முழு எண்களுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது. பின்னங்கள். பின்னங்களை பெருக்கி வகுத்தல்
) மற்றும் வகுப்பின் மூலம் வகுத்தல் (நாம் தயாரிப்பின் வகுப்பினைப் பெறுகிறோம்).
பின்னங்களை பெருக்குவதற்கான சூத்திரம்:
உதாரணத்திற்கு:
நீங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பிகளைப் பெருக்கத் தொடங்கும் முன், பின்னத்தை குறைக்க முடியுமா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். நீங்கள் பகுதியைக் குறைக்க முடிந்தால், மேலும் கணக்கீடுகளைச் செய்வது உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும்.
ஒரு பொதுவான பகுதியை ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்.
இயற்கை எண்களை உள்ளடக்கிய பின்னங்களைப் பிரித்தல்.
இது தோன்றுவது போல் பயமாக இல்லை. கூட்டல் விஷயத்தைப் போலவே, முழு எண்ணையும் வகுப்பில் ஒன்றின் பின்னமாக மாற்றுகிறோம். உதாரணத்திற்கு:
கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.
பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகள் (கலப்பு):
- கலப்பு பின்னங்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்;
- பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை பெருக்குதல்;
- பகுதியை குறைக்க;
- தவறான பின்னத்தைப் பெற்றால், முறையற்ற பின்னத்தை கலப்புப் பின்னமாக மாற்றுவோம்.
குறிப்பு!பெருக்க கலப்பு பின்னம்மற்றொரு கலப்பு பின்னத்திற்கு, நீங்கள் முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களின் வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும், பின்னர் சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியின் படி அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும்.
ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க இரண்டாவது வழி.
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு எண்ணால் பெருக்கும் இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியாக இருக்கும்.
குறிப்பு!ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க, பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் வகுத்து, எண்ணை மாற்றாமல் விட வேண்டும்.
மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, ஒரு பகுதியின் வகுப்பினை ஒரு இயற்கை எண்ணால் மீதம் இல்லாமல் வகுக்கும்போது இந்த விருப்பம் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது என்பது தெளிவாகிறது.
பல அடுக்கு பின்னங்கள்.
உயர்நிலைப் பள்ளியில், மூன்று-அடுக்கு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) பின்னங்கள் அடிக்கடி சந்திக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக:
அத்தகைய பகுதியை அதன் வழக்கமான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர, 2 புள்ளிகள் மூலம் வகுக்கவும்:
குறிப்பு!பின்னங்களைப் பிரிக்கும்போது, பிரிவின் வரிசை மிகவும் முக்கியமானது. கவனமாக இருங்கள், இங்கே குழப்பமடைவது எளிது.
குறிப்பு, உதாரணத்திற்கு:
ஒன்றை எந்தப் பின்னத்தால் வகுக்கும் போது, விளைவு அதே பின்னமாக இருக்கும், தலைகீழாக மட்டுமே இருக்கும்:
பின்னங்களை பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்கும் நடைமுறை குறிப்புகள்:
1. பகுதி வெளிப்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது மிக முக்கியமான விஷயம் துல்லியம் மற்றும் கவனிப்பு. அனைத்து கணக்கீடுகளையும் கவனமாகவும் துல்லியமாகவும், செறிவுடனும் தெளிவாகவும் செய்யுங்கள். மனக் கணக்கீடுகளில் தொலைந்து போவதை விட உங்கள் வரைவில் சில கூடுதல் வரிகளை எழுதுவது நல்லது.
2. உடன் பணிகளில் பல்வேறு வகையானபின்னங்கள் - சாதாரண பின்னங்களின் வடிவத்திற்கு செல்க.
3. குறைக்க முடியாது வரை அனைத்து பின்னங்களையும் குறைக்கிறோம்.
4. 2 புள்ளிகள் மூலம் பிரிவைப் பயன்படுத்தி பல-நிலை பின்ன வெளிப்பாடுகளை சாதாரணமாக மாற்றுகிறோம்.
5. ஒரு யூனிட்டை உங்கள் தலையில் உள்ள ஒரு பகுதியால் பிரித்து, பின்னத்தை அப்படியே திருப்பவும்.
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னம் அல்லது ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் சரியாகப் பெருக்க, நீங்கள் எளிய விதிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இப்போது இந்த விதிகளை விரிவாக ஆராய்வோம்.
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்களின் பெருக்கத்தையும், இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் பெருக்கத்தையும் கணக்கிட வேண்டும்.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:
முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்தை இரண்டாம் பின்னத்தின் எண்கணிதத்துடன் பெருக்குகிறோம், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பையும் இரண்டாம் பின்னத்தின் வகுப்போடு பெருக்குகிறோம்.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ முறை 3)(7 \முறை 3) = \frac(4)(7)\\\)
பின்னம் \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 ஆல் குறைக்கப்பட்டது.
ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்.
முதலில், விதியை நினைவில் கொள்வோம், எந்த எண்ணையும் பின்னமாக குறிப்பிடலாம் \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \time 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
தவறான பின்னம் \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) கலப்பு பின்னமாக மாற்றப்பட்டது.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, எண்ணை எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.உதாரணமாக:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \time c)(b)\\\)
கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.
கலப்பு பின்னங்களைப் பெருக்க, முதலில் ஒவ்வொரு கலப்புப் பின்னத்தையும் முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிட வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். நாம் எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், மேலும் வகுப்பைக் கொண்டு வகுப்பினைப் பெருக்குகிறோம்.
உதாரணமாக:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \time \frac(23)(6) = \frac(9 \time 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \time 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
பரஸ்பர பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் பெருக்கல்.
பின்னம் \(\bf \frac(a)(b)\) என்பது a≠0,b≠0 வழங்கப்பட்டுள்ள \(\bf \frac(b)(a)\) பின்னத்தின் தலைகீழ் ஆகும்.
பின்னங்கள் \(\b \frac(a)(b)\) மற்றும் \(\bf \frac(b)(a)\) ஆகியவை பரஸ்பர பின்னங்கள் எனப்படும். பரஸ்பர பின்னங்களின் பலன் 1க்கு சமம்.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
உதாரணமாக:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
தொடர்புடைய கேள்விகள்:
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கல் என்பது ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண், ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு வகுப்பின் பெருக்கல் ஆகும். கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைப் பெற, நீங்கள் அவற்றை ஒரு முறையற்ற பின்னமாக மாற்ற வேண்டும் மற்றும் விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும்.
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: அவை ஒரே மாதிரியானவையா இல்லையா என்பது முக்கியமல்ல வெவ்வேறு பிரிவுகள்பின்னங்களைப் பொறுத்தவரை, பெருக்கல் என்பது எண்ணின் பெருக்கத்தை எண்ணுடன், வகுப்புடன் வகுத்தலைக் கண்டறியும் விதியின்படி நிகழ்கிறது.
கலப்பு பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: முதலில், நீங்கள் கலப்பு பகுதியை தவறான பின்னமாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி தயாரிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு #1:
தயாரிப்பைக் கணக்கிடவும்: a) \(\frac(8)(9) \time \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
தீர்வு:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \time \color( சிவப்பு) (5))(3 \மடங்கு \நிறம்(சிவப்பு) (5) \முறை 13) = \frac(4)(39)\)
எடுத்துக்காட்டு #2:
ஒரு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடவும்: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
தீர்வு:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \time 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
எடுத்துக்காட்டு #3:
\(\frac(1)(3)\) பின்னத்தின் எதிரொலியை எழுதவா?
பதில்: \(\frac(3)(1) = 3\)
எடுத்துக்காட்டு #4:
இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
தீர்வு:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
எடுத்துக்காட்டு #5:
பரஸ்பர பின்னங்கள் இருக்க முடியுமா:
a) சரியான பின்னங்களுடன் ஒரே நேரத்தில்;
b) ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னங்கள்;
c) ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்கள்?
தீர்வு:
அ) முதல் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு உதாரணம் தருவோம். பின்னம் \(\frac(2)(3)\) சரியானது, அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(3)(2)\) - ஒரு முறையற்ற பின்னத்திற்கு சமமாக இருக்கும். பதில்: இல்லை.
b) கிட்டத்தட்ட அனைத்து பின்னங்களின் எண்ணிக்கையிலும் இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னமாக இருக்கும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் சில எண்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, தவறான பின்னம் \(\frac(3)(3)\), அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(3)(3)\) க்கு சமம். நாம் இரண்டு முறையற்ற பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். பதில்: எப்பொழுதும் சில நிபந்தனைகளின் கீழ், எண் மற்றும் வகுத்தல் சமமாக இருக்கும் போது இல்லை.
c) இயற்கை எண்கள் எண்ணும் போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac(3)(1)\) எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(1)(3)\) ஆக இருக்கும். பின்னம் \(\frac(1)(3)\) ஒரு இயற்கை எண் அல்ல. நாம் எல்லா எண்களிலும் சென்றால், 1 ஐத் தவிர, எண்ணின் எதிரொலி எப்போதும் ஒரு பின்னமாக இருக்கும். நாம் எண் 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பர பின்னம் \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). எண் 1 என்பது இயற்கை எண். பதில்: இது எண் 1 ஆக இருந்தால், அவை ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்களாக இருக்க முடியும்.
எடுத்துக்காட்டு #6:
கலப்பு பின்னங்களின் பலனைச் செய்யுங்கள்: a) \(4 \ மடங்கு 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
தீர்வு:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \time \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
எடுத்துக்காட்டு #7:
இரண்டு எதிரொலிகள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியுமா?
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு கலப்புப் பகுதியை எடுத்துக் கொள்வோம் \(1\frac(1)(2)\), அதன் தலைகீழ் பகுதியைக் கண்டறியவும், இதைச் செய்ய அதை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம் \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(2)(3)\) க்கு சமமாக இருக்கும். பின்னம் \(\frac(2)(3)\) என்பது சரியான பின்னமாகும். பதில்: ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறான இரண்டு பின்னங்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியாது.
பொதுவான பின்னங்களைப் பெருக்குதல்
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
ஒரு தட்டில் ஒரு ஆப்பிளின் $\frac(1)(3)$ பகுதி இருக்கட்டும். அதன் $\frac(1)(2)$ பகுதியை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். தேவையான பகுதியானது $\frac(1)(3)$ மற்றும் $\frac(1)(2)$ ஆகிய பின்னங்களை பெருக்குவதன் விளைவாகும். இரண்டு பொதுவான பின்னங்களைப் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பொதுவான பின்னமாகும்.
இரண்டு சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குதல்
சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குவதற்கான விதி:
ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பின்னமாகும், அதன் எண்ணானது பெருக்கப்படும் பின்னங்களின் எண்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் வகுத்தல் பிரிவுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:
எடுத்துக்காட்டு 1
பொதுவான பின்னங்களின் பெருக்கல் $\frac(3)(7)$ மற்றும் $\frac(5)(11)$.
தீர்வு.
சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
பதில்:$\frac(15)(77)$
பின்னங்களைப் பெருக்குவது குறைக்கக்கூடிய அல்லது முறையற்ற பின்னமாக இருந்தால், நீங்கள் அதை எளிதாக்க வேண்டும்.
உதாரணம் 2
$\frac(3)(8)$ மற்றும் $\frac(1)(9)$ பின்னங்களை பெருக்கவும்.
தீர்வு.
சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு ஒரு குறைக்கக்கூடிய பின்னம் கிடைத்தது ($3$ ஆல் வகுத்தல் அடிப்படையில். பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை $3$ ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
குறுகிய தீர்வு:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
பதில்:$\frac(1)(24).$
பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, நீங்கள் அவற்றின் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் வரை எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளைக் குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பானது எளிய காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகின்றன, அதன் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் வரும் காரணிகள் ரத்து செய்யப்பட்டு முடிவு கண்டறியப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 3
$\frac(6)(75)$ மற்றும் $\frac(15)(24)$ பின்னங்களின் பலனைக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு.
சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
வெளிப்படையாக, எண் மற்றும் வகுப்பில் $2$, $3$ மற்றும் $5$ என்ற எண்களுக்கு ஜோடியாகக் குறைக்கப்படும் எண்கள் உள்ளன. எண் மற்றும் வகுப்பினை எளிய காரணிகளாகக் கருதி, குறைப்போம்:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
பதில்:$\frac(1)(20).$
பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, நீங்கள் மாற்றுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான விதி:
இயற்கை எண்ணால் ஒரு பகுதியைப் பெருக்குவதன் விளைவாக, இயற்கை எண்ணால் பெருக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு எண் சமமாக இருக்கும் ஒரு பின்னமாகும், மேலும் வகுப்பானது பெருக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பிற்கு சமம்:
$\frac(a)(b)$ என்பது ஒரு சாதாரண பின்னம், $n$ என்பது ஒரு இயற்கை எண்.
எடுத்துக்காட்டு 4
$\frac(3)(17)$ என்ற பகுதியை $4$ ஆல் பெருக்கவும்.
தீர்வு.
ஒரு சாதாரண பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
பதில்:$\frac(12)(17).$
பின்னத்தின் குறைப்பு அல்லது முறையற்ற பின்னம் மூலம் பெருக்கத்தின் முடிவைச் சரிபார்க்க மறக்காதீர்கள்.
எடுத்துக்காட்டு 5
$\frac(7)(15)$ என்ற பின்னத்தை $3$ என்ற எண்ணால் பெருக்கவும்.
தீர்வு.
ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
$3$ என்ற எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம், இதன் விளைவாக வரும் பகுதியைக் குறைக்கலாம் என்பதை நாம் தீர்மானிக்கலாம்:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
இதன் விளைவாக ஒரு தவறான பின்னம் இருந்தது. முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுப்போம்:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
குறுகிய தீர்வு:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
எண்கள் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள எண்களை அவற்றின் காரணியாக்கங்களுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றுவதன் மூலமும் பின்னங்களைக் குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
பதில்:$1\frac(2)(5).$
ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்கும்போது, நீங்கள் மாற்று விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:
பிரித்தல் பின்னங்கள்
வகுத்தல் செயல்பாடு என்பது பெருக்கத்தின் தலைகீழ் மற்றும் அதன் முடிவு ஒரு பின்னமாகும், இதன் மூலம் இரண்டு பின்னங்களின் அறியப்பட்ட உற்பத்தியைப் பெற அறியப்பட்ட பின்னத்தை பெருக்க வேண்டும்.
இரண்டு சாதாரண பின்னங்களைப் பிரித்தல்
சாதாரண பின்னங்களை பிரிப்பதற்கான விதி:வெளிப்படையாக, விளைந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை காரணியாக்கி குறைக்கலாம்:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு முறையற்ற பகுதியைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
பதில்:$1\frac(5)(9).$
பாடத்தின் உள்ளடக்கம்ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:
- ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
- வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் மற்றும் . எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:
நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். பீட்சாவுடன் பீட்சாவை சேர்த்தால், பீட்சா கிடைக்கும்:
எடுத்துக்காட்டு 2.பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .
பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. பணியின் முடிவு வரும்போது, முறையற்ற பின்னங்களை அகற்றுவது வழக்கம். ஒரு முறையற்ற பகுதியை அகற்ற, நீங்கள் அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில் முழு பகுதிஎளிதில் தனித்து நிற்கிறது - இரண்டை இரண்டால் வகுத்தால் ஒன்று:
இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவைப் பற்றி நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சா கிடைக்கும்:
எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .
மீண்டும், நாங்கள் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடுகிறோம்:
மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:
எடுத்துக்காட்டு 4.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் 
இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. எண்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்:
ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் ஒரு பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்து மேலும் அதிக பீட்சாக்களைச் சேர்த்தால், 1 முழு பீட்சாவும் மேலும் பீட்சாவும் கிடைக்கும்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:
- ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்;
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம். பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, பின்னங்களின் பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் அவை எப்போதும் ஒரே மாதிரி இருப்பதில்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் இருப்பதால் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் அதே பிரிவுகள்.
ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னங்களை உடனடியாகச் சேர்க்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.
பின்னங்களை ஒரே வகுப்பில் குறைக்க பல வழிகள் உள்ளன. இன்று நாம் அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே பார்ப்போம், ஏனென்றால் மற்ற முறைகள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம்.
இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM தேடப்படுகிறது. முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெற, LCM ஆனது முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கப்படுகிறது. அவை இரண்டாவது பின்னத்துடன் அவ்வாறே செய்கின்றன - LCM இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது.
பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்களின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.
எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்ப்போம் மற்றும்
முதலாவதாக, இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளைக் காண்கிறோம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 6 ஆகும்.
LCM (2 மற்றும் 3) = 6
இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் . முதலில், LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3. 6 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 2 கிடைக்கும்.
இதன் விளைவாக வரும் எண் 2 முதல் கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை முதல் பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். இதைச் செய்ய, பின்னத்தின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதவும்:
இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் பிரித்து இரண்டாவது கூடுதல் காரணியைப் பெறுகிறோம். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 6 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும்.
இதன் விளைவாக வரும் எண் 3 இரண்டாவது கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை இரண்டாவது பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். மீண்டும், இரண்டாவது பகுதியின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதுகிறோம்:
இப்போது நாம் கூடுதலாக அனைத்தையும் தயார் செய்துள்ளோம். பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க வேண்டும்:
நாம் வந்ததை கவனமாக பாருங்கள். வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:
இது உதாரணத்தை நிறைவு செய்கிறது. இது சேர்க்க மாறிவிடும்.
ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சாவும், பீட்சாவில் ஆறில் ஒரு பங்கும் கிடைக்கும்.
பின்னங்களை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைப்பதும் படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். பின்னங்களைக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த இரண்டு பின்னங்களும் ஒரே பீட்சா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும். ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், இந்த முறை அவை சம பங்குகளாக பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்கு குறைக்கப்படும்).
முதல் வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் நான்கு துண்டுகள்), மற்றும் இரண்டாவது வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் மூன்று துண்டுகள்). இந்த துண்டுகளைச் சேர்த்தால் நமக்குக் கிடைக்கும் (ஆறில் ஏழு துண்டுகள்). இந்த பின்னம் முறையற்றது, எனவே அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தினோம். இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு கிடைத்தது (ஒரு முழு பீஸ்ஸா மற்றும் மற்றொரு ஆறாவது பீஸ்ஸா).
நாங்கள் விவரித்துள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க இந்த உதாரணம்மிகவும் விரிவானது. IN கல்வி நிறுவனங்கள்இவ்வளவு விரிவாக எழுதுவது வழக்கம் இல்லை. நீங்கள் இரண்டு பிரிவுகளின் LCM மற்றும் அவற்றுக்கான கூடுதல் காரணிகளை விரைவாகக் கண்டறிய முடியும், அத்துடன் கண்டறியப்பட்ட கூடுதல் காரணிகளை உங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் விரைவாகப் பெருக்க வேண்டும். நாம் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை பின்வருமாறு எழுத வேண்டும்:
ஆனால் நாணயத்திற்கு மற்றொரு பக்கமும் உள்ளது. கணிதம் படிக்கும் முதல் கட்டங்களில் நீங்கள் விரிவான குறிப்புகளை எடுக்கவில்லை என்றால், அந்த வகையான கேள்விகள் தோன்ற ஆரம்பிக்கும். "அந்த எண் எங்கிருந்து வருகிறது?", "பின்னங்கள் ஏன் திடீரென்று முற்றிலும் மாறுபட்ட பின்னங்களாக மாறுகின்றன? «.
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்வரும் படிப்படியான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்:
- பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்;
- ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்;
- பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்;
- ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்;
- பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்;
எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் 
.
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துவோம்.
படி 1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்
இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னங்களின் பிரிவுகள் எண்கள் 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்
படி 2. LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்
LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 12 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 6 கிடைக்கும். முதல் கூடுதல் காரணி 6 கிடைத்தது. முதல் பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:
இப்போது நாம் LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 4 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:
இப்போது நாம் LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் மூன்றாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 3. மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:
படி 3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்
எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்குகிறோம்:
படி 4. அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்
வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். இந்த பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அதைச் சேர்க்கவும்:
கூட்டல் ஒரு வரியில் பொருந்தவில்லை, எனவே மீதமுள்ள வெளிப்பாட்டை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தினோம். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு வரியில் பொருந்தாதபோது, அது அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது, மேலும் முதல் வரியின் முடிவிலும் புதிய வரியின் தொடக்கத்திலும் சமமான அடையாளத்தை (=) வைக்க வேண்டியது அவசியம். இரண்டாவது வரியில் உள்ள சம அடையாளம் இது முதல் வரியில் இருந்த வெளிப்பாட்டின் தொடர்ச்சி என்பதைக் குறிக்கிறது.
படி 5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்
எங்கள் பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. அதன் முழுப் பகுதியையும் நாம் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:
எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது
ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
பின்னங்களின் கழித்தல் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:
- ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
- வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடவும்.
எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும். இதை செய்வோம்:
நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:
எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
மீண்டும், முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்திலிருந்து, இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:
மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:
எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் 
இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து மீதமுள்ள பின்னங்களின் எண்களைக் கழிக்க வேண்டும்:
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:
- ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்;
- பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்கலாம், ஏனெனில் பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் பயன்படுத்திய அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பொதுவான வகுப்பான் காணப்படுகிறது. முதலில், இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னர் LCM முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் முதல் கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது. இதேபோல், LCM இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது.
பின்னங்கள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாட்டின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றப்படுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.
எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே நீங்கள் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.
முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 12 ஆகும்.
LCM (3 மற்றும் 4) = 12
இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் திரும்புவோம்
முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ முதல் பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். முதல் பின்னத்திற்கு மேலே நான்கை எழுதவும்:
இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். இரண்டாவது பின்னத்தின் மீது மூன்றை எழுதவும்:
இப்போது நாம் கழிப்பதற்கு தயாராக உள்ளோம். பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:
வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:
எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது
ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், பீட்சா கிடைக்கும்
இது தீர்வின் விரிவான பதிப்பாகும். நாங்கள் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை சுருக்கமாக தீர்க்க வேண்டும். அத்தகைய தீர்வு இப்படி இருக்கும்:
பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பது ஒரு படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். இந்த பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த பின்னங்கள் ஒரே பீஸ்ஸா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும், ஆனால் இந்த முறை அவை சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்):
முதல் படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் எட்டு துண்டுகள்), இரண்டாவது படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் மூன்று துண்டுகள்). எட்டு துண்டுகளிலிருந்து மூன்று துண்டுகளை வெட்டுவதன் மூலம், பன்னிரண்டில் ஐந்து துண்டுகள் கிடைக்கும். பின்னம் இந்த ஐந்து பகுதிகளை விவரிக்கிறது.
எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் 
இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே முதலில் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.
இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.
பின்னங்களின் வகுத்தல்கள் எண்கள் 10, 3 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 30 ஆகும்.
LCM(10, 3, 5) = 30
இப்போது ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்.
முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 10 ஆகும். 30 ஐ 10 ஆல் வகுத்தால், முதல் கூடுதல் காரணி 3 ஐப் பெறுகிறோம். அதை முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:
இப்போது இரண்டாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 30 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 10 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:
இப்போது மூன்றாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் மூன்றாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 5 ஆகும். 30 ஐ 5 ஆல் வகுத்தால், மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 6 ஐப் பெறுகிறோம். அதை மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:
இப்போது எல்லாம் கழிக்க தயாராக உள்ளது. பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:
வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை முடிப்போம்.
உதாரணத்தின் தொடர்ச்சி ஒரு வரியில் பொருந்தாது, எனவே தொடர்ச்சியை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்துகிறோம். புதிய வரியில் சம அடையாளத்தை (=) மறந்துவிடாதீர்கள்:
பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, எல்லாமே நமக்கு ஏற்றதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் அசிங்கமானது. நாம் அதை எளிதாக்க வேண்டும். என்ன செய்ய முடியும்? இந்த பகுதியை நீங்கள் சுருக்கலாம்.
ஒரு பகுதியைக் குறைக்க, அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை 20 மற்றும் 30 எண்களின் (GCD) மூலம் வகுக்க வேண்டும்.
எனவே, 20 மற்றும் 30 எண்களின் gcd ஐக் காண்கிறோம்:
இப்போது நாம் எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்பி, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையையும் வகுப்பையும் கண்டறிந்த ஜிசிடியால் வகுக்கிறோம், அதாவது 10 ஆல் வகுக்கிறோம்.
எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது
ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்
ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்க, கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணை அந்த எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பகுதியை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்.
பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்
ரெக்கார்டிங் அரை 1 முறை எடுத்ததை புரிந்து கொள்ளலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு முறை பீட்சா எடுத்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்
பெருக்கல் விதிகள் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் காரணி மாற்றப்பட்டால், தயாரிப்பு மாறாது என்பதை நாம் அறிவோம். வெளிப்பாடு என எழுதப்பட்டால், தயாரிப்பு இன்னும் சமமாக இருக்கும். மீண்டும், ஒரு முழு எண்ணையும் ஒரு பகுதியையும் பெருக்குவதற்கான விதி செயல்படுகிறது:
இந்த குறியீடானது ஒன்றின் பாதியை எடுத்துக்கொள்வதாக புரிந்து கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 முழு பீட்சா இருந்தால், அதில் பாதியை எடுத்துக் கொண்டால், நாங்கள் பீட்சா சாப்பிடுவோம்:
உதாரணம் 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்
பின்னத்தின் எண்ணை 4 ஆல் பெருக்கவும்
பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:
இரண்டு காலாண்டுகளை 4 முறை எடுத்துக்கொள்வதாக வெளிப்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும். உதாரணமாக, நீங்கள் 4 பீஸ்ஸாக்களை எடுத்துக் கொண்டால், உங்களுக்கு இரண்டு முழு பீஸ்ஸாக்கள் கிடைக்கும்
மேலும் நாம் பெருக்கி மற்றும் பெருக்கியை மாற்றினால், வெளிப்பாடு கிடைக்கும். இது 2க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாடு நான்கு முழு பீஸ்ஸாக்களிலிருந்து இரண்டு பீஸ்ஸாக்களை எடுப்பதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:
பின்னங்களை பெருக்குதல்
பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது. இந்த பகுதியைக் குறைப்பது நல்லது. பின்னத்தை 2 ஆல் குறைக்கலாம். பின்னர் இறுதி தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
அரை பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை எடுப்பது போன்ற வெளிப்பாடுகளை புரிந்து கொள்ளலாம். எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
இந்த பாதியில் இருந்து மூன்றில் இரண்டு பங்கை எப்படி எடுப்பது? முதலில் நீங்கள் இந்த பாதியை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்க வேண்டும்:
இந்த மூன்று துண்டுகளிலிருந்து இரண்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:
நாங்கள் பீட்சா செய்வோம். மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது பீட்சா எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:
இந்த பீட்சாவின் ஒரு துண்டு மற்றும் நாங்கள் எடுத்த இரண்டு துண்டுகள் ஒரே பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கும்:
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாங்கள் அதே அளவு பீட்சாவைப் பற்றி பேசுகிறோம். எனவே வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு
உதாரணம் 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்
முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:
பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:
எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்
முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:
பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, ஆனால் அதை சுருக்கினால் நன்றாக இருக்கும். இந்தப் பகுதியைக் குறைக்க, இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 105 மற்றும் 450 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பால் (GCD) வகுக்க வேண்டும்.
எனவே, 105 மற்றும் 450 எண்களின் gcd ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:
இப்போது நாம் கண்டறிந்த ஜிசிடியால், அதாவது 15ஆல் நமது பதிலின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கிறோம்.
ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கும்
எந்த முழு எண்ணையும் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 ஐக் குறிப்பிடலாம். இது ஐந்தின் பொருளை மாற்றாது, ஏனெனில் வெளிப்பாட்டின் பொருள் "ஒன்றால் வகுக்கப்படும் எண் ஐந்து", மேலும் இது ஐந்துக்கு சமம்:
பரஸ்பர எண்கள்
இப்போது நாம் கணிதத்தில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இது "தலைகீழ் எண்கள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.
வரையறை. எண்ணுக்குத் தலைகீழ்அ பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண்அ ஒன்றை கொடுக்கிறது.
இந்த வரையறையில் மாறிக்கு பதிலாக மாற்றுவோம் அஎண் 5 மற்றும் வரையறையைப் படிக்க முயற்சிக்கவும்:
எண்ணுக்குத் தலைகீழ் 5 பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண் 5 ஒன்றை கொடுக்கிறது.
5 ஆல் பெருக்கினால், ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? அது சாத்தியம் என்று மாறிவிடும். ஐந்தை ஒரு பின்னமாக கற்பனை செய்வோம்:
இந்த பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கி, எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கலாம், தலைகீழாக மட்டுமே:
இதன் விளைவாக என்ன நடக்கும்? இந்த உதாரணத்தைத் தொடர்ந்து தீர்த்துக்கொண்டால், ஒன்றைப் பெறுவோம்:
இதன் பொருள், எண் 5 இன் தலைகீழ் எண் , நீங்கள் 5 ஐப் பெருக்கும்போது ஒன்று கிடைக்கும்.
ஒரு எண்ணின் எதிரொலியை வேறு எந்த முழு எண்ணுக்கும் காணலாம்.
வேறு எந்தப் பகுதியினதும் எதிரொலியையும் நீங்கள் காணலாம். இதைச் செய்ய, அதைத் திருப்புங்கள்.
ஒரு பகுதியை எண்ணால் வகுத்தல்
எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
அதை இரண்டிற்கும் சமமாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொருவருக்கும் எவ்வளவு பீட்சா கிடைக்கும்?
பாதி பீட்சாவைப் பிரித்த பிறகு, இரண்டு சமமான துண்டுகள் கிடைத்தன, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு பீட்சாவை உருவாக்குகின்றன. அதனால் அனைவருக்கும் பீட்சா கிடைக்கும்.
பின்னங்களின் பிரிவு பரஸ்பரங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது. பரஸ்பர எண்கள் வகுப்பை பெருக்கத்துடன் மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கின்றன.
ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் பிரிவின் தலைகீழ் மூலம் பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.
இந்த விதியைப் பயன்படுத்தி, பீட்சாவின் பாதியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதை எழுதுவோம்.
எனவே, நீங்கள் பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே ஈவுத்தொகை பின்னம் மற்றும் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும்.
ஒரு பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க, நீங்கள் இந்த பின்னத்தை வகுக்கும் 2 இன் பரஸ்பரத்தால் பெருக்க வேண்டும். எனவே நீங்கள் பெருக்க வேண்டும்
இந்த கட்டுரையில் நாம் பார்ப்போம் கலப்பு எண்களை பெருக்குதல். முதலில், கலப்பு எண்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியை கோடிட்டுக் காட்டுவோம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த விதியின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அடுத்து ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குவது பற்றி பேசுவோம். இறுதியாக, ஒரு கலப்பு எண்ணையும் பொதுவான பின்னத்தையும் எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.
பக்க வழிசெலுத்தல்.
கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்.
கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குவதற்கு குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய, கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றினால் போதும்.
அதை எழுதுவோம் கலப்பு எண் பெருக்கல் விதி:
- முதலில், பெருக்கப்படும் கலப்பு எண்கள் முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்பட வேண்டும்;
- இரண்டாவதாக, பின்னங்களை பின்னங்களால் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
ஒரு கலப்பு எண்ணை ஒரு கலப்பு எண்ணால் பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.
கலப்பு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் .
முதலில், கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாகப் பெருக்குவோம்: 
மற்றும் 
. இப்போது நாம் கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தை சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்துடன் மாற்றலாம்: 
. பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம் 
. இதன் விளைவாக வரும் பின்னம் குறைக்க முடியாதது (குறைக்கக்கூடிய மற்றும் குறைக்க முடியாத பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), ஆனால் அது முறையற்றது (சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), எனவே, இறுதிப் பதிலைப் பெற, முழுப் பகுதியையும் முறையற்ற பின்னத்திலிருந்து தனிமைப்படுத்த வேண்டும்: .
முழு தீர்வையும் ஒரே வரியில் எழுதுவோம்: .
.
கலப்பு எண்களைப் பெருக்கும் திறன்களை வலுப்படுத்த, மற்றொரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதைக் கவனியுங்கள்.
பெருக்கல் செய்யுங்கள்.
வேடிக்கையான எண்கள் மற்றும் அவை முறையே 13/5 மற்றும் 10/9 பின்னங்களுக்கு சமம். பிறகு 
. இந்த கட்டத்தில், ஒரு பகுதியைக் குறைப்பதைப் பற்றி நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது: பின்னத்தில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் அவற்றின் சிதைவுகளுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றவும் மற்றும் ஒரே மாதிரியான காரணிகளைக் குறைக்கவும்.
ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குதல்
ஒரு கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னத்துடன் மாற்றிய பின், ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குதல்ஒரு சாதாரண பின்னம் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது.
ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயல் எண் 45ஐயும் பெருக்கவும்.
ஒரு கலப்பு எண் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம் 
. விளைந்த பின்னத்தில் உள்ள எண்களை அவற்றின் சிதைவுகளுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றுவோம், குறைத்து, பின்னர் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்: .
.
ஒரு கலப்பு எண் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல் சில சமயங்களில் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி வசதியாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு கலப்பு எண் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல் முழு எண் பகுதியின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். 
.
தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
கலப்பு எண்ணை முழு எண் மற்றும் பின்னப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் மாற்றுவோம், அதன் பிறகு பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்: .
கலப்பு எண்கள் மற்றும் பின்னங்களை பெருக்குதல்கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாகப் பெருக்குவதன் மூலம் அதை சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கமாகக் குறைப்பது மிகவும் வசதியானது.
கலப்பு எண்ணை பொதுவான பின்னம் 4/15 ஆல் பெருக்கவும்.
கலப்பு எண்ணை ஒரு பின்னத்துடன் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம் 
.
www.cleverstudents.ru
பின்னங்களை பெருக்குதல்
§ 140. வரையறைகள். 1) ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது முழு எண்களை பெருக்குவதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது: ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு முழு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும், இதில் ஒவ்வொரு காலமும் பெருக்கிக்கு சமம், மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கை பெருக்கிக்கு சமம்.
எனவே 5 ஆல் பெருக்கினால் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவது:
2) ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு பின்னம் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தின் இந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதை, நாம் முன்பு கருதிய, ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கல் என்று அழைப்போம்.
3) ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு கலப்பு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தை முதலில் பெருக்கியின் முழு எண்ணால், பின்னர் பெருக்கியின் பின்னத்தால் பெருக்கி, இந்த இரண்டு பெருக்கல்களின் முடிவுகளை ஒன்றாகச் சேர்ப்பது.
உதாரணத்திற்கு:
இந்த எல்லா நிகழ்வுகளிலும் பெருக்கலுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட எண் அழைக்கப்படுகிறது வேலை, அதாவது முழு எண்களை பெருக்கும் போது அதே.
இந்த வரையறைகளிலிருந்து, பின்ன எண்களின் பெருக்கல் என்பது எப்போதும் சாத்தியமானது மற்றும் எப்போதும் தெளிவற்ற செயல் என்பது தெளிவாகிறது.
§ 141. இந்த வரையறைகளின் தேவை.பெருக்கத்தின் கடைசி இரண்டு வரையறைகளை எண்கணிதத்தில் அறிமுகப்படுத்துவதன் ஆலோசனையைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் சிக்கலை எடுத்துக் கொள்வோம்:
பணி. ஒரு ரயில், ஒரே சீராக நகரும், மணிக்கு 40 கி.மீ. இந்த ரயில் ஒரு குறிப்பிட்ட மணிநேரத்தில் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணிக்கும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?
முழு எண் கணிதத்தில் (சமமான சொற்களின் கூட்டல்) குறிக்கப்பட்ட பெருக்கத்தின் ஒரு வரையறையுடன் நாம் இருந்தால், எங்கள் பிரச்சனைக்கு மூன்று வெவ்வேறு தீர்வுகள் இருக்கும், அதாவது:
கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால் (உதாரணமாக, 5 மணிநேரம்), சிக்கலைத் தீர்க்க நீங்கள் இந்த மணிநேர எண்ணிக்கையால் 40 கிமீ பெருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்கள் பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்பட்டால் (உதாரணமாக, ஒரு மணிநேரம்), இந்த பின்னத்தின் மதிப்பை 40 கிமீயிலிருந்து நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
இறுதியாக, கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை (உதாரணமாக, மணிநேரம்) கலந்திருந்தால், 40 கிமீ கலப்பு எண்ணில் உள்ள முழு எண்ணால் பெருக்கப்பட வேண்டும், அதன் விளைவாக 40 கிமீ மற்றொரு பகுதியை சேர்க்க வேண்டும். எண்.
நாங்கள் வழங்கிய வரையறைகள் இந்த சாத்தியமான எல்லா நிகழ்வுகளுக்கும் ஒரு பொதுவான பதிலை வழங்க அனுமதிக்கின்றன:
நீங்கள் 40 கிமீகளை குறிப்பிட்ட மணிநேரத்தால் பெருக்க வேண்டும், அது எதுவாக இருந்தாலும் சரி.
இவ்வாறு, பிரச்சனை குறிப்பிடப்பட்டால் பொதுவான பார்வைஅதனால்:
ஒரு ரயில், ஒரே சீராக நகரும், ஒரு மணி நேரத்தில் வி கி.மீ. ஒரு மணி நேரத்தில் ரயில் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணிக்கும்?
பின்னர், v மற்றும் t எண்கள் எதுவாக இருந்தாலும், நாம் ஒரு பதிலைக் கொடுக்கலாம்: விரும்பிய எண் v · t சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
குறிப்பு. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சில பகுதியைக் கண்டறிவது, நமது வரையறையின்படி, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை இந்தப் பின்னத்தால் பெருக்குவது போன்றது; எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 5% (அதாவது ஐநூறில் ஒரு பங்கு) கண்டறிவது என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை ஆல் அல்லது ஆல் பெருக்குவது போன்றதாகும்; கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 125% ஐக் கண்டறிவது என்பது இந்த எண்ணை ஆல் அல்லது ஆல் பெருக்குவது போன்றதாகும்.
§ 142. ஒரு எண் எப்போது அதிகரிக்கிறது மற்றும் பெருக்கலில் இருந்து எப்போது குறைகிறது என்பது பற்றிய குறிப்பு.
முறையான பின்னத்தால் பெருக்கினால் எண்ணிக்கை குறைகிறது, மேலும் முறையற்ற பின்னத்தால் பெருக்கினால் எண்ணை அதிகரிக்கிறது, இந்த முறையற்ற பின்னம் ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், அது ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால் மாறாமல் இருக்கும்.
கருத்து. பின்ன எண்களையும், முழு எண்களையும் பெருக்கும்போது, எந்த காரணியும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக எடுக்கப்படுகிறது, எனவே .
§ 143. பெருக்கல் விதிகளின் வழித்தோன்றல்.
1) ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல். ஒரு பகுதியை 5 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் 5 மடங்கு அதிகரித்தது. ஒரு பகுதியை 5 மடங்கு அதிகரிக்க, அதன் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்க அல்லது அதன் வகுப்பினை 5 மடங்கு குறைக்க போதுமானது (§ 127).
அதனால்தான்:
விதி 1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணால் எண்ணைப் பெருக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விடவும்; அதற்குப் பதிலாக, நீங்கள் பின்னத்தின் வகுப்பினைக் கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணால் வகுக்கலாம் (முடிந்தால்), மற்றும் எண்ணை அப்படியே விடவும்.
கருத்து. ஒரு பின்னம் மற்றும் அதன் வகுப்பின் பெருக்கல் அதன் எண்ணுக்கு சமம்.
அதனால்:
விதி 2. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் முழு எண்ணையும் பின்னத்தின் எண் மூலம் பெருக்கி, இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் இந்த பின்னத்தின் வகுப்பை வகுப்பாக கையொப்பமிட வேண்டும்.
விதி 3. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண் மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.
கருத்து. இந்த விதியானது ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவதற்கும், ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம், நாம் முழு எண்ணை ஒரு பிரிவின் பின்னமாக கருதினால் மட்டுமே. அதனால்:
எனவே, இப்போது கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள மூன்று விதிகள் ஒன்றில் உள்ளன, அவை பொதுவாக பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்:
4) கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.
விதி 4. கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:
§ 144. பெருக்கத்தின் போது குறைப்பு. பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, முடிந்தால், பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பார்க்கக்கூடியது போல, பூர்வாங்க குறைப்பு செய்ய வேண்டியது அவசியம்:
அத்தகைய குறைப்பு செய்யப்படலாம், ஏனெனில் ஒரு பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே எண்ணிக்கையில் குறைக்கப்பட்டால் அதன் மதிப்பு மாறாது.
§ 145. மாற்றும் காரணிகளுடன் ஒரு தயாரிப்பை மாற்றுதல்.காரணிகள் மாறும்போது, பகுதி எண்களின் பெருக்கமானது முழு எண்களின் (§ 53) பெருக்கத்தைப் போலவே மாறும், அதாவது: நீங்கள் எந்தக் காரணியையும் பல முறை அதிகரித்தால் (அல்லது குறைத்தால்) தயாரிப்பு அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) அதே அளவு மூலம்.
எனவே, எடுத்துக்காட்டில் இருந்தால்:
பல பின்னங்களைப் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றின் எண்களை ஒன்றோடொன்றும், பிரிவினைகளை ஒன்றோடொன்றும் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.
கருத்து. எண்ணின் சில காரணிகள் முழு எண்களாகவோ அல்லது கலந்ததாகவோ இருக்கும் தயாரிப்புகளுக்கும் இந்த விதி பயன்படுத்தப்படலாம், நாம் முழு எண்ணை ஒன்றின் வகுப்பைக் கொண்ட பின்னமாகக் கருதி, கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றினால் மட்டுமே. உதாரணத்திற்கு:
§ 147. பெருக்கத்தின் அடிப்படை பண்புகள்.முழு எண்களுக்கு (§ 56, 57, 59) நாங்கள் குறிப்பிட்டுள்ள பெருக்கத்தின் பண்புகள் பின்ன எண்களின் பெருக்கத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த பண்புகளை குறிப்பிடுவோம்.
1) காரணிகள் மாறும்போது தயாரிப்பு மாறாது.
உதாரணத்திற்கு:
உண்மையில், முந்தைய பத்தியின் விதியின்படி, முதல் தயாரிப்பு பின்னத்திற்கு சமம், இரண்டாவது பின்னத்திற்கு சமம். ஆனால் இந்த பின்னங்கள் ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் அவற்றின் சொற்கள் முழு எண் காரணிகளின் வரிசையில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, மேலும் காரணிகளின் இடங்கள் மாற்றப்படும்போது முழு எண்களின் பெருக்கமும் மாறாது.
2) எந்தவொரு காரணிகளின் குழுவும் அவற்றின் தயாரிப்பால் மாற்றப்பட்டால் தயாரிப்பு மாறாது.
உதாரணத்திற்கு:
முடிவுகளும் அப்படியே.
இந்த பெருக்கல் பண்புகளிலிருந்து பின்வரும் முடிவை எடுக்கலாம்:
ஒரு எண்ணை ஒரு பொருளால் பெருக்க, நீங்கள் இந்த எண்ணை முதல் காரணியால் பெருக்கலாம், அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை இரண்டால் பெருக்கலாம்.
உதாரணத்திற்கு:
3) பெருக்கத்தின் பகிர்வு விதி (கூடுதலுடன் தொடர்புடையது). ஒரு தொகையை எண்ணால் பெருக்க, ஒவ்வொரு சொல்லையும் அந்த எண்ணால் தனித்தனியாகப் பெருக்கி முடிவுகளைச் சேர்க்கலாம்.
முழு எண்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் இந்தச் சட்டம் எங்களால் விளக்கப்பட்டது (§ 59). பின்ன எண்களுக்கு எந்த மாற்றமும் இல்லாமல் உண்மையாகவே உள்ளது.
உண்மையில் சமத்துவம் என்பதை காட்டுவோம்
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(கூடுதலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோக விதி) எழுத்துக்கள் பின்ன எண்களைக் குறிக்கும் போதும் உண்மையாகவே இருக்கும். மூன்று வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
1) முதலில் எம் காரணி ஒரு முழு எண் என்று வைத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக m = 3 (a, b, c – எந்த எண்களும்). ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்கலின் வரையறையின்படி, நாம் எழுதலாம் (எளிமைக்கான மூன்று சொற்களுக்கு நம்மை வரம்பிடலாம்):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
கூட்டல் தொடர்பான சட்டத்தின் அடிப்படையில், வலது பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து அடைப்புக்குறிகளையும் நாம் தவிர்க்கலாம்; கூட்டல் என்ற மாற்றுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், மீண்டும் இணைச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் வெளிப்படையாக வலது பக்கத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
இதன் பொருள் இந்த வழக்கில் விநியோக சட்டம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
பின்னங்களை பெருக்கி வகுத்தல்
பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எப்படி என்பதைக் கடந்த முறை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களின் மிகவும் கடினமான பகுதி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.
இப்போது பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சமாளிக்க நேரம். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதை விட எளிமையானவை. முதலில், பிரிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களையும் வகுப்பினையும் தனித்தனியாகப் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்ணாகவும், இரண்டாவது பிரிவாகவும் இருக்கும்.
இரண்டு பின்னங்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பகுதியால் பெருக்க வேண்டும்.
பின்னங்களைப் பிரிப்பது பெருக்கமாகக் குறைகிறது என்பதை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். எனவே, பாடம் முழுவதும் நாம் முக்கியமாக பெருக்கத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.
பெருக்கத்தின் விளைவாக, குறைக்கக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (பெரும்பாலும் எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக குறைக்கப்பட வேண்டும். அனைத்து குறைப்புகளுக்குப் பிறகும் பின்னம் தவறாக மாறிவிட்டால், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். ஆனால் பெருக்கினால் நிச்சயமாக நடக்காதது பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைப்பதாகும்: குறுக்கு-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைந்த பொது மடங்குகள்.
வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
முழு பகுதிகள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களுடன் பின்னங்களை பெருக்குதல்
பின்னங்கள் ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அவை முறையற்றவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.
ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிலோ, வகுப்பிலோ அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பின்வரும் விதிகளின்படி பெருக்கத்திலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது முழுவதுமாக அகற்றலாம்:
- பிளஸ் பை மைனஸ் மைனஸ் கொடுக்கிறது;
- இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன.
இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறை பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் மட்டுமே சந்தித்தன, முழுப் பகுதியையும் அகற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால். ஒரு வேலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரே நேரத்தில் பல குறைபாடுகளை "எரிக்க" அவை பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:
- அவர்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை நாம் ஜோடிகளாக எதிர்மறைகளை கடக்கிறோம். தீவிர நிகழ்வுகளில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - துணை இல்லாத ஒன்று;
- மைனஸ்கள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதற்கு ஜோடி இல்லாததால் கடைசி கழித்தல் கடக்கப்படாவிட்டால், பெருக்கத்தின் வரம்புக்கு வெளியே அதை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக எதிர்மறை பின்னம்.
பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் பெருக்கத்திலிருந்து கழித்தல்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். வழக்கமான விதிகளின்படி மீதமுள்ளவற்றைப் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
தனிப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியையும் கொண்ட பின்னத்தின் முன் தோன்றும் கழித்தல் என்பது அதன் முழுப் பகுதியை மட்டுமல்ல (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்கும் பொருந்தும்) முழுப் பகுதியையும் குறிக்கிறது என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவூட்டுகிறேன்.
எதிர்மறை எண்களுக்கும் கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படும். பெருக்கல் குறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழுக் குறிப்பையும் துல்லியமாக மாற்றுவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.
பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்
பெருக்கல் என்பது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக மாறிவிட்டன, மேலும் சிக்கலை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை மேலும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். பெருக்குவதற்கு முன். உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் சாதாரண காரணிகள், எனவே, அவை ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:
பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியுள்ளவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டன. அவற்றின் இடத்தில் பொதுவாக எழுதப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத அலகுகள் உள்ளன. இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், முழுமையான குறைப்பை அடைவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்துள்ளது.
இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆம், சில நேரங்களில் நீங்கள் குறைக்க விரும்பும் ஒரே மாதிரியான எண்கள் உள்ளன. இதோ, பார்:
உன்னால் அது முடியாது!
பிழை நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சேர்க்கும் போது, ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிக்கையானது ஒரு தொகையை உருவாக்குகிறது, எண்களின் பெருக்கத்தை அல்ல. இதன் விளைவாக, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த சொத்து குறிப்பாக எண்களின் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.
பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு காரணங்கள் எதுவும் இல்லை சரியான தீர்வுமுந்தைய பணி இதுபோல் தெரிகிறது:
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் மிகவும் அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.
பின்னங்களை பெருக்குதல்.
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னம் அல்லது ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் சரியாகப் பெருக்க, நீங்கள் எளிய விதிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இப்போது இந்த விதிகளை விரிவாக ஆராய்வோம்.
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்களின் பெருக்கத்தையும், இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் பெருக்கத்தையும் கணக்கிட வேண்டும்.
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:
முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்தை இரண்டாம் பின்னத்தின் எண்கணிதத்துடன் பெருக்குகிறோம், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பையும் இரண்டாம் பின்னத்தின் வகுப்போடு பெருக்குகிறோம்.
ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்.
முதலில், விதியை நினைவில் கொள்வோம், எந்த எண்ணையும் பின்னமாக குறிப்பிடலாம் \(\bf n = \frac \) .
பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.
முறையற்ற பின்னம் \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) கலப்பு பின்னமாக மாற்றப்பட்டது.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, எண்ணை எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.உதாரணமாக:
கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.
கலப்பு பின்னங்களைப் பெருக்க, முதலில் ஒவ்வொரு கலப்புப் பின்னத்தையும் முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிட வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். நாம் எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், மேலும் வகுப்பைக் கொண்டு வகுப்பினைப் பெருக்குகிறோம்.
பரஸ்பர பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் பெருக்கல்.
தொடர்புடைய கேள்விகள்:
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கல் என்பது ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண், ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு வகுப்பின் பெருக்கல் ஆகும். கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைப் பெற, நீங்கள் அவற்றை ஒரு முறையற்ற பின்னமாக மாற்ற வேண்டும் மற்றும் விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும்.
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: பின்னங்கள் ஒரே மாதிரியான அல்லது வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கின்றனவா என்பது முக்கியமல்ல, ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண்ணின் பலனைக் கண்டறியும் விதியின் படி பெருக்கல் நிகழ்கிறது.
கலப்பு பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: முதலில், நீங்கள் கலப்பு பகுதியை தவறான பின்னமாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி தயாரிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு #1:
தயாரிப்பைக் கணக்கிடவும்: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
எடுத்துக்காட்டு #2:
ஒரு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடவும்: a) \(3 \time \frac \) b) \(\frac \times 11\)
எடுத்துக்காட்டு #3:
\(\frac \) பின்னத்தின் எதிரொலியை எழுதவா?
பதில்: \(\frac = 3\)
எடுத்துக்காட்டு #4:
இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: a) \(\frac \times \frac \)
எடுத்துக்காட்டு #5:
பரஸ்பர பின்னங்கள் இருக்க முடியுமா:
a) சரியான பின்னங்களுடன் ஒரே நேரத்தில்;
b) ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னங்கள்;
c) ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்கள்?
தீர்வு:
அ) முதல் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு உதாரணம் தருவோம். பின்னம் \(\frac \) சரியானது, அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) - ஒரு முறையற்ற பின்னத்திற்கு சமமாக இருக்கும். பதில்: இல்லை.
b) கிட்டத்தட்ட அனைத்து பின்னங்களின் எண்ணிக்கையிலும் இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னமாக இருக்கும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் சில எண்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முறையற்ற பின்னம் \(\frac \) , அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) க்கு சமம். நாம் இரண்டு முறையற்ற பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். பதில்: எப்பொழுதும் சில நிபந்தனைகளின் கீழ், எண் மற்றும் வகுத்தல் சமமாக இருக்கும் போது இல்லை.
c) இயற்கை எண்கள் எண்ணும் போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac \) எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) ஆக இருக்கும். பின்னம் \(\frac \) ஒரு இயற்கை எண் அல்ல. நாம் எல்லா எண்களிலும் சென்றால், 1 ஐத் தவிர, எண்ணின் எதிரொலி எப்போதும் ஒரு பின்னமாக இருக்கும். நாம் எண் 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பர பின்னம் \(\frac = \frac = 1\) ஆக இருக்கும். எண் 1 என்பது இயற்கை எண். பதில்: இது எண் 1 ஆக இருந்தால், அவை ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்களாக இருக்க முடியும்.
எடுத்துக்காட்டு #6:
கலப்பு பின்னங்களின் பலனைச் செய்யவும்: a) \(4 \ மடங்கு 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
தீர்வு:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
எடுத்துக்காட்டு #7:
இரண்டு எதிரொலிகள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியுமா?
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு கலப்பு பின்னத்தை எடுத்துக்கொள்வோம், அதன் தலைகீழ் பகுதியைக் கண்டறியவும், இதைச் செய்ய, அதை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம் \(1\frac = \frac \) . அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) க்கு சமமாக இருக்கும். பின்னம் \(\frac\) ஒரு சரியான பின்னம். பதில்: ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறான இரண்டு பின்னங்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தசமத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்
பாடத்திற்கான விளக்கக்காட்சி
கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால் இந்த வேலை, முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.
- ஒரு வேடிக்கையான வழியில், தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால், இட மதிப்பு அலகு மூலம் பெருக்குவதற்கான விதி மற்றும் தசமப் பகுதியை சதவீதமாக வெளிப்படுத்தும் விதியை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது வாங்கிய அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
- மாணவர்களின் தர்க்கரீதியான சிந்தனையை வளர்த்து செயல்படுத்துதல், வடிவங்களை அடையாளம் கண்டு அவற்றைப் பொதுமைப்படுத்துதல், நினைவகத்தை வலுப்படுத்துதல், ஒத்துழைக்கும் திறன், உதவி வழங்குதல், அவர்களின் சொந்த வேலை மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் வேலையை மதிப்பீடு செய்யும் திறன்.
- கணிதம், செயல்பாடு, இயக்கம் மற்றும் தகவல் தொடர்பு திறன் ஆகியவற்றில் ஆர்வத்தை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
உபகரணங்கள்:ஊடாடும் ஒயிட்போர்டு, சைபர்கிராம் கொண்ட சுவரொட்டி, கணிதவியலாளர்களின் அறிக்கைகள் கொண்ட சுவரொட்டிகள்.
- ஏற்பாடு நேரம்.
- வாய்வழி எண்கணிதம் - முன்னர் படித்த பொருளின் பொதுமைப்படுத்தல், புதிய பொருளைப் படிப்பதற்கான தயாரிப்பு.
- புதிய பொருளின் விளக்கம்.
- வீட்டுப்பாடம்.
- கணித உடற்கல்வி.
- கணினியைப் பயன்படுத்தி விளையாட்டுத்தனமான முறையில் பெற்ற அறிவை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல்.
- தரப்படுத்துதல்.
2. நண்பர்களே, இன்று எங்கள் பாடம் சற்று அசாதாரணமாக இருக்கும், ஏனென்றால் நான் தனியாக கற்பிக்க மாட்டேன், ஆனால் என் நண்பருடன். என் நண்பரும் அசாதாரணமானவர், நீங்கள் இப்போது அவரைப் பார்ப்பீர்கள். (ஒரு கார்ட்டூன் கணினி திரையில் தோன்றும்.) என் நண்பருக்கு ஒரு பெயர் இருக்கிறது, அவர் பேசக்கூடியவர். உன் பெயர் என்ன நண்பா? கொம்போஷா பதிலளிக்கிறார்: "என் பெயர் கொம்போஷா." இன்று எனக்கு உதவ நீங்கள் தயாரா? ஆம்! சரி, பாடத்தை ஆரம்பிக்கலாம்.
இன்று நான் ஒரு மறைகுறியாக்கப்பட்ட சைபர்கிராம் பெற்றேன், நண்பர்களே, அதை நாம் ஒன்றாக தீர்க்க வேண்டும் மற்றும் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். (தசம பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் வாய்வழிக் கணக்கீட்டுடன் பலகையில் ஒரு சுவரொட்டி தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக குழந்தைகள் பின்வரும் குறியீட்டைப் பெறுகிறார்கள் 523914687. )
பெறப்பட்ட குறியீட்டைப் புரிந்துகொள்ள கொம்போஷா உதவுகிறது. டிகோடிங்கின் விளைவு MULTIPLICATION என்ற சொல். பெருக்கல் என்பது இன்றைய பாடத்தின் தலைப்பின் முக்கிய சொல். பாடத்தின் தலைப்பு மானிட்டரில் காட்டப்படும்: "தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்"
நண்பர்களே, பெருக்குவது எப்படி என்று எங்களுக்குத் தெரியும் இயற்கை எண்கள். தசம எண்களை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவதை இன்று பார்ப்போம். ஒரு தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவது, சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படலாம், ஒவ்வொன்றும் இந்த தசமப் பகுதிக்கு சமம், மேலும் சொற்களின் எண்ணிக்கை இந்த இயற்கை எண்ணுக்குச் சமம். உதாரணமாக: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63 எனவே, 5.21 ·3 = 15.63. 5.21 ஐ ஒரு இயற்கை எண்ணுக்கு பொதுவான பின்னமாக வழங்கினால், நாம் பெறுகிறோம்
இந்த விஷயத்தில் எங்களுக்கு அதே முடிவு கிடைத்தது: 15.63. இப்போது, கமாவைப் புறக்கணித்து, 5.21 என்ற எண்ணுக்குப் பதிலாக, 521 என்ற எண்ணை எடுத்து, இந்த இயற்கை எண்ணால் பெருக்கவும். காரணிகளில் ஒன்றில் கமா இரண்டு இடங்களுக்கு வலதுபுறமாக நகர்த்தப்பட்டது என்பதை இங்கே நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எண்கள் 5, 21 மற்றும் 3 ஐப் பெருக்கும்போது, 15.63 க்கு சமமான ஒரு பொருளைப் பெறுகிறோம். இப்போது இந்த எடுத்துக்காட்டில் கமாவை இடதுபுறமாக இரண்டு இடங்களுக்கு நகர்த்துகிறோம். இவ்வாறு, காரணிகளில் ஒன்று எத்தனை மடங்கு அதிகரித்தது, எத்தனை மடங்கு தயாரிப்பு குறைக்கப்பட்டது. இந்த முறைகளின் ஒற்றுமைகளின் அடிப்படையில், நாம் ஒரு முடிவை எடுப்போம்.
பெருக்க தசமஇயற்கை எண்ணுக்கு, உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:
1) கமாவுக்கு கவனம் செலுத்தாமல், இயற்கை எண்களை பெருக்கவும்;
2) விளைந்த தயாரிப்பில், தசம பின்னத்தில் உள்ளதைப் போல பல இலக்கங்களை வலப்பக்கத்தில் இருந்து கமாவால் பிரிக்கவும்.
பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் மானிட்டரில் காட்டப்படும், நாங்கள் கொம்போஷா மற்றும் தோழர்களுடன் சேர்ந்து பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்: 5.21 ·3 = 15.63 மற்றும் 7.624 ·15 = 114.34. பின்னர் நான் 12.6 · 50 = 630 என்ற வட்ட எண் மூலம் பெருக்கத்தைக் காட்டுகிறேன். அடுத்து, ஒரு தசமப் பகுதியை இட மதிப்பு அலகு மூலம் பெருக்குகிறேன். நான் பின்வரும் உதாரணங்களைக் காட்டுகிறேன்: 7.423 · 100 = 742.3 மற்றும் 5.2 · 1000 = 5200. எனவே, ஒரு தசமப் பகுதியை இலக்க அலகு மூலம் பெருக்குவதற்கான விதியை அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:
ஒரு தசமத்தை பெருக்க இலக்க அலகுகள் 10, 100, 1000, முதலியன, இலக்க அலகு குறிப்பில் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அளவுக்கு இந்த பின்னத்தில் உள்ள தசம புள்ளியை வலப்புறம் நகர்த்த வேண்டும்.
தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தி எனது விளக்கத்தை முடிக்கிறேன். நான் விதியை அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:
ஒரு தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்த, நீங்கள் அதை 100 ஆல் பெருக்கி % குறியைச் சேர்க்க வேண்டும்.
கணினியில் ஒரு உதாரணம் தருகிறேன்: 0.5 100 = 50 அல்லது 0.5 = 50%.
4. விளக்கத்தின் முடிவில் நான் தோழர்களுக்கு தருகிறேன் வீட்டு பாடம், இது கணினி மானிட்டரிலும் காட்டப்படும்: № 1030, № 1034, № 1032.
5. தோழர்களே சிறிது ஓய்வெடுக்க, தலைப்பை ஒருங்கிணைக்க கொம்போஷாவுடன் சேர்ந்து கணித உடற்கல்வி அமர்வை நடத்துகிறோம். எல்லோரும் எழுந்து நிற்கிறார்கள், தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை வகுப்பிற்குக் காட்டுகிறார்கள், உதாரணம் சரியாக அல்லது தவறாக தீர்க்கப்பட்டதா என்று அவர்கள் பதிலளிக்க வேண்டும். உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்பட்டால், அவர்கள் தங்கள் கைகளை தலைக்கு மேலே உயர்த்தி, உள்ளங்கையில் கைதட்டுகிறார்கள். உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்படாவிட்டால், தோழர்களே தங்கள் கைகளை பக்கங்களுக்கு நீட்டி, விரல்களை நீட்டுகிறார்கள்.
6. இப்போது நீங்கள் சிறிது ஓய்வெடுத்துள்ளீர்கள், நீங்கள் பணிகளை தீர்க்க முடியும். உங்கள் பாடப்புத்தகத்தை பக்கம் 205 இல் திறக்கவும். № 1029. இந்த பணியில் நீங்கள் வெளிப்பாடுகளின் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும்:
பணிகள் கணினியில் தோன்றும். அவை தீர்க்கப்படும்போது, ஒரு படகின் உருவத்துடன் ஒரு படம் தோன்றுகிறது, அது முழுமையாக கூடியதும் மிதக்கிறது.
கணினியில் இந்த பணியைத் தீர்ப்பதன் மூலம், ராக்கெட் படிப்படியாக மடிகிறது; கடைசி உதாரணத்தைத் தீர்த்த பிறகு, ராக்கெட் பறந்து செல்கிறது. ஆசிரியர் மாணவர்களுக்கு ஒரு சிறிய தகவலைத் தருகிறார்: “ஒவ்வொரு ஆண்டும் கஜகஸ்தான் மண்ணிலிருந்து, பைகோனூர் காஸ்மோட்ரோமில் இருந்து, அவர்கள் நட்சத்திரங்களுக்குச் செல்கிறார்கள். விண்கலங்கள். பைகோனூர் அருகே கஜகஸ்தான் அதன் புதிய பைடெரெக் காஸ்மோட்ரோமைக் கட்டுகிறது.
பயணிகள் காரின் வேகம் மணிக்கு 74.8 கிமீ என்றால், ஒரு பயணிகள் கார் 4 மணி நேரத்தில் எவ்வளவு தூரம் பயணிக்கும்.
பரிசுச் சான்றிதழ் உங்கள் குறிப்பிடத்தக்க மற்றவர்களுக்கு, நண்பர்கள், ஊழியர்கள், உறவினர்களுக்கு என்ன கொடுக்க வேண்டும் என்று தெரியவில்லையா? எங்களின் சிறப்புச் சலுகையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்: “ப்ளூ செட்ஜ் கன்ட்ரி ஹோட்டலுக்கான பரிசுச் சான்றிதழ்.” சான்றிதழ் வழங்குகிறது […]