Cómo multiplicar fracciones con números enteros. Fracciones. Multiplicar y dividir fracciones

20.10.2019

) y denominador por denominador (obtenemos el denominador del producto).

Fórmula para multiplicar fracciones:

Por ejemplo:

Antes de comenzar a multiplicar numeradores y denominadores, debes verificar si la fracción se puede reducir. Si puedes reducir la fracción, te resultará más fácil realizar más cálculos.

Dividir una fracción común por una fracción.

División de fracciones que involucran números naturales.

No da tanto miedo como parece. Como en el caso de la suma, convertimos el número entero en una fracción con uno en el denominador. Por ejemplo:

Multiplicación de fracciones mixtas.

Reglas para multiplicar fracciones (mixtas):

convertir fracciones mixtas en fracciones impropias;
multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones;
reducir la fracción;
Si obtienes una fracción impropia, convertimos la fracción impropia en una fracción mixta.

¡Nota! Multiplicar fracción mixta a otra fracción mixta, primero debes convertirlas a la forma de fracciones impropias y luego multiplicarlas de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias.

La segunda forma de multiplicar una fracción por un número natural.

Puede resultar más conveniente utilizar el segundo método de multiplicar una fracción común por un número.

¡Nota! Para multiplicar una fracción por un número natural, debes dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador sin cambios.

Del ejemplo anterior, queda claro que esta opción es más conveniente de usar cuando el denominador de una fracción se divide sin resto por un número natural.

Fracciones de varios pisos.

En la escuela secundaria, a menudo se encuentran fracciones de tres pisos (o más). Ejemplo:

Para llevar dicha fracción a su forma habitual, utilice la división por 2 puntos:

¡Nota! Al dividir fracciones, el orden de división es muy importante. Tenga cuidado, es fácil confundirse aquí.

Nota, Por ejemplo:

Al dividir uno por cualquier fracción, el resultado será la misma fracción, sólo que invertida:

Consejos prácticos para multiplicar y dividir fracciones:

1. Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención. Haga todos los cálculos con cuidado, precisión, concentración y claridad. Es mejor escribir algunas líneas adicionales en el borrador que perderse en cálculos mentales.

2. En tareas con diferentes tipos fracciones: pasa a la forma de fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que ya no sea posible reducir.

4. Transformamos expresiones fraccionarias de varios niveles en ordinarias mediante división por 2 puntos.

5. Divide mentalmente una unidad por una fracción, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas conocer reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.

Multiplicar una fracción común por una fracción.

Para multiplicar una fracción por una fracción, debes calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.

$\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\$

Veamos un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.

$\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ multiplicado por 3)(7 \multiplicado por 3) = \frac(4)(7)\\$

La fracción $\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\$ se redujo en 3.

Multiplicar una fracción por un número.

Primero, recordemos la regla, cualquier número se puede representar como una fracción $\bf n = \frac(n)(1)$ .

Usemos esta regla al multiplicar.

$5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\$

Fracción impropia $\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\$ convertido a fracción mixta.

En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplicamos el número por el numerador y dejamos el denominador sin cambios. Ejemplo:

$\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\$ $\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\$

Multiplicación de fracciones mixtas.

Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de multiplicación. Multiplicamos el numerador por el numerador y multiplicamos el denominador por el denominador.

Ejemplo:
$2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rojo) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rojo) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\$

Multiplicación de fracciones y números recíprocos.

La fracción $\bf \frac(a)(b)$ es la inversa de la fracción $\bf \frac(b)(a)$, siempre que a≠0,b≠0.
Las fracciones $\bf \frac(a)(b)$ y $\bf \frac(b)(a)$ se llaman fracciones recíprocas. El producto de fracciones recíprocas es igual a 1.
$\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\$

Ejemplo:
$\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\$

Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación de un numerador por un numerador, un denominador por un denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.

¿Cómo multiplicar fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: no importa si son iguales o diferentes denominadores Para fracciones, la multiplicación se produce de acuerdo con la regla de encontrar el producto del numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: primero que nada, debes convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto usando las reglas de la multiplicación.

¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: multiplicamos el número por el numerador, pero dejamos el denominador igual.

Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)$ b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Solución:
a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ $
b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rojo) (5))(3 \times \color(rojo) (5) \times 13) = \frac(4)(39)$

Ejemplo #2:
Calcula los productos de un número y una fracción: a) $3 \times \frac(17)(23)$ b) $\frac(2)(3) \times 11$

Solución:
a) $3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\$
b) $\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)$

Ejemplo #3:
¿Escribe el recíproco de la fracción $\frac(1)(3)$?
Respuesta: $\frac(3)(1) = 3$

Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones mutuamente inversas: a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)$

Solución:
a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1$

Ejemplo #5:
¿Pueden las fracciones recíprocas ser:
a) simultáneamente con fracciones propias;
b) fracciones simultáneamente impropias;
c) números simultáneamente naturales?

Solución:
a) para responder a la primera pregunta, pongamos un ejemplo. La fracción $\frac(2)(3)$ es propia, su fracción inversa será igual a $\frac(3)(2)$ - una fracción impropia. Respuesta: no.

b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser a la vez fracción impropia. Por ejemplo, la fracción impropia es $\frac(3)(3)$, su fracción inversa es igual a $\frac(3)(3)$. Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.

c) los números naturales son números que utilizamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3,…. Si tomamos el número $3 = \frac(3)(1)$, entonces su fracción inversa será $\frac(1)(3)$. La fracción $\frac(1)(3)$ no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco del número siempre es una fracción, excepto 1. Si tomamos el número 1, entonces su fracción recíproca será $\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1$. El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales sólo en un caso, si es el número 1.

Ejemplo #6:
Haz el producto de fracciones mixtas: a) $4 \times 2\frac(4)(5)$ b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Solución:
a) $4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ $
b) $1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)$

Ejemplo #7:
¿Pueden dos recíprocos ser números mixtos al mismo tiempo?

Veamos un ejemplo. Tomemos una fracción mixta $1\frac(1)(2)$, encontremos su fracción inversa, para ello la convertimos en fracción impropia $1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2)$ . Su fracción inversa será igual a $\frac(2)(3)$ . La fracción $\frac(2)(3)$ es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones que son mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.

Multiplicar fracciones comunes

Veamos un ejemplo.

Sea $\frac(1)(3)$ parte de una manzana en un plato. Necesitamos encontrar la parte $\frac(1)(2)$. La parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(2)$. El resultado de multiplicar dos fracciones comunes es una fracción común.

Multiplicar dos fracciones ordinarias

Regla para multiplicar fracciones ordinarias:

El resultado de multiplicar una fracción por una fracción es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones que se multiplican, y el denominador es igual al producto de los denominadores:

Ejemplo 1

Realizar la multiplicación de fracciones comunes $\frac(3)(7)$ y $\frac(5)(11)$.

Solución.

Usemos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Respuesta:$\frac(15)(77)$

Si al multiplicar fracciones se obtiene una fracción reducible o impropia, debes simplificarla.

Ejemplo 2

Multiplica las fracciones $\frac(3)(8)$ y $\frac(1)(9)$.

Solución.

Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Como resultado, obtuvimos una fracción reducible (basada en la división por $3$. Dividimos el numerador y el denominador de la fracción por $3$, obtenemos:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Solución corta:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Respuesta:$\frac(1)(24).$

Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores hasta encontrar su producto. En este caso, el numerador y el denominador de la fracción se descomponen en factores simples, después de lo cual se cancelan los factores repetidos y se encuentra el resultado.

Ejemplo 3

Calcula el producto de las fracciones $\frac(6)(75)$ y $\frac(15)(24)$.

Solución.

Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden reducir en pares a los números $2$, $3$ y $5$. Factoricemos el numerador y el denominador en factores simples y hagamos una reducción:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Respuesta:$\frac(1)(20).$

Al multiplicar fracciones, puedes aplicar la ley conmutativa:

Multiplicar una fracción común por un número natural

La regla para multiplicar una fracción común por un número natural:

El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicada por el número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:

donde $\frac(a)(b)$ es una fracción ordinaria, $n$ es un número natural.

Ejemplo 4

Multiplica la fracción $\frac(3)(17)$ por $4$.

Solución.

Usemos la regla para multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Respuesta:$\frac(12)(17).$

No olvides comprobar el resultado de la multiplicación por la reducibilidad de una fracción o por una fracción impropia.

Ejemplo 5

Multiplica la fracción $\frac(7)(15)$ por el número $3$.

Solución.

Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Dividiendo por el número $3$) podemos determinar que la fracción resultante se puede reducir:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

El resultado fue una fracción incorrecta. Seleccionemos la parte completa:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Solución corta:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Las fracciones también se pueden reducir reemplazando los números del numerador y denominador con sus factorizaciones en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse de la siguiente manera:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Respuesta:$1\frac(2)(5).$

Al multiplicar una fracción por un número natural, puedes utilizar la ley conmutativa:

Dividir fracciones

La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la cual se debe multiplicar una fracción conocida para obtener el producto conocido de dos fracciones.

Dividiendo dos fracciones ordinarias

Regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y denominador de la fracción resultante se pueden factorizar y reducir:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Como resultado, obtenemos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Respuesta:$1\frac(5)(9).$

Contenido de la lección

Sumar fracciones con denominadores iguales

Hay dos tipos de suma de fracciones:

Sumar fracciones con denominadores iguales
Sumar fracciones con diferentes denominadores

Primero, aprendamos la suma de fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, sumemos las fracciones y . Suma los numeradores y deja el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si agregas pizza a pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 2. Suma fracciones y .

La respuesta resultó ser una fracción impropia. Cuando llega el final de la tarea, se acostumbra deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debes seleccionar la parte completa. En nuestro caso Toda una parte se destaca fácilmente: dos dividido por dos es igual a uno:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos una pizza que está dividida en dos partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes una pizza entera:

Ejemplo 3. Suma fracciones y .

Nuevamente sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.

Como puedes ver, no hay nada complicado en sumar fracciones con el mismo denominador. Basta entender las siguientes reglas:

Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;

Sumar fracciones con diferentes denominadores

Ahora aprendamos a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.

Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen mismos denominadores.

Pero las fracciones no se pueden sumar de inmediato, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy veremos sólo uno de ellos, ya que los demás métodos pueden parecer complicados para un principiante.

La esencia de este método es que primero se busca el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego, el MCM se divide por el denominador de la primera fracción para obtener el primer factor adicional. Se hace lo mismo con la segunda fracción: el MCM se divide por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional.

Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones.

Ejemplo 1. Sumemos las fracciones y

En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6

MCM (2 y 3) = 6

Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, divide el MCM por el denominador de la primera fracción y obtén el primer factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Dividimos 6 entre 3 y obtenemos 2.

El número resultante 2 es el primer multiplicador adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, traza una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribe el factor adicional que se encuentra encima:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Dividimos 6 entre 2 y obtenemos 3.

El número 3 resultante es el segundo multiplicador adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, trazamos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y anotamos el factor adicional que se encuentra encima:

Ahora tenemos todo listo para sumar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales:

Mire atentamente a dónde hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:

Esto completa el ejemplo. Resulta sumar .

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizza a una pizza, obtienes una pizza entera y otra sexta parte de una pizza:

La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo las fracciones y a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por los mismos trozos de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).

El primer dibujo representa una fracción (cuatro piezas de seis) y el segundo dibujo representa una fracción (tres piezas de seis). Sumando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es impropia, por eso resaltamos la parte completa. Como resultado, obtuvimos (una pizza entera y otra sexta pizza).

Tenga en cuenta que hemos descrito este ejemplo demasiado detallado. EN Instituciones educacionales No es costumbre escribir con tanto detalle. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:

Pero también hay otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces empiezan a aparecer preguntas de este tipo. “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.

Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puedes utilizar las siguientes instrucciones paso a paso:

Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción;
Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
Suma fracciones que tengan los mismos denominadores;
Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. .

Utilicemos las instrucciones dadas anteriormente.

Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de las fracciones.

Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4.

Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción

Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2 y obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la primera fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3 y obtenemos 4. Obtenemos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos encima de la segunda fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4 y obtenemos 3. Obtenemos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la tercera fracción:

Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales.

Multiplicamos los numeradores y denominadores por sus factores adicionales:

Paso 4. Suma fracciones con los mismos denominadores

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Ya sólo queda sumar estas fracciones. Agrégalo:

La suma no cabía en una línea, por lo que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se pasa a la siguiente línea, y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio de la nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que se trata de una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.

Paso 5. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione la parte completa.

Nuestra respuesta resultó ser una fracción impropia. Tenemos que resaltar toda una parte de ello. Resaltamos:

Recibimos una respuesta

Restar fracciones con denominadores iguales

Hay dos tipos de resta de fracciones:

Restar fracciones con denominadores iguales
Restar fracciones con diferentes denominadores

Primero, aprendamos a restar fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, pero dejar el mismo denominador.

Por ejemplo, encontremos el valor de la expresión. Para resolver este ejemplo, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión.

Nuevamente, del numerador de la primera fracción, resta el numerador de la segunda fracción y deja el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción debes restar los numeradores de las fracciones restantes:

Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Basta entender las siguientes reglas:

Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, entonces debes resaltar la parte completa.

Restar fracciones con diferentes denominadores

Por ejemplo, puedes restar una fracción de una fracción porque las fracciones tienen los mismos denominadores. Pero no se puede restar una fracción de una fracción, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

El denominador común se encuentra usando el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe encima de la primera fracción. De manera similar, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, que se escribe encima de la segunda fracción.

Luego las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones.

Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes reducirlas al mismo denominador (común).

Primero encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12

MCM (3 y 4) = 12

Ahora volvamos a las fracciones y

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divide 12 entre 3 y obtenemos 4. Escribe un cuatro encima de la primera fracción:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divide 12 entre 4 y obtenemos 3. Escribe un tres sobre la segunda fracción:

Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:

Recibimos una respuesta

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si cortas pizza de una pizza, obtienes pizza.

Esta es la versión detallada de la solución. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo en menos tiempo. Una solución de este tipo se vería así:

La reducción de fracciones a un denominador común también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo estas fracciones a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez divididas en partes iguales (reducidas al mismo denominador):

La primera imagen muestra una fracción (ocho piezas de doce) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes reducirlas al mismo denominador (común).

Encontremos el MCM de los denominadores de estas fracciones.

Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de cada fracción.

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la primera fracción es el número 10. Dividimos 30 entre 10 y obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la primera fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 30 entre 3 y obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos encima de la segunda fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividimos 30 entre 5 y obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la tercera fracción:

Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Terminemos este ejemplo.

La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que la movemos a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:

La respuesta resultó ser una fracción regular, y todo parece convenirnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más sencillo. ¿Qué se puede hacer? Puedes acortar esta fracción.

Para reducir una fracción, debes dividir su numerador y denominador por (MCD) de los números 20 y 30.

Entonces, encontramos el mcd de los números 20 y 30:

Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mcd encontrado, es decir, por 10.

Recibimos una respuesta

Multiplicar una fracción por un número

Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por ese número y dejar el denominador igual.

Ejemplo 1. Multiplica una fracción por el número 1.

Multiplica el numerador de la fracción por el número 1.

Se puede entender que la grabación toma la mitad del tiempo. Por ejemplo, si tomas pizza una vez, obtendrás pizza.

Por las leyes de la multiplicación sabemos que si se intercambian el multiplicando y el factor, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:

Esta notación puede entenderse como tomar la mitad de uno. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y le quitamos la mitad, entonces nos quedará pizza:

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la fracción por 4.

La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:

La expresión puede entenderse como tomar dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas 4 pizzas, obtendrás dos pizzas enteras.

Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:

Multiplicar fracciones

Para multiplicar fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, debes resaltar la parte completa.

Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión.

Recibimos una respuesta. Es aconsejable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:

La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:

¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:

Y toma dos de estas tres piezas:

Haremos pizza. Recuerda cómo se ve la pizza dividida en tres partes:

Un trozo de esta pizza y los dos trozos que cogimos tendrán las mismas dimensiones:

Es decir, estamos hablando de pizza del mismo tamaño. Por lo tanto el valor de la expresión es

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta resultó ser una fracción regular, pero sería bueno si la acortaran. Para reducir esta fracción, debes dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el máximo común divisor (MCD) de los números 105 y 450.

Entonces, encontremos el mcd de los números 105 y 450:

Ahora dividimos el numerador y denominador de nuestra respuesta por el mcd que ahora hemos hallado, es decir, por 15

Representar un número entero como una fracción

Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como. Esto no cambiará el significado de cinco, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y este, como sabemos, es igual a cinco:

Números recíprocos

Ahora nos familiarizaremos con un tema muy interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".

Definición. Invertir al númeroa es un número que multiplicado pora da uno.

Sustituyamos en esta definición en lugar de la variable a número 5 e intenta leer la definición:

Invertir al número 5 es un número que multiplicado por 5 da uno.

¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé uno? Resulta que es posible. Imaginemos cinco como fracción:

Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, sólo que al revés:

¿Qué pasará como resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:

Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número , ya que al multiplicar 5 por se obtiene uno.

El recíproco de un número también se puede encontrar para cualquier otro número entero.

También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, simplemente déle la vuelta.

Dividir una fracción por un número

Digamos que tenemos media pizza:

Dividámoslo en partes iguales entre dos. ¿Cuánta pizza recibirá cada persona?

Se puede observar que luego de dividir la mitad de la pizza se obtuvieron dos porciones iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.

La división de fracciones se realiza mediante recíprocos. Los números recíprocos te permiten reemplazar la división con la multiplicación.

Para dividir una fracción por un número, debes multiplicar la fracción por el inverso del divisor.

Usando esta regla anotaremos la división de nuestra mitad de pizza en dos partes.

Entonces, debes dividir la fracción por el número 2. Aquí el dividendo es la fracción y el divisor es el número 2.

Para dividir una fracción por el número 2, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor 2. El recíproco del divisor 2 es la fracción. Entonces necesitas multiplicar por

En este artículo veremos multiplicar números mixtos. Primero, describiremos la regla para multiplicar números mixtos y consideraremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos. A continuación hablaremos de multiplicar un número mixto y un número natural. Finalmente, aprenderemos a multiplicar un número mixto y una fracción común.

Navegación de páginas.

Multiplicar números mixtos.

Multiplicar números mixtos se puede reducir a multiplicar fracciones ordinarias. Para ello, basta con convertir números mixtos a fracciones impropias.

vamos a escribirlo regla de multiplicación de números mixtos:

En primer lugar, los números mixtos que se multiplican deben sustituirse por fracciones impropias;
En segundo lugar, debes utilizar la regla para multiplicar fracciones por fracciones.

Veamos ejemplos de aplicación de esta regla al multiplicar un número mixto por un número mixto.

Realizar multiplicaciones de números mixtos y .

Primero, representemos los números mixtos que se multiplican como fracciones impropias: Y . Ahora podemos sustituir la multiplicación de números mixtos por la multiplicación de fracciones ordinarias: . Aplicando la regla para multiplicar fracciones, obtenemos . La fracción resultante es irreducible (ver fracciones reducibles e irreducibles), pero es impropia (ver fracciones propias e impropias), por lo tanto, para obtener la respuesta final, queda aislar la parte entera de la fracción impropia: .

Escribamos la solución completa en una línea: .

Para fortalecer las habilidades de multiplicar números mixtos, considere resolver otro ejemplo.

Haz la multiplicación.

Números divertidos y son iguales a las fracciones 13/5 y 10/9, respectivamente. Entonces . En esta etapa, es hora de recordar lo que es reducir una fracción: reemplazar todos los números de la fracción con sus descomposiciones en factores primos y realizar una reducción de factores idénticos.

Multiplicar un número mixto y un número natural

Después de reemplazar un número mixto con una fracción impropia, multiplicar un numero mixto y un numero natural conduce a la multiplicación de una fracción ordinaria y un número natural.

Multiplica un número mixto y el número natural 45.

Un número mixto es igual a una fracción, entonces . Reemplacemos los números en la fracción resultante con sus descomposiciones en factores primos, realicemos una reducción y luego seleccionemos la parte completa: .

La multiplicación de un número mixto y un número natural a veces se realiza convenientemente utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma. En este caso, el producto de un número mixto y un número natural es igual a la suma de los productos de la parte entera por el número natural dado y la parte fraccionaria por el número natural dado, es decir, .

Calcula el producto.

Reemplacemos el número mixto con la suma de las partes enteras y fraccionarias, luego de lo cual aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación: .

Multiplicar números mixtos y fracciones Lo más conveniente es reducirlo a la multiplicación de fracciones ordinarias representando el número mixto que se multiplica como una fracción impropia.

Multiplica el número mixto por la fracción común 4/15.

Reemplazando el número mixto con una fracción, obtenemos .

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Multiplicar fracciones

§ 140. Definiciones. 1) Multiplicar una fracción por un número entero se define de la misma manera que multiplicar números enteros, a saber: multiplicar un número (multiplicando) por un número entero (factor) significa componer una suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando y el número de términos es igual al multiplicando.

Entonces multiplicar por 5 significa encontrar la suma:
2) Multiplicar un número (multiplicando) por una fracción (factor) significa encontrar esta fracción del multiplicando.

Por lo tanto, ahora llamaremos a encontrar una fracción de un número dado, que consideramos antes, multiplicación por una fracción.

3) Multiplicar un número (multiplicando) por un número mixto (factor) significa multiplicar el multiplicando primero por el número entero del multiplicando, luego por la fracción del multiplicador, y sumar los resultados de estas dos multiplicaciones.

Por ejemplo:

El número obtenido tras la multiplicación en todos estos casos se llama trabajar, es decir, lo mismo que cuando se multiplican números enteros.

De estas definiciones se desprende claramente que la multiplicación de números fraccionarios es una acción siempre posible y siempre inequívoca.

§ 141. La conveniencia de estas definiciones. Para comprender la conveniencia de introducir las dos últimas definiciones de multiplicación en la aritmética, tomemos el siguiente problema:

Tarea. Un tren, moviéndose uniformemente, recorre 40 km por hora; ¿Cómo saber cuántos kilómetros recorrerá este tren en un número determinado de horas?

Si nos quedáramos con la única definición de multiplicación que se indica en la aritmética de enteros (la suma de términos iguales), entonces nuestro problema tendría tres soluciones diferentes, a saber:

Si el número de horas dado es un número entero (por ejemplo, 5 horas), entonces para resolver el problema es necesario multiplicar 40 km por este número de horas.

Si un número determinado de horas se expresa como una fracción (por ejemplo, una hora), entonces tendrás que encontrar el valor de esta fracción a partir de 40 km.

Finalmente, si el número de horas dado es mixto (por ejemplo, horas), entonces será necesario multiplicar 40 km por el número entero contenido en el número mixto, y al resultado agregar otra fracción de 40 km, que está en el número mixto. número.

Las definiciones que hemos dado nos permiten dar una respuesta general a todos estos casos posibles:

hay que multiplicar 40 km por un número determinado de horas, cualquiera que sea.

Así, si el problema se representa en vista general Entonces:

Un tren, que se mueve uniformemente, recorre v km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el tren en t horas?

entonces, no importa cuáles sean los números v y t, podemos dar una respuesta: el número deseado se expresa mediante la fórmula v · t.

Nota. Encontrar alguna fracción de un número dado, según nuestra definición, significa lo mismo que multiplicar un número dado por esta fracción; por lo tanto, por ejemplo, encontrar el 5% (es decir, cinco centésimas) de un número dado significa lo mismo que multiplicar un número dado por o por ; encontrar el 125% de un número dado significa lo mismo que multiplicar este número por o por, etc.

§ 142. Una nota sobre cuándo un número aumenta y cuándo disminuye por multiplicación.

La multiplicación por una fracción propia disminuye el número y la multiplicación por una fracción impropia aumenta el número si esta fracción impropia es mayor que uno y permanece sin cambios si es igual a uno.
Comentario. Al multiplicar números fraccionarios, así como números enteros, el producto se toma igual a cero si alguno de los factores es igual a cero, entonces.

§ 143. Derivación de reglas de multiplicación.

1) Multiplicar una fracción por un número entero. Dejemos que una fracción se multiplique por 5. Esto significa aumentarla 5 veces. Para aumentar una fracción 5 veces, basta con aumentar su numerador o disminuir su denominador 5 veces (§ 127).

Es por eso:
Regla 1. Para multiplicar una fracción por un número entero, debes multiplicar el numerador por este número entero, pero dejar el denominador igual; en su lugar, también puedes dividir el denominador de la fracción por el número entero dado (si es posible) y dejar el numerador igual.

Comentario. El producto de una fracción por su denominador es igual a su numerador.

Entonces:
Regla 2. Para multiplicar un número entero por una fracción, debes multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de esta fracción como denominador.
Regla 3. Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador, y convertir el primer producto en el numerador y el segundo en el denominador del producto.

Comentario. Esta regla también se puede aplicar para multiplicar una fracción por un número entero y un número entero por una fracción, siempre que consideremos el número entero como una fracción con denominador uno. Entonces:

Así, las tres reglas ahora esbozadas quedan contenidas en una, que de forma general puede expresarse de la siguiente manera:
4) Multiplicación de números mixtos.

Regla 4ta. Para multiplicar números mixtos, debes convertirlos a fracciones impropias y luego multiplicarlos de acuerdo con las reglas para multiplicar fracciones. Por ejemplo:
§ 144. Reducción durante la multiplicación. Al multiplicar fracciones, si es posible, es necesario hacer una reducción preliminar, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

Esta reducción se puede realizar porque el valor de una fracción no cambiará si su numerador y denominador se reducen la misma cantidad de veces.

§ 145. Cambio de producto con factores cambiantes. Cuando los factores cambian, el producto de números fraccionarios cambiará exactamente de la misma manera que el producto de números enteros (§ 53), a saber: si aumenta (o disminuye) cualquier factor varias veces, entonces el producto aumentará (o disminuirá) por la misma cantidad.

Entonces, si en el ejemplo:
para multiplicar varias fracciones, debes multiplicar sus numeradores entre sí y los denominadores entre sí y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.

Comentario. Esta regla también se puede aplicar a productos en los que algunos de los factores del número son enteros o mixtos, si tan solo consideramos el número entero como una fracción con denominador uno y convertimos los números mixtos en fracciones impropias. Por ejemplo:
§ 147. Propiedades básicas de la multiplicación. Las propiedades de la multiplicación que indicamos para los números enteros (§ 56, 57, 59) también se aplican a la multiplicación de números fraccionarios. Indiquemos estas propiedades.

1) El producto no cambia cuando se cambian los factores.

Por ejemplo:

En efecto, según la regla del párrafo anterior, el primer producto es igual a la fracción y el segundo es igual a la fracción. Pero estas fracciones son iguales, porque sus términos difieren sólo en el orden de los factores enteros, y el producto de los números enteros no cambia cuando se cambian los lugares de los factores.

2) El producto no cambiará si algún grupo de factores es reemplazado por su producto.

Por ejemplo:

Los resultados son los mismos.

De esta propiedad de la multiplicación se puede sacar la siguiente conclusión:

para multiplicar un número por un producto, puedes multiplicar este número por el primer factor, multiplicar el número resultante por el segundo, etc.

Por ejemplo:
3) Ley distributiva de la multiplicación (relativa a la suma). Para multiplicar una suma por un número, puedes multiplicar cada término por separado por ese número y sumar los resultados.

Esta ley fue explicada por nosotros (§ 59) aplicada a los números enteros. Sigue siendo cierto sin ningún cambio para los números fraccionarios.

Demostremos, de hecho, que la igualdad

(a + b + c + .)m = soy + bm + cm + .

(la ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma) sigue siendo cierta incluso cuando las letras representan números fraccionarios. Consideremos tres casos.

1) Supongamos primero que el factor m es un número entero, por ejemplo m = 3 (a, b, c – cualquier número). Según la definición de multiplicación por un número entero, podemos escribir (limitándonos a tres términos por simplicidad):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Con base en la ley asociativa de la suma, podemos omitir todos los paréntesis del lado derecho; Aplicando la ley conmutativa de la suma y luego nuevamente la ley asociativa, obviamente podemos reescribir el lado derecho de la siguiente manera:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Esto significa que en este caso se confirma la ley distributiva.

Multiplicar y dividir fracciones

La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (consulte la lección “Suma y resta de fracciones”). La parte más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.

Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, consideremos el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera separada.

Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.

Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".

De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.

Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.

Por definición tenemos:

Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas

Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.

Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:

Más por menos da menos;
Dos negativos hacen una afirmativa.

Hasta ahora, estas reglas sólo se encontraban al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:

Tachamos los negativos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Convertimos todas las fracciones a impropias y luego quitamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:

Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).

También preste atención a los números negativos: al multiplicarlos, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.

Reducir fracciones sobre la marcha

La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Por definición tenemos:

En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.

Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.

Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí, mira:

¡No puedes hacer eso!

El error ocurre porque al sumar, el numerador de una fracción produce una suma, no un producto de números. En consecuencia, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata específicamente de la multiplicación de números.

Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que solución correcta la tarea anterior se ve así:

Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.

Multiplicar fracciones.

Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas conocer reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.

Multiplicar una fracción común por una fracción.

Para multiplicar una fracción por una fracción, debes calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.

Multiplicar una fracción por un número.

Primero, recordemos la regla, cualquier número se puede representar como una fracción $\bf n = \frac $ .

Usemos esta regla al multiplicar.

La fracción impropia $\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\$ se convirtió en una fracción mixta.

En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplicamos el número por el numerador y dejamos el denominador sin cambios. Ejemplo:

Multiplicación de fracciones mixtas.

Multiplicación de fracciones y números recíprocos.

¿Cómo multiplicar fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: no importa si las fracciones tienen denominadores iguales o diferentes, la multiplicación se produce de acuerdo con la regla de encontrar el producto de un numerador por un numerador, un denominador por un denominador.

¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: multiplicamos el número por el numerador, pero dejamos el denominador igual.

Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) $\frac \times \frac $ b) $\frac \times \frac $

Ejemplo #2:
Calcula los productos de un número y una fracción: a) $3 \times \frac $ b) $\frac \times 11$

Ejemplo #3:
¿Escribe el recíproco de la fracción $\frac $?
Respuesta: $\frac = 3$

Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones mutuamente inversas: a) $\frac \times \frac $

Ejemplo #5:
¿Pueden las fracciones recíprocas ser:
a) simultáneamente con fracciones propias;
b) fracciones simultáneamente impropias;
c) números simultáneamente naturales?

Solución:
a) para responder a la primera pregunta, pongamos un ejemplo. La fracción $\frac $ es propia, su fracción inversa será igual a $\frac $ - una fracción impropia. Respuesta: no.

b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser a la vez fracción impropia. Por ejemplo, una fracción impropia es $\frac $ , su fracción inversa es igual a $\frac $. Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.

c) los números naturales son números que utilizamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3,…. Si tomamos el número $3 = \frac $, entonces su fracción inversa será $\frac $. La fracción $\frac $ no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco del número siempre es una fracción, excepto 1. Si tomamos el número 1, entonces su fracción recíproca será $\frac = \frac = 1$. El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales sólo en un caso, si es el número 1.

Ejemplo #6:
Haz el producto de fracciones mixtas: a) $4 \times 2\frac $ b) $1\frac \times 3\frac $

Solución:
a) $4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ $
b) $1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac $

Ejemplo #7:
¿Pueden dos recíprocos ser números mixtos al mismo tiempo?

Veamos un ejemplo. Tomemos una fracción mixta $1\frac $, encontremos su fracción inversa, para ello la convertimos en fracción impropia $1\frac = \frac $ . Su fracción inversa será igual a $\frac $ . La fracción $\frac$ es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones que son mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.

Multiplicar un decimal por un número natural

Presentación para la lección.

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

De una manera divertida, presente a los estudiantes la regla para multiplicar una fracción decimal por un número natural, por una unidad de valor posicional y la regla para expresar una fracción decimal como porcentaje. Desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ejemplos y problemas.
Desarrollar y activar el pensamiento lógico de los estudiantes, la capacidad de identificar patrones y generalizarlos, fortalecer la memoria, la capacidad de cooperar, brindar asistencia, evaluar su propio trabajo y el trabajo de los demás.
Cultivar el interés por las matemáticas, la actividad, la movilidad y las habilidades comunicativas.

Equipo: pizarra interactiva, cartel con un cifrado, carteles con declaraciones de matemáticos.

Organizar el tiempo.
Aritmética oral: generalización de material previamente estudiado, preparación para estudiar material nuevo.
Explicación de material nuevo.
Asignación de tareas.
Educación física matemática.
Generalización y sistematización de los conocimientos adquiridos de forma lúdica utilizando el ordenador.
Calificación.

2. Chicos, nuestra lección de hoy será algo inusual, porque no la enseñaré solo, sino con mi amigo. Y mi amigo también es inusual, lo verás ahora. (Aparece una computadora de dibujos animados en la pantalla). Mi amigo tiene un nombre y puede hablar. ¿Cómo te llamas, amigo? Komposha responde: "Mi nombre es Komposha". ¿Estás listo para ayudarme hoy? ¡SÍ! Pues bien, comencemos la lección.

Hoy recibí, muchachos, un cifrado cifrado que debemos resolver y descifrar juntos. (Se cuelga un cartel en la pizarra con un cálculo oral para sumar y restar fracciones decimales, como resultado de lo cual los niños reciben el siguiente código 523914687. )

Komposha ayuda a descifrar el código recibido. El resultado de la decodificación es la palabra MULTIPLICACIÓN. Multiplicación es la palabra clave del tema de la lección de hoy. El tema de la lección se muestra en el monitor: "Multiplicar una fracción decimal por un número natural"

Chicos, sabemos multiplicar. números naturales. Hoy veremos cómo multiplicar números decimales por un número natural. Multiplicar una fracción decimal por un número natural se puede considerar como una suma de términos, cada uno de los cuales es igual a esta fracción decimal, y el número de términos es igual a este número natural. Por ejemplo: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Entonces, 5,21 ·3 = 15,63. Presentando 5,21 como una fracción común a un número natural, obtenemos

Y en este caso obtuvimos el mismo resultado: 15,63. Ahora, ignorando la coma, en lugar del número 5,21, toma el número 521 y multiplícalo por este número natural. Aquí debemos recordar que en uno de los factores la coma se ha movido dos lugares hacia la derecha. Al multiplicar los números 5, 21 y 3, obtenemos un producto igual a 15,63. Ahora, en este ejemplo, movemos la coma dos lugares a la izquierda. Por lo tanto, cuántas veces se incrementó uno de los factores, cuántas veces se redujo el producto. Basándonos en las similitudes de estos métodos, sacaremos una conclusión.

Multiplicar decimal para un número natural, necesitas:
1) sin prestar atención a la coma, multiplicar números naturales;
2) en el producto resultante, separe con una coma tantos dígitos de la derecha como haya en la fracción decimal.

En el monitor se muestran los siguientes ejemplos, que analizamos junto con Komposha y los chicos: 5,21 ·3 = 15,63 y 7,624 ·15 = 114,34. Luego muestro la multiplicación por un número redondo 12,6 · 50 = 630. A continuación, paso a multiplicar una fracción decimal por una unidad de valor posicional. Muestro los siguientes ejemplos: 7,423 · 100 = 742,3 y 5,2 · 1000 = 5200. Entonces, introduzco la regla para multiplicar una fracción decimal por una unidad de dígito:

Para multiplicar un decimal por unidades de dígitos 10, 100, 1000, etc., debes mover el punto decimal en esta fracción hacia la derecha tantos lugares como ceros hay en la notación de unidades de dígitos.

Termino mi explicación expresando la fracción decimal como porcentaje. Introduzco la regla:

Para expresar una fracción decimal como porcentaje, debes multiplicarla por 100 y sumarle el signo %.

Daré un ejemplo en una computadora: 0,5 · 100 = 50 o 0,5 = 50%.

4. Al final de la explicación les doy a los chicos. tarea, que también se muestra en el monitor de la computadora: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Para que los chicos descansen un poco, estamos haciendo una sesión de educación física matemática junto con Komposha para consolidar el tema. Todos se ponen de pie, muestran los ejemplos resueltos a la clase y deben responder si el ejemplo se resolvió correctamente o incorrectamente. Si el ejemplo se resuelve correctamente, levantan los brazos por encima de la cabeza y aplauden. Si el ejemplo no se resuelve correctamente, los chicos estiran los brazos hacia los lados y estiran los dedos.

6. Y ahora que has descansado un poco, puedes resolver las tareas. Abra su libro de texto en la página 205, № 1029. En esta tarea necesitas calcular el valor de las expresiones:

Las tareas aparecen en la computadora. A medida que se resuelven, aparece un cuadro con la imagen de un barco que se aleja flotando cuando está completamente ensamblado.

Al resolver esta tarea en una computadora, el cohete se pliega gradualmente; después de resolver el último ejemplo, el cohete se va volando. El profesor da una pequeña información a los alumnos: “Cada año desde el suelo de Kazajstán, desde el cosmódromo de Baikonur, despegan hacia las estrellas. naves espaciales. Kazajstán está construyendo su nuevo cosmódromo de Baiterek cerca de Baikonur.

¿Qué distancia recorrerá un automóvil de pasajeros en 4 horas si la velocidad del automóvil es de 74,8 km/h?

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