Usando el método de la suma, las ecuaciones de un sistema se suman término por término, y 1 o ambas (varias) ecuaciones se pueden multiplicar por cualquier número. Como resultado, llegan a un SLE equivalente, donde en una de las ecuaciones solo hay una variable.

para resolver el sistema método de suma (resta) término por término sigue estos pasos:

1. Seleccione una variable para la cual se harán los mismos coeficientes.

2. Ahora necesitas sumar o restar las ecuaciones y obtener una ecuación con una variable.

Solución del sistema- estos son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Veamos ejemplos.

Ejemplo 1.

Sistema dado:

Habiendo analizado este sistema, se puede notar que los coeficientes de la variable son iguales en magnitud y diferentes en signo (-1 y 1). En este caso, las ecuaciones se pueden sumar fácilmente término por término:

Realizamos las acciones marcadas en rojo en nuestra mente.

El resultado de la suma término por término fue la desaparición de la variable y. Este es precisamente el significado del método: deshacerse de una de las variables.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

En forma de sistema, la solución se parece a esto:

Respuesta: X = -4 , y = 1.

Ejemplo 2.

Sistema dado:

En este ejemplo, puedes utilizar el método "escolar", pero tiene un inconveniente bastante grande: cuando expresas cualquier variable de cualquier ecuación, obtienes una solución en fracciones ordinarias. Pero resolver fracciones lleva mucho tiempo y aumenta la probabilidad de cometer errores.

Por lo tanto, es mejor utilizar la suma (resta) de ecuaciones término por término. Analicemos los coeficientes de las variables correspondientes:

Necesitas encontrar un número que se pueda dividir por 3 y en 4 , y es necesario que este número sea el mínimo posible. Este minimo común multiplo. Si te resulta difícil encontrar el número correcto, puedes multiplicar los coeficientes: .

Próximo paso:

Multiplicamos la primera ecuación por ,

Multiplicamos la tercera ecuación por ,

Sistema ecuaciones lineales con dos incógnitas: son dos o más ecuaciones lineales para las cuales es necesario encontrarlas todas soluciones generales. Consideraremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. forma general En la siguiente figura se presenta un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Aquí xey son variables desconocidas, a1, a2, b1, b2, c1, c2 son algunos números reales. Una solución a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números (x,y) tales que si sustituimos estos números en las ecuaciones del sistema, entonces cada una de las ecuaciones del sistema se convierte en una verdadera igualdad. Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Consideremos una de las formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales, a saber, el método de la suma.

Algoritmo para resolver por el método de la suma.

Un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el método de la suma.

1. Si es necesario, mediante transformaciones equivalentes, igualar los coeficientes de una de las variables desconocidas en ambas ecuaciones.

2. Sumando o restando las ecuaciones resultantes, obtenga una ecuación lineal con una incógnita.

3. Resuelve la ecuación resultante con una incógnita y encuentra una de las variables.

4. Sustituye la expresión resultante en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y resuelve esta ecuación, obteniendo así la segunda variable.

5. Verifique la solución.

Un ejemplo de una solución que utiliza el método de adición.

Para mayor claridad, resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante el método de la suma:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Como ninguna de las variables tiene coeficientes idénticos, igualamos los coeficientes de la variable y. Para hacer esto, multiplica la primera ecuación por tres y la segunda ecuación por dos.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Ahora restamos la primera de la segunda ecuación. Presentamos términos similares y resolvemos la ecuación lineal resultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Sustituimos el valor resultante en la primera ecuación de nuestro sistema original y resolvemos la ecuación resultante.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

El resultado es un par de números x=6 e y=14. Estamos comprobando. Hagamos una sustitución.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Como puede ver, obtuvimos dos igualdades correctas, por lo tanto, encontramos la solución correcta.

En esta lección continuaremos estudiando el método de resolución de sistemas de ecuaciones, a saber: el método suma algebraica. Primero, veamos la aplicación de este método usando el ejemplo de ecuaciones lineales y su esencia. Recordemos también cómo igualar coeficientes en ecuaciones. Y resolveremos una serie de problemas utilizando este método.

Tema: Sistemas de ecuaciones.

Lección: Método de suma algebraica

1. Método de suma algebraica utilizando sistemas lineales como ejemplo.

Consideremos método de suma algebraica usando el ejemplo de sistemas lineales.

Ejemplo 1. Resuelve el sistema.

Si sumamos estas dos ecuaciones, entonces y se cancela, dejando una ecuación para x.

Si restamos la segunda de la primera ecuación, las x se cancelan entre sí y obtenemos una ecuación para y. Este es el significado del método de suma algebraica.

Resolvimos el sistema y recordamos el método de suma algebraica. Repitamos su esencia: podemos sumar y restar ecuaciones, pero debemos asegurarnos de obtener una ecuación con una sola incógnita.

2. Método de suma algebraica con ecualización preliminar de coeficientes.

Ejemplo 2. Resuelve el sistema.

El término está presente en ambas ecuaciones, por lo que es conveniente el método de la suma algebraica. Restemos la segunda de la primera ecuación.

Respuesta: (2; -1).

Así, después de analizar el sistema de ecuaciones, se puede ver que es conveniente utilizar el método de la suma algebraica y aplicarlo.

Consideremos otro sistema lineal.

3. Solución de sistemas no lineales.

Ejemplo 3. Resuelve el sistema.

Queremos deshacernos de y, pero los coeficientes de y son diferentes en las dos ecuaciones. Vamos a igualarlos; para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 4.

Ejemplo 4. Resolver el sistema.

Igualemos los coeficientes para x.

Puedes hacerlo de otra manera: igualar los coeficientes de y.

Resolvimos el sistema aplicando el método de suma algebraica dos veces.

El método de la suma algebraica también es aplicable para resolver sistemas no lineales.

Ejemplo 5. Resuelve el sistema.

Sumemos estas ecuaciones y eliminaremos y.

El mismo sistema se puede resolver aplicando dos veces el método de la suma algebraica. Sumemos y restemos de una ecuación a otra.

Ejemplo 6. Resuelve el sistema.

Respuesta:

Ejemplo 7. Resuelve el sistema.

Usando el método de la suma algebraica eliminaremos el término xy. Multipliquemos la primera ecuación por .

La primera ecuación permanece sin cambios, en lugar de la segunda escribimos la suma algebraica.

Respuesta:

Ejemplo 8. Resuelve el sistema.

Multiplica la segunda ecuación por 2 para aislar un cuadrado perfecto.

Nuestra tarea se redujo a resolver cuatro sistemas simples.

4. Conclusión

Examinamos el método de suma algebraica usando el ejemplo de resolución de sistemas lineales y no lineales. En la próxima lección veremos el método para introducir nuevas variables.

1. Mordkovich AG y otros Álgebra de noveno grado: libro de texto. Para educación general Instituciones.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: enfermo.

2. Mordkovich A.G. y otros Álgebra de noveno grado: Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina y otros - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo.

3. Makarychev Yu.N. Álgebra. 9º grado: educativo. para estudiantes de educación general. instituciones / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7ª ed., rev. y adicional - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Álgebra. Noveno grado. 16ª edición. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. Noveno grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12ª ed., borrada. - M.: 2010. - 224 p.: enfermo.

6. Álgebra. Noveno grado. En 2 partes Parte 2. Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina y otros; Ed. A. G. Mordkovich. — 12ª ed., rev. - M.: 2010.-223 p.: enfermo.

1. Sección universitaria. ru en matemáticas.

2. Proyecto de Internet “Tareas”.

3. Portal educativo “RESOLVERÉ el Examen del Estado Unificado”.

1. Mordkovich A. G. y otros Álgebra de noveno grado: Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina y otros - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo. N° 125 - 127.

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Con este programa matemático podrás resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables utilizando el método de sustitución y el método de la suma.

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Reglas para ingresar ecuaciones

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Al ingresar ecuaciones puedes usar paréntesis. En este caso, primero se simplifican las ecuaciones. Las ecuaciones después de las simplificaciones deben ser lineales, es decir de la forma ax+by+c=0 con la precisión del orden de los elementos.
Por ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

En las ecuaciones, puedes usar no solo números enteros, sino también fracciones en forma de decimales y fracciones ordinarias.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
Partes enteras y fraccionarias en decimales pueden estar separados por un punto o una coma.
Por ejemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
Toda una parte separado de la fracción por un signo comercial: &

Ejemplos.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Resolver sistema de ecuaciones.

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Un poco de teoría.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:
1) expresar una variable de alguna ecuación del sistema en términos de otra;
2) sustituir la expresión resultante en otra ecuación del sistema en lugar de esta variable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Expresemos y en términos de x de la primera ecuación: y = 7-3x. Sustituyendo la expresión 7-3x en la segunda ecuación en lugar de y, obtenemos el sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es fácil demostrar que el primer y segundo sistema tienen las mismas soluciones. En el segundo sistema, la segunda ecuación contiene sólo una variable. Resolvamos esta ecuación:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Flecha derecha -5x+14-6x=3 \Flecha derecha -11x=-11 \Flecha derecha x=1 $$

Sustituyendo el número 1 en lugar de x en la igualdad y=7-3x, encontramos el valor correspondiente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solución del sistema

Los sistemas de ecuaciones de dos variables que tienen las mismas soluciones se llaman equivalente. También se consideran equivalentes los sistemas que no tienen soluciones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por suma.

Consideremos otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de la suma. Al resolver sistemas de esta manera, así como al resolver por sustitución, pasamos de este sistema a otro sistema equivalente, en el que una de las ecuaciones contiene solo una variable.

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de la suma:
1) multiplicar las ecuaciones del sistema término por término, seleccionando factores de modo que los coeficientes de una de las variables se conviertan en números opuestos;
2) sumar los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones del sistema término por término;
3) resolver la ecuación resultante con una variable;
4) encuentre el valor correspondiente de la segunda variable.

Ejemplo. Resolvamos el sistema de ecuaciones:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

En las ecuaciones de este sistema, los coeficientes de y son números opuestos. Sumando los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones término por término, obtenemos una ecuación con una variable 3x=33. Reemplacemos una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera, por la ecuación 3x=33. Consigamos el sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

De la ecuación 3x=33 encontramos que x=11. Sustituyendo este valor de x en la ecuación \(x-3y=38\) obtenemos una ecuación con la variable y: \(11-3y=38\). Resolvamos esta ecuación:
\(-3y=27 \Flecha derecha y=-9 \)

Así, encontramos la solución al sistema de ecuaciones por suma: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Aprovechando que en las ecuaciones del sistema los coeficientes de y son números opuestos, reducimos su solución a la solución de un sistema equivalente (sumando ambos lados de cada una de las ecuaciones del sistema original), en el cual de las ecuaciones contiene sólo una variable.

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Con este vídeo comienzo una serie de lecciones dedicadas a sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos de resolver sistemas de ecuaciones lineales. método de suma- este es uno de los más maneras simples, pero al mismo tiempo uno de los más efectivos.

El método de suma consta de tres sencillos pasos:

1. Mire el sistema y elija una variable que tenga los mismos (u opuestos) coeficientes en cada ecuación;
2. Realizar restas algebraicas (para números opuestos, suma) de ecuaciones entre sí y luego traer términos similares;
3. Resuelve la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.

Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una única ecuación. con una variable— No será difícil solucionarlo. Entonces todo lo que queda es sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.

Sin embargo, en la práctica no todo es tan sencillo. Hay varias razones para esto:

• Resolver ecuaciones usando el método de la suma implica que todas las líneas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué hacer si no se cumple este requisito?
• No siempre, después de sumar/restar ecuaciones de la forma indicada, obtenemos una construcción hermosa que pueda resolverse fácilmente. ¿Es posible simplificar de alguna manera los cálculos y acelerarlos?

Para obtener la respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, comprender algunas sutilezas adicionales en las que muchos estudiantes fallan, mire mi lección en video:

Con esta lección comenzamos una serie de conferencias dedicadas a sistemas de ecuaciones. Y partiremos de los más simples, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.

Sistemas es material de séptimo grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran repasar sus conocimientos sobre este tema.

En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:

1. Método de suma;
2. Un método para expresar una variable en términos de otra.

Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para hacer esto, debes comprender el siguiente hecho: una vez que tengas dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas entre sí. Se añaden miembro por miembro, es decir. Se suman “X” a las “X” y se dan similares, “Y” con “Y” se vuelven a similar, y lo que está a la derecha del signo igual también se suma entre sí, y allí también se dan similares .

El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación que, si tiene raíces, seguramente estará entre las raíces de la ecuación original. Por lo tanto, nuestra tarea es hacer la resta o suma de tal manera que $x$ o $y$ desaparezcan.

Cómo lograrlo y qué herramienta utilizar para ello; hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas fáciles usando la suma

Entonces, aprendemos a usar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la suma resultante los "juegos" se destruirán mutuamente. Súmalo y obtén:

Resolvamos la construcción más simple:

Genial, encontramos la "x". ¿Qué debemos hacer con él ahora? Tenemos derecho a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Sustituyamos en el primero:

\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(2;-3 \derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situación aquí es completamente similar, sólo que con las "X". Sumémoslos:

Tenemos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:

Ahora encontremos $x$:

Respuesta: $\izquierda(-3;3 \derecha)$.

Puntos importantes

Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Puntos clave nuevamente:

1. Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables de la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
2. Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
3. El registro de respuesta final se puede presentar de diferentes formas. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo principal que hay que recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
4. La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede utilizar cuando las variables no son $x$ e $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.

En los siguientes problemas consideraremos la técnica de la resta cuando los coeficientes no son opuestos.

Resolver problemas fáciles usando el método de resta.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por tanto, restamos la segunda de la primera ecuación:

Ahora sustituimos el valor $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Vamos primero:

Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente vemos el mismo coeficiente de $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuación. Por lo tanto, es lógico suponer que es necesario restar la segunda de la primera ecuación:

Hemos calculado una variable. Ahora encontremos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor $y$ en la segunda construcción:

Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.

Matices de la solución.

Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no difiere de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo resta algebraica.

En otras palabras, tan pronto como veas un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debes mirar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se utiliza el método de la suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final, que queda después de la resta, solo queda una variable.

Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Aquellos. No hay en ellos variables iguales ni opuestas. En este caso, para resolver dichos sistemas se utiliza una técnica adicional, a saber, multiplicar cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver dichos sistemas en general, hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas multiplicando por un coeficiente.

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no sólo son mutuamente opuestos, sino que tampoco están correlacionados de ninguna manera con la otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente $y$ de la primera ecuación, sin tocar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Veámoslo: en $y$ los coeficientes son opuestos. En tal situación, es necesario utilizar el método de la suma. Agreguemos:

Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:

\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(4;-2 \derecha)$.

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente, los coeficientes de ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, sin embargo, los coeficientes de $y$ son mutuamente opuestos, por lo que es fácil aplicar aquí el método de la suma:

Ahora encontremos $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:

Respuesta: $\izquierda(-2;1 \derecha)$.

Matices de la solución.

La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplicamos solo por números positivos; esto le evitará errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante sencillo:

1. Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
2. Si vemos que ni $y$ ni $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son iguales ni opuestos, luego hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que necesitamos deshacernos y luego miramos los coeficientes de estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y la segunda, respectivamente, la multiplicamos por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes de $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones tienen como objetivo únicamente conseguir una variable en una ecuación.
3. Encontramos una variable.
4. Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
5. Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos si tenemos las variables $x$ e $y$.

Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos se puede actuar de forma algo diferente que según el algoritmo estándar.

Resolver problemas con fracciones

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primero, observa que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ entre $0,8$. Recibiremos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Restamos las ecuaciones entre sí:

Encontramos $n$, ahora contemos $m$:

Respuesta: $n=-4;m=5$

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ bien.\]

Aquí, como en el sistema anterior, hay coeficientes fraccionarios, pero para ninguna de las variables los coeficientes encajan entre sí un número entero de veces. Por tanto, utilizamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos el método de resta:

Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:

Respuesta: $p=-4;k=-2$.

Matices de la solución.

Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, sino que multiplicamos la segunda ecuación por $5$. Como resultado, obtuvimos una ecuación consistente e incluso idéntica para la primera variable. En el segundo sistema seguimos un algoritmo estándar.

Pero, ¿cómo encuentras los números por los cuales multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicamos por fracciones, obtenemos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones deben multiplicarse por un número que daría un nuevo número entero, y luego las variables deben multiplicarse por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.

Para concluir, me gustaría llamar su atención sobre el formato de registro de la respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ e $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:

Resolver sistemas complejos de ecuaciones.

Como nota final del vídeo tutorial de hoy, veamos un par de sistemas realmente complejos. Su complejidad consistirá en que tendrán variables tanto a izquierda como a derecha. Por tanto, para solucionarlos tendremos que aplicar preprocesamiento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, tratemos cada expresión como si fuera una construcción lineal regular.

En total obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe en $6$ dos veces, así que multipliquemos la primera ecuación por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, por lo que restamos el segundo de la primera ecuación: $$

Ahora encontremos $y$:

Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformemos la primera expresión:

Ocupémonos del segundo:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Resta la segunda de la primera construcción:

Ahora encontremos $a$:

Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, es decir, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema: veremos más ejemplos complejos, donde habrá más variables y las ecuaciones mismas ya serán no lineales. ¡Hasta luego!