Teorema de Vietapara la ecuación cuadrática reducida.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0 es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre:

x 1 + x 2 \u003d -p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Encuentre las raíces de la ecuación cuadrática reducida usando el teorema de Vieta.

Ejemplo 1) x 2 -x-30 \u003d 0. Esta ecuación cuadrática reducida ( x 2 + px + q \u003d 0), el segundo coeficiente p \u003d -1y el término libre q \u003d -30. Primero, asegúrese de que la ecuación dada tenga raíces y que las raíces (si las hay) se expresarán en números enteros. Para ello, basta con que el discriminante sea el cuadrado perfecto de un entero.

Encuentra el discriminante re\u003d segundo 2 - 4ac \u003d (- 1) 2-4 ∙ 1 ∙ (-30) \u003d 1 + 120 \u003d 121 \u003d 11 2 .

Ahora, según el teorema de Vieta, la suma de las raíces debe ser igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, es decir ( -pag), y el producto es igual al término libre, es decir ( q). Entonces:

x 1 + x 2 \u003d 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Necesitamos elegir dos números de modo que su producto sea igual -30 , y la suma es unidad... Estos son números -5 y 6 . Respuesta: -5; 6.

Ejemplo 2) x 2 + 6x + 8 \u003d 0. Tenemos la ecuación cuadrática reducida con el segundo coeficiente p \u003d 6 y un miembro gratis q \u003d 8... Asegurémonos de que haya raíces enteras. Encuentra el discriminante D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... El discriminante D 1 es el cuadrado perfecto del número 1 , por lo tanto, las raíces de esta ecuación son números enteros. Elijamos raíces según el teorema de Vieta: la suma de las raíces es igual a –P \u003d -6, y el producto de las raíces es q \u003d 8... Estos son números -4 y -2 .

De hecho: -4-2 \u003d -6 \u003d -p; -4 ∙ (-2) \u003d 8 \u003d q. Respuesta: -4; -2.

Ejemplo 3) x 2 + 2x-4 \u003d 0... En esta ecuación cuadrática reducida, el segundo coeficiente p \u003d 2y el término libre q \u003d -4... Encuentra el discriminante D 1ya que el segundo coeficiente es un número par. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. El discriminante no es un cuadrado perfecto del número, por lo tanto, hacemos conclusión: las raíces de esta ecuación no son números enteros y no se pueden encontrar mediante el teorema de Vieta. Entonces, resolveremos esta ecuación, como de costumbre, usando las fórmulas (en este caso, usando las fórmulas). Obtenemos:

Ejemplo 4).Haz una ecuación cuadrática para sus raíces si x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Decisión. La ecuación requerida se escribirá como: x 2 + px + q \u003d 0, y, sobre la base del teorema de Vieta –P \u003d x 1 + x 2=-7+4=-3 → p \u003d 3; q \u003d x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Entonces la ecuación tomará la forma: x 2 + 3x-28 \u003d 0.

Ejemplo 5).Haz una ecuación cuadrática para sus raíces si:

II. Teorema de vieta para la ecuación cuadrática completa ax 2 + bx + c \u003d 0.

La suma de las raíces es menos segundodividido por y, el producto de las raíces es desdedividido por y:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

En matemáticas, existen técnicas especiales con las que muchas ecuaciones cuadráticas se resuelven muy rápidamente y sin discriminantes. Además, con el entrenamiento adecuado, muchos comienzan a resolver ecuaciones cuadráticas oralmente, literalmente "a primera vista".

Desafortunadamente, en el curso moderno de matemáticas escolares, estas tecnologías casi no se estudian. ¡Pero necesitas saberlo! Y hoy consideraremos una de esas técnicas: el teorema de Vieta. Primero, introduzcamos una nueva definición.

Una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c \u003d 0 se llama reducida. Tenga en cuenta que el coeficiente para x 2 es 1. No hay otras restricciones sobre los coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 es la ecuación cuadrática reducida;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - también dado;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - pero esto no se muestra, ya que el coeficiente en x 2 es 2.

Por supuesto, cualquier ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0 puede reducirse; basta con dividir todos los coeficientes por el número a. Siempre podemos hacer esto, ya que de la definición de una ecuación cuadrática se sigue que a ≠ 0.

Es cierto que estas transformaciones no siempre serán útiles para encontrar raíces. A continuación, nos aseguraremos de que esto se haga solo cuando todos los coeficientes de la ecuación final reducida al cuadrado sean enteros. Por ahora, considere los ejemplos más simples:

Una tarea. Convierta la ecuación cuadrática a la reducida:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Divida cada ecuación por el coeficiente de la variable x 2. Obtenemos:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - dividido todo entre 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - dividido por −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dividido por 1.5, todos los coeficientes se convierten en números enteros;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - dividido por 2. En este caso, surgieron coeficientes fraccionarios.

Como puede ver, las ecuaciones cuadráticas dadas pueden tener coeficientes enteros incluso en el caso de que la ecuación original contenga fracciones.

Formulemos ahora el teorema principal, para el cual, de hecho, se introdujo el concepto de ecuación cuadrática reducida:

Teorema de Vieta. Considere una ecuación cuadrática reducida de la forma x 2 + bx + c \u003d 0. Suponga que esta ecuación tiene raíces reales x 1 y x 2. En este caso, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. x 1 + x 2 \u003d −b. En otras palabras, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al coeficiente de la variable x, tomado con el signo opuesto;
2. x 1 x 2 \u003d c. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente libre.

Ejemplos. Para simplificar, consideraremos solo las ecuaciones cuadráticas reducidas que no requieren transformaciones adicionales:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (−9) \u003d 9; x 1 x 2 \u003d 20; raíces: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −2; x 1 x 2 \u003d −15; raíces: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d −5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d 4; raíces: x 1 \u003d −1; x 2 \u003d −4.

El teorema de Vieta nos da información adicional sobre las raíces de una ecuación cuadrática. A primera vista, esto puede parecer difícil, pero incluso con un entrenamiento mínimo, aprenderá a "ver" las raíces y, literalmente, adivinarlas en segundos.

Una tarea. Resuelve la ecuación cuadrática:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Intentemos escribir los coeficientes de acuerdo con el teorema de Vieta y "adivinar" las raíces:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 es la ecuación cuadrática reducida.
   Por el teorema de Vieta tenemos: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. Es fácil ver que las raíces son los números 2 y 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - también se da.
   Según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 x 2 \u003d 27. De ahí las raíces: 3 y 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - esta ecuación no se reduce. Pero ahora corregiremos esto dividiendo ambos lados de la ecuación por el coeficiente a \u003d 3. Obtenemos: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Resuelva por el teorema de Vieta: x 1 + x 2 \u003d −11; x 1 x 2 \u003d 10 ⇒ raíces: −10 y −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - nuevamente el coeficiente en x 2 no es igual a 1, es decir ecuación no dada. Divide todo por el número a \u003d −7. Obtenemos: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
   Según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 x 2 \u003d 30; a partir de estas ecuaciones es fácil adivinar las raíces: 5 y 6.

A partir del razonamiento anterior, se puede ver cómo el teorema de Vieta simplifica la solución de ecuaciones cuadráticas. Sin cálculos complicados, sin raíces o fracciones aritméticas. Y ni siquiera necesitábamos el discriminante (ver la lección "Resolver ecuaciones cuadráticas").

Por supuesto, en todas nuestras reflexiones partimos de dos supuestos importantes, que, en general, no siempre se cumplen en problemas reales:

1. La ecuación cuadrática se reduce, es decir el coeficiente en x 2 es 1;
2. La ecuación tiene dos raíces distintas. Desde el punto de vista del álgebra, en este caso el discriminante D\u003e 0; de hecho, inicialmente asumimos que esta desigualdad es cierta.

Sin embargo, en los problemas matemáticos típicos se cumplen estas condiciones. Si los cálculos dan como resultado una ecuación cuadrática "mala" (el coeficiente en x 2 es diferente de 1), esto es fácil de solucionar. Mire los ejemplos al comienzo de la lección. Generalmente me quedo callado sobre las raíces: ¿cuál es este problema que no tiene respuesta? Por supuesto, habrá raíces.

Por lo tanto, el esquema general para resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta es el siguiente:

1. Reducir la ecuación cuadrática a la reducida, si aún no se ha hecho en el enunciado del problema;
2. Si los coeficientes de la ecuación cuadrática dada resultaron ser fraccionarios, los resolvemos mediante el discriminante. Incluso puede volver a la ecuación original para trabajar con números más "convenientes";
3. En el caso de coeficientes enteros, resolvemos la ecuación según el teorema de Vieta;
4. Si en unos pocos segundos no fue posible adivinar las raíces, martillamos el teorema de Vieta y resolvemos a través del discriminante.

Una tarea. Resuelve la ecuación: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Entonces, ante nosotros hay una ecuación que no está dada, porque coeficiente a \u003d 5. Dividir todo entre 5, obtenemos: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Todos los coeficientes de la ecuación cuadrática son números enteros; intentemos resolverlo mediante el teorema de Vieta. Tenemos: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. En este caso, las raíces se adivinan fácilmente: son 2 y 5. No es necesario contar a través del discriminante.

Una tarea. Resuelve la ecuación: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Mira: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - esta ecuación no se reduce, dividimos ambos lados por el coeficiente a \u003d −5. Obtenemos: x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - una ecuación con coeficientes fraccionarios.

Es mejor volver a la ecuación original y contar a través del discriminante: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 ⇒ D \u003d 8 2-4 (−5) (−2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1,2; x 2 \u003d 0,4.

Una tarea. Resuelve la ecuación: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

Primero, dividamos todo por el coeficiente a \u003d 2. Obtenemos la ecuación x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Esta ecuación reducida, según el teorema de Vieta, tenemos: x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d −300. Es difícil adivinar las raíces de la ecuación cuadrática en este caso; personalmente, me "atasqué" seriamente cuando estaba resolviendo este problema.

Tendremos que buscar las raíces a través del discriminante: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (−300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Si no recuerda la raíz del discriminante, solo señalaré que 1225: 25 \u003d 49. Por lo tanto, 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Ahora que se conoce la raíz del discriminante, resolver la ecuación no es difícil. Obtenemos: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d −20.

Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. Guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe tener una variable (la misma x) al cuadrado, y no debe haber x en el tercer (o mayor) grado.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a la solución de ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a definir que tenemos una ecuación cuadrática y no otra.

Ejemplo 1.

Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por

Mueva todo al lado izquierdo y organice los términos en orden decreciente de grados de x

¡Ahora podemos decir con seguridad que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2.

Multipliquemos los lados izquierdo y derecho por:

Esta ecuación, aunque originalmente estaba en ella, ¡no es cuadrada!

Ejemplo 3.

Multipliquemos todo por:

¿Con miedo? Cuarto y segundo grados ... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4.

Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Mueve todo al lado izquierdo:

Verá, se ha reducido, ¡y ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intente determinar por sí mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado
4. no cuadrado
5. no cuadrado
6. cuadrado;
7. no cuadrado
8. cuadrado.

Los matemáticos dividen convencionalmente todas las ecuaciones cuadráticas en la siguiente forma:

• Ecuaciones cuadráticas completas - ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre con, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas, hay dado son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, sino también reducida)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas - ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletas porque carecen de algún elemento. ¡Pero en la ecuación siempre debe haber una x al cuadrado! De lo contrario, ya no será un cuadrado, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se le ocurrió tal división? Parecería que hay una x al cuadrado, y está bien. Esta división se debe a los métodos de solución. Consideremos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Para empezar, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más fáciles!

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de los siguientes tipos:

1. , en esta ecuación el coeficiente es.
2. , en esta ecuación el término libre es.
3. , en esta ecuación el coeficiente y la intersección son iguales.

1. y. Ya que sabemos extraer raíz cuadrada, luego expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. El número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces tenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede haber menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. ¿Recuerdas cómo extraer raíces?

Responder:

¡Nunca te olvides de las raíces negativas!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Responder:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces!

Para las ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos han creado un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Responder:

Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. No hay restricciones aquí, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común del paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Responder:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿no?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Lo haremos sin ejemplos aquí.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

La solución para completar ecuaciones cuadráticas es un poco más difícil (solo un poco) que las dadas.

Recuerda, ¡cualquier ecuación cuadrática puede resolverse usando el discriminante! Incluso incompleto.

El resto de formas lo ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tiene problemas con ecuaciones cuadráticas, primero, domine la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es muy simple, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene una raíz. atención especial Da un paso. El discriminante () nos indica el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación tendrá la raíz completa.
• Si, entonces no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 omitir.

Paso 2.

Encontramos el discriminante:

Entonces la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3.

Responder:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo tanto Paso 1 omitir.

Paso 2.

Encontramos el discriminante:

Entonces la ecuación tiene una raíz.

Responder:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo tanto Paso 1 omitir.

Paso 2.

Encontramos el discriminante:

Por tanto, no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir estas respuestas correctamente.

Responder:Sin raíces

2. Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando el teorema de Vieta.

Si recuerdas, hay un tipo de ecuaciones que se llaman reducidas (cuando el coeficiente a es igual):

Tales ecuaciones son muy fáciles de resolver usando el teorema de Vieta:

Suma de raíces dado la ecuación cuadrática es, y el producto de las raíces es.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación es adecuada para resolver usando el teorema de Vieta, ya que ...

La suma de las raíces de la ecuación es, es decir obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es igual a:

Compongamos y resolvamos el sistema:

• y. La cantidad es igual;
• y. La cantidad es igual;
• y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Responder: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Responder:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

La ecuación se reduce, lo que significa:

Responder:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde es la incógnita, son algunos números y.

El número se llama senior o primeras probabilidades ecuación cuadrática, - segundas probabilidadesy miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si, la ecuación se vuelve lineal inmediatamente, porque desaparecerá.

Además, y puede ser igual a cero. En esta silla, la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Para empezar, analicemos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas; son más simples.

Se pueden distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I., en esta ecuación el coeficiente y la intersección son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es.

III. , en esta ecuación el término libre es.

Ahora veamos una solución para cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque cuando multiplicas dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Por lo tanto:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raíces

No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal para recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Responder:

¡Nunca te olvides de las raíces negativas!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces.

Para registrar brevemente que el problema no tiene solución, usamos el icono de conjunto vacío.

Responder:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Responder:

Saque el factor común del paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación y encuentra las raíces:

Responder:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática puede resolverse usando el discriminante! Incluso incompleto.

¿Ha notado la raíz del discriminante en la fórmula de la raíz? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Debe prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos indica el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene una raíz:
• Si, entonces la ecuación tiene la misma raíz, pero de hecho, una raíz:

  Estas raíces se llaman raíces dobles.

• Si, no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Porque es posible cantidad diferente raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En el caso especial, que es una ecuación cuadrática. Y esto significa que las raíces de la ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Es posible que la parábola no cruce el eje en absoluto, o lo cruce en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si - luego hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Responder:

Responder:.

Responder:

Entonces no hay soluciones.

Responder:.

2. Teorema de Vieta

Es muy fácil usar el teorema de Vieta: solo necesita elegir un par de números, cuyo producto es igual al término libre de la ecuación, y la suma es el segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta solo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

Esta ecuación es adecuada para resolver usando el teorema de Vieta, ya que ... Otros coeficientes :; ...

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es igual a:

Tomemos esos pares de números, cuyo producto es igual, y verifiquemos si su suma es igual:

• y. La cantidad es igual;
• y. La cantidad es igual;
• y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Por lo tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Responder:; ...

Ejemplo # 2:

Decisión:

Tomemos esos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:

y: sumar.

y: sumar. Para obtenerlo, solo necesita cambiar los signos de las supuestas raíces: y, después de todo, el trabajo.

Responder:

Ejemplo # 3:

Decisión:

El término libre de la ecuación es negativo, lo que significa que el producto de las raíces es un número negativo. Esto es posible solo si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por tanto, la suma de las raíces es diferencia de sus módulos.

Elijamos los pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es igual - no encaja;

y: - no encaja;

y: - no encaja;

y: - encaja. Solo resta recordar que una de las raíces es negativa. Dado que su suma debe ser igual, la raíz debe ser negativa en valor absoluto :. Verificamos:

Responder:

Ejemplo # 4:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

La ecuación se reduce, lo que significa:

El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto solo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionaremos dichos pares de números, cuyo producto es igual, y luego determinaremos qué raíces deben tener un signo negativo:

Obviamente, solo las raíces y son adecuadas para la primera condición:

Responder:

Ejemplo # 5:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

La ecuación se reduce, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, ambas raíces tienen un signo menos.

Seleccionemos tales pares de números, cuyo producto es igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Responder:

De acuerdo, es muy conveniente inventar raíces oralmente, en lugar de contar a este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.

Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de raíces. Para usarlo de manera rentable, debe llevar las acciones a automaticidad. Y para ello, decida cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes usar el discriminante! Solo el teorema de Vieta:

Resolución de tareas para el trabajo independiente:

Tarea 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Por el teorema de Vieta:

Como es habitual, comenzamos la selección con una pieza:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es la que necesitas.

Responder:; ...

Tarea 2.

Y nuevamente, nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debería funcionar, pero el producto es igual.

Pero como debería ser no, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Responder:; ...

Tarea 3.

Hmm ... ¿Dónde está eso?

Es necesario transferir todos los términos en una parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Así que deja de! No se da la ecuación. Pero el teorema de Vieta es aplicable solo en las ecuaciones anteriores. Entonces, primero debes traer la ecuación. Si no puedes traerlo, abandona esta aventura y resuélvelo de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante). Permítanme recordarles que traer una ecuación cuadrática significa hacer que el coeficiente principal sea igual a:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual y el producto.

Es fácil de recoger aquí: después de todo, un número primo (perdón por la tautología).

Responder:; ...

Tarea 4.

El término libre es negativo. ¿Qué tiene de especial? Y el hecho de que las raíces serán de diferentes signos. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia de sus módulos: esta diferencia es igual, pero el producto.

Entonces, las raíces son iguales y, pero una de ellas tiene un signo menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá menos: y, ya que.

Responder:; ...

Tarea 5.

¿Qué es lo primero que debes hacer? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número, y su diferencia debe ser:

Las raíces son iguales y, pero una de ellas tiene un signo menos. ¿Cúal? Su suma debe ser igual, lo que significa que con un signo menos habrá una raíz más grande.

Responder:; ...

Para resumir:

1. El teorema de Vieta se usa solo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puede encontrar las raíces por selección, oralmente.
3. Si no se da la ecuación o no hay un par adecuado de multiplicadores de términos libres, entonces no hay raíces enteras y debe resolverlo de otra manera (por ejemplo, mediante el discriminante).

3. Método de selección de un cuadrado completo

Si todos los términos que contienen lo desconocido se representan en forma de términos de las fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o diferencia), luego de cambiar las variables, la ecuación se puede representar como una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación:.

Decisión:

Responder:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación:.

Decisión:

Responder:

En general, la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No se parece a nada? ¡Esto es un discriminante! Así es, tenemos la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE EL PRINCIPAL

Ecuación cuadráticaes una ecuación de la forma, donde es la incógnita, son los coeficientes de la ecuación cuadrática, es el término libre.

Ecuación cuadrática completa - una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida - una ecuación en la que el coeficiente, es decir :.

Ecuación cuadrática incompleta - una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación tiene la forma :,
• si el término libre, la ecuación tiene la forma :,
• si y, la ecuación tiene la forma :.

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

1.1. Ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde ,:

1) Expresemos lo desconocido :,

2) Comprueba el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde ,:

1) Saque el factor común de los corchetes :,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz :.

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución discriminante

1) Llevemos la ecuación a la forma estándar :,

2) Calculamos el discriminante mediante la fórmula :, que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (una ecuación de la forma, donde) es igual, y el producto de las raíces es igual, es decir y.

2.3. Solución cuadrada completa

Formulación y demostración del teorema de Vieta para ecuaciones cuadráticas. Teorema inverso de Vieta. Teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas y ecuaciones de orden arbitrario.

Ecuaciones cuadráticas

Teorema de vieta

Sea y denote las raíces de la ecuación cuadrática reducida
(1) .
Entonces la suma de las raíces es igual al coeficiente en, tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces es igual al término libre:
;
.

Una nota sobre múltiples raíces

Si el discriminante de la ecuación (1) es cero, entonces esta ecuación tiene una raíz. Pero, para evitar formulaciones engorrosas, generalmente se acepta que en este caso, la ecuación (1) tiene dos raíces múltiples o iguales:
.

Prueba uno

Encontremos las raíces de la ecuación (1). Para hacer esto, aplicamos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
;
;
.

Encuentra la suma de las raíces:
.

Para encontrar un trabajo, aplique la fórmula:
.
Entonces

.

Se demuestra el teorema.

Segunda prueba

Si los números y son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces
.
Expanda los corchetes.

.
Por tanto, la ecuación (1) tomará la forma:
.
Comparando con (1) encontramos:
;
.

Se demuestra el teorema.

Teorema inverso de Vieta

Sea números arbitrarios. Entonces y son las raíces de la ecuación cuadrática
,
Dónde
(2) ;
(3) .

Prueba del teorema inverso de Vieta

Considere la ecuación cuadrática
(1) .
Necesitamos demostrar que si y, entonces u son las raíces de la ecuación (1).

Sustituya (2) y (3) en (1):
.
Agrupamos los términos en el lado izquierdo de la ecuación:
;
;
(4) .

Sustituir en (4):
;
.

Sustituir en (4):
;
.
La ecuación se cumple. Es decir, el número es la raíz de la ecuación (1).

Se demuestra el teorema.

Teorema de Vieta para una ecuación cuadrática completa

Ahora considere la ecuación cuadrática completa
(5) ,
dónde, y hay algunos números. Además.

Divida la ecuación (5) por:
.
Es decir, tenemos la ecuación reducida
,
dónde; ...

Entonces, el teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma.

Sea y denote las raíces de la ecuación cuadrática completa
.
Luego, la suma y el producto de las raíces se determinan mediante las fórmulas:
;
.

Teorema de Vieta para la ecuación cúbica

De manera similar, podemos establecer conexiones entre las raíces de una ecuación cúbica. Considere la ecuación cúbica
(6) ,
donde ,,, son algunos números. Además.
Dividamos esta ecuación en:
(7) ,
dónde,,.
Sean ,, las raíces de la ecuación (7) (y la ecuación (6)). Entonces

.

Comparando con la ecuación (7) encontramos:
;
;
.

Teorema de Vieta para una ecuación de enésimo grado

De la misma manera, puede encontrar conexiones entre las raíces ,, ... ,, para la ecuación enésimo grado
.

El teorema de Vieta para ecuaciones de la enésima El grado tiene la siguiente forma:
;
;
;

.

Para obtener estas fórmulas, escribimos la ecuación de la siguiente forma:
.
Luego equiparamos los coeficientes en ,,, ..., y comparamos el término libre.

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones Técnicas, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Álgebra: un libro de texto para instituciones educativas de octavo grado, Moscú, Educación, 2006.

Al estudiar métodos para resolver ecuaciones de segundo orden en curso escolar álgebra, considere las propiedades de las raíces resultantes. Ahora se conocen como teorema de Vieta. En este artículo se dan ejemplos de su uso.

Ecuación cuadrática

La ecuación de segundo orden es la igualdad, que se muestra en la foto de abajo.

Aquí los símbolos a, b, c son algunos números que se denominan coeficientes de la ecuación en cuestión. Para resolver una igualdad, necesitas encontrar los valores de x que la hacen verdadera.

Tenga en cuenta que desde valor máximo el grado en que x se eleva es dos, entonces el número de raíces en el caso general también es dos.

Hay varias formas de resolver este tipo de igualdad. En este artículo, consideraremos uno de ellos, que implica el uso del llamado teorema de Vieta.

Formulación del teorema de Vieta

A finales del siglo XVI, el célebre matemático François Viet (francés) advirtió, analizando las propiedades de las raíces de varias ecuaciones cuadráticas, que ciertas combinaciones de ellas satisfacen relaciones específicas. En particular, estas combinaciones son su producto y suma.

El teorema de Vieta establece lo siguiente: las raíces de una ecuación cuadrática, cuando suman, dan la razón de los coeficientes de lo lineal a lo cuadrático tomados con el signo opuesto, y cuando se multiplican, dan como resultado la razón del término libre al coeficiente cuadrático.

Si un forma general la ecuación se escribe como se muestra en la foto de la sección anterior del artículo, luego matemáticamente este teorema se puede escribir en forma de dos igualdades:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Donde r 1, r 2 es el valor de las raíces de la ecuación en cuestión.

Estas dos igualdades se pueden utilizar para resolver varios problemas matemáticos muy diferentes. El uso del teorema de Vieta en ejemplos con soluciones se da en las siguientes secciones del artículo.