லியமாக வலது முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வடிவியல் உருவத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையிலான உறவுகள் முக்கோணவியலின் கணிதத் துறையில் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.

உனக்கு தேவைப்படும்

- காகிதம்;
- பேனா;
- பிராடிஸ் அட்டவணைகள்;
- கால்குலேட்டர்.

வழிமுறைகள்

கண்டுபிடி முக்கோணம்பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி. இந்த தேற்றத்தின்படி, ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: c2 = a2+b2, இதில் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ் முக்கோணம், a மற்றும் b ஆகியவை அதன் கால்கள். இதைப் பயன்படுத்த, செவ்வகத்தின் எந்த இரண்டு பக்கங்களின் நீளத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் முக்கோணம்.

நிபந்தனைகள் கால்களின் பரிமாணங்களைக் குறிப்பிட்டால், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, பயன்படுத்தவும் சதுர வேர்கால்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து, ஒவ்வொன்றும் முதலில் சதுரமாக இருக்க வேண்டும்.

ஹைப்போடென்யூஸின் பரிமாணங்கள் மற்றும் மற்ற கால்கள் தெரிந்தால், கால்களில் ஒன்றின் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள். கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அறியப்பட்ட காலுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்தையும் பிரித்தெடுக்கவும்.

சிக்கல் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அதை ஒட்டிய கடுமையான கோணங்களில் ஒன்றைக் குறிப்பிட்டால், பிராடிஸ் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தவும். அவை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் காட்டுகின்றன பெரிய எண்ணிக்கைமூலைகள் சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும், அதே போல் பக்கங்களுக்கும் செவ்வகத்திற்கும் இடையிலான உறவுகளை விவரிக்கும் முக்கோணவியல் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தவும். முக்கோணம்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கால்களைக் கண்டறியவும்: a = c*sin α, b = c*cos α, இதில் a என்பது α க்கு எதிரே உள்ள கால், b என்பது கோணத்திற்கு அருகில் உள்ள கால். அதே வழியில் பக்கங்களின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள் முக்கோணம், ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் மற்றொரு தீவிரக் கோணம் கொடுக்கப்பட்டால்: b = c*sin β, a = c*cos β, b என்பது β க்கு எதிரே உள்ள கால், மற்றும் β கோணத்திற்கு அருகில் இருக்கும் கால்.

a மற்றும் அருகிலுள்ள கடுமையான கோணம் β விஷயத்தில், ஒரு வலது முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 90 °: α + β = 90 ° க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். கால் a க்கு எதிர் கோணத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: α = 90° – β. அல்லது முக்கோணவியல் குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும்: sin α = sin (90° – β) = cos β; டான் α = பழுப்பு (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

தலைப்பில் வீடியோ

ஆதாரங்கள்:

2019 ஆம் ஆண்டில் ஒரு வலது முக்கோணத்தின் பக்கங்களை கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தின் மூலம் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

உதவிக்குறிப்பு 3: செங்கோண முக்கோணத்தில் தீவிர கோணத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

நேரடியாக கார்போனிக்முக்கோணம், வரலாற்றுக் கண்ணோட்டத்தில், வடிவியல் உருவங்களில் மிகவும் பிரபலமான ஒன்றாகும். பித்தகோரியன் "காற்சட்டை" யுரேகாவுடன் மட்டுமே போட்டியிட முடியும்! ஆர்க்கிமிடிஸ்.

உனக்கு தேவைப்படும்

- ஒரு முக்கோணத்தின் வரைதல்;
- ஆட்சியாளர்;
- நீடிப்பான்

வழிமுறைகள்

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி ஆகும். ஒரு செவ்வக வடிவில் முக்கோணம்ஒரு கோணம் (நேராக) எப்போதும் 90 டிகிரியாக இருக்கும், மீதமுள்ளவை கடுமையானவை, அதாவது. ஒவ்வொன்றும் 90 டிகிரிக்கும் குறைவாக. செவ்வக வடிவில் என்ன கோணம் உள்ளது என்பதை தீர்மானிக்க முக்கோணம்நேராக உள்ளது, முக்கோணத்தின் பக்கங்களை அளந்து பெரியதைத் தீர்மானிக்க ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தவும். இது ஹைப்போடென்யூஸ் (AB) மற்றும் எதிர் அமைந்துள்ளது வலது கோணம்(சி) மீதமுள்ள இரண்டு பக்கங்களும் ஒரு வலது கோணம் மற்றும் கால்கள் (AC, BC) அமைக்கின்றன.

எந்தக் கோணம் தீவிரமானது என்பதை நீங்கள் தீர்மானித்தவுடன், கணித சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு ஒரு ப்ராட்ராக்டரைப் பயன்படுத்தலாம்.

ப்ரோட்ராக்டரைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைத் தீர்மானிக்க, அதன் மேற்பகுதியை (அதை A எழுத்துடன் குறிப்போம்) ப்ரோட்ராக்டரின் மையத்தில் உள்ள ஆட்சியாளரின் மீது ஒரு சிறப்பு அடையாளத்துடன் சீரமைக்கவும்; கால் ஏசி அதன் மேல் விளிம்புடன் ஒத்துப்போக வேண்டும். புரோட்ராக்டரின் அரைவட்டப் பகுதியில் ஹைபோடென்யூஸ் ஏபி இருக்கும் புள்ளியைக் குறிக்கவும். இந்த புள்ளியில் உள்ள மதிப்பு டிகிரி கோணத்துடன் ஒத்துள்ளது. ப்ரோட்ராக்டரில் 2 மதிப்புகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்டால், கடுமையான கோணத்திற்கு நீங்கள் சிறிய ஒன்றைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், ஒரு மழுங்கிய கோணத்திற்கு - பெரியது.

பிராடிஸ் குறிப்புப் புத்தகங்களில் விளைந்த மதிப்பைக் கண்டறிந்து, அதன் விளைவாக வரும் எண் மதிப்பு எந்தக் கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். எங்கள் பாட்டி இந்த முறையைப் பயன்படுத்தினர்.

நம்மில் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைக் கணக்கிடும் செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால் போதும். எடுத்துக்காட்டாக, உள்ளமைக்கப்பட்ட விண்டோஸ் கால்குலேட்டர். "கால்குலேட்டர்" பயன்பாட்டைத் தொடங்கவும், "காட்சி" மெனு உருப்படியில், "பொறியியல்" என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். விரும்பிய கோணத்தின் சைனைக் கணக்கிடவும், எடுத்துக்காட்டாக, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

கால்குலேட்டர் டிஸ்ப்ளேவில் உள்ள INV பொத்தானைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம் கால்குலேட்டரை தலைகீழ் செயல்பாட்டு பயன்முறைக்கு மாற்றவும், பின்னர் ஆர்க்சைன் செயல்பாடு பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும் (காட்சியில் பாவம் கழித்தல் முதல் சக்தியாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது). கணக்கீட்டு சாளரத்தில் பின்வரும் செய்தி தோன்றும்: asind (0.5) = 30. I.e. விரும்பிய கோணத்தின் மதிப்பு 30 டிகிரி ஆகும்.

சராசரி நிலை

வலது முக்கோணம். முழுமையான விளக்கப்பட வழிகாட்டி (2019)

வலது முக்கோணம். முதல் நிலை.

சிக்கல்களில், வலது கோணம் அவசியமில்லை - கீழ் இடது, எனவே இந்த வடிவத்தில் ஒரு வலது முக்கோணத்தை அடையாளம் காண நீங்கள் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்,

மற்றும் இதில்

மற்றும் இதில்

செங்கோண முக்கோணத்தில் எது நல்லது? சரி... முதலில், சிறப்புகள் உள்ளன அழகான பெயர்கள்அவரது பக்கங்களுக்கு.

வரைவதில் கவனம்!

நினைவில் வைத்து குழப்ப வேண்டாம்: இரண்டு கால்கள் உள்ளன, ஒரே ஒரு ஹைப்போடென்யூஸ் உள்ளது(ஒரே ஒரு, தனிப்பட்ட மற்றும் நீண்ட)!

சரி, நாங்கள் பெயர்களைப் பற்றி விவாதித்தோம், இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்: பித்தகோரியன் தேற்றம்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்.

இந்த தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் சம்பந்தப்பட்ட பல பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் திறவுகோலாகும். இது முற்றிலும் பழங்கால காலங்களில் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது, பின்னர் அது அறிந்தவர்களுக்கு நிறைய நன்மைகளைத் தந்தது. மற்றும் சிறந்த விஷயம் என்னவென்றால், அது எளிமையானது.

அதனால், பித்தகோரியன் தேற்றம்:

"பித்தகோரியன் பேண்ட்ஸ் எல்லா பக்கங்களிலும் சமம்!" என்ற நகைச்சுவை உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா?

இதே பித்தகோரியன் பேண்ட்டை வரைந்து அவற்றைப் பார்ப்போம்.

இது ஒரு வகையான குறும்படங்கள் போல் தெரியவில்லையா? சரி, எந்தப் பக்கங்களில், எங்கு சமமாக இருக்கின்றன? நகைச்சுவை ஏன், எங்கிருந்து வந்தது? இந்த நகைச்சுவையானது பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் துல்லியமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது அல்லது இன்னும் துல்லியமாக பித்தகோரஸ் தனது தேற்றத்தை உருவாக்கிய விதத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் அவர் அதை பின்வருமாறு வடிவமைத்தார்:

"தொகை சதுரங்களின் பகுதிகள், கால்கள் கட்டப்பட்டது, சமமாக உள்ளது சதுர பரப்பளவு, ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்டது."

இது உண்மையில் கொஞ்சம் வித்தியாசமாக இருக்கிறதா? எனவே, பிதாகரஸ் தனது தேற்றத்தின் அறிக்கையை வரைந்தபோது, இதுவே வெளிவந்த படம்.

இந்த படத்தில், சிறிய சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம். கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம் என்பதை குழந்தைகள் நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, பித்தகோரியன் பேன்ட் பற்றி நகைச்சுவையான ஒருவர் இந்த நகைச்சுவையுடன் வந்தார்.

நாம் ஏன் இப்போது பித்தகோரியன் தேற்றத்தை உருவாக்குகிறோம்?

பித்தகோரஸ் கஷ்டப்பட்டு சதுரங்களைப் பற்றி பேசினாரா?

பழங்காலத்தில்... அல்ஜீப்ரா இல்லையே! அறிகுறிகள் மற்றும் பல இல்லை. கல்வெட்டுகள் எதுவும் இல்லை. ஏழை பண்டைய மாணவர்கள் எல்லாவற்றையும் வார்த்தைகளில் நினைவில் வைத்திருப்பது எவ்வளவு பயங்கரமானது என்று உங்களால் கற்பனை செய்ய முடியுமா??! பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் எளிய உருவாக்கம் எங்களிடம் உள்ளது என்று நாம் மகிழ்ச்சியடையலாம். அதை நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறோம்:

இது இப்போது எளிதாக இருக்க வேண்டும்:

ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

சரி, வலது முக்கோணங்களைப் பற்றிய மிக முக்கியமான தேற்றம் விவாதிக்கப்பட்டது. இது எவ்வாறு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், பின்வரும் கோட்பாட்டின் நிலைகளைப் படிக்கவும், இப்போது நாம் தொடரலாம்... இருண்ட காடு... முக்கோணவியல்! சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்ற பயங்கரமான வார்த்தைகளுக்கு.

செங்கோண முக்கோணத்தில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட்.

உண்மையில், எல்லாம் மிகவும் பயமாக இல்லை. நிச்சயமாக, sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் "உண்மையான" வரையறையை கட்டுரையில் பார்க்க வேண்டும். ஆனால் நான் உண்மையில் விரும்பவில்லை, இல்லையா? நாம் மகிழ்ச்சியடையலாம்: செங்கோண முக்கோணத்தைப் பற்றிய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, பின்வரும் எளிய விஷயங்களை நீங்கள் நிரப்பலாம்:

எல்லாம் ஏன் மூலையில் இருக்கிறது? மூலை எங்கே? இதைப் புரிந்து கொள்ள, 1 - 4 அறிக்கைகள் எவ்வாறு வார்த்தைகளில் எழுதப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பாருங்கள், புரிந்து கொள்ளுங்கள், நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

1.
உண்மையில் இது போல் தெரிகிறது:

கோணத்தைப் பற்றி என்ன? மூலைக்கு எதிரே ஒரு கால் இருக்கிறதா, அதாவது எதிர் (ஒரு கோணத்திற்கு) கால் இருக்கிறதா? நிச்சயமாக உண்டு! இது ஒரு கால்!

கோணத்தைப் பற்றி என்ன? கவனமாக பாருங்கள். எந்த கால் மூலைக்கு அருகில் உள்ளது? நிச்சயமாக, கால். இதன் பொருள் கோணத்திற்கு கால் அருகில் உள்ளது, மற்றும்

இப்போது கவனம் செலுத்துங்கள்! எங்களுக்கு கிடைத்ததைப் பாருங்கள்:

இது எவ்வளவு அருமையாக இருக்கிறது என்று பாருங்கள்:

இப்போது நாம் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்டுக்கு செல்லலாம்.

இதை இப்போது எப்படி வார்த்தைகளில் எழுதுவது? கோணம் தொடர்பாக கால் என்றால் என்ன? எதிர், நிச்சயமாக - அது மூலைக்கு எதிரே "பொய்". கால் பற்றி என்ன? மூலைக்கு அருகில். அப்படியானால் நம்மிடம் என்ன இருக்கிறது?

எண் மற்றும் வகு எவ்வாறு இடங்களை மாற்றியுள்ளன என்பதைப் பார்க்கவா?

இப்போது மீண்டும் மூலைகள் மற்றும் பரிமாற்றம் செய்தன:

சுருக்கம்

நாம் கற்றுக்கொண்ட அனைத்தையும் சுருக்கமாக எழுதுவோம்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

செங்கோண முக்கோணங்களைப் பற்றிய முக்கிய தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றம் ஆகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்

மூலம், கால்கள் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் என்றால் என்ன என்பது உங்களுக்கு நன்றாக நினைவிருக்கிறதா? மிகவும் நன்றாக இல்லை என்றால், படத்தைப் பாருங்கள் - உங்கள் அறிவைப் புதுப்பிக்கவும்

நீங்கள் ஏற்கனவே பித்தகோரியன் தேற்றத்தை பலமுறை பயன்படுத்தியிருக்கலாம், ஆனால் அத்தகைய தேற்றம் ஏன் உண்மை என்று நீங்கள் எப்போதாவது யோசித்திருக்கிறீர்களா? நான் எப்படி நிரூபிக்க முடியும்? பண்டைய கிரேக்கர்களைப் போலவே செய்வோம். ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தை வரைவோம்.

எவ்வளவு புத்திசாலித்தனமாக அதன் பக்கங்களை நீளமாகப் பிரித்தோம் என்று பாருங்கள்!

இப்போது குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைப்போம்

எவ்வாறாயினும், இங்கே நாங்கள் வேறு ஒன்றைக் குறிப்பிட்டோம், ஆனால் நீங்களே வரைபடத்தைப் பார்த்து, இது ஏன் என்று சிந்தியுங்கள்.

பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு என்ன? சரி,. ஒரு சிறிய பகுதி பற்றி என்ன? நிச்சயமாக, . நான்கு மூலைகளின் மொத்த பரப்பளவு உள்ளது. நாம் அவற்றை ஒரே நேரத்தில் இரண்டாக எடுத்து, அவற்றின் ஹைப்போடனஸ் மூலம் ஒருவருக்கொருவர் சாய்ந்தோம் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். என்ன நடந்தது? இரண்டு செவ்வகங்கள். இதன் பொருள் "வெட்டுகளின்" பகுதி சமம்.

இப்போது அனைத்தையும் ஒன்றாகப் போடுவோம்.

மாற்றுவோம்:

எனவே நாங்கள் பித்தகோரஸைப் பார்வையிட்டோம் - அவரது தேற்றத்தை ஒரு பழங்கால வழியில் நிரூபித்தோம்.

வலது முக்கோணம் மற்றும் முக்கோணவியல்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு, பின்வரும் உறவுகள் உள்ளன:

கடுமையான கோணத்தின் சைன் விகிதத்திற்கு சமம்ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கம்

கடுமையான கோணத்தின் கொசைன், ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகில் உள்ள காலின் விகிதத்திற்கு சமம்.

ஒரு தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு எதிரெதிர் பக்கத்தின் அடுத்த பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமம்.

ஒரு தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் எதிர் பக்கத்திற்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமம்.

மீண்டும் ஒரு மாத்திரை வடிவில் இவை அனைத்தும்:

இது மிகவும் வசதியானது!

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்

I. இரண்டு பக்கங்களிலும்

II. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

III. ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்

IV. கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில்

கவனம்! கால்கள் "பொருத்தமானவை" என்பது இங்கே மிகவும் முக்கியமானது. உதாரணமாக, இது இப்படி நடந்தால்:

பின்னர் முக்கோணங்கள் சமமாக இல்லை, அவர்கள் ஒரே மாதிரியான கடுமையான கோணத்தைக் கொண்டிருந்தாலும்.

வேண்டும் இரண்டு முக்கோணங்களிலும் கால் அருகருகே இருந்தது, அல்லது இரண்டிலும் எதிரே இருந்தது.

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் வழக்கமான அறிகுறிகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? தலைப்பைப் பாருங்கள் "சாதாரண" முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கு, அவற்றின் மூன்று கூறுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்: இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும், இரண்டு கோணங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான பக்கமும் அல்லது மூன்று பக்கங்களும். ஆனால் வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கு, இரண்டு தொடர்புடைய கூறுகள் மட்டுமே போதுமானது. அருமை, சரியா?

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகளுடன் நிலைமை தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக உள்ளது.

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்

I. கடுமையான கோணத்தில்

II. இரண்டு பக்கங்களிலும்

III. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

செங்கோண முக்கோணத்தில் இடைநிலை

ஏன் இப்படி?

செங்கோண முக்கோணத்திற்குப் பதிலாக, முழு செவ்வகத்தைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு மூலைவிட்டத்தை வரைந்து ஒரு புள்ளியைக் கருத்தில் கொள்வோம் - மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளி. செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களைப் பற்றி உங்களுக்கு என்ன தெரியும்?

மேலும் இதிலிருந்து என்ன வருகிறது?

எனவே அது மாறியது

- சராசரி:

இந்த உண்மையை நினைவில் வையுங்கள்! நிறைய உதவுகிறது!

அதைவிட ஆச்சரியம் என்னவென்றால், அதற்கு நேர்மாறான உண்மையும் இருக்கிறது.

ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட சராசரியானது பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமமாக இருப்பதால் என்ன பலன் கிடைக்கும்? படத்தைப் பார்ப்போம்

கவனமாக பாருங்கள். எங்களிடம் உள்ளது: , அதாவது, புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகளுக்கும் உள்ள தூரம் சமமாக மாறியது. ஆனால் முக்கோணத்தில் ஒரே ஒரு புள்ளி மட்டுமே உள்ளது, முக்கோணத்தின் மூன்று செங்குத்துகளிலிருந்தும் உள்ள தூரங்கள் சமமாக இருக்கும், இது வட்டத்தின் மையம். அதனால் என்ன நடந்தது?

எனவே இந்த "தவிர..." உடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

மற்றும் பார்க்கலாம்.

ஆனால் ஒத்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் சமமான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன!

மற்றும் பற்றி இதையே கூறலாம்

இப்போது அதை ஒன்றாக வரைவோம்:

இந்த "மூன்று" ஒற்றுமையால் என்ன பலன் கிடைக்கும்?

சரி, உதாரணமாக - செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்திற்கான இரண்டு சூத்திரங்கள்.

தொடர்புடைய கட்சிகளின் உறவுகளை எழுதுவோம்:

உயரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, விகிதாச்சாரத்தைத் தீர்த்து பெறுகிறோம் முதல் சூத்திரம் "செங்கோண முக்கோணத்தில் உயரம்":

எனவே, ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்துவோம்: .

இப்போது என்ன நடக்கும்?

மீண்டும் நாம் விகிதத்தைத் தீர்த்து இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

இந்த இரண்டு சூத்திரங்களையும் நீங்கள் நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் மிகவும் வசதியான ஒன்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும். அவற்றை மீண்டும் எழுதுவோம்

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: .

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்:

இரண்டு பக்கங்களிலும்:
கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்: அல்லது
கால் மற்றும் அருகிலுள்ள கடுமையான கோணத்தில்: அல்லது
கால் மற்றும் எதிர் கடுமையான கோணத்தில்: அல்லது
ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்: அல்லது.

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்:

ஒரு தீவிர மூலை: அல்லது
இரண்டு கால்களின் விகிதாச்சாரத்தில் இருந்து:
கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் விகிதாச்சாரத்தில் இருந்து: அல்லது.

செங்கோண முக்கோணத்தில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்:
செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிரக் கோணத்தின் கொசைன் என்பது, அருகில் உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்:
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிர் பக்கத்திற்கும் அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும்:
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் என்பது அருகில் உள்ள பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்: .

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம்: அல்லது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட இடைநிலையானது பாதி ஹைபோடென்யூஸுக்கு சமம்: .

வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:

கால்கள் வழியாக:

சராசரி நிலை

வலது முக்கோணம். முழுமையான விளக்கப்பட வழிகாட்டி (2019)

வலது முக்கோணம். முதல் நிலை.

மற்றும் இதில்

மற்றும் இதில்

செங்கோண முக்கோணத்தில் எது நல்லது? சரி..., முதலில், அதன் பக்கங்களுக்கு சிறப்பு அழகான பெயர்கள் உள்ளன.

வரைவதில் கவனம்!

பித்தகோரியன் தேற்றம்.

அதனால், பித்தகோரியன் தேற்றம்:

நாம் ஏன் இப்போது பித்தகோரியன் தேற்றத்தை உருவாக்குகிறோம்?

பித்தகோரஸ் கஷ்டப்பட்டு சதுரங்களைப் பற்றி பேசினாரா?

இது இப்போது எளிதாக இருக்க வேண்டும்:

ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

சரி, வலது முக்கோணங்களைப் பற்றிய மிக முக்கியமான தேற்றம் விவாதிக்கப்பட்டது. இது எவ்வாறு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், பின்வரும் கோட்பாட்டின் நிலைகளைப் படியுங்கள், இப்போது மேலும் செல்லலாம்... இருண்ட காட்டுக்குள்... முக்கோணவியல்! சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்ற பயங்கரமான வார்த்தைகளுக்கு.

செங்கோண முக்கோணத்தில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட்.

1.
உண்மையில் இது போல் தெரிகிறது:

இப்போது கவனம் செலுத்துங்கள்! எங்களுக்கு கிடைத்ததைப் பாருங்கள்:

இது எவ்வளவு அருமையாக இருக்கிறது என்று பாருங்கள்:

இப்போது நாம் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்டுக்கு செல்லலாம்.

எண் மற்றும் வகு எவ்வாறு இடங்களை மாற்றியுள்ளன என்பதைப் பார்க்கவா?

இப்போது மீண்டும் மூலைகள் மற்றும் பரிமாற்றம் செய்தன:

சுருக்கம்

நாம் கற்றுக்கொண்ட அனைத்தையும் சுருக்கமாக எழுதுவோம்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

பித்தகோரியன் தேற்றம்

இப்போது குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைப்போம்

இப்போது அனைத்தையும் ஒன்றாகப் போடுவோம்.

மாற்றுவோம்:

வலது முக்கோணம் மற்றும் முக்கோணவியல்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு, பின்வரும் உறவுகள் உள்ளன:

கடுமையான கோணத்தின் சைன் எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம்

மீண்டும் ஒரு மாத்திரை வடிவில் இவை அனைத்தும்:

இது மிகவும் வசதியானது!

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்

I. இரண்டு பக்கங்களிலும்

II. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

III. ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்

IV. கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில்

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்

I. கடுமையான கோணத்தில்

II. இரண்டு பக்கங்களிலும்

III. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

செங்கோண முக்கோணத்தில் இடைநிலை

ஏன் இப்படி?

செங்கோண முக்கோணத்திற்குப் பதிலாக, முழு செவ்வகத்தைக் கவனியுங்கள்.

மேலும் இதிலிருந்து என்ன வருகிறது?

எனவே அது மாறியது

- சராசரி:

இந்த உண்மையை நினைவில் வையுங்கள்! நிறைய உதவுகிறது!

அதைவிட ஆச்சரியம் என்னவென்றால், அதற்கு நேர்மாறான உண்மையும் இருக்கிறது.

எனவே இந்த "தவிர..." உடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

மற்றும் பார்க்கலாம்.

ஆனால் ஒத்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் சமமான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன!

மற்றும் பற்றி இதையே கூறலாம்

இப்போது அதை ஒன்றாக வரைவோம்:

இந்த "மூன்று" ஒற்றுமையால் என்ன பலன் கிடைக்கும்?

சரி, உதாரணமாக - செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்திற்கான இரண்டு சூத்திரங்கள்.

தொடர்புடைய கட்சிகளின் உறவுகளை எழுதுவோம்:

எனவே, ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்துவோம்: .

இப்போது என்ன நடக்கும்?

மீண்டும் நாம் விகிதத்தைத் தீர்த்து இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்:

இரண்டு பக்கங்களிலும்:
கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்: அல்லது
கால் மற்றும் அருகிலுள்ள கடுமையான கோணத்தில்: அல்லது
கால் மற்றும் எதிர் கடுமையான கோணத்தில்: அல்லது
ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்: அல்லது.

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்:

ஒரு தீவிர மூலை: அல்லது
இரண்டு கால்களின் விகிதாச்சாரத்தில் இருந்து:
கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் விகிதாச்சாரத்தில் இருந்து: அல்லது.

செங்கோண முக்கோணத்தில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்:
செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிரக் கோணத்தின் கொசைன் என்பது, அருகில் உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்:
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிர் பக்கத்திற்கும் அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும்:
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் என்பது அருகில் உள்ள பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்: .

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம்: அல்லது.

வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:

கால்கள் வழியாக:

பக்கம் அஎன அடையாளம் காண முடியும் B கோணத்திற்கு அருகில்மற்றும் கோணத்திற்கு எதிர்ஏ, மற்றும் பக்க பி- எப்படி A கோணத்திற்கு அருகில்மற்றும் B கோணத்திற்கு எதிர்.

வலது முக்கோணங்களின் வகைகள்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளமும் முழு எண்களாக இருந்தால், அந்த முக்கோணம் அழைக்கப்படுகிறது. பித்தகோரியன் முக்கோணம், மற்றும் அதன் பக்கங்களின் நீளம் என்று அழைக்கப்படும் பித்தகோரியன் மூன்று.

பண்புகள்

உயரம்

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம்.

முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

விடுங்கள் மமற்றும் கள் (ம>கள்) இரண்டு சதுரங்களின் பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸுடன் பொறிக்கப்பட்டுள்ளன c. பிறகு:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சுற்றளவு பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் மூன்று சுற்றப்பட்ட வட்டங்களின் ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

குறிப்புகள்

இணைப்புகள்

வெய்ஸ்டீன், எரிக் டபிள்யூ. Wolfram MathWorld இணையதளத்தில் வலது முக்கோணம் (ஆங்கிலம்).
வென்ட்வொர்த் ஜி.ஏ.வடிவவியலின் ஒரு பாடப் புத்தகம். - ஜின் & கோ., 1895.

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010.

பிற அகராதிகளில் "வலது முக்கோணம்" என்றால் என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:

வலது முக்கோணம்- - தலைப்புகள் எண்ணெய் மற்றும் எரிவாயு தொழில் EN வலது முக்கோணம் ... தொழில்நுட்ப மொழிபெயர்ப்பாளர் வழிகாட்டி

மற்றும் (எளிய) முக்கோணம், முக்கோணம், மனிதன். 1. வடிவியல் உருவம், மூன்று பரஸ்பர வெட்டுக் கோடுகளால் பிணைக்கப்பட்டு மூன்றை உருவாக்குகிறது உள் மூலைகள்(பாய்.). மழுங்கிய முக்கோணம். கடுமையான முக்கோணம். வலது முக்கோணம்.... அகராதிஉஷகோவா

செவ்வக, செவ்வக, செவ்வக (geom.). வலது கோணம் (அல்லது வலது கோணங்கள்) கொண்டிருத்தல். வலது முக்கோணம். செவ்வக வடிவங்கள். உஷாகோவின் விளக்க அகராதி. டி.என். உஷாகோவ். 1935 1940 ... உஷாகோவின் விளக்க அகராதி

இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, முக்கோணம் (அர்த்தங்கள்) பார்க்கவும். ஒரு முக்கோணம் (யூக்ளிடியன் விண்வெளியில்) என்பது ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகளை இணைக்கும் மூன்று பிரிவுகளால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வடிவியல் உருவமாகும். மூன்று புள்ளிகள்,... ... விக்கிபீடியா

முக்கோணம்- ▲ மூன்று கோணங்களைக் கொண்ட பலகோணம், ஒரு முக்கோணம், எளிமையான பலகோணம்; ஒரே வரியில் அமையாத 3 புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது. முக்கோணம். குறுங்கோணம். கடுமையான கோணம். வலது முக்கோணம்: கால். ஹைப்போடென்யூஸ். சமபக்க முக்கோணம். ▼…… ரஷ்ய மொழியின் ஐடியோகிராஃபிக் அகராதி

முக்கோணம், ஆம், கணவர். 1. ஒரு வடிவியல் உருவம், மூன்று கோணங்களைக் கொண்ட பலகோணம், அத்துடன் இந்த வடிவத்தின் எந்தப் பொருள் அல்லது சாதனம். செவ்வக t. மர t. (வரைவதற்கு). சிப்பாய் T. (ஒரு உறை இல்லாத சிப்பாயின் கடிதம், ஒரு மூலையில் மடித்து; மடிக்கக்கூடியது). 2... ஓசெகோவின் விளக்க அகராதி

முக்கோணம் (பலகோணம்)- முக்கோணங்கள்: 1 கடுமையான, செவ்வக மற்றும் மழுங்கிய; 2 வழக்கமான (சமபக்க) மற்றும் ஐசோசெல்ஸ்; 3 இரு பிரிவுகள்; 4 இடைநிலைகள் மற்றும் ஈர்ப்பு மையம்; 5 உயரங்கள்; 6 orthocenter; 7 நடுத்தர வரி. முக்கோணம், 3 பக்கங்களைக் கொண்ட பலகோணம். சில சமயம் கீழ்....... விளக்கப்பட்ட கலைக்களஞ்சிய அகராதி

கலைக்களஞ்சிய அகராதி

முக்கோணம்- ஏ; மீ. 1) அ) மூன்று உள் கோணங்களை உருவாக்கும் மூன்று வெட்டுக் கோடுகளால் கட்டப்பட்ட ஒரு வடிவியல் உருவம். செவ்வக, சமபக்க முக்கோணம். முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள். b) ott. என்ன அல்லது டெஃப் உடன். இந்த வடிவத்தின் உருவம் அல்லது பொருள்...... பல வெளிப்பாடுகளின் அகராதி

ஏ; மீ. 1. மூன்று உள் கோணங்களை உருவாக்கும் மூன்று வெட்டுக் கோடுகளால் கட்டப்பட்ட ஒரு வடிவியல் உருவம். செவ்வக, ஐசோசெல்ஸ் t. முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும். // என்ன அல்லது டெஃப் உடன். இந்த வடிவத்தின் உருவம் அல்லது பொருள். T. கூரைகள். டி.…… கலைக்களஞ்சிய அகராதி

வரையறை.வலது முக்கோணம் -ஒரு முக்கோணம், அதன் கோணங்களில் ஒன்று சரியானது (க்கு சமம்).

வலது முக்கோணம் - சிறப்பு வழக்குஒரு சாதாரண முக்கோணம். எனவே, வலது முக்கோணங்களுக்கான சாதாரண முக்கோணங்களின் அனைத்து பண்புகளும் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. ஆனால் சரியான கோணம் இருப்பதால் சில குறிப்பிட்ட பண்புகள் உள்ளன.

பொதுவான பெயர்கள் (படம் 1):

- வலது கோணம்;

- ஹைப்போடென்யூஸ்;

- கால்கள்;

அரிசி. 1.

உடன்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகள்.

சொத்து 1. கோணங்கள் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

ஆதாரம். எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. என்ற உண்மையைக் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், மீதமுள்ள இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது,

சொத்து 2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸ்எதையும் விட கால்கள்(இது மிகப்பெரிய பக்கமாகும்).

ஆதாரம். ஒரு முக்கோணத்தில், பெரிய பக்கமானது பெரிய கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது (மற்றும் நேர்மாறாகவும்) என்பதை நினைவில் கொள்க. மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்து 1 இலிருந்து கோணங்கள் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை சமமாக உள்ளது. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணம் 0 க்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்பதால், அவை ஒவ்வொன்றும் குறைவாக இருக்கும். இதன் பொருள் இது மிகப்பெரியது, அதாவது முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கம் அதற்கு எதிரே உள்ளது. இதன் பொருள் ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது செங்கோண முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கமாகும், அதாவது: .

சொத்து 3. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸ் கால்களின் கூட்டுத்தொகையை விட குறைவாக இருக்கும்.

ஆதாரம். நாம் நினைவு கூர்ந்தால் இந்த சொத்து தெளிவாகிறது முக்கோண சமத்துவமின்மை.

முக்கோண சமத்துவமின்மை

எந்த முக்கோணத்திலும், எந்த இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவது பக்கத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.

இந்த சமத்துவமின்மையிலிருந்து சொத்து 3 உடனடியாகப் பின்தொடர்கிறது.

குறிப்பு:ஒவ்வொரு கால்களும் தனித்தனியாக ஹைபோடென்யூஸை விட சிறியதாக இருந்தாலும், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை அதிகமாக இருக்கும். ஒரு எண் எடுத்துக்காட்டில் இது போல் தெரிகிறது: , ஆனால் .

வி:

1 வது அடையாளம் (2 பக்கங்களிலும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும்):முக்கோணங்கள் சமமான இரண்டு பக்கங்களையும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தையும் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

2 வது அடையாளம் (பக்கமும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களும்):முக்கோணங்கள் சம பக்கங்களையும், கொடுக்கப்பட்ட பக்கத்திற்கு அருகில் இரண்டு கோணங்களையும் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும். குறிப்பு:ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை நிலையானது மற்றும் சமமானது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, கோணங்களின் "பற்றுதலின்" நிபந்தனை அவசியமில்லை என்பதை நிரூபிப்பது எளிது, அதாவது, பின்வரும் சூத்திரத்தில் அடையாளம் உண்மையாக இருக்கும்: "... பக்கமும் இரண்டு கோணங்களும் சமம், பிறகு...".

3 வது அடையாளம் (3 பக்கங்களில்):முக்கோணங்கள் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

இயற்கையாகவே, இந்த அறிகுறிகள் அனைத்தும் வலது முக்கோணங்களுக்கு உண்மையாகவே இருக்கும். இருப்பினும், வலது முக்கோணங்கள் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க அம்சத்தைக் கொண்டுள்ளன - அவை எப்போதும் ஒரு ஜோடி சமமான வலது கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, இந்த அறிகுறிகள் அவர்களுக்கு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. எனவே, வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகளை உருவாக்குவோம்:

1 வது அடையாளம் (இரண்டு பக்கங்களிலும்):வலது முக்கோணங்களில் ஜோடியாக சமமான கால்கள் இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் (படம் 2).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 2. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அறிகுறியின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:வலது முக்கோணங்களில்: . இதன் பொருள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அடையாளத்தை (2 பக்கங்களிலும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும்) பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

2-வது அடையாளம் (கால் மற்றும் கோணம் மூலம்):ஒரு வலது முக்கோணத்தின் கால் மற்றும் கடுமையான கோணம் மற்றொரு வலது முக்கோணத்தின் கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும் (படம் 3).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 3. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் இரண்டாவது அடையாளத்தின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:சமமான கால்களுக்கு அருகில் உள்ள கோணங்கள் சமமானவை என்பது அடிப்படை அல்ல என்பதை உடனடியாக கவனிக்க வேண்டும். உண்மையில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை (சொத்து 1 மூலம்) க்கு சமம். இதன் பொருள் இந்த கோணங்களில் ஒரு ஜோடி சமமாக இருந்தால், மற்றொன்று சமமாக இருக்கும் (அவற்றின் தொகைகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால்).

இந்த பண்புக்கான ஆதாரம் பயன்பாட்டிற்கு வருகிறது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்(2 மூலைகளிலும் ஒரு பக்கத்திலும்). உண்மையில், நிபந்தனையின்படி, கால்கள் மற்றும் ஒரு ஜோடி அருகிலுள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். ஆனால் இரண்டாவது ஜோடி அருகிலுள்ள கோணங்கள் கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும் . இதன் பொருள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான இரண்டாவது அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

3 வது அடையாளம் (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கோணம் மூலம்):ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அக்யூட் கோணம் மற்றொரு வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அக்யூட் கோணத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும் (படம் 4).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 4. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் மூன்றாவது அடையாளத்தின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:இந்த அடையாளத்தை நிரூபிக்க நீங்கள் உடனடியாக பயன்படுத்தலாம் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்- ஒரு பக்கத்திலும் இரண்டு கோணங்களிலும் (இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு இணை, இது கோணங்கள் பக்கத்திற்கு அருகில் இருக்க வேண்டியதில்லை என்று கூறுகிறது). உண்மையில், நிபந்தனையின் படி: , , மற்றும் வலது முக்கோணங்களின் பண்புகளிலிருந்து அது பின்வருமாறு . இதன் பொருள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான இரண்டாவது அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

4 வது அடையாளம் (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கால் மூலம்):ஒரு வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால் முறையே, மற்றொரு வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் (படம் 5).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 5. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் நான்காவது அடையாளத்தின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:இந்த அளவுகோலை நிரூபிக்க, முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான அளவுகோலைப் பயன்படுத்துவோம், இது கடந்த பாடத்தில் நாங்கள் உருவாக்கி நிரூபித்தோம், அதாவது: முக்கோணங்களுக்கு இரண்டு சம பக்கங்களும் பெரிய கோணமும் இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். உண்மையில், நிபந்தனையின்படி எங்களிடம் இரண்டு உள்ளது சம பக்கங்கள். கூடுதலாக, வலது முக்கோணங்களின் சொத்தின் படி: . முக்கோணத்தில் வலது கோணம் மிகப்பெரியது என்பதை நிரூபிக்க இது உள்ளது. இது அப்படி இல்லை என்று வைத்துக் கொள்வோம், அதாவது . ஆனால் முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ஏற்கனவே அதிகமாக இருக்கும். ஆனால் இது சாத்தியமற்றது, அதாவது முக்கோணத்தில் அத்தகைய கோணம் இருக்க முடியாது. அதாவது செங்கோண முக்கோணத்தில் வலது கோணம் மிகப்பெரியது. இதன் பொருள் நீங்கள் மேலே வடிவமைக்கப்பட்ட அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

இப்போது செங்கோண முக்கோணங்களின் சிறப்பியல்பு கொண்ட மேலும் ஒரு சொத்தை உருவாக்குவோம்.

சொத்து

உள்ள கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கால், ஹைப்போடென்யூஸை விட 2 மடங்கு சிறியது(படம் 6).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 6.

நிரூபிக்க:ஏபி

ஆதாரம்:கூடுதல் கட்டுமானத்தைச் செய்வோம்: புள்ளிக்கு அப்பால் நேர்கோட்டை சமமான பிரிவுக்கு நீட்டவும். ஒரு புள்ளியைப் பெறுவோம். கோணங்களும் அருகருகே இருப்பதால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமம். முதல் , பின்னர் கோணம் .

எனவே வலது முக்கோணங்கள் (இரண்டு பக்கங்களிலும்: - பொது, - கட்டுமானம் மூலம்) - வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அறிகுறி.

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, தொடர்புடைய அனைத்து கூறுகளும் சமமானவை. பொருள், . எங்கே: . கூடுதலாக, (அதே முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து). இதன் பொருள் முக்கோணம் ஐசோசெல்ஸ் (அதன் அடிப்படை கோணங்கள் சமமாக இருப்பதால்), ஆனால் ஒரு சமபக்க முக்கோணம், அதன் கோணங்களில் ஒன்று சமபக்கமானது. இதிலிருந்து, குறிப்பாக, அது பின்வருமாறு .

ஒரு கோணத்திற்கு எதிரே கிடக்கும் காலின் சொத்து

எதிர் அறிக்கையும் உண்மை என்பது கவனிக்கத்தக்கது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸ் கால்களில் ஒன்றின் அளவை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக இருந்தால், இந்த காலுக்கு எதிரே உள்ள கடுமையான கோணம் சமமாக இருக்கும்.

குறிப்பு: அடையாளம்எந்தவொரு கூற்றும் உண்மையாக இருந்தால், முக்கோணம் செங்கோணமாக இருக்கும். அதாவது, வலதுபுற முக்கோணத்தை அடையாளம் காண இந்த அம்சம் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒரு அடையாளத்தை குழப்பாமல் இருப்பது முக்கியம் சொத்து- அதாவது, முக்கோணம் வலது கோணத்தில் இருந்தால், அது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது... பெரும்பாலும் அறிகுறிகளும் பண்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக இருக்கும், ஆனால் எப்போதும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பண்பு: ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கு ஒரு கோணம் உள்ளது.. ஆனால் இது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் அடையாளமாக இருக்காது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரு கோணத்தைக் கொண்டிருக்காது., சமபக்கமானது.