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Convertir expresiones racionales

Este párrafo resume todo lo que hablamos, a partir del séptimo grado, sobre lenguaje matemático, simbolismo matemático, números, variables, potencias, polinomios y fracciones algebraicas. Pero primero hagámoslo. pequeña excursión Al pasado.

Recuerda cómo eran las cosas con el estudio de números y expresiones numéricas en los grados inferiores.

Y, digamos, solo se puede colocar una etiqueta en una fracción: número racional.

La situación es similar con las expresiones algebraicas: la primera etapa de su estudio son números, variables, grados (“dígitos”); la segunda etapa de su estudio son los monomios (“números naturales”); la tercera etapa de su estudio son los polinomios (“enteros”); la cuarta etapa de su estudio: fracciones algebraicas
("numeros racionales"). Además, cada etapa siguiente, por así decirlo, absorbe la anterior: por ejemplo, números, variables, potencias son casos especiales de monomios; monomios: casos especiales de polinomios; Los polinomios son casos especiales de fracciones algebraicas. Por cierto, en álgebra a veces se utilizan los siguientes términos: polinomio - entero expresión, una fracción algebraica es una expresión fraccionaria (esto sólo refuerza la analogía).

Continuemos con la analogía anterior. Sabes que cualquier expresión numérica, después de que se hayan identificado todas sus partes constituyentes operaciones aritmeticas toma un valor numérico específico: un número racional (por supuesto, también puede resultar ser número natural, tanto un número entero como una fracción, no importa). De manera similar, cualquier expresión algebraica compuesta de números y variables usando operaciones aritméticas y elevando a números naturales grado, después de realizar las transformaciones toma la forma de una fracción algebraica y nuevamente, en particular, el resultado puede no ser una fracción, sino un polinomio o incluso un monomio). Para este tipo de expresiones en álgebra se utiliza el término expresión racional.

Ejemplo. Demostrar identidad

Solución.
Probar una identidad significa establecer que para todos los valores permitidos de las variables, sus lados izquierdo y derecho son expresiones idénticamente iguales. En álgebra, las identidades se prueban. diferentes caminos:

1) realizar transformaciones en el lado izquierdo y finalmente obtener el lado derecho;

2) realizar transformaciones en el lado derecho y finalmente obtener el lado izquierdo;

3) transformar los lados derecho e izquierdo por separado y obtener la misma expresión tanto en el primer como en el segundo caso;

4) compensar la diferencia entre los lados izquierdo y derecho y, como resultado de sus transformaciones, obtener cero.

El método a elegir depende del tipo específico. identidades que se le pide que pruebe. EN en este ejemplo Es recomendable elegir el primer método.

Para convertir expresiones racionales se adopta el mismo procedimiento que para convertir expresiones numéricas. Esto significa que primero realizan las acciones entre paréntesis, luego las acciones de la segunda etapa (multiplicación, división, exponenciación), luego las acciones de la primera etapa (suma, resta).

Realicemos transformaciones basadas en las reglas. algoritmos que fueron desarrollados en los párrafos anteriores.

Como puede ver, pudimos transformar el lado izquierdo de la identidad que se estaba verificando a la forma del lado derecho. Esto significa que la identidad está probada. Sin embargo, recuerde que la identidad es válida sólo para valores aceptables variables. En este ejemplo, estos son cualquier valor de a y b, excepto aquellos que hacen que los denominadores de las fracciones sean cero. Esto significa que cualquier par de números (a; b) es válido, excepto aquellos para los que se cumple al menos una de las igualdades:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovich A.G., Álgebra. 8vo grado: Libro de texto. para educación general instituciones.- 3ª ed., revisada. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: enfermo.

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Primer nivel

Conversión de expresiones. Teoría detallada (2019)

Convertir expresiones

A menudo escuchamos esta desagradable frase: "simplifica la expresión". Normalmente vemos algún tipo de monstruo como este:

"Es mucho más sencillo", decimos, pero esa respuesta normalmente no funciona.

Ahora te enseñaré a no tener miedo de tales tareas. Además, al final de la lección, usted mismo simplificará este ejemplo a (¡solo!) un número ordinario (sí, al diablo con estas letras).

Pero antes de comenzar esta lección, debes poder manejar fracciones y factorizar polinomios. Por lo tanto, primero, si no ha hecho esto antes, asegúrese de dominar los temas “” y “”.

¿Lo has leído? En caso afirmativo, ya está listo.

Operaciones básicas de simplificación.

Ahora veamos las técnicas básicas que se utilizan para simplificar expresiones.

El más simple es

1. Trayendo similares

¿Qué son similares? Lo tomaste en séptimo grado, cuando aparecieron por primera vez en matemáticas letras en lugar de números. Semejantes son términos (monomios) con la misma parte de letras. Por ejemplo, en la suma, términos similares son y.

¿Te acuerdas?

Traer similares significa sumar varios términos similares entre sí y obtener un término.

¿Cómo podemos juntar las letras? - usted pregunta.

Esto es muy fácil de entender si imaginas que las letras son una especie de objetos. Por ejemplo, una carta es una silla. Entonces ¿a qué es igual la expresión? Dos sillas más tres sillas ¿cuántas serán? Así es, sillas: .

Ahora prueba esta expresión: .

Para evitar confusiones, permita que letras diferentes representen objetos diferentes. Por ejemplo, - es (como siempre) una silla y - es una mesa. Entonces:

sillas mesas sillas mesas sillas sillas mesas

Los números por los que se multiplican las letras de dichos términos se llaman coeficientes. Por ejemplo, en un monomio el coeficiente es igual. Y en eso es igual.

Entonces, la regla para traer similares es:

Ejemplos:

Da otros similares:

Respuestas:

2. (y similares, ya que, por tanto, estos términos tienen la misma parte alfabética).

2. Factorización

Esta suele ser la parte más importante al simplificar expresiones. Después de haber dado expresiones similares, la mayoría de las veces es necesario factorizar la expresión resultante, es decir, presentarla como un producto. Esto es especialmente importante en fracciones: para poder reducir una fracción, el numerador y el denominador deben representarse como un producto.

Ya analizaste en detalle los métodos de factorización de expresiones en el tema “”, así que aquí solo tienes que recordar lo que aprendiste. Para hacer esto, decida algunos ejemplos(es necesario factorizar):

Soluciones:

3. Reducir una fracción.

Bueno, ¿qué podría ser más agradable que tachar parte del numerador y del denominador y sacarlos de tu vida?

Ésa es la belleza de la reducción de personal.

Es sencillo:

Si el numerador y el denominador contienen los mismos factores, se pueden reducir, es decir, eliminar de la fracción.

Esta regla se deriva de la propiedad básica de una fracción:

Es decir, la esencia de la operación de reducción es que Dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mismo número (o por la misma expresión).

Para reducir una fracción necesitas:

1) numerador y denominador factorizar

2) si el numerador y el denominador contienen factores comunes, se pueden tachar.

¿El principio, creo, es claro?

Me gustaría llamar su atención sobre una cosa. error típico al contratar. Aunque este tema es simple, muchas personas hacen todo mal, sin entender que reducir- esto significa dividir numerador y denominador son el mismo número.

No se permiten abreviaturas si el numerador o denominador es una suma.

Por ejemplo: necesitamos simplificar.

Algunas personas hacen esto: lo cual es absolutamente incorrecto.

Otro ejemplo: reducir.

Los “más inteligentes” harán esto: .

Dime ¿qué pasa aquí? Parecería: - este es un multiplicador, lo que significa que se puede reducir.

Pero no: - este es un factor de un solo término en el numerador, pero el numerador en sí no está factorizado en su conjunto.

He aquí otro ejemplo: .

Esta expresión está factorizada, lo que significa que puedes reducirla, es decir, dividir el numerador y el denominador por y luego por:

Puedes dividirlo inmediatamente en:

Para evitar este tipo de errores, recuerde una forma sencilla de determinar si una expresión está factorizada:

La operación aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de una expresión es la operación “maestra”. Es decir, si sustituyes algunos (cualquier) número en lugar de letras e intentas calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión está factorizada). Si la última acción es suma o resta, esto significa que la expresión no está factorizada (y por lo tanto no se puede reducir).

Para consolidar, resuelve algunos tú mismo ejemplos:

Respuestas:

1. Espero que no te hayas apresurado a cortar inmediatamente y. Todavía no era suficiente “reducir” unidades como ésta:

El primer paso debe ser la factorización:

4. Sumar y restar fracciones. Reducir fracciones a un denominador común.

Adición y sustracción fracciones ordinarias- la operación es bien conocida: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores. Recordemos:

Respuestas:

1. Los denominadores y son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes. Por tanto, el MCM de estos números es igual a su producto. Este será el denominador común:

2. Aquí el denominador común es:

3. Lo primero aquí fracciones mixtas los convertimos en incorrectos y luego seguimos el patrón habitual:

Es completamente diferente si las fracciones contienen letras, por ejemplo:

Comencemos con algo simple:

a) Los denominadores no contienen letras.

Todo aquí es igual que en el ordinario. fracciones numéricas: encuentra el denominador común, multiplica cada fracción por el factor que falta y suma/resta los numeradores:

Ahora en el numerador puedes poner otros similares, si los hay, y factorizarlos:

Inténtalo tú mismo:

b) Los denominadores contienen letras.

Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:

· en primer lugar, determinamos los factores comunes;

· luego escribimos todos los factores comunes uno por uno;

· y multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.

Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los factorizamos en factores primos:

Destacamos los factores comunes:

Ahora escribamos los factores comunes uno a la vez y agreguemos todos los factores no comunes (no subrayados):

Este es el denominador común.

Volvamos a las letras. Los denominadores se dan exactamente de la misma manera:

· factorizar los denominadores;

· determinar factores comunes (idénticos);

· escriba todos los factores comunes una vez;

· multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.

Entonces, en orden:

1) factorizar los denominadores:

2) determinar factores comunes (idénticos):

3) escribe todos los factores comunes una vez y multiplícalos por todos los demás factores (no subrayados):

Entonces aquí hay un denominador común. La primera fracción debe multiplicarse por, la segunda, por:

Por cierto, hay un truco:

Por ejemplo: .

Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con indicadores diferentes. El denominador común será:

en un grado

en un grado

en un grado

en un grado.

Compliquemos la tarea:

¿Cómo hacer que las fracciones tengan el mismo denominador?

Recordemos la propiedad básica de una fracción:

En ninguna parte dice que se pueda restar (o sumar) el mismo número al numerador y denominador de una fracción. ¡Porque no es verdad!

Compruébalo tú mismo: toma cualquier fracción, por ejemplo, y suma algún número al numerador y al denominador, por ejemplo, . ¿Qué aprendiste?

Entonces, otra regla inquebrantable:

Cuando reduzcas fracciones a un denominador común, ¡usa solo la operación de multiplicación!

¿Pero por qué necesitas multiplicar para obtener?

Entonces multiplica por. Y multiplica por:

Llamaremos "factores elementales" a las expresiones que no se pueden factorizar. Por ejemplo, este es un factor elemental. - Mismo. Pero no: se puede factorizar.

¿Qué pasa con la expresión? ¿Es elemental?

No, porque se puede factorizar:

(ya leíste sobre factorización en el tema “”).

Entonces, los factores elementales en los que se descompone una expresión con letras son análogos de los factores simples en los que se descomponen los números. Y los trataremos de la misma manera.

Vemos que ambos denominadores tienen un multiplicador. Irá al denominador común en el grado (¿recuerdas por qué?).

El factor es elemental, y no tienen factor común, lo que significa que simplemente habrá que multiplicar la primera fracción por él:

Otro ejemplo:

Solución:

Antes de multiplicar estos denominadores en pánico, ¿debe pensar en cómo factorizarlos? Ambos representan:

¡Excelente! Entonces:

Otro ejemplo:

Solución:

Como siempre, factoricemos los denominadores. En el primer denominador simplemente lo ponemos entre paréntesis; en el segundo - la diferencia de cuadrados:

Parecería que no hay factores comunes. Pero si te fijas bien, son similares... Y es cierto:

Entonces escribamos:

Es decir, resultó así: dentro del paréntesis intercambiamos los términos y al mismo tiempo el signo delante de la fracción cambió al opuesto. Toma nota, tendrás que hacer esto con frecuencia.

Ahora llevémoslo a un denominador común:

¿Entiendo? Comprobémoslo ahora.

Tareas para solución independiente:

Respuestas:

Aquí debemos recordar una cosa más: la diferencia entre cubos:

¡Tenga en cuenta que el denominador de la segunda fracción no contiene la fórmula "cuadrado de la suma"! El cuadrado de la suma quedaría así: .

A es el llamado cuadrado incompleto de la suma: el segundo término es el producto del primero y el último, y no su doble producto. El cuadrado parcial de la suma es uno de los factores en el desarrollo de la diferencia de cubos:

¿Qué hacer si ya hay tres fracciones?

¡Sí, lo mismo! En primer lugar, asegurémonos de que el número máximo de factores en los denominadores sea el mismo:

Tenga en cuenta: si cambia los signos dentro de un paréntesis, el signo delante de la fracción cambia al opuesto. Cuando cambiamos los signos en el segundo paréntesis, el signo delante de la fracción vuelve a cambiar al opuesto. Como resultado, (el signo delante de la fracción) no ha cambiado.

Escribimos todo el primer denominador en el denominador común y luego le sumamos todos los factores que aún no se han escrito, del segundo y luego del tercero (y así sucesivamente, si hay más fracciones). Es decir, resulta así:

Hmm... Está claro qué hacer con las fracciones. Pero ¿qué pasa con los dos?

Es simple: sabes sumar fracciones, ¿verdad? Entonces, ¡necesitamos hacer que dos se conviertan en una fracción! Recordemos: una fracción es una operación de división (el numerador se divide por el denominador, por si lo olvidaste). Y no hay nada más fácil que dividir un número por. En este caso, el número en sí no cambiará, sino que se convertirá en una fracción:

¡Exactamente lo que se necesita!

5. Multiplicación y división de fracciones.

Bueno, la parte más difícil ya pasó. Y delante de nosotros está el más sencillo, pero a la vez el más importante:

Procedimiento

¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerda calculando el significado de esta expresión:

¿Contaste?

Deberia de funcionar.

Así que déjame recordarte.

El primer paso es calcular el grado.

El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, se pueden hacer en cualquier orden.

Y finalmente, realizamos sumas y restas. De nuevo, en cualquier orden.

Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de turno!

Si se multiplican o dividimos varios corchetes entre sí, primero calculamos la expresión en cada uno de los corchetes y luego los multiplicamos o dividimos.

¿Qué pasa si hay más corchetes dentro de los corchetes? Bueno, pensemos: alguna expresión está escrita entre paréntesis. Al calcular una expresión, ¿qué debes hacer primero? Así es, calcula los paréntesis. Bueno, lo descubrimos: primero calculamos los paréntesis internos, luego todo lo demás.

Entonces, el procedimiento para la expresión anterior es el siguiente (está resaltada en rojo la acción actual, es decir, la acción que estoy realizando ahora mismo):

Vale, es todo sencillo.

¿Pero esto no es lo mismo que una expresión con letras?

¡No, es lo mismo! Solo que en lugar de operaciones aritméticas es necesario realizar operaciones algebraicas, es decir, las acciones descritas en el apartado anterior: trayendo similares, suma de fracciones, reducción de fracciones, etc. La única diferencia será la acción de factorizar polinomios (a menudo usamos esto cuando trabajamos con fracciones). La mayoría de las veces, para factorizar, es necesario usar I o simplemente poner el factor común entre paréntesis.

Normalmente nuestro objetivo es representar la expresión como un producto o cociente.

Por ejemplo:

Simplifiquemos la expresión.

1) Primero, simplificamos la expresión entre paréntesis. Ahí tenemos una diferencia de fracciones y nuestro objetivo es presentarla como un producto o cociente. Entonces, llevamos las fracciones a un denominador común y sumamos:

Es imposible simplificar más esta expresión; todos los factores aquí son elementales (¿aún recuerdas lo que esto significa?).

2) Obtenemos:

Multiplicar fracciones: qué podría ser más sencillo.

3) Ahora puedes acortar:

OK, todo ha terminado. Nada complicado, ¿verdad?

Otro ejemplo:

Simplifica la expresión.

Primero, intente resolverlo usted mismo y solo luego mire la solución.

En primer lugar, determinemos el orden de las acciones. Primero, sumemos las fracciones entre paréntesis, de modo que en lugar de dos fracciones obtengamos una. Luego haremos división de fracciones. Bueno, sumemos el resultado con la última fracción. Numeraré los pasos esquemáticamente:

Ahora te mostraré el proceso, teñiendo la acción actual en rojo:

Finalmente, te daré dos consejos útiles:

1. Si existen similares, deberán traerse inmediatamente. Siempre que surjan situaciones similares en nuestro país, conviene sacarlas a relucir inmediatamente.

2. Lo mismo se aplica a las fracciones reductoras: tan pronto como aparece la oportunidad de reducir, hay que aprovecharla. La excepción es para las fracciones que se suman o restan: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.

A continuación te presentamos algunas tareas que puedes resolver por tu cuenta:

Y lo que se prometió desde el principio:

Soluciones (breves):

Si ha abordado al menos los tres primeros ejemplos, entonces domina el tema.

¡Ahora a aprender!

CONVERTIR EXPRESIONES. RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Operaciones básicas de simplificación:

• Trayendo similares: para sumar (reducir) términos similares, debe sumar sus coeficientes y asignarles la parte de letras.
• Factorización: poniendo el factor común entre paréntesis, aplicándolo, etc.
• Reducir una fracción: El numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, lo que no cambia el valor de la fracción.
  1) numerador y denominador factorizar
  2) si el numerador y el denominador tienen factores comunes, se pueden tachar.

  IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!

• Sumar y restar fracciones:
  ;
• Multiplicar y dividir fracciones:
  ;

Del curso de álgebra escolar pasamos a lo específico. En este artículo estudiaremos en detalle un tipo especial de expresiones racionales: fracciones racionales, y también considere qué característica es idéntica conversiones de fracciones racionales tener lugar.

Observemos inmediatamente que las fracciones racionales en el sentido en que las definimos a continuación se denominan fracciones algebraicas en algunos libros de texto de álgebra. Es decir, en este artículo entenderemos las fracciones racionales y algebraicas como la misma cosa.

Como siempre, comencemos con una definición y ejemplos. A continuación hablaremos de llevar una fracción racional a un nuevo denominador y cambiar los signos de los miembros de la fracción. Después de esto, veremos cómo reducir fracciones. Finalmente, veamos cómo representar una fracción racional como la suma de varias fracciones. Proporcionaremos toda la información con ejemplos. descripciones detalladas decisiones.

Navegación de páginas.

Definición y ejemplos de fracciones racionales.

Las fracciones racionales se estudian en las lecciones de álgebra de octavo grado. Usaremos la definición de fracción racional que figura en el libro de texto de álgebra para octavo grado de Yu. N. Makarychev et al.

EN esta definición no se especifica si los polinomios en el numerador y denominador de una fracción racional deben ser polinomios de la forma estándar o no. Por lo tanto, asumiremos que las notaciones para fracciones racionales pueden contener polinomios tanto estándar como no estándar.

Aquí hay algunos ejemplos de fracciones racionales. Entonces, x/8 y - fracciones racionales. y fracciones y no se ajustan a la definición establecida de fracción racional, ya que en el primero de ellos el numerador no contiene un polinomio, y en el segundo, tanto el numerador como el denominador contienen expresiones que no son polinomios.

Convertir el numerador y denominador de una fracción racional

El numerador y denominador de cualquier fracción son autosuficientes. expresiones matemáticas, en el caso de fracciones racionales, se trata de polinomios; en un caso particular, monomios y números. Por tanto, se pueden realizar transformaciones idénticas con el numerador y denominador de una fracción racional, como ocurre con cualquier expresión. En otras palabras, la expresión en el numerador de una fracción racional se puede reemplazar por una expresión idénticamente igual, al igual que el denominador.

Puedes realizar transformaciones idénticas en el numerador y denominador de una fracción racional. Por ejemplo, en el numerador puedes agrupar y reducir términos similares, y en el denominador puedes sustituir el producto de varios números por su valor. Y dado que el numerador y el denominador de una fracción racional son polinomios, con ellos es posible realizar transformaciones características de los polinomios, por ejemplo, reducción a una forma estándar o representación en forma de producto.

Para mayor claridad, consideremos soluciones a varios ejemplos.

Ejemplo.

Convertir fracción racional de modo que el numerador contiene un polinomio de forma estándar y el denominador contiene el producto de polinomios.

Solución.

La reducción de fracciones racionales a un nuevo denominador se utiliza principalmente para sumar y restar fracciones racionales.

Cambiar de signo delante de una fracción, así como en su numerador y denominador

La propiedad principal de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos de los miembros de una fracción. De hecho, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción racional por -1 equivale a cambiar sus signos, y el resultado es una fracción idénticamente igual a la dada. Esta transformación debe usarse con bastante frecuencia cuando se trabaja con fracciones racionales.

Así, si cambias simultáneamente los signos del numerador y denominador de una fracción, obtendrás una fracción igual a la original. Esta afirmación se responde con la igualdad.

Pongamos un ejemplo. Una fracción racional se puede reemplazar por una fracción idénticamente igual con signos modificados del numerador y denominador de la forma.

Con fracciones puedes realizar otra transformación idéntica, en la que cambia el signo del numerador o del denominador. Enunciemos la regla correspondiente. Si reemplazas el signo de una fracción junto con el signo del numerador o denominador, obtienes una fracción idéntica a la original. La declaración escrita corresponde a las igualdades y .

Demostrar estas igualdades no es difícil. La prueba se basa en las propiedades de la multiplicación de números. Probemos el primero de ellos: . Utilizando transformaciones similares, se demuestra la igualdad.

Por ejemplo, una fracción se puede sustituir por la expresión o.

Para concluir este punto, presentamos dos igualdades más útiles y . Es decir, si cambias el signo solo del numerador o solo del denominador, la fracción cambiará de signo. Por ejemplo, Y .

Las transformaciones consideradas, que permiten cambiar el signo de los términos de una fracción, se utilizan a menudo al transformar expresiones racionales fraccionarias.

Reducir fracciones racionales

La siguiente transformación de fracciones racionales, llamada reducción de fracciones racionales, se basa en la misma propiedad básica de una fracción. Esta transformación corresponde a la igualdad , donde a, b y c son algunos polinomios, y b y c son distintos de cero.

De la igualdad anterior queda claro que reducir una fracción racional implica deshacerse del factor común en su numerador y denominador.

Ejemplo.

Cancelar una fracción racional.

Solución.

El factor común 2 es inmediatamente visible, realicemos una reducción por él (al escribir conviene tachar los factores comunes por los que se está reduciendo). Tenemos . Dado que x 2 =x x y y 7 =y 3 y 4 (ver si es necesario), está claro que x es un factor común del numerador y denominador de la fracción resultante, al igual que y 3. Reduzcamos por estos factores: . Esto completa la reducción.

Arriba realizamos la reducción de fracciones racionales de forma secuencial. O era posible realizar la reducción en un solo paso, reduciendo inmediatamente la fracción en 2 x y 3. En este caso, la solución quedaría así: .

Respuesta:

.

Al reducir fracciones racionales, el principal problema es que el factor común del numerador y denominador no siempre es visible. Además, no siempre existe. Para encontrar un factor común o verificar su ausencia, debes factorizar el numerador y el denominador de una fracción racional. Si no hay un factor común, entonces no es necesario reducir la fracción racional original; de lo contrario, se lleva a cabo la reducción.

Pueden surgir varios matices en el proceso de reducción de fracciones racionales. Las principales sutilezas se analizan en el artículo sobre la reducción de fracciones algebraicas mediante ejemplos y en detalle.

Concluyendo la conversación sobre la reducción de fracciones racionales, notamos que esta transformación es idéntica y la principal dificultad en su implementación radica en factorizar polinomios en el numerador y denominador.

Representación de una fracción racional como suma de fracciones

Bastante específica, pero en algunos casos muy útil, es la transformación de una fracción racional, que consiste en su representación como la suma de varias fracciones, o la suma de una expresión completa y una fracción.

Una fracción racional, cuyo numerador contiene un polinomio que representa la suma de varios monomios, siempre se puede escribir como una suma de fracciones con mismos denominadores, cuyos numeradores contienen los monomios correspondientes. Por ejemplo, . Esta representación se explica por la regla de sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales.

En general, cualquier fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de muchas formas diferentes. Por ejemplo, la fracción a/b se puede representar como la suma de dos fracciones: una fracción arbitraria c/d y una fracción igual a la diferencia entre las fracciones a/b y c/d. Esta afirmación es cierta, ya que se cumple la igualdad. . Por ejemplo, una fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de varias formas: Imaginemos la fracción original como la suma de una expresión entera y una fracción. Dividiendo el numerador por el denominador con una columna, obtenemos la igualdad . El valor de la expresión n 3 +4 para cualquier número entero n es un número entero. Y el valor de una fracción es un número entero si y sólo si su denominador es 1, −1, 3 o −3. Estos valores corresponden a los valores n=3, n=1, n=5 y n=−1, respectivamente.

Respuesta:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografía.

• Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Séptimo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 13ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 págs.: enfermo. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Octavo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.

El artículo habla de la transformación de expresiones racionales. Consideremos los tipos de expresiones racionales, sus transformaciones, agrupaciones y poner entre paréntesis el factor común. Aprendamos a representar expresiones racionales fraccionarias en forma de fracciones racionales.

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Definición y ejemplos de expresiones racionales.

Definición 1

Se llaman expresiones que se componen de números, variables, paréntesis, potencias con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división con presencia de una línea de fracción. expresiones racionales.

Por ejemplo, tenemos que 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b), (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Es decir, se trata de expresiones que no se dividen en expresiones con variables. El estudio de las expresiones racionales comienza en el octavo grado, donde se denominan expresiones racionales fraccionarias. Se presta especial atención a las fracciones en el numerador, que se transforman mediante reglas de transformación.

Esto nos permite proceder a la transformación de fracciones racionales de forma arbitraria. Esta expresión puede considerarse como una expresión con presencia de fracciones racionales y expresiones enteras con signos de acción.

Principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Las expresiones racionales se utilizan para realizar transformaciones idénticas, agrupaciones, traer similares y realizar otras operaciones con números. El propósito de tales expresiones es la simplificación.

Ejemplo 1

Convierte la expresión racional 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Solución

Se puede ver que dicha expresión racional es la diferencia entre 3 x x y - 1 y 2 x x y - 1. Notamos que su denominador es idéntico. Esto significa que la reducción de términos similares tomará la forma

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Respuesta: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Ejemplo 2

Convertir 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x).

Solución

Inicialmente, realizamos las acciones entre paréntesis 3 · x − x = 2 · x. Esta expresión la representamos en la forma 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Llegamos a una expresión que contiene operaciones de un paso, es decir, tiene suma y resta.

Eliminamos los paréntesis usando la propiedad de división. Entonces obtenemos que 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Agrupamos factores numéricos con la variable x, tras lo cual podemos realizar operaciones con potencias. lo entendemos

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Respuesta: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

Ejemplo 3

Transformar una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Solución

Primero, transformamos el numerador y el denominador. Luego obtenemos una expresión de la forma (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, y las acciones entre paréntesis se realizan primero. En el numerador se realizan operaciones y se agrupan factores. Luego obtenemos una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Transformamos la fórmula de diferencia de cuadrados en el numerador, luego obtenemos que

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Respuesta: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Representación de fracción racional

Las fracciones algebraicas suelen simplificarse cuando se resuelven. Todo racional se reduce a esto. diferentes caminos. Es necesario realizar todas las operaciones necesarias con polinomios para que la expresión racional pueda dar finalmente una fracción racional.

Ejemplo 4

Presentar como fracción racional a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Solución

Esta expresión se puede representar como a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. La multiplicación se realiza principalmente según las reglas.

Deberíamos comenzar con la multiplicación, luego obtenemos eso.

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 (a + 3) a (a + 5) = un - 5 (un + 3) un

Presentamos el resultado obtenido con el original. lo entendemos

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Ahora hagamos la resta:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 un 2 - 9

Después de lo cual es obvio que la expresión original tomará la forma 16 a 2 - 9.

Respuesta: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Ejemplo 5

Expresa x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x como una fracción racional.

Solución

La expresión dada se escribe como una fracción, cuyo numerador contiene x x + 1 + 1 y el denominador 2 x - 1 1 + x. Es necesario hacer transformaciones x x + 1 + 1 . Para hacer esto necesitas sumar una fracción y un número. Obtenemos que x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1x + 1 = 2x + 1x + 1

Se deduce que x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

La fracción resultante se puede escribir como 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

Después de la división llegamos a una fracción racional de la forma

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Puedes resolver esto de otra manera.

En lugar de dividir por 2 x - 1 1 + x, multiplicamos por su inverso 1 + x 2 x - 1. Apliquemos la propiedad de distribución y encontremos que

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Respuesta: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

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Este artículo está dedicado a transformación de expresiones racionales, en su mayoría fraccionariamente racional, es una de las cuestiones clave del curso de álgebra de octavo grado. Primero, recordemos qué tipo de expresiones se llaman racionales. A continuación nos centraremos en realizar transformaciones estándar con expresiones racionales, como agrupar términos, sacar de paréntesis factores comunes, traer términos similares, etc. Finalmente, aprenderemos a representar expresiones racionales fraccionarias como fracciones racionales.

Navegación de páginas.

Definición y ejemplos de expresiones racionales.

Las expresiones racionales son uno de los tipos de expresiones que se estudian en las lecciones de álgebra en la escuela. Demos una definición.

Definición.

Las expresiones compuestas de números, variables, paréntesis, potencias con exponentes enteros, conectados mediante signos aritméticos +, −, · y:, donde la división se puede indicar mediante una línea de fracción, se denominan expresiones racionales.

A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales: .

Las expresiones racionales comienzan a estudiarse de manera decidida en el séptimo grado. Además, en el séptimo grado se aprenden los conceptos básicos del trabajo con los llamados expresiones racionales completas, es decir, con expresiones racionales que no contienen división en expresiones con variables. Para ello se estudian secuencialmente monomios y polinomios, así como los principios para realizar acciones con ellos. Todo este conocimiento, en última instancia, le permite realizar transformaciones de expresiones completas.

En octavo grado, pasan a estudiar expresiones racionales que contienen división por una expresión con variables llamadas expresiones racionales fraccionarias. Donde Atención especial se da a los llamados fracciones racionales(también se les llama fracciones algebraicas), es decir, fracciones cuyo numerador y denominador contienen polinomios. En última instancia, esto hace posible convertir fracciones racionales.

Las habilidades adquiridas le permiten pasar a transformar expresiones racionales de cualquier forma. Esto se explica por el hecho de que cualquier expresión racional puede considerarse como una expresión compuesta de fracciones racionales y expresiones enteras conectadas por signos de operaciones aritméticas. Y ya sabemos trabajar con expresiones enteras y fracciones algebraicas.

Principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Con expresiones racionales puedes realizar cualquiera de las transformaciones de identidad básicas, ya sea agrupar términos o factores, acercar términos similares, realizar operaciones con números, etc. Normalmente el propósito de realizar estas transformaciones es simplificación de la expresión racional.

Ejemplo.

.

Solución.

Está claro que esta expresión racional es la diferencia entre dos expresiones y , y estas expresiones son similares, ya que tienen la misma parte alfabética. Así, podemos realizar una reducción de términos similares:

Respuesta:

.

Está claro que al realizar transformaciones con expresiones racionales, así como con cualquier otra expresión, es necesario permanecer dentro del orden aceptado de realización de acciones.

Ejemplo.

Realizar una transformación de expresión racional.

Solución.

Sabemos que las acciones entre paréntesis se ejecutan primero. Por tanto, antes que nada, transformamos la expresión entre paréntesis: 3·x−x=2·x.

Ahora puedes sustituir el resultado obtenido en la expresión racional original: . Entonces llegamos a una expresión que contiene las acciones de una etapa: suma y multiplicación.

Eliminemos los paréntesis al final de la expresión aplicando la propiedad de división por un producto: .

Finalmente, podemos agrupar factores numéricos y factores con la variable x, luego realizar las operaciones correspondientes sobre los números y aplicar:.

Esto completa la transformación de la expresión racional y, como resultado, obtenemos un monomio.

Respuesta:

Ejemplo.

Convertir expresión racional .

Solución.

Primero transformamos el numerador y denominador. Este orden de transformación de fracciones se explica por el hecho de que la línea de una fracción es esencialmente otra designación de división, y la expresión racional original es esencialmente un cociente de la forma y las acciones entre paréntesis se realizan primero.

Entonces, en el numerador realizamos operaciones con polinomios, primero multiplicación, luego resta, y en el denominador agrupamos los factores numéricos y calculamos su producto: .

Imaginemos también el numerador y el denominador de la fracción resultante en forma de producto: de repente es posible reducir una fracción algebraica. Para hacer esto, usaremos en el numerador. fórmula de diferencia de cuadrados, y en el denominador quitamos los dos que están entre paréntesis, tenemos .

Respuesta:

.

Por tanto, el conocimiento inicial de la transformación de expresiones racionales puede considerarse completado. Pasemos, por así decirlo, a la parte más dulce.

Representación de fracción racional

Muy a menudo, el objetivo final de transformar expresiones es simplificar su apariencia. En este sentido, lo más vista sencilla a la que se puede convertir una expresión fraccionariamente racional es una fracción racional (algebraica) y, en el caso especial, un polinomio, monomio o número.

¿Es posible representar cualquier expresión racional como una fracción racional? La respuesta es sí. Expliquemos por qué esto es así.

Como ya hemos dicho, toda expresión racional puede considerarse como polinomios y fracciones racionales conectadas por los signos más, menos, multiplicar y dividir. Todas las operaciones correspondientes con polinomios producen un polinomio o fracción racional. A su vez, cualquier polinomio se puede convertir en una fracción algebraica escribiéndolo con el denominador 1. Y sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones racionales da como resultado una nueva fracción racional. Por tanto, después de realizar todas las operaciones con polinomios y fracciones racionales en una expresión racional, obtenemos una fracción racional.

Ejemplo.

Expresar como fracción racional la expresión .

Solución.

La expresión racional original es la diferencia entre una fracción y el producto de fracciones de la forma . Según el orden de las operaciones, primero debemos realizar la multiplicación y solo luego la suma.

Empezamos multiplicando fracciones algebraicas:

Sustituimos el resultado obtenido en la expresión racional original: .

Llegamos a la resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

Entonces, habiendo realizado operaciones con fracciones racionales que forman la expresión racional original, la presentamos en forma de fracción racional.

Respuesta:

.

Para consolidar el material, analizaremos la solución con otro ejemplo.

Ejemplo.

Expresar una expresión racional como una fracción racional.