ஒரு கலப்பு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி. பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்
பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எப்படி என்பதை கடந்த முறை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களின் மிகவும் கடினமான பகுதி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.
இப்போது பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சமாளிக்க நேரம். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதை விட எளிமையானவை. முதலில், பிரிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களையும் வகுப்பினையும் தனித்தனியாகப் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்ணாகவும், இரண்டாவது பிரிவாகவும் இருக்கும்.
இரண்டு பின்னங்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பகுதியால் பெருக்க வேண்டும்.
பதவி:
பின்னங்களைப் பிரிப்பது பெருக்கமாகக் குறைகிறது என்பதை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். எனவே, பாடம் முழுவதும் நாம் முக்கியமாக பெருக்கத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.
பெருக்கத்தின் விளைவாக, குறைக்கக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (பெரும்பாலும் எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக குறைக்கப்பட வேண்டும். அனைத்து குறைப்புகளுக்குப் பிறகும் பின்னம் தவறாக மாறிவிட்டால், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். ஆனால் பெருக்கினால் நிச்சயமாக நடக்காதது ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்: குறுக்கு-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைவான பொதுவான மடங்குகள்.
வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
முழு பகுதிகள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களுடன் பின்னங்களை பெருக்குதல்
பின்னங்கள் ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அவை முறையற்றவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.
ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிலோ, வகுப்பிலோ அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பின்வரும் விதிகளின்படி பெருக்கத்திலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது முழுவதுமாக அகற்றலாம்:
- பிளஸ் பை மைனஸ் மைனஸ் கொடுக்கிறது;
- இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன.
இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறையான பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் மட்டுமே சந்தித்தன, முழுப் பகுதியையும் அகற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால். ஒரு வேலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரே நேரத்தில் பல குறைபாடுகளை "எரிக்க" அவை பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:
- அவர்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை நாம் ஜோடிகளாக எதிர்மறைகளை கடக்கிறோம். தீவிர நிகழ்வுகளில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - துணை இல்லாத ஒன்று;
- மைனஸ்கள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதற்கு ஜோடி இல்லாததால் கடைசி கழித்தல் கடக்கப்படாவிட்டால், பெருக்கத்தின் வரம்புக்கு வெளியே அதை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக எதிர்மறை பின்னம்.
பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் பெருக்கத்திலிருந்து கழித்தல்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். வழக்கமான விதிகளின்படி மீதமுள்ளவற்றைப் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
தனிப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியையும் கொண்ட பின்னத்தின் முன் தோன்றும் கழித்தல் அதன் முழுப் பகுதியையும் அல்ல (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பொருந்தும்) முழுப் பகுதியையும் குறிக்கிறது என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன்.
எதிர்மறை எண்களுக்கும் கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படும். பெருக்கல் குறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழுக் குறிப்பையும் துல்லியமாக மாற்றுவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.
பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்
பெருக்கல் என்பது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக மாறிவிட்டன, மேலும் சிக்கலை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை மேலும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். பெருக்குவதற்கு முன். உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் சாதாரண காரணிகள், எனவே, அவை ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:
பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியுள்ளவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டன. அவற்றின் இடத்தில் பொதுவாக எழுதப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத அலகுகள் உள்ளன. இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், முழுமையான குறைப்பை அடைவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்துள்ளது.
இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆம், சில நேரங்களில் நீங்கள் குறைக்க விரும்பும் ஒரே மாதிரியான எண்கள் உள்ளன. இதோ, பார்:
உன்னால் அது முடியாது!
பிழை நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சேர்க்கும் போது, ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிக்கையானது ஒரு தொகையை உருவாக்குகிறது, எண்களின் பெருக்கத்தை அல்ல. இதன் விளைவாக, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த சொத்து குறிப்பாக எண்களின் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.
பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு காரணங்கள் எதுவும் இல்லை சரியான தீர்வுமுந்தைய பணி இதுபோல் தெரிகிறது:
சரியான தீர்வு:
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் மிகவும் அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.
கிமு ஐந்தாம் நூற்றாண்டில், எலியாவின் பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி ஜெனோ தனது புகழ்பெற்ற அபோரியாக்களை உருவாக்கினார், அதில் மிகவும் பிரபலமானது "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" அபோரியா ஆகும். அது எப்படி ஒலிக்கிறது என்பது இங்கே:அகில்லெஸ் ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடி அதற்கு ஆயிரம் அடிகள் பின்னால் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓட அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும், மற்றும் பல. இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க மாட்டார்.
இந்த பகுத்தறிவு அனைத்து அடுத்தடுத்த தலைமுறைகளுக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக மாறியது. அரிஸ்டாட்டில், டியோஜெனெஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட்... இவர்கள் அனைவரும் ஏதோ ஒரு வகையில் ஜெனோவின் அபோரியாவைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவாக இருந்தது" ... விவாதங்கள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன; முரண்பாடுகளின் சாராம்சம் குறித்த பொதுவான கருத்துக்கு விஞ்ஞான சமூகம் இன்னும் வரவில்லை ... கணித பகுப்பாய்வு, தொகுப்பு கோட்பாடு, புதிய இயற்பியல் மற்றும் தத்துவ அணுகுமுறைகள் பிரச்சினையின் ஆய்வில் ஈடுபட்டுள்ளன. ; அவை எதுவும் பிரச்சனைக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை."[விக்கிபீடியா, "ஜீனோஸ் அபோரியா". எல்லோரும் தாங்கள் ஏமாறுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.
கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஜெனோ தனது அபோரியாவில் அளவிலிருந்து க்கு மாறுவதைத் தெளிவாகக் காட்டினார். இந்த மாற்றம் நிரந்தரமானவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்ட வரையில், மாறி அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணிதக் கருவி இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை அல்லது அது ஜெனோவின் அபோரியாவில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறிக்குள் இட்டுச் செல்கிறது. நாம், சிந்தனையின் மந்தநிலை காரணமாக, பரஸ்பர மதிப்புக்கு நேரத்தின் நிலையான அலகுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், அகில்லெஸ் ஆமையைப் பிடிக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நின்றுவிடும் வரை நேரம் குறைவது போல் தெரிகிறது. நேரம் நின்று விட்டால், அகில்லெஸால் ஆமையை மிஞ்ச முடியாது.
நாம் நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைத் திருப்பினால், எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் இயங்குகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் ஆமையை எல்லையற்ற விரைவாகப் பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.
இந்த தர்க்கரீதியான பொறியைத் தவிர்ப்பது எப்படி? நேரத்தின் நிலையான அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பரஸ்பர அலகுகளுக்கு மாறாதீர்கள். ஜெனோவின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:
அகில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓட எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். முதல் முறைக்கு சமமான அடுத்த நேர இடைவெளியில், அகில்லெஸ் இன்னும் ஆயிரம் படிகள் ஓடுவார், ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமையை விட எண்ணூறு படிகள் முன்னால் இருக்கிறார்.
இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமான அளவில் விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஒளியின் வேகத்தின் தவிர்க்க முடியாத தன்மையைப் பற்றிய ஐன்ஸ்டீனின் கூற்று ஜீனோவின் அபோரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் இந்த சிக்கலைப் படித்து, மறுபரிசீலனை செய்து தீர்க்க வேண்டும். மேலும் தீர்வை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேட வேண்டும்.
ஜீனோவின் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அபோரியா பறக்கும் அம்பு பற்றி கூறுகிறது:
பறக்கும் அம்பு அசைவற்றது, ஏனெனில் அது ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.
இந்த அபோரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாகக் கடக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஓய்வில் உள்ளது என்பதை தெளிவுபடுத்துவது போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கம். இன்னொரு விஷயத்தையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து அதன் இயக்கத்தின் உண்மை அல்லது அதற்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு கார் நகர்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒரே புள்ளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் உங்களுக்குத் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு ஒரு நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் இயக்கத்தின் உண்மையை தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும். ) நான் சுட்டிக்காட்ட விரும்புவது சிறப்பு கவனம், காலத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் குழப்பமடையக் கூடாத வெவ்வேறு விஷயங்கள், ஏனெனில் அவை ஆராய்ச்சிக்கு வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.
புதன், ஜூலை 4, 2018
செட் மற்றும் மல்டிசெட் இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் விக்கிபீடியாவில் நன்றாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பார்க்கலாம்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது," ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியாயமான மனிதர்கள் இத்தகைய அபத்தமான தர்க்கத்தை ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். "முழுமையாக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த அறிவும் இல்லாத, பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை இதுதான். கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான கருத்துக்களை நமக்குப் போதிக்கிறார்கள்.
ஒரு சமயம், பாலத்தை கட்டிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் அடியில் படகில் சென்று சோதனை செய்து கொண்டிருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், சாதாரண பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளில் இறந்தார். பாலம் சுமைகளைத் தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களைக் கட்டினார்.
கணிதவியலாளர்கள் "என்னை மனதில் கொள்ளுங்கள், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" அல்லது "கணிதம் சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கிறது" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் எப்படி மறைந்தாலும், அவற்றை யதார்த்தத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதத் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை கணிதவியலாளர்களுக்கே பயன்படுத்துவோம்.
நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பணப் பதிவேட்டில் உட்கார்ந்து சம்பளம் கொடுக்கிறோம். எனவே ஒரு கணிதவியலாளர் தனது பணத்திற்காக எங்களிடம் வருகிறார். நாங்கள் அவருக்கு முழுத் தொகையையும் எண்ணி, அதை வெவ்வேறு குவியல்களில் எங்கள் மேஜையில் வைக்கிறோம், அதில் ஒரே மதிப்பின் பில்களை வைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பைலில் இருந்தும் ஒரு பில் எடுத்து கணிதவியலாளருக்கு அவருடைய "கணித சம்பளம்" கொடுக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, ஒரே மாதிரியான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்பிற்குச் சமமானதல்ல என்பதை நிரூபித்தபோதுதான் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்பதை கணிதவியலாளருக்கு விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.
முதலாவதாக, பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "இது மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் எனக்கு அல்ல!" அப்போது அதே மதிப்புள்ள ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன என்று உறுதியளிக்கத் தொடங்குவார்கள் வெவ்வேறு எண்கள்மசோதாக்கள், அதாவது அவை ஒரே மாதிரியான கூறுகளாக கருதப்பட முடியாது. சரி, சம்பளத்தை நாணயங்களில் எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் வெவ்வேறு அளவு அழுக்குகள் உள்ளன, படிக அமைப்பு மற்றும் அணுக்களின் அமைப்பு ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தனித்துவமானது.
இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாக மாறுவதற்கும் நேர்மாறாகவும் மாற்றும் கோடு எங்கே? அத்தகைய வரி இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, விஞ்ஞானம் இங்கே பொய் சொல்லக்கூட இல்லை.
இங்கே பாருங்கள். நாங்கள் ஒரே மைதானம் கொண்ட கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பகுதிகள் ஒரே மாதிரியானவை - அதாவது எங்களிடம் மல்டிசெட் உள்ளது. ஆனால் இதே மைதானங்களின் பெயர்களைப் பார்த்தால், பெயர்கள் வித்தியாசமாக இருப்பதால், பலவற்றைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் மல்டிசெட் ஆகும். எது சரி? இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-கூர்மையானவர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து டிரம்ப்களின் சீட்டுகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரி என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.
நவீன ஷாமன்கள் எவ்வாறு செட் கோட்பாட்டுடன் செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் இணைத்து, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பது போதுமானது: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு முழுமையல்ல" அல்லது "ஒற்றை முழுதாக கற்பனை செய்ய முடியாதது" எதுவுமின்றி நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன்.
ஞாயிற்றுக்கிழமை, மார்ச் 18, 2018
ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஷாமன்களின் நடனம் ஆகும், இது கணிதத்துடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. ஆம், கணித பாடங்களில் ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொடுக்கிறோம், ஆனால் அதனால்தான் அவர்கள் ஷாமன்கள், அவர்களின் சந்ததியினருக்கு அவர்களின் திறமைகளையும் ஞானத்தையும் கற்பிக்கிறார்கள், இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெறுமனே இறந்துவிடுவார்கள்.
ஆதாரம் தேவையா? விக்கிபீடியாவைத் திறந்து, "ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை" பக்கத்தைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும். அவள் இல்லை. எந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க கணிதத்தில் எந்த சூத்திரமும் இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்கள் நாம் எண்களை எழுதும் கிராஃபிக் குறியீடுகள், மேலும் கணிதத்தின் மொழியில் பணி இதுபோல் தெரிகிறது: "எந்த எண்ணையும் குறிக்கும் கிராஃபிக் சின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்." கணிதவியலாளர்களால் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியாது, ஆனால் ஷாமன்கள் அதை எளிதாக செய்ய முடியும்.
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய என்ன, எப்படிச் செய்கிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எனவே, 12345 என்ற எண்ணைப் பெறுவோம். இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்? அனைத்து படிகளையும் வரிசையாகக் கருதுவோம்.
1. ஒரு காகிதத்தில் எண்ணை எழுதுங்கள். நாம் என்ன செய்தோம்? எண்ணை வரைகலை எண் குறியீடாக மாற்றியுள்ளோம். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.
2. ஒரு விளைவான படத்தை தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட பல படங்களாக வெட்டுகிறோம். ஒரு படத்தை வெட்டுவது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.
3. தனிப்பட்ட கிராஃபிக் குறியீடுகளை எண்களாக மாற்றவும். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.
4. இதன் விளைவாக வரும் எண்களைச் சேர்க்கவும். இப்போது இது கணிதம்.
12345 என்ற எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15. இவை கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்தும் ஷாமன்களால் கற்பிக்கப்படும் "வெட்டு மற்றும் தையல் படிப்புகள்" ஆகும். ஆனால் அது மட்டும் அல்ல.
கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், எந்த எண் அமைப்பில் எண்ணை எழுதுகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. எனவே, உள்ளே வெவ்வேறு அமைப்புகள்கால்குலஸில், ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டதாக இருக்கும். கணிதத்தில், எண் அமைப்பு எண்ணின் வலதுபுறத்தில் சப்ஸ்கிரிப்டாகக் குறிக்கப்படுகிறது. பெரிய எண் 12345 உடன், நான் என் தலையை முட்டாளாக்க விரும்பவில்லை, கட்டுரையில் இருந்து எண் 26 ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த எண்ணை பைனரி, ஆக்டல், டெசிமல் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் எண் அமைப்புகளில் எழுதுவோம். ஒவ்வொரு அடியையும் நுண்ணோக்கியில் பார்க்க மாட்டோம்; நாங்கள் ஏற்கனவே அதைச் செய்துவிட்டோம். முடிவைப் பார்ப்போம்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டது. இந்த முடிவுக்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவை மீட்டர் மற்றும் சென்டிமீட்டர்களில் தீர்மானித்தது போலவே, நீங்கள் முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள்.
பூஜ்ஜியம் அனைத்து எண் அமைப்புகளிலும் ஒரே மாதிரியாகத் தெரிகிறது மற்றும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லை. இது உண்மைக்கு ஆதரவான மற்றொரு வாதம். கணிதவியலாளர்களுக்கான கேள்வி: எண் இல்லாத ஒன்று கணிதத்தில் எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது? என்ன, கணிதவியலாளர்களுக்கு எண்களைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை? நான் ஷாமன்களுக்கு இதை அனுமதிக்க முடியும், ஆனால் விஞ்ஞானிகளுக்கு அனுமதிக்க முடியாது. எதார்த்தம் என்பது எண்களைப் பற்றியது மட்டுமல்ல.
எண் அமைப்புகள் எண்களுக்கான அளவீட்டு அலகுகள் என்பதற்கான ஆதாரமாக பெறப்பட்ட முடிவு கருதப்பட வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளுடன் எண்களை ஒப்பிட முடியாது. ஒரே அளவின் வெவ்வேறு அலகுகளைக் கொண்ட அதே செயல்கள் அவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்த்த பிறகு வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தால், இதற்கும் கணிதத்திற்கும் எந்தத் தொடர்பும் இல்லை.
உண்மையான கணிதம் என்றால் என்ன? ஒரு கணித செயல்பாட்டின் முடிவு எண்ணின் அளவு, பயன்படுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகு மற்றும் இந்த செயலை யார் செய்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து இருக்காது.
ஓ! இது பெண்கள் கழிவறை இல்லையா?
- இளம்பெண்! ஆன்மாக்கள் சொர்க்கத்திற்கு ஏறும் போது அவர்களின் தூய்மையற்ற புனிதத்தன்மையை ஆய்வு செய்வதற்கான ஆய்வகம் இது! மேலே ஒளிவட்டம் மற்றும் அம்புக்குறி. வேறு என்ன கழிப்பறை?
பெண்... மேலுள்ள ஒளிவட்டமும் கீழே உள்ள அம்பும் ஆண்.
இதுபோன்ற ஒன்று உங்கள் கண்களுக்கு முன்பாக ஒரு நாளைக்கு பல முறை ஒளிரும் வடிவமைப்பு கலை,
திடீரென்று உங்கள் காரில் ஒரு விசித்திரமான ஐகானைக் கண்டால் ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை:
தனிப்பட்ட முறையில், நான் ஒரு மலம் கழிக்கும் நபரில் மைனஸ் நான்கு டிகிரிகளைப் பார்க்க முயற்சிக்கிறேன் (ஒரு படம்) (பல படங்களின் கலவை: ஒரு கழித்தல் அடையாளம், எண் நான்கு, டிகிரிகளின் பதவி). மேலும் இந்த பெண் இயற்பியல் தெரியாத ஒரு முட்டாள் என்று நான் நினைக்கவில்லை. கிராஃபிக் படங்களை உணரும் வலுவான ஸ்டீரியோடைப் மட்டுமே அவளுக்கு உள்ளது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் இதை நமக்கு எப்பொழுதும் கற்பிக்கிறார்கள். இதோ ஒரு உதாரணம்.
1A என்பது "மைனஸ் நான்கு டிகிரி" அல்லது "ஒரு a" அல்ல. இது "பூப்பிங் மேன்" அல்லது ஹெக்ஸாடெசிமல் குறியீட்டில் "இருபத்தி ஆறு" எண். இந்த எண் அமைப்பில் தொடர்ந்து பணியாற்றுபவர்கள் தானாக ஒரு எண்ணையும் ஒரு எழுத்தையும் ஒரு கிராஃபிக் சின்னமாக உணர்கிறார்கள்.
ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னம் அல்லது ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் சரியாகப் பெருக்க, நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் எளிய விதிகள். இப்போது இந்த விதிகளை விரிவாக ஆராய்வோம்.
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்களின் பெருக்கத்தையும் இந்த பின்னங்களின் வகுப்பின் பெருக்கத்தையும் கணக்கிட வேண்டும்.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:
முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்தை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்கணிதத்துடன் பெருக்குகிறோம், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பையும் இரண்டாம் பின்னத்தின் வகுப்போடு பெருக்குகிறோம்.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ முறை 3)(7 \முறை 3) = \frac(4)(7)\\\)
பின்னம் \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 ஆல் குறைக்கப்பட்டது.
ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்.
முதலில், விதியை நினைவில் கொள்வோம், எந்த எண்ணையும் பின்னமாக குறிப்பிடலாம் \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \time 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
தவறான பின்னம் \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) ஆக மாற்றப்பட்டது கலப்பு பின்னம்.
வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, எண்ணை எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.உதாரணமாக:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \time c)(b)\\\)
கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.
கலப்பு பின்னங்களைப் பெருக்க, முதலில் ஒவ்வொரு கலப்புப் பின்னத்தையும் முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிட வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். நாம் எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், மேலும் வகுப்பைக் கொண்டு வகுப்பினைப் பெருக்குகிறோம்.
உதாரணமாக:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \time \frac(23)(6) = \frac(9 \time 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \time 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
பரஸ்பர பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் பெருக்கல்.
பின்னம் \(\bf \frac(a)(b)\) என்பது a≠0,b≠0 வழங்கப்பட்டுள்ள \(\bf \frac(b)(a)\) பின்னத்தின் தலைகீழ் ஆகும்.
பின்னங்கள் \(\b \frac(a)(b)\) மற்றும் \(\bf \frac(b)(a)\) ஆகியவை பரஸ்பர பின்னங்கள் எனப்படும். பரஸ்பர பின்னங்களின் பலன் 1க்கு சமம்.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
உதாரணமாக:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
தொடர்புடைய கேள்விகள்:
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கல் என்பது ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண், ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு வகுப்பின் பெருக்கல் ஆகும். கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைப் பெற, அவற்றை மாற்ற வேண்டும் தகாப்பின்னம்மற்றும் விதிகளின்படி பெருக்கவும்.
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: அவை ஒரே மாதிரியானவையா இல்லையா என்பது முக்கியமல்ல வெவ்வேறு பிரிவுகள்பின்னங்களைப் பொறுத்தவரை, பெருக்கல் என்பது எண்ணின் பெருக்கத்தை எண்ணுடன், வகுப்புடன் வகுத்தலைக் கண்டறியும் விதியின்படி நிகழ்கிறது.
கலப்பு பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: முதலில், நீங்கள் கலப்பு பகுதியை தவறான பின்னமாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி தயாரிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு #1:
தயாரிப்பைக் கணக்கிடவும்: a) \(\frac(8)(9) \time \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
தீர்வு:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \time \color( சிவப்பு) (5))(3 \மடங்கு \நிறம்(சிவப்பு) (5) \முறை 13) = \frac(4)(39)\)
எடுத்துக்காட்டு #2:
ஒரு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடவும்: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
தீர்வு:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \time 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
எடுத்துக்காட்டு #3:
\(\frac(1)(3)\) பின்னத்தின் எதிரொலியை எழுதவா?
பதில்: \(\frac(3)(1) = 3\)
எடுத்துக்காட்டு #4:
இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
தீர்வு:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
எடுத்துக்காட்டு #5:
பரஸ்பர பின்னங்கள் இருக்க முடியுமா:
a) சரியான பின்னங்களுடன் ஒரே நேரத்தில்;
b) ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னங்கள்;
c) ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்கள்?
தீர்வு:
அ) முதல் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு உதாரணம் தருவோம். பின்னம் \(\frac(2)(3)\) சரியானது, அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(3)(2)\) - ஒரு முறையற்ற பின்னத்திற்கு சமமாக இருக்கும். பதில்: இல்லை.
b) கிட்டத்தட்ட அனைத்து பின்னங்களின் எண்ணிக்கையிலும் இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னமாக இருக்கும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் சில எண்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, தவறான பின்னம் \(\frac(3)(3)\), அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(3)(3)\) க்கு சமம். நாம் இரண்டு முறையற்ற பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். பதில்: எப்பொழுதும் சில நிபந்தனைகளின் கீழ், எண் மற்றும் வகுத்தல் சமமாக இருக்கும் போது இல்லை.
c) இயற்கை எண்கள் எண்ணும் போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac(3)(1)\) எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(1)(3)\) ஆக இருக்கும். பின்னம் \(\frac(1)(3)\) ஒரு இயற்கை எண் அல்ல. நாம் எல்லா எண்களிலும் சென்றால், 1 ஐத் தவிர, எண்ணின் எதிரொலி எப்போதும் ஒரு பின்னமாக இருக்கும். நாம் எண் 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பர பின்னம் \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). எண் 1 என்பது இயற்கை எண். பதில்: இது எண் 1 ஆக இருந்தால், அவை ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்களாக இருக்க முடியும்.
எடுத்துக்காட்டு #6:
கலப்பு பின்னங்களின் பலனைச் செய்யுங்கள்: a) \(4 \ மடங்கு 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
தீர்வு:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \time \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
எடுத்துக்காட்டு #7:
இரண்டு எதிரொலிகள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியுமா?
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு கலப்புப் பகுதியை எடுத்துக் கொள்வோம் \(1\frac(1)(2)\), அதன் தலைகீழ் பகுதியைக் கண்டறியவும், இதைச் செய்ய, அதை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம் \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac(2)(3)\) க்கு சமமாக இருக்கும். பின்னம் \(\frac(2)(3)\) என்பது சரியான பின்னமாகும். பதில்: ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறான இரண்டு பின்னங்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியாது.
பொதுவான பின்னங்களைப் பெருக்குதல்
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
ஒரு தட்டில் ஒரு ஆப்பிளின் $\frac(1)(3)$ பகுதி இருக்கட்டும். அதன் $\frac(1)(2)$ பகுதியை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். தேவையான பகுதியானது $\frac(1)(3)$ மற்றும் $\frac(1)(2)$ ஆகிய பின்னங்களை பெருக்குவதன் விளைவாகும். இரண்டு பொதுவான பின்னங்களைப் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பொதுவான பின்னமாகும்.
இரண்டு சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குதல்
சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குவதற்கான விதி:
ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பின்னமாகும், அதன் எண்ணானது பெருக்கப்படும் பின்னங்களின் எண்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் வகுத்தல் பிரிவுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:
எடுத்துக்காட்டு 1
பொதுவான பின்னங்களின் பெருக்கல் $\frac(3)(7)$ மற்றும் $\frac(5)(11)$.
தீர்வு.
சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
பதில்:$\frac(15)(77)$
பின்னங்களைப் பெருக்குவது குறைக்கக்கூடிய அல்லது முறையற்ற பின்னமாக இருந்தால், நீங்கள் அதை எளிதாக்க வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு 2
$\frac(3)(8)$ மற்றும் $\frac(1)(9)$ பின்னங்களை பெருக்கவும்.
தீர்வு.
சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு ஒரு குறைக்கக்கூடிய பின்னம் கிடைத்தது ($3$ ஆல் வகுத்தல் அடிப்படையில். பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை $3$ ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
குறுகிய தீர்வு:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
பதில்:$\frac(1)(24).$
பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, நீங்கள் அவற்றின் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் வரை எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளைக் குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பானது எளிய காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகின்றன, அதன் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் வரும் காரணிகள் ரத்து செய்யப்பட்டு முடிவு கண்டறியப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 3
$\frac(6)(75)$ மற்றும் $\frac(15)(24)$ பின்னங்களின் பலனைக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு.
சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
வெளிப்படையாக, எண் மற்றும் வகுப்பில் $2$, $3$ மற்றும் $5$ என்ற எண்களுக்கு ஜோடியாகக் குறைக்கப்படும் எண்கள் உள்ளன. எண் மற்றும் வகுப்பினை எளிய காரணிகளாகக் கருதி, குறைப்போம்:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
பதில்:$\frac(1)(20).$
பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, நீங்கள் மாற்றுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்
பெருக்கல் விதி பொதுவான பின்னம்இயற்கை எண்ணுக்கு:
இயற்கை எண்ணால் ஒரு பகுதியைப் பெருக்குவதன் விளைவாக, இயற்கை எண்ணால் பெருக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு எண் சமமாக இருக்கும் ஒரு பின்னமாகும், மேலும் வகுப்பானது பெருக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பிற்கு சமம்:
$\frac(a)(b)$ என்பது ஒரு சாதாரண பின்னம், $n$ என்பது ஒரு இயற்கை எண்.
எடுத்துக்காட்டு 4
$\frac(3)(17)$ என்ற பகுதியை $4$ ஆல் பெருக்கவும்.
தீர்வு.
ஒரு சாதாரண பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
பதில்:$\frac(12)(17).$
பின்னத்தின் குறைப்பு அல்லது முறையற்ற பின்னம் மூலம் பெருக்கத்தின் முடிவைச் சரிபார்க்க மறக்காதீர்கள்.
உதாரணம் 5
$\frac(7)(15)$ என்ற பின்னத்தை $3$ என்ற எண்ணால் பெருக்கவும்.
தீர்வு.
ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
$3$ என்ற எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம், இதன் விளைவாக வரும் பகுதியைக் குறைக்கலாம் என்பதை நாம் தீர்மானிக்கலாம்:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
இதன் விளைவாக ஒரு தவறான பின்னம் இருந்தது. முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுப்போம்:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
குறுகிய தீர்வு:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
எண்கள் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள எண்களை அவற்றின் காரணியாக்கங்களுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றுவதன் மூலமும் பின்னங்களைக் குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
பதில்:$1\frac(2)(5).$
இயற்கை எண்ணால் ஒரு பகுதியைப் பெருக்கும்போது, நீங்கள் மாற்றுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
பிரித்தல் பின்னங்கள்
வகுத்தல் செயல்பாடு என்பது பெருக்கத்தின் தலைகீழ் மற்றும் அதன் முடிவு ஒரு பின்னமாகும், இதன் மூலம் இரண்டு பின்னங்களின் அறியப்பட்ட பெருக்கத்தைப் பெற அறியப்பட்ட பின்னம் பெருக்கப்பட வேண்டும்.
இரண்டு சாதாரண பின்னங்களைப் பிரித்தல்
சாதாரண பின்னங்களை பிரிப்பதற்கான விதி:வெளிப்படையாக, இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை காரணியாக்கி குறைக்கலாம்:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு முறையற்ற பகுதியைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
பதில்:$1\frac(5)(9).$
இந்த கட்டுரையில் நாம் பார்ப்போம் கலப்பு எண்களை பெருக்குதல். முதலில், கலப்பு எண்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியை கோடிட்டுக் காட்டுவோம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த விதியின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அடுத்து ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குவது பற்றி பேசுவோம். இறுதியாக, ஒரு கலப்பு எண்ணையும் பொதுவான பின்னத்தையும் எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.
பக்க வழிசெலுத்தல்.
கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்.
கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குவதற்கு குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய, கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றினால் போதும்.
அதை எழுதுவோம் கலப்பு எண் பெருக்கல் விதி:
- முதலில், பெருக்கப்படும் கலப்பு எண்கள் முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்பட வேண்டும்;
- இரண்டாவதாக, பின்னங்களை பின்னங்களால் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
ஒரு கலப்பு எண்ணை ஒரு கலப்பு எண்ணால் பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.
கலப்பு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் .
முதலில், கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாகப் பெருக்குவோம்: 
மற்றும் 
. இப்போது நாம் கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தை சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்துடன் மாற்றலாம்: 
. பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம் 
. இதன் விளைவாக வரும் பின்னம் குறைக்க முடியாதது (குறைக்கக்கூடிய மற்றும் குறைக்க முடியாத பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), ஆனால் அது முறையற்றது (சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), எனவே, இறுதிப் பதிலைப் பெற, முழுப் பகுதியையும் முறையற்ற பின்னத்திலிருந்து தனிமைப்படுத்த வேண்டும்: .
முழு தீர்வையும் ஒரே வரியில் எழுதுவோம்: .
.
கலப்பு எண்களைப் பெருக்கும் திறன்களை வலுப்படுத்த, மற்றொரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதைக் கவனியுங்கள்.
பெருக்கல் செய்யுங்கள்.
வேடிக்கையான எண்கள் மற்றும் அவை முறையே 13/5 மற்றும் 10/9 பின்னங்களுக்கு சமம். பிறகு 
. இந்த கட்டத்தில், ஒரு பகுதியைக் குறைப்பதைப் பற்றி நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது: பின்னத்தில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் அவற்றின் சிதைவுகளுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றவும் மற்றும் ஒரே மாதிரியான காரணிகளைக் குறைக்கவும்.
ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குதல்
ஒரு கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னத்துடன் மாற்றிய பின், ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குதல்ஒரு சாதாரண பின்னம் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது.
ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயல் எண் 45ஐயும் பெருக்கவும்.
ஒரு கலப்பு எண் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம் 
. விளைந்த பின்னத்தில் உள்ள எண்களை அவற்றின் சிதைவுகளுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றுவோம், குறைத்து, பின்னர் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்: .
.
ஒரு கலப்பு எண் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல் சில சமயங்களில் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி வசதியாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு கலப்பு எண் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல் முழு எண் பகுதியின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். 
.
தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
கலப்பு எண்ணை முழு எண் மற்றும் பின்னப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் மாற்றுவோம், அதன் பிறகு பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்: .
கலப்பு எண்கள் மற்றும் பின்னங்களை பெருக்குதல்கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாகப் பெருக்குவதன் மூலம் அதை சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கமாகக் குறைப்பது மிகவும் வசதியானது.
கலப்பு எண்ணை பொதுவான பின்னம் 4/15 ஆல் பெருக்கவும்.
கலப்பு எண்ணை ஒரு பின்னத்துடன் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம் 
.
www.cleverstudents.ru
பின்னங்களை பெருக்குதல்
§ 140. வரையறைகள். 1) ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது முழு எண்களை பெருக்குவதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது: ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு முழு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும், இதில் ஒவ்வொரு காலமும் பெருக்கிக்கு சமம், மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கை பெருக்கிக்கு சமம்.
எனவே 5 ஆல் பெருக்கினால் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவது:
2) ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு பின்னம் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தின் இந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதை, நாம் முன்பு கருதிய, ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கல் என்று அழைப்போம்.
3) ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு கலப்பு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தை முதலில் பெருக்கியின் முழு எண்ணால், பின்னர் பெருக்கியின் பின்னத்தால் பெருக்கி, இந்த இரண்டு பெருக்கல்களின் முடிவுகளை ஒன்றாகச் சேர்ப்பது.
உதாரணத்திற்கு:
இந்த எல்லா நிகழ்வுகளிலும் பெருக்கலுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட எண் அழைக்கப்படுகிறது வேலை, அதாவது முழு எண்களை பெருக்கும் போது அதே.
இந்த வரையறைகளிலிருந்து, பின்ன எண்களின் பெருக்கல் என்பது எப்போதும் சாத்தியமானது மற்றும் எப்போதும் தெளிவற்ற செயல் என்பது தெளிவாகிறது.
§ 141. இந்த வரையறைகளின் தேவை.பெருக்கத்தின் கடைசி இரண்டு வரையறைகளை எண்கணிதத்தில் அறிமுகப்படுத்துவதன் ஆலோசனையைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் சிக்கலை எடுத்துக் கொள்வோம்:
பணி. ஒரு ரயில், ஒரே சீராக நகரும், மணிக்கு 40 கி.மீ. இந்த ரயில் ஒரு குறிப்பிட்ட மணிநேரத்தில் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணிக்கும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?
முழு எண் கணிதத்தில் (சமமான சொற்களின் கூட்டல்) குறிக்கப்பட்ட பெருக்கத்தின் ஒரு வரையறையுடன் நாம் இருந்தால், எங்கள் பிரச்சனைக்கு மூன்று வெவ்வேறு தீர்வுகள் இருக்கும், அதாவது:
கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால் (உதாரணமாக, 5 மணிநேரம்), சிக்கலைத் தீர்க்க நீங்கள் இந்த மணிநேர எண்ணிக்கையால் 40 கிமீ பெருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்கள் பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்பட்டால் (உதாரணமாக, ஒரு மணிநேரம்), இந்த பின்னத்தின் மதிப்பை 40 கிமீயிலிருந்து நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
இறுதியாக, கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை (உதாரணமாக, மணிநேரம்) கலந்திருந்தால், 40 கிமீ கலப்பு எண்ணில் உள்ள முழு எண்ணால் பெருக்கப்பட வேண்டும், அதன் விளைவாக 40 கிமீ மற்றொரு பகுதியை சேர்க்க வேண்டும். எண்.
நாங்கள் வழங்கிய வரையறைகள் இந்த சாத்தியமான எல்லா நிகழ்வுகளுக்கும் ஒரு பொதுவான பதிலை வழங்க அனுமதிக்கின்றன:
நீங்கள் 40 கிமீகளை குறிப்பிட்ட மணிநேரத்தால் பெருக்க வேண்டும், அது எதுவாக இருந்தாலும் சரி.
இவ்வாறு, பிரச்சனை குறிப்பிடப்பட்டால் பொதுவான பார்வைஅதனால்:
ஒரு ரயில், ஒரே சீராக நகரும், ஒரு மணி நேரத்தில் வி கி.மீ. ஒரு மணி நேரத்தில் ரயில் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணிக்கும்?
பின்னர், v மற்றும் t எண்கள் எதுவாக இருந்தாலும், நாம் ஒரு பதிலைக் கொடுக்கலாம்: விரும்பிய எண் v · t சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
குறிப்பு. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சில பகுதியைக் கண்டறிவது, நமது வரையறையின்படி, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை இந்தப் பின்னத்தால் பெருக்குவது போன்றது; எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 5% (அதாவது ஐநூறில் ஒரு பங்கு) கண்டறிவது என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை ஆல் அல்லது ஆல் பெருக்குவது போன்றதாகும்; கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 125% ஐக் கண்டறிவது என்பது இந்த எண்ணை ஆல் அல்லது ஆல் பெருக்குவது போன்றதாகும்.
§ 142. ஒரு எண் எப்போது அதிகரிக்கிறது மற்றும் பெருக்கலில் இருந்து எப்போது குறைகிறது என்பது பற்றிய குறிப்பு.
முறையான பின்னத்தால் பெருக்கினால் எண்ணிக்கை குறைகிறது, மேலும் முறையற்ற பின்னத்தால் பெருக்கினால் எண்ணை அதிகரிக்கிறது, இந்த முறையற்ற பின்னம் ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், அது ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால் மாறாமல் இருக்கும்.
கருத்து. பின்ன எண்களையும், முழு எண்களையும் பெருக்கும்போது, எந்த காரணியும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக எடுக்கப்படுகிறது, எனவே .
§ 143. பெருக்கல் விதிகளின் வழித்தோன்றல்.
1) ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல். ஒரு பகுதியை 5 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் 5 மடங்கு அதிகரித்தது. ஒரு பகுதியை 5 மடங்கு அதிகரிக்க, அதன் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்க அல்லது அதன் வகுப்பினை 5 மடங்கு குறைக்க போதுமானது (§ 127).
அதனால்தான்:
விதி 1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணால் எண்ணைப் பெருக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விடவும்; அதற்குப் பதிலாக, நீங்கள் பின்னத்தின் வகுப்பினைக் கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணால் வகுக்கலாம் (முடிந்தால்), மற்றும் எண்ணை அப்படியே விடவும்.
கருத்து. ஒரு பின்னம் மற்றும் அதன் வகுப்பின் பெருக்கல் அதன் எண்ணுக்கு சமம்.
அதனால்:
விதி 2. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் முழு எண்ணையும் பின்னத்தின் எண் மூலம் பெருக்கி, இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் இந்த பின்னத்தின் வகுப்பை வகுப்பாக கையொப்பமிட வேண்டும்.
விதி 3. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண் மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.
கருத்து. இந்த விதியானது ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவதற்கும், ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம், நாம் முழு எண்ணை ஒரு பிரிவின் பின்னமாக கருதினால் மட்டுமே. அதனால்:
எனவே, இப்போது கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள மூன்று விதிகள் ஒன்றில் உள்ளன, அவை பொதுவாக பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்:
4) கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.
விதி 4. கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:
§ 144. பெருக்கத்தின் போது குறைப்பு. பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, முடிந்தால், பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பார்க்கக்கூடியது போல, பூர்வாங்க குறைப்பு செய்ய வேண்டியது அவசியம்:
அத்தகைய குறைப்பு செய்யப்படலாம், ஏனெனில் ஒரு பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே எண்ணிக்கையில் குறைக்கப்பட்டால் அதன் மதிப்பு மாறாது.
§ 145. மாற்றும் காரணிகளுடன் ஒரு தயாரிப்பை மாற்றுதல்.காரணிகள் மாறும்போது, பகுதி எண்களின் பெருக்கமானது முழு எண்களின் (§ 53) பெருக்கத்தைப் போலவே மாறும், அதாவது: நீங்கள் எந்தக் காரணியையும் பல முறை அதிகரித்தால் (அல்லது குறைத்தால்) தயாரிப்பு அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) அதே அளவு மூலம்.
எனவே, எடுத்துக்காட்டில் இருந்தால்:
பல பின்னங்களைப் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றின் எண்களை ஒன்றோடொன்றும், பிரிவினைகளை ஒன்றோடொன்றும் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.
கருத்து. எண்ணின் சில காரணிகள் முழு எண்களாகவோ அல்லது கலந்ததாகவோ இருக்கும் தயாரிப்புகளுக்கும் இந்த விதி பயன்படுத்தப்படலாம், நாம் முழு எண்ணை ஒன்றின் வகுப்பைக் கொண்ட பின்னமாகக் கருதி, கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றினால் மட்டுமே. உதாரணத்திற்கு:
§ 147. பெருக்கத்தின் அடிப்படை பண்புகள்.முழு எண்களுக்கு (§ 56, 57, 59) நாங்கள் குறிப்பிட்டுள்ள பெருக்கத்தின் பண்புகள் பின்ன எண்களின் பெருக்கத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த பண்புகளை குறிப்பிடுவோம்.
1) காரணிகள் மாறும்போது தயாரிப்பு மாறாது.
உதாரணத்திற்கு:
உண்மையில், முந்தைய பத்தியின் விதியின்படி, முதல் தயாரிப்பு பின்னத்திற்கு சமம், இரண்டாவது பின்னத்திற்கு சமம். ஆனால் இந்த பின்னங்கள் ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் அவற்றின் சொற்கள் முழு எண் காரணிகளின் வரிசையில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, மேலும் காரணிகளின் இடங்கள் மாற்றப்படும்போது முழு எண்களின் பெருக்கமும் மாறாது.
2) எந்தவொரு காரணிகளின் குழுவும் அவற்றின் தயாரிப்பால் மாற்றப்பட்டால் தயாரிப்பு மாறாது.
உதாரணத்திற்கு:
முடிவுகளும் அப்படியே.
இந்த பெருக்கல் பண்புகளிலிருந்து பின்வரும் முடிவை எடுக்கலாம்:
ஒரு எண்ணை ஒரு பொருளால் பெருக்க, நீங்கள் இந்த எண்ணை முதல் காரணியால் பெருக்கலாம், அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை இரண்டால் பெருக்கலாம்.
உதாரணத்திற்கு:
3) பெருக்கத்தின் பகிர்வு விதி (கூடுதலுடன் தொடர்புடையது). ஒரு தொகையை எண்ணால் பெருக்க, ஒவ்வொரு சொல்லையும் அந்த எண்ணால் தனித்தனியாகப் பெருக்கி முடிவுகளைச் சேர்க்கலாம்.
முழு எண்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் இந்தச் சட்டம் எங்களால் விளக்கப்பட்டது (§ 59). பின்ன எண்களுக்கு எந்த மாற்றமும் இல்லாமல் உண்மையாகவே உள்ளது.
உண்மையில் சமத்துவம் என்பதை காட்டுவோம்
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(கூடுதலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோக விதி) எழுத்துக்கள் பின்ன எண்களைக் குறிக்கும் போதும் உண்மையாகவே இருக்கும். மூன்று வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
1) முதலில் எம் காரணி ஒரு முழு எண் என்று வைத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக m = 3 (a, b, c – எந்த எண்களும்). ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்கலின் வரையறையின்படி, நாம் எழுதலாம் (எளிமைக்கான மூன்று சொற்களுக்கு நம்மை வரம்பிடலாம்):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
கூட்டல் தொடர்பான சட்டத்தின் அடிப்படையில், வலது பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து அடைப்புக்குறிகளையும் நாம் தவிர்க்கலாம்; கூட்டல் என்ற மாற்றுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், மீண்டும் இணைச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் வெளிப்படையாக வலது பக்கத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
இதன் பொருள் இந்த வழக்கில் விநியோக சட்டம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
பின்னங்களை பெருக்கி வகுத்தல்
பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எப்படி என்பதைக் கடந்த முறை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களின் மிகவும் கடினமான பகுதி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.
இப்போது பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சமாளிக்க நேரம். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதை விட எளிமையானவை. முதலில், பிரிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களையும் வகுப்பினையும் தனித்தனியாகப் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்ணாகவும், இரண்டாவது பிரிவாகவும் இருக்கும்.
இரண்டு பின்னங்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பகுதியால் பெருக்க வேண்டும்.
பின்னங்களைப் பிரிப்பது பெருக்கமாகக் குறைகிறது என்பதை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். எனவே, பாடம் முழுவதும் நாம் முக்கியமாக பெருக்கத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.
பெருக்கத்தின் விளைவாக, குறைக்கக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (பெரும்பாலும் எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக குறைக்கப்பட வேண்டும். அனைத்து குறைப்புகளுக்குப் பிறகும் பின்னம் தவறாக மாறிவிட்டால், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். ஆனால் பெருக்கினால் நிச்சயமாக நடக்காதது ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்: குறுக்கு-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைவான பொதுவான மடங்குகள்.
வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
முழு பகுதிகள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களுடன் பின்னங்களை பெருக்குதல்
பின்னங்கள் ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அவை முறையற்றவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.
ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிலோ, வகுப்பிலோ அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பின்வரும் விதிகளின்படி பெருக்கத்திலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது முழுவதுமாக அகற்றலாம்:
- பிளஸ் பை மைனஸ் மைனஸ் கொடுக்கிறது;
- இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன.
இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறையான பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் மட்டுமே சந்தித்தன, முழுப் பகுதியையும் அகற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால். ஒரு வேலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரே நேரத்தில் பல குறைபாடுகளை "எரிக்க" அவை பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:
- அவர்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை நாம் ஜோடிகளாக எதிர்மறைகளை கடக்கிறோம். தீவிர நிகழ்வுகளில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - துணை இல்லாத ஒன்று;
- மைனஸ்கள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதற்கு ஜோடி இல்லாததால் கடைசி கழித்தல் கடக்கப்படாவிட்டால், பெருக்கத்தின் வரம்புக்கு வெளியே அதை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக எதிர்மறை பின்னம்.
பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் பெருக்கத்திலிருந்து கழித்தல்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். வழக்கமான விதிகளின்படி மீதமுள்ளவற்றைப் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
தனிப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியையும் கொண்ட பின்னத்தின் முன் தோன்றும் கழித்தல் அதன் முழுப் பகுதியையும் அல்ல (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பொருந்தும்) முழுப் பகுதியையும் குறிக்கிறது என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன்.
எதிர்மறை எண்களுக்கும் கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படும். பெருக்கல் குறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழுக் குறிப்பையும் துல்லியமாக மாற்றுவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.
பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்
பெருக்கல் என்பது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக மாறிவிட்டன, மேலும் சிக்கலை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை மேலும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். பெருக்குவதற்கு முன். உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் சாதாரண காரணிகள், எனவே, அவை ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:
பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியுள்ளவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டன. அவற்றின் இடத்தில் பொதுவாக எழுதப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத அலகுகள் உள்ளன. இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், முழுமையான குறைப்பை அடைவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்துள்ளது.
இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆம், சில நேரங்களில் நீங்கள் குறைக்க விரும்பும் ஒரே மாதிரியான எண்கள் உள்ளன. இதோ, பார்:
உன்னால் அது முடியாது!
பிழை நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சேர்க்கும் போது, ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிக்கையானது ஒரு தொகையை உருவாக்குகிறது, எண்களின் பெருக்கத்தை அல்ல. இதன் விளைவாக, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த சொத்து குறிப்பாக எண்களின் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.
பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு காரணங்கள் எதுவும் இல்லை, எனவே முந்தைய சிக்கலுக்கான சரியான தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் மிகவும் அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.
பின்னங்களை பெருக்குதல்.
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னம் அல்லது ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் சரியாகப் பெருக்க, நீங்கள் எளிய விதிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இப்போது இந்த விதிகளை விரிவாக ஆராய்வோம்.
ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்களின் பெருக்கத்தையும் இந்த பின்னங்களின் வகுப்பின் பெருக்கத்தையும் கணக்கிட வேண்டும்.
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:
முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்தை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்கணிதத்துடன் பெருக்குகிறோம், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பையும் இரண்டாம் பின்னத்தின் வகுப்போடு பெருக்குகிறோம்.
ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்.
முதலில், விதியை நினைவில் கொள்வோம், எந்த எண்ணையும் பின்னமாக குறிப்பிடலாம் \(\bf n = \frac \) .
பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.
முறையற்ற பின்னம் \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) கலப்பு பின்னமாக மாற்றப்பட்டது.
வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, எண்ணை எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.உதாரணமாக:
கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.
கலப்பு பின்னங்களைப் பெருக்க, முதலில் ஒவ்வொரு கலப்புப் பின்னத்தையும் முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிட வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். நாம் எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், மேலும் வகுப்பைக் கொண்டு வகுப்பினைப் பெருக்குகிறோம்.
பரஸ்பர பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் பெருக்கல்.
தொடர்புடைய கேள்விகள்:
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கல் என்பது ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண், ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு வகுப்பின் பெருக்கல் ஆகும். கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைப் பெற, நீங்கள் அவற்றை ஒரு முறையற்ற பின்னமாக மாற்ற வேண்டும் மற்றும் விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும்.
வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: பின்னங்கள் ஒரே மாதிரியான அல்லது வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கின்றனவா என்பது முக்கியமல்ல, ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண், ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு எண் ஆகியவற்றைக் கண்டறியும் விதியின் படி பெருக்கல் நிகழ்கிறது.
கலப்பு பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: முதலில், நீங்கள் கலப்பு பகுதியை தவறான பின்னமாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி தயாரிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு #1:
தயாரிப்பைக் கணக்கிடவும்: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
எடுத்துக்காட்டு #2:
ஒரு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடவும்: a) \(3 \time \frac \) b) \(\frac \times 11\)
எடுத்துக்காட்டு #3:
\(\frac \) பின்னத்தின் எதிரொலியை எழுதவா?
பதில்: \(\frac = 3\)
எடுத்துக்காட்டு #4:
இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: a) \(\frac \times \frac \)
எடுத்துக்காட்டு #5:
பரஸ்பர பின்னங்கள் இருக்க முடியுமா:
a) சரியான பின்னங்களுடன் ஒரே நேரத்தில்;
b) ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னங்கள்;
c) ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்கள்?
தீர்வு:
அ) முதல் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு உதாரணம் தருவோம். பின்னம் \(\frac \) சரியானது, அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) - ஒரு முறையற்ற பின்னத்திற்கு சமமாக இருக்கும். பதில்: இல்லை.
b) கிட்டத்தட்ட அனைத்து பின்னங்களின் எண்ணிக்கையிலும் இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னமாக இருக்கும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் சில எண்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முறையற்ற பின்னம் \(\frac \) , அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) க்கு சமம். நாம் இரண்டு முறையற்ற பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். பதில்: எப்பொழுதும் சில நிபந்தனைகளின் கீழ், எண் மற்றும் வகுத்தல் சமமாக இருக்கும் போது இல்லை.
c) இயற்கை எண்கள் எண்ணும் போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac \) எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) ஆக இருக்கும். பின்னம் \(\frac \) ஒரு இயற்கை எண் அல்ல. நாம் எல்லா எண்களிலும் சென்றால், 1 ஐத் தவிர, எண்ணின் எதிரொலி எப்போதும் ஒரு பின்னமாக இருக்கும். நாம் எண் 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பர பின்னம் \(\frac = \frac = 1\) ஆக இருக்கும். எண் 1 என்பது இயற்கை எண். பதில்: இது எண் 1 ஆக இருந்தால், அவை ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்களாக இருக்க முடியும்.
எடுத்துக்காட்டு #6:
கலப்பு பின்னங்களின் பலனைச் செய்யவும்: a) \(4 \ மடங்கு 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
தீர்வு:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
எடுத்துக்காட்டு #7:
இரண்டு எதிரொலிகள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியுமா?
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு கலப்பு பின்னத்தை எடுத்துக்கொள்வோம், அதன் தலைகீழ் பகுதியைக் கண்டறியவும், இதைச் செய்ய, அதை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம் \(1\frac = \frac \) . அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) க்கு சமமாக இருக்கும். பின்னம் \(\frac\) ஒரு சரியான பின்னம். பதில்: ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறான இரண்டு பின்னங்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தசமத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்
பாடத்திற்கான விளக்கக்காட்சி
கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால் இந்த வேலை, முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.
- ஒரு வேடிக்கையான வழியில், தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால், இட மதிப்பு அலகு மூலம் பெருக்குவதற்கான விதி மற்றும் தசமப் பகுதியை சதவீதமாக வெளிப்படுத்தும் விதியை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது வாங்கிய அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
- மாணவர்களின் தர்க்கரீதியான சிந்தனையை வளர்த்து செயல்படுத்துதல், வடிவங்களை அடையாளம் கண்டு அவற்றைப் பொதுமைப்படுத்துதல், நினைவகத்தை வலுப்படுத்துதல், ஒத்துழைக்கும் திறன், உதவி வழங்குதல், அவர்களின் சொந்த வேலை மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் வேலையை மதிப்பீடு செய்யும் திறன்.
- கணிதம், செயல்பாடு, இயக்கம் மற்றும் தகவல் தொடர்பு திறன் ஆகியவற்றில் ஆர்வத்தை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
உபகரணங்கள்:ஊடாடும் ஒயிட்போர்டு, சைபர்கிராம் கொண்ட சுவரொட்டி, கணிதவியலாளர்களின் அறிக்கைகள் கொண்ட சுவரொட்டிகள்.
- ஏற்பாடு நேரம்.
- வாய்வழி எண்கணிதம் - முன்னர் படித்த பொருளின் பொதுமைப்படுத்தல், புதிய பொருளைப் படிப்பதற்கான தயாரிப்பு.
- புதிய பொருளின் விளக்கம்.
- வீட்டுப்பாடம்.
- கணித உடற்கல்வி.
- கணினியைப் பயன்படுத்தி விளையாட்டுத்தனமான முறையில் பெற்ற அறிவை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல்.
- தரப்படுத்துதல்.
2. நண்பர்களே, இன்று எங்கள் பாடம் சற்று அசாதாரணமாக இருக்கும், ஏனென்றால் நான் தனியாக கற்பிக்க மாட்டேன், ஆனால் என் நண்பருடன். என் நண்பரும் அசாதாரணமானவர், நீங்கள் இப்போது அவரைப் பார்ப்பீர்கள். (ஒரு கார்ட்டூன் கணினி திரையில் தோன்றும்.) என் நண்பருக்கு ஒரு பெயர் இருக்கிறது, அவர் பேசக்கூடியவர். உன் பெயர் என்ன நண்பா? கொம்போஷா பதிலளிக்கிறார்: "என் பெயர் கொம்போஷா." இன்று எனக்கு உதவ நீங்கள் தயாரா? ஆம்! சரி, பாடத்தை ஆரம்பிக்கலாம்.
இன்று நான் ஒரு மறைகுறியாக்கப்பட்ட சைபர்கிராம் பெற்றேன், நண்பர்களே, அதை நாம் ஒன்றாக தீர்க்க வேண்டும் மற்றும் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். (தசம பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் வாய்வழிக் கணக்கீட்டுடன் பலகையில் ஒரு சுவரொட்டி தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக குழந்தைகள் பின்வரும் குறியீட்டைப் பெறுகிறார்கள் 523914687. )
பெறப்பட்ட குறியீட்டைப் புரிந்துகொள்ள கொம்போஷா உதவுகிறது. டிகோடிங்கின் விளைவு MULTIPLICATION என்ற சொல். பெருக்கல் என்பது இன்றைய பாடத்தின் தலைப்பின் முக்கிய சொல். பாடத்தின் தலைப்பு மானிட்டரில் காட்டப்படும்: "தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்"
நண்பர்களே, பெருக்குவது எப்படி என்று எங்களுக்குத் தெரியும் இயற்கை எண்கள். தசம எண்களை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவதை இன்று பார்ப்போம். ஒரு தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவது, சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படலாம், ஒவ்வொன்றும் இந்த தசமப் பகுதிக்கு சமம், மேலும் சொற்களின் எண்ணிக்கை இந்த இயற்கை எண்ணுக்குச் சமம். உதாரணமாக: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63 எனவே, 5.21 ·3 = 15.63. 5.21 ஐ ஒரு இயற்கை எண்ணுக்கு பொதுவான பின்னமாக வழங்கினால், நாம் பெறுகிறோம்
இந்த விஷயத்தில் எங்களுக்கு அதே முடிவு கிடைத்தது: 15.63. இப்போது, கமாவைப் புறக்கணித்து, 5.21 என்ற எண்ணுக்குப் பதிலாக, 521 என்ற எண்ணை எடுத்து, இந்த இயற்கை எண்ணால் பெருக்கவும். காரணிகளில் ஒன்றில் கமா இரண்டு இடங்களுக்கு வலதுபுறமாக நகர்த்தப்பட்டது என்பதை இங்கே நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எண்கள் 5, 21 மற்றும் 3 ஐப் பெருக்கும்போது, 15.63 க்கு சமமான ஒரு பொருளைப் பெறுகிறோம். இப்போது இந்த எடுத்துக்காட்டில் கமாவை இடதுபுறமாக இரண்டு இடங்களுக்கு நகர்த்துகிறோம். இவ்வாறு, காரணிகளில் ஒன்று எத்தனை மடங்கு அதிகரித்தது, எத்தனை மடங்கு தயாரிப்பு குறைக்கப்பட்டது. இந்த முறைகளின் ஒற்றுமைகளின் அடிப்படையில், நாம் ஒரு முடிவை எடுப்போம்.
பெருக்க தசமஇயற்கை எண்ணுக்கு, உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:
1) கமாவுக்கு கவனம் செலுத்தாமல், இயற்கை எண்களை பெருக்கவும்;
2) விளைந்த தயாரிப்பில், தசம பின்னத்தில் உள்ளதைப் போல பல இலக்கங்களை வலப்பக்கத்தில் இருந்து கமாவால் பிரிக்கவும்.
பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் மானிட்டரில் காட்டப்படும், நாங்கள் கொம்போஷா மற்றும் தோழர்களுடன் சேர்ந்து பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்: 5.21 ·3 = 15.63 மற்றும் 7.624 ·15 = 114.34. பின்னர் நான் 12.6 · 50 = 630 என்ற வட்ட எண் மூலம் பெருக்கத்தைக் காட்டுகிறேன். அடுத்து, ஒரு தசமப் பகுதியை இட மதிப்பு அலகு மூலம் பெருக்குகிறேன். நான் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறேன்: 7.423 · 100 = 742.3 மற்றும் 5.2 · 1000 = 5200. எனவே, ஒரு தசமப் பகுதியை இலக்க அலகு மூலம் பெருக்குவதற்கான விதியை அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:
ஒரு தசமத்தை பெருக்க இலக்க அலகுகள் 10, 100, 1000, முதலியன, இலக்க அலகு குறிப்பில் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அளவுக்கு இந்த பின்னத்தில் உள்ள தசம புள்ளியை வலப்புறம் நகர்த்த வேண்டும்.
தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தி எனது விளக்கத்தை முடிக்கிறேன். நான் விதியை அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:
ஒரு தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்த, நீங்கள் அதை 100 ஆல் பெருக்கி % குறியைச் சேர்க்க வேண்டும்.
கணினியில் ஒரு உதாரணம் தருகிறேன்: 0.5 100 = 50 அல்லது 0.5 = 50%.
4. விளக்கத்தின் முடிவில் நான் தோழர்களுக்கு தருகிறேன் வீட்டு பாடம், இது கணினி மானிட்டரிலும் காட்டப்படும்: № 1030, № 1034, № 1032.
5. தோழர்களே சிறிது ஓய்வெடுக்க, தலைப்பை ஒருங்கிணைக்க கொம்போஷாவுடன் சேர்ந்து கணித உடற்கல்வி அமர்வை நடத்துகிறோம். எல்லோரும் எழுந்து நிற்கிறார்கள், தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை வகுப்பிற்குக் காட்டுகிறார்கள், உதாரணம் சரியாக அல்லது தவறாக தீர்க்கப்பட்டதா என்று அவர்கள் பதிலளிக்க வேண்டும். உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்பட்டால், அவர்கள் தங்கள் கைகளை தலைக்கு மேலே உயர்த்தி, உள்ளங்கையில் கைதட்டுகிறார்கள். உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்படாவிட்டால், தோழர்களே தங்கள் கைகளை பக்கங்களுக்கு நீட்டி, விரல்களை நீட்டுகிறார்கள்.
6. இப்போது நீங்கள் சிறிது ஓய்வெடுத்துள்ளீர்கள், நீங்கள் பணிகளை தீர்க்க முடியும். உங்கள் பாடப்புத்தகத்தை பக்கம் 205 இல் திறக்கவும். № 1029. இந்த பணியில் நீங்கள் வெளிப்பாடுகளின் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும்:
பணிகள் கணினியில் தோன்றும். அவை தீர்க்கப்படும்போது, ஒரு படகின் உருவத்துடன் ஒரு படம் தோன்றுகிறது, அது முழுமையாக கூடியதும் மிதக்கிறது.
கணினியில் இந்த பணியைத் தீர்ப்பதன் மூலம், ராக்கெட் படிப்படியாக மடிகிறது; கடைசி உதாரணத்தைத் தீர்த்த பிறகு, ராக்கெட் பறந்து செல்கிறது. ஆசிரியர் மாணவர்களுக்கு ஒரு சிறிய தகவலைத் தருகிறார்: “ஒவ்வொரு ஆண்டும் கஜகஸ்தான் மண்ணிலிருந்து, பைகோனூர் காஸ்மோட்ரோமில் இருந்து, அவர்கள் நட்சத்திரங்களுக்குச் செல்கிறார்கள். விண்கலங்கள். பைகோனூர் அருகே கஜகஸ்தான் அதன் புதிய பைடெரெக் காஸ்மோட்ரோமைக் கட்டுகிறது.
பயணிகள் காரின் வேகம் மணிக்கு 74.8 கிமீ என்றால், ஒரு பயணிகள் கார் 4 மணி நேரத்தில் எவ்வளவு தூரம் பயணிக்கும்.
பரிசு சான்றிதழ் உங்கள் குறிப்பிடத்தக்க மற்றவர்களுக்கு, நண்பர்கள், பணியாளர்கள், உறவினர்களுக்கு என்ன கொடுக்க வேண்டும் என்று தெரியவில்லையா? எங்கள் சிறப்புச் சலுகையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்: “ப்ளூ செட்ஜ் கன்ட்ரி ஹோட்டலுக்கான பரிசுச் சான்றிதழ்.” சான்றிதழ் வழங்குகிறது […]