ஒரு விகிதத்தை உருவாக்கி வரம்பை கணக்கிடுங்கள்.

எங்கிருந்து வந்தது? வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணை? ஒரே வரம்புக்கு நன்றி. இது மந்திரம் போல் தெரிகிறது, ஆனால் உண்மையில் இது கையின் சாமர்த்தியம் மற்றும் மோசடி இல்லை. பாடத்தில் வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன?பார்க்க ஆரம்பித்தேன் குறிப்பிட்ட உதாரணங்கள், அங்கு, வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் மற்றும் இருபடிச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டேன். அறிவாற்றல் வெப்பமயமாதலின் நோக்கத்திற்காக, நாங்கள் தொடர்ந்து தொந்தரவு செய்வோம் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை, அல்காரிதம் மற்றும் தொழில்நுட்ப தீர்வுகளை மதிப்பாய்வு செய்தல்:

எடுத்துக்காட்டு 1

அடிப்படையில், நீங்கள் நிரூபிக்க வேண்டும் சிறப்பு வழக்குவழித்தோன்றல் சக்தி செயல்பாடு, இது பொதுவாக அட்டவணையில் தோன்றும்: .

தீர்வுதொழில்நுட்ப ரீதியாக இரண்டு வழிகளில் முறைப்படுத்தப்பட்டது. முதல், ஏற்கனவே பழக்கமான அணுகுமுறையுடன் தொடங்குவோம்: ஏணி ஒரு பலகையுடன் தொடங்குகிறது, மற்றும் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலுடன் தொடங்குகிறது.

கருத்தில் கொள்வோம் சில(குறிப்பிட்ட) புள்ளி சேர்ந்தது வரையறையின் களம்ஒரு வழித்தோன்றல் இருக்கும் செயல்பாடு. இந்த கட்டத்தில் அதிகரிப்பை அமைப்போம் (நிச்சயமாக, எல்லைக்குள்o/o -நான்)மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை உருவாக்கவும்:

வரம்பை கணக்கிடுவோம்:

நிச்சயமற்ற 0:0 ஒரு நிலையான நுட்பத்தால் அகற்றப்பட்டது, இது கிமு முதல் நூற்றாண்டில் கருதப்படுகிறது. எண் மற்றும் வகுப்பினை இணை வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்கவும் :

அத்தகைய வரம்பை தீர்ப்பதற்கான நுட்பம் அறிமுக பாடத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் பற்றி.

இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியையும் தரமாக நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம் என்பதால், மாற்றீடு செய்த பிறகு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதில்

மீண்டும் ஒரு முறை மடக்கைகளில் மகிழ்ச்சியடைவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: ஒரே பணியை ஊக்குவிப்பதில் வேறுபட்ட அணுகுமுறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது சரியாகவே உள்ளது, ஆனால் வடிவமைப்பின் அடிப்படையில் மிகவும் பகுத்தறிவு. தீர்வின் தொடக்கத்தில் உள்ள சப்ஸ்கிரிப்டை அகற்றிவிட்டு எழுத்துக்குப் பதிலாக எழுத்தைப் பயன்படுத்துவதே யோசனை.

கருத்தில் கொள்வோம் தன்னிச்சையானசேர்ந்த புள்ளி வரையறையின் களம்செயல்பாடு (இடைவெளி) மற்றும் அதில் அதிகரிப்பை அமைக்கவும். ஆனால் இங்கே, பெரும்பாலான நிகழ்வுகளைப் போலவே, நீங்கள் எந்த முன்பதிவும் இல்லாமல் செய்யலாம், ஏனெனில் மடக்கை செயல்பாடு வரையறையின் களத்தில் எந்த இடத்திலும் வேறுபடுகிறது.

பின்னர் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பு:

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வடிவமைப்பின் எளிமை ஆரம்பநிலைக்கு (மற்றும் மட்டுமல்ல) ஏற்படக்கூடிய குழப்பத்தால் சமப்படுத்தப்படுகிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "எக்ஸ்" என்ற எழுத்து வரம்பில் மாறுகிறது என்பதற்கு நாங்கள் பழகிவிட்டோம்! ஆனால் இங்கே எல்லாம் வித்தியாசமானது: - ஒரு பழங்கால சிலை, மற்றும் - ஒரு வாழும் பார்வையாளர், அருங்காட்சியகத்தின் தாழ்வாரத்தில் விறுவிறுப்பாக நடந்து செல்கிறார். அதாவது, "x" என்பது "ஒரு மாறிலி போன்றது."

நிச்சயமற்ற தன்மையை படிப்படியாக நீக்குவது குறித்து நான் கருத்து தெரிவிக்கிறேன்:

(1) மடக்கையின் பண்பைப் பயன்படுத்துகிறோம் .

(2) அடைப்புக்குறிக்குள், எண்களை வகுப்பின் சொல்லால் காலத்தால் வகுக்கவும்.

(3) வகுப்பில், நாம் செயற்கையாகப் பெருக்கி "x" ஆல் வகுக்கிறோம் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு , என போது எல்லையற்றவெளியே உள்ளது.

பதில்வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி:

அல்லது சுருக்கமாக:

இன்னும் இரண்டை நீங்களே வடிவமைக்க முன்மொழிகிறேன் அட்டவணை சூத்திரங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 3

இந்த வழக்கில், தொகுக்கப்பட்ட அதிகரிப்பை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு உடனடியாகக் குறைப்பது வசதியானது. பாடத்தின் முடிவில் பணியின் தோராயமான மாதிரி (முதல் முறை).

எடுத்துக்காட்டு 3:தீர்வு : சில புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள் , செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தது . இந்த கட்டத்தில் அதிகரிப்பை அமைப்போம் மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை உருவாக்கவும்:

புள்ளியில் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் :


அதிலிருந்து நீங்கள் எந்த புள்ளியையும் தேர்ந்தெடுக்கலாம் செயல்பாட்டு களம் , அந்த மற்றும்
பதில் : வழித்தோன்றல் வரையறை மூலம்

எடுத்துக்காட்டு 4

வரையறையின்படி வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இங்கே எல்லாம் குறைக்கப்பட வேண்டும் அற்புதமான வரம்பு. தீர்வு இரண்டாவது வழியில் முறைப்படுத்தப்படுகிறது.

வேறு பல அட்டவணை வழித்தோன்றல்கள். முழு பட்டியல்ஒரு பள்ளி பாடப்புத்தகத்தில் காணலாம் அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, Fichtenholtz இன் 1வது தொகுதி. புத்தகங்களிலிருந்து வேறுபாடு விதிகளின் சான்றுகளை நகலெடுப்பதில் அதிக அர்த்தத்தை நான் காணவில்லை - அவை சூத்திரத்தால் உருவாக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 4:தீர்வு , சேர்ந்த , மற்றும் அதில் அதிகரிப்பை அமைக்கவும்

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அற்புதமான வரம்பைப் பயன்படுத்துதல்

பதில் : a-priory

உதாரணம் 5

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் , வழித்தோன்றல் வரையறையைப் பயன்படுத்தி

தீர்வு: நாங்கள் முதல் வடிவமைப்பு பாணியைப் பயன்படுத்துகிறோம். க்கு சொந்தமான சில புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் அதில் உள்ள வாதத்தின் அதிகரிப்பைக் குறிப்பிடுவோம். பின்னர் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பு:

ஒருவேளை சில வாசகர்கள் எந்தக் கொள்கையின் மூலம் அதிகரிப்பு செய்யப்பட வேண்டும் என்பதை இன்னும் முழுமையாகப் புரிந்து கொள்ளவில்லை. ஒரு புள்ளியை (எண்) எடுத்து அதில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: , அதாவது, செயல்பாட்டிற்குள் அதற்கு பதிலாக"X" பதிலாக இருக்க வேண்டும். இப்போது நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை எடுத்து அதை செயல்பாட்டில் மாற்றவும் அதற்கு பதிலாக"iksa": . வித்தியாசத்தை நாங்கள் எழுதுகிறோம், அது அவசியம் முழுமையாக அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கவும்.

தொகுக்கப்பட்ட செயல்பாடு அதிகரிப்பு உடனடியாக எளிதாக்குவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். எதற்காக? தீர்வை மேலும் வரம்பிற்கு எளிதாக்கவும் சுருக்கவும்.

நாங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து குறைக்கக்கூடிய அனைத்தையும் குறைக்கிறோம்:

வான்கோழி வறுத்துவிட்டது, வறுத்ததில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை:

இறுதியில்:

எந்த உண்மையான எண்ணையும் ஒரு மதிப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும் என்பதால், மாற்றீடு செய்து பெறுகிறோம் .

பதில்: a-priory.

சரிபார்ப்பு நோக்கங்களுக்காக, வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிப்போம் வேறுபாடு விதிகள் மற்றும் அட்டவணைகள்:

சரியான பதிலை முன்கூட்டியே தெரிந்துகொள்வது எப்போதும் பயனுள்ளதாகவும் இனிமையாகவும் இருக்கும், எனவே முன்மொழியப்பட்ட செயல்பாட்டை "விரைவான" வழியில், மனரீதியாக அல்லது வரைவில், தீர்வின் ஆரம்பத்திலேயே வேறுபடுத்துவது நல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 6

வழித்தோன்றலின் வரையறையின் மூலம் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. விளைவு வெளிப்படையானது:

எடுத்துக்காட்டு 6:தீர்வு : சில புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள் , சேர்ந்த , மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்பை அதில் அமைக்கவும் . பின்னர் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பு:


வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்:


இதனால்:
ஏனெனில் என நீங்கள் எந்த உண்மையான எண்ணையும் தேர்வு செய்யலாம் மற்றும்
பதில் : a-priory.

நடை #2க்கு திரும்புவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

என்ன நடக்க வேண்டும் என்பதை உடனடியாக கண்டுபிடிப்போம். மூலம் வேறுபாடு விதி சிக்கலான செயல்பாடு :

தீர்வு: க்கு சொந்தமான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை கருத்தில் கொண்டு, அதில் வாதத்தின் அதிகரிப்பை அமைத்து, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பை உருவாக்கவும்:

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:


(1) பயன்படுத்தவும் முக்கோணவியல் சூத்திரம் .

(2) சைனின் கீழ் நாம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், கொசைன் கீழ் நாம் ஒத்த சொற்களை வழங்குகிறோம்.

(3) சைனின் கீழ் நாம் சொற்களைக் குறைக்கிறோம், கோசைனின் கீழ் நாம் எண்களை வகுப்பின் காலத்தால் காலத்தால் வகுக்கிறோம்.

(4) சைனின் விந்தையின் காரணமாக, "மைனஸ்" ஐ வெளியே எடுக்கிறோம். கொசைன் கீழ் நாம் குறிக்கும் சொல் .

(5) பயன்படுத்துவதற்காக வகுப்பில் செயற்கைப் பெருக்கத்தைச் செய்கிறோம் முதல் அற்புதமான வரம்பு. இதனால், நிச்சயமற்ற தன்மை நீக்கப்பட்டது, முடிவை ஒழுங்கமைப்போம்.

பதில்: a-priory

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலின் முக்கிய சிரமம் வரம்பின் சிக்கலானது + பேக்கேஜிங்கின் சிறிய தனித்துவம். நடைமுறையில், வடிவமைப்பின் இரண்டு முறைகளும் நிகழ்கின்றன, எனவே இரண்டு அணுகுமுறைகளையும் முடிந்தவரை விரிவாக விவரிக்கிறேன். அவை சமமானவை, ஆனால் இன்னும், எனது அகநிலை அபிப்ராயத்தில், "X-zero" உடன் விருப்பம் 1 இல் ஒட்டிக்கொள்வது டம்மிகளுக்கு மிகவும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 8

வரையறையைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 8:தீர்வு : ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கவனியுங்கள் , சேர்ந்த , அதில் அதிகரிப்பை அமைப்போம் மற்றும் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பை உருவாக்கவும்:

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

நாங்கள் முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு:

பதில் : a-priory

சிக்கலின் அரிதான பதிப்பைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 9

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

முதலாவதாக, அடிப்பகுதி என்னவாக இருக்க வேண்டும்? எண்

நிலையான முறையில் பதிலைக் கணக்கிடுவோம்:

தீர்வு: ஒரு தெளிவான பார்வையில், இந்த பணி மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் சூத்திரம் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கருதுகிறது.

புள்ளியில் அதிகரிப்பை அமைத்து, செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியில் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்:

நாங்கள் மிகவும் அரிதான தொடு வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் மீண்டும் நாம் தீர்வு குறைக்க முதல் அற்புதமான வரம்பு:

பதில்: ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலின் வரையறை.

சிக்கலைத் தீர்ப்பது அவ்வளவு கடினம் அல்ல, மேலும் “உள்ளே பொதுவான பார்வை"- வடிவமைப்பு முறையைப் பொறுத்து அல்லது அதை மாற்றினால் போதும். இந்த வழக்கில், முடிவு ஒரு எண்ணாக இருக்காது, ஆனால் பெறப்பட்ட செயல்பாடு என்பது தெளிவாகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 10

வரையறையைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் ஒரு கட்டத்தில் (அவற்றில் ஒன்று எல்லையற்றதாக மாறக்கூடும்), நான் ஏற்கனவே பொதுவான சொற்களில் விவரித்துள்ளேன் வழித்தோன்றல் பற்றிய தத்துவார்த்த பாடம்.

சில துண்டுகளாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் வரைபடத்தின் "சந்தி" புள்ளிகளிலும் வேறுபடுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, கேட்டாக் ஒரு பொதுவான வழித்தோன்றல் மற்றும் புள்ளியில் ஒரு பொதுவான தொடுகோடு (x-அச்சு) உள்ளது. வளைவு, ஆனால் வேறுபடுத்தக்கூடியது ! ஆர்வமுள்ளவர்கள் இப்போது தீர்க்கப்பட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதைத் தாங்களே சரிபார்க்கலாம்.

©2015-2019 தளம்
அனைத்து உரிமைகளும் அவற்றின் ஆசிரியர்களுக்கு சொந்தமானது. இந்த தளம் ஆசிரியர் உரிமையை கோரவில்லை, ஆனால் இலவச பயன்பாட்டை வழங்குகிறது.
பக்கத்தை உருவாக்கிய தேதி: 2017-06-11

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் xOyசெயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள் y=f(x). புள்ளியை சரி செய்வோம் M(x 0 ; f (x 0)). ஒரு abscissa சேர்க்கலாம் x 0அதிகரிப்பு Δх. நாம் ஒரு புதிய abscissa பெறுவோம் x 0 +Δx. இதுதான் புள்ளியின் அபத்தம் என், மற்றும் ஆணை சமமாக இருக்கும் f (x 0 +Δx) அப்சிஸ்ஸாவில் ஏற்பட்ட மாற்றம் ஆர்டினேட்டில் மாற்றத்தை ஏற்படுத்தியது. இந்த மாற்றம் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).புள்ளிகள் மூலம் எம்மற்றும் என்ஒரு செகண்ட் வரைவோம் எம்.என், இது ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது φ நேர்மறை அச்சு திசையுடன் ஓ. கோணத்தின் தொடுகைத் தீர்மானிப்போம் φ இருந்து வலது முக்கோணம் எம்.பி.என்.

விடுங்கள் Δхபூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது. பிறகு செகண்ட் எம்.என்தொடுகோடு நிலையை எடுக்க முனையும் எம்டி, மற்றும் கோணம் φ கோணலாக மாறும் α . எனவே, கோணத்தின் தொடுகோடு α அங்கு உள்ளது வரம்பு மதிப்புகோணத்தின் தொடுகோடு φ :

வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பு, பிந்தையது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் எண்ணியல் வழித்தோன்றல், கொடுக்கப்பட்ட வளைவு மற்றும் அச்சின் நேர்மறை திசைக்கு இந்த புள்ளியின் வழியாக வரையப்பட்ட தொடுகோணத்தால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும். ஓ:

எடுத்துக்காட்டுகள்.

1. வாதத்தின் அதிகரிப்பு மற்றும் y= செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும் x 2, வாதத்தின் ஆரம்ப மதிப்பு சமமாக இருந்தால் 4 , மற்றும் புதியது - 4,01 .

தீர்வு.

புதிய வாத மதிப்பு x=x 0 +Δx. தரவை மாற்றுவோம்: 4.01=4+Δx, எனவே வாதத்தின் அதிகரிப்பு Δх=4.01-4=0.01. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு, வரையறையின்படி, செயல்பாட்டின் புதிய மற்றும் முந்தைய மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம், அதாவது. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). எங்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு இருப்பதால் y=x2, அந்த Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

பதில்: வாதம் அதிகரிப்பு Δх=0.01; செயல்பாடு அதிகரிப்பு Δу=0,0801.

செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறு விதமாகக் காணலாம்: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும் y=f(x)புள்ளியில் x 0, என்றால் f "(x 0) = 1.

தீர்வு.

டேன்ஜென்சி புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு x 0மற்றும் தொடு கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் மதிப்பு (வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்). எங்களிடம் உள்ளது: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,ஏனெனில் tg45°=1.

பதில்: இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு, எருது அச்சின் நேர் திசையுடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது 45°.

3. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறவும் y=xn.

வேறுபாடுஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயலாகும்.

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும் போது, ​​ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும், அதே வழியில் வழித்தோன்றல் பட்டத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: (x n)" = nx n-1.

இவைதான் சூத்திரங்கள்.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணைவாய்மொழி சூத்திரங்களை உச்சரிப்பதன் மூலம் மனப்பாடம் செய்வது எளிதாக இருக்கும்:

1. நிலையான அளவின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும்.

2. எக்ஸ் பிரைம் ஒன்றுக்கு சமம்.

3. நிலையான காரணியை வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்.

4. ஒரு பட்டத்தின் வழித்தோன்றல், இந்த பட்டத்தின் அதிவேகத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

5. ஒரு மூலத்தின் வழித்தோன்றல் இரண்டு சம வேர்களால் வகுக்கப்படும் ஒன்றுக்கு சமம்.

6. x ஆல் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றின் வழித்தோன்றல், x ஆல் வகுக்கப்படும் மைனஸ் ஒன்றிற்கு சமம்.

7. சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்.

8. கோசைனின் வழித்தோன்றல் மைனஸ் சைனுக்கு சமம்.

9. தொடுகோட்டின் வழித்தோன்றல் கோசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்குச் சமம்.

10. கோட்டான்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல் சைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்படும் மைனஸ் ஒன்றுக்கு சமம்.

நாங்கள் கற்பிக்கிறோம் வேறுபாடு விதிகள்.

1. இயற்கணிதத் தொகையின் வழித்தோன்றல், சொற்களின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

2. ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றல் முதல் காரணியின் வழித்தோன்றலின் பெருக்கத்திற்கும், இரண்டாவது கூட்டல் முதல் காரணி மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கும் சமமாகும்.

3. "ve" ஆல் வகுக்கப்படும் "y" இன் வழித்தோன்றல் ஒரு பகுதிக்கு சமம், இதில் எண் "y ப்ரைம் "ve" ஆல் பெருக்கப்படும் "y பெருக்கல் ve ப்ரைம்" ஆகும், மேலும் வகுப்பானது "ve ஸ்கொயர்" ஆகும்.

4. சூத்திரத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு 3.

ஒன்றாக கற்போம்!

பக்கம் 1 இல் 1 1

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

அறிமுகம்.

உண்மையான வழிமுறை வளர்ச்சிகள்தொழில்துறை மற்றும் சிவில் பொறியியல் பீடத்தின் மாணவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. "ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கால்குலஸ்" என்ற பிரிவில் கணித பாடத்திட்டம் தொடர்பாக அவை தொகுக்கப்பட்டன.

வளர்ச்சிகள் ஒரு ஒற்றை வழிமுறை வழிகாட்டியை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன, இதில் அடங்கும்: சுருக்கமான தத்துவார்த்த தகவல்; இந்த தீர்வுகளுக்கான விரிவான தீர்வுகள் மற்றும் விளக்கங்களுடன் "நிலையான" சிக்கல்கள் மற்றும் பயிற்சிகள்; சோதனை விருப்பங்கள்.

ஒவ்வொரு பத்தியின் முடிவிலும் கூடுதல் பயிற்சிகள் உள்ளன. வளர்ச்சியின் இந்த அமைப்பு ஆசிரியரின் குறைந்தபட்ச உதவியுடன் பிரிவின் சுயாதீன தேர்ச்சிக்கு ஏற்றதாக அமைகிறது.

§1. வழித்தோன்றலின் வரையறை.

இயந்திர மற்றும் வடிவியல் பொருள்

வழித்தோன்றல்.

வழித்தோன்றல் என்ற கருத்து கணித பகுப்பாய்வின் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும், இது 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மீண்டும் எழுந்தது. வழித்தோன்றல் என்ற கருத்தின் உருவாக்கம் வரலாற்று ரீதியாக இரண்டு சிக்கல்களுடன் தொடர்புடையது: மாற்று இயக்கத்தின் வேகம் மற்றும் ஒரு வளைவுக்கான தொடுகோட்டின் சிக்கல்.

இந்தச் சிக்கல்கள், அவற்றின் வெவ்வேறு உள்ளடக்கங்கள் இருந்தபோதிலும், ஒரு செயல்பாட்டில் செய்யப்பட வேண்டிய அதே கணிதச் செயல்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும்.இந்தச் செயல்பாடு கணிதத்தில் ஒரு சிறப்புப் பெயரைப் பெற்றுள்ளது. இது ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறுபாடு செயல்பாட்டின் முடிவு வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, x0 என்ற புள்ளியில் உள்ள y=f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான விகிதத்தின் வரம்பு (அது இருந்தால்) ஆகும்.
மணிக்கு
.

வழித்தோன்றல் பொதுவாக பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.

இவ்வாறு, வரையறை மூலம்

வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்கவும் குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன
.

வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்.

s=s(t) என்பது ஒரு பொருள் புள்ளியின் நேர்கோட்டு இயக்கத்தின் விதி என்றால், பிறகு
டி நேரத்தில் இந்த புள்ளியின் வேகம்.

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்.

y=f(x) சார்பு புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் இருந்தால் , பின்னர் புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் கோண குணகம்
சமம்
.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
புள்ளியில் =2:

1) ஒரு புள்ளியைக் கொடுப்போம் =2 அதிகரிப்பு
. அதை கவனி.

2) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும் =2:

3) செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கும் உள்ள விகிதத்தை உருவாக்குவோம்:

விகிதத்தின் வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்
:

.

இதனால்,
.

§ 2. சிலவற்றின் வழித்தோன்றல்கள்

எளிமையான செயல்பாடுகள்.

குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை மாணவர் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும்: y=x,y= மற்றும் பொதுவாக= .

y=x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அந்த. (x)′=1.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

வழித்தோன்றல்

விடுங்கள்
பிறகு

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களுக்கான வெளிப்பாடுகளில் ஒரு வடிவத்தைக் கவனிப்பது எளிது
n=1,2,3 உடன்.

எனவே,

. (1)

இந்த சூத்திரம் எந்த உண்மையான nக்கும் செல்லுபடியாகும்.

குறிப்பாக, சூத்திரம் (1) பயன்படுத்தி, எங்களிடம் உள்ளது:

;

.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

.

.

இந்த செயல்பாடு படிவத்தின் செயல்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு

மணிக்கு
.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (1), எங்களிடம் உள்ளது

.

y=sin x மற்றும் y=cos x செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்.

y=sinx எனலாம்.

∆x ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

∆x→0 இல் வரம்பிற்குள் சென்றால், எங்களிடம் உள்ளது

y=cosx எனலாம்.

∆x→0 இல் வரம்பைக் கடந்தால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

;
. (2)

§3. வேறுபாட்டின் அடிப்படை விதிகள்.

வேறுபாட்டின் விதிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

தேற்றம்1 . கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் u=u(x) மற்றும் v=v(x) சார்புகள் வேறுபட்டால், இந்த புள்ளியில் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை வேறுபடும், மேலும் தொகையின் வழித்தோன்றல் சொற்களின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். : (u+v)"=u"+v".(3 )

ஆதாரம்: y=f(x)=u(x)+v(x) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

வாதம் x இன் ∆x அதிகரிப்பு, u மற்றும் v செயல்பாடுகளின் ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) அதிகரிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. பின்னர் செயல்பாடு y அதிகரிக்கும்

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=---=∆u+∆v.

எனவே,

எனவே, (u+v)"=u"+v".

தேற்றம்2. u=u(x) மற்றும் v=v(x) சார்புகள் கொடுக்கப்பட்ட பாயின்ட்க்ஸில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு அதே புள்ளியில் வேறுபடும். இந்த வழக்கில், தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல் பின்வரும் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

ஆதாரம்: y=uv, u மற்றும் v ஆகியவை x இன் சில வேறுபட்ட செயல்பாடுகளாக இருக்கும். x க்கு ∆x இன்க்ரிமென்ட் கொடுப்போம்; பிறகு u ∆u இன்க்ரிமென்ட்டையும், v ∆v இன்க்ரிமென்ட்டையும், y ∆y இன்க்ரிமென்ட்டையும் பெறும்.

எங்களிடம் y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), அல்லது

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

எனவே, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

இங்கிருந்து

∆x→0 இல் வரம்பைக் கடந்து, u மற்றும் v ஆகியவை ∆xஐச் சார்ந்து இல்லை என்பதை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நமக்கு

தேற்றம் 3. இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றல் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம், அதன் வகுத்தல் வகுப்பின் சதுரத்திற்குச் சமம், மேலும் எண் என்பது வகுப்பியின் ஈவுத்தொகையின் வழித்தோன்றலின் பெருக்கத்திற்கும் அதன் பெருக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடாகும். வகுப்பியின் வழித்தோன்றலால் ஈவுத்தொகை, அதாவது.

என்றால்
அந்த
(5)

தேற்றம் 4.மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது. y=C என்றால், C=const, பின்னர் y"=0.

தேற்றம் 5.நிலையான காரணி வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம், அதாவது. y=Cu(x), С=const என்றால், y"=Cu"(x).

எடுத்துக்காட்டு 1.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

.

இந்த செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது
, எங்கேu=x,v=cosx. வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (4), நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

.

எடுத்துக்காட்டு 2.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (5).

இங்கே
;
.

பணிகள்.

பின்வரும் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

மனிதன் எப்போது முதலில் படைத்தான் சுயாதீனமான படிகள்கணித பகுப்பாய்வு மற்றும் சங்கடமான கேள்விகளைக் கேட்கத் தொடங்கும் ஆய்வில், "முட்டைக்கோஸில் வேறுபட்ட கால்குலஸ் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது" என்ற சொற்றொடரைத் தவிர்ப்பது இனி அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. எனவே, பிறப்பின் ரகசியத்தை தீர்மானிக்கவும் வெளிப்படுத்தவும் நேரம் வந்துவிட்டது வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணைகள். கட்டுரையில் தொடங்கியது வழித்தோன்றலின் பொருள் பற்றி, இது படிப்பதற்கு நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனென்றால் நாங்கள் ஒரு வழித்தோன்றலின் கருத்தைப் பார்த்து, தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைக் கிளிக் செய்யத் தொடங்கினோம். இதே பாடம் ஒரு உச்சரிக்கப்படும் நடைமுறை நோக்குநிலையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும்,

கீழே விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள், கொள்கையளவில், முற்றிலும் முறையாக தேர்ச்சி பெறலாம் (உதாரணமாக, வழித்தோன்றலின் சாரத்தை ஆராய நேரம்/ஆசை இல்லாத போது). "சாதாரண" முறையைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவது மிகவும் விரும்பத்தக்கது (ஆனால் மீண்டும் தேவையில்லை) - குறைந்தபட்சம் இரண்டு அடிப்படைப் பாடங்களின் மட்டத்திலாவது:ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது.

ஆனால் இப்போது இல்லாமல் நாம் நிச்சயமாக செய்ய முடியாத ஒரு விஷயம் இருக்கிறது, அது செயல்பாடு வரம்புகள். வரம்பு என்றால் என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் குறைந்தபட்சம் சராசரி அளவிலாவது அவற்றைத் தீர்க்க முடியும். மற்றும் அனைத்து ஏனெனில் வழித்தோன்றல்

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

பதவிகள் மற்றும் விதிமுறைகளை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: அவர்கள் அழைக்கிறார்கள் வாதம் அதிகரிப்பு;

- செயல்பாடு அதிகரிப்பு;

- இவை ஒற்றை குறியீடுகள் ("டெல்டாவை" "எக்ஸ்" அல்லது "ஒய்" இலிருந்து "கிழிக்க" முடியாது).

வெளிப்படையாக, "டைனமிக்" மாறி என்பது ஒரு மாறிலி மற்றும் வரம்பைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாகும் - எண் (சில நேரங்களில் - "பிளஸ்" அல்லது "மைனஸ்" முடிவிலி).

ஒரு புள்ளியாக, எந்த மதிப்பையும் நீங்கள் கருத்தில் கொள்ளலாம் வரையறையின் களம்ஒரு வழித்தோன்றல் இருக்கும் செயல்பாடு.

குறிப்பு: "வழித்தோன்றல் இருக்கும்" பிரிவு - பொதுவாக இது குறிப்பிடத்தக்கது! எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் ஒரு புள்ளி சேர்க்கப்பட்டாலும், அதன் வழித்தோன்றல்

அங்கு இல்லை. எனவே சூத்திரம்

புள்ளியில் பொருந்தாது

மற்றும் முன்பதிவு இல்லாமல் சுருக்கப்பட்ட சூத்திரம் தவறாக இருக்கும். வரைபடத்தில் "பிரேக்குகள்" உள்ள பிற செயல்பாடுகளுக்கும், குறிப்பாக, ஆர்க்சைன் மற்றும் ஆர்க்கோசின் போன்றவற்றுக்கு இதே போன்ற உண்மைகள் பொருந்தும்.

எனவே, மாற்றியமைத்த பிறகு, இரண்டாவது வேலை சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

தேனீர் தொட்டியை குழப்பக்கூடிய ஒரு நயவஞ்சகமான சூழ்நிலையில் கவனம் செலுத்துங்கள்: இந்த வரம்பில், "x", ஒரு சுயாதீன மாறியாக இருப்பது, ஒரு புள்ளிவிவரத்தின் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது, மேலும் "இயக்கவியல்" மீண்டும் அதிகரிப்பால் அமைக்கப்படுகிறது. வரம்பைக் கணக்கிடுவதன் முடிவு

வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஆகும்.

மேலே உள்ளவற்றின் அடிப்படையில், இரண்டு பொதுவான சிக்கல்களின் நிபந்தனைகளை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:

- கண்டுபிடி ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றல், வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல்.

- கண்டுபிடி வழித்தோன்றல் செயல்பாடு, வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல். இந்த பதிப்பு, எனது அவதானிப்புகளின்படி, மிகவும் பொதுவானது மற்றும் முக்கிய கவனம் செலுத்தப்படும்.

பணிகளுக்கு இடையிலான அடிப்படை வேறுபாடு என்னவென்றால், முதல் வழக்கில் நீங்கள் எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (விரும்பினால், முடிவிலி), மற்றும் இரண்டாவது -

செயல்பாடு கூடுதலாக, வழித்தோன்றல் இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எப்படி ?

ஒரு விகிதத்தை உருவாக்கி வரம்பை கணக்கிடுங்கள்.

எங்கிருந்து வந்தது?வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணை ? ஒரே வரம்புக்கு நன்றி

இது மந்திரம் போல் தெரிகிறது, ஆனால்

உண்மையில் - கையின் சாமர்த்தியம் மற்றும் மோசடி இல்லை. பாடத்தில் வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன?நான் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கத் தொடங்கினேன், அங்கு வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் மற்றும் இருபடி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டேன். அறிவாற்றல் வெப்பமயமாதலின் நோக்கத்திற்காக, நாங்கள் தொடர்ந்து தொந்தரவு செய்வோம் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை, அல்காரிதம் மற்றும் தொழில்நுட்ப தீர்வுகளை மதிப்பாய்வு செய்தல்:

அடிப்படையில், ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கை நீங்கள் நிரூபிக்க வேண்டும், இது பொதுவாக அட்டவணையில் தோன்றும்: .

தீர்வு இரண்டு வழிகளில் தொழில்நுட்ப ரீதியாக முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. முதல், ஏற்கனவே பழக்கமான அணுகுமுறையுடன் தொடங்குவோம்: ஏணி ஒரு பலகையுடன் தொடங்குகிறது, மற்றும் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலுடன் தொடங்குகிறது.

சில (குறிப்பிட்ட) புள்ளியைக் கவனியுங்கள் வரையறையின் களம்ஒரு வழித்தோன்றல் இருக்கும் செயல்பாடு. இந்த கட்டத்தில் அதிகரிப்பை அமைப்போம் (நிச்சயமாக, எல்லைக்குள் o/o -ya) மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை உருவாக்கவும்:

வரம்பை கணக்கிடுவோம்:

நிச்சயமற்ற 0:0 ஒரு நிலையான நுட்பத்தால் அகற்றப்பட்டது, இது கிமு முதல் நூற்றாண்டில் கருதப்படுகிறது. பெருக்குவோம்

இணை வெளிப்பாடுக்கான எண் மற்றும் வகுத்தல் :

அத்தகைய வரம்பை தீர்ப்பதற்கான நுட்பம் அறிமுக பாடத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் பற்றி.

இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியையும் நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம் என்பதால்

பின்னர், மாற்றீடு செய்த பிறகு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மீண்டும் ஒரு முறை மடக்கைகளில் மகிழ்ச்சியடைவோம்:

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: ஒரே பணியை மேம்படுத்துவதற்கான ஒரு வித்தியாசமான அணுகுமுறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது சரியாகவே உள்ளது, ஆனால் வடிவமைப்பின் அடிப்படையில் மிகவும் பகுத்தறிவு. அதிலிருந்து விடுபட வேண்டும் என்பதே எண்ணம்

சப்ஸ்கிரிப்ட் மற்றும் கடிதத்திற்கு பதிலாக ஒரு கடிதத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கவனியுங்கள் வரையறையின் களம்செயல்பாடு (இடைவெளி), மற்றும் அதில் அதிகரிப்பை அமைக்கவும். ஆனால் இங்கே, பெரும்பாலான நிகழ்வுகளைப் போலவே, நீங்கள் எந்த முன்பதிவும் இல்லாமல் செய்யலாம், ஏனெனில் மடக்கை செயல்பாடு வரையறையின் களத்தில் எந்த இடத்திலும் வேறுபடுகிறது.

பின்னர் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பு:

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வடிவமைப்பின் எளிமை குழப்பத்தால் சமப்படுத்தப்படுகிறது

ஆரம்பநிலையாளர்களிடையே ஏற்படும் (மற்றும் மட்டுமல்ல). எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "எக்ஸ்" என்ற எழுத்து வரம்பில் மாறுகிறது என்பதற்கு நாங்கள் பழகிவிட்டோம்! ஆனால் இங்கே எல்லாம் வித்தியாசமானது: - ஒரு பழங்கால சிலை, மற்றும் - ஒரு வாழும் பார்வையாளர், அருங்காட்சியகத்தின் தாழ்வாரத்தில் விறுவிறுப்பாக நடந்து செல்கிறார். அதாவது, "x" என்பது "ஒரு மாறிலி போன்றது."

நிச்சயமற்ற தன்மையை படிப்படியாக நீக்குவது குறித்து நான் கருத்து தெரிவிக்கிறேன்:

(1) மடக்கைப் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல்.

(2) அடைப்புக்குறிக்குள், எண்களை வகுத்தல் காலத்தால் காலத்தால் வகுக்கவும்.

(3) வகுப்பில், நாம் செயற்கையாகப் பெருக்கி “x” ஆல் வகுக்கிறோம்

அற்புதமான வரம்பைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் , என போது எல்லையற்றசெயல்கள்.

பதில்: ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி:

அல்லது சுருக்கமாக:

மேலும் இரண்டு அட்டவணை சூத்திரங்களை நீங்களே உருவாக்க முன்மொழிகிறேன்:

வரையறையின்படி வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இந்த வழக்கில், தொகுக்கப்பட்ட அதிகரிப்பை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு உடனடியாகக் குறைப்பது வசதியானது. பாடத்தின் முடிவில் பணியின் தோராயமான மாதிரி (முதல் முறை).

வரையறையின்படி வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இங்கே எல்லாம் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்கு குறைக்கப்பட வேண்டும். தீர்வு இரண்டாவது வழியில் முறைப்படுத்தப்படுகிறது.

வேறு பல அட்டவணை வழித்தோன்றல்கள். முழுமையான பட்டியலை பள்ளி பாடப்புத்தகத்தில் காணலாம் அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, Fichtenholtz இன் 1வது தொகுதி. புத்தகங்களிலிருந்து வேறுபாடு விதிகளின் சான்றுகளை நகலெடுப்பதில் அதிக அர்த்தத்தை நான் காணவில்லை - அவையும் உருவாக்கப்படுகின்றன

சூத்திரம்

உண்மையில் எதிர்கொள்ளும் பணிகளுக்கு செல்லலாம்: எடுத்துக்காட்டு 5

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் , வழித்தோன்றல் வரையறையைப் பயன்படுத்தி

தீர்வு: முதல் வடிவமைப்பு பாணியைப் பயன்படுத்தவும். சில புள்ளிகளுக்குச் சொந்தமானதைக் கருத்தில் கொண்டு, அதில் வாதத்தின் அதிகரிப்பை அமைப்போம். பின்னர் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பு:

ஒருவேளை சில வாசகர்கள் எந்தக் கொள்கையின் மூலம் அதிகரிப்பு செய்யப்பட வேண்டும் என்பதை இன்னும் முழுமையாகப் புரிந்து கொள்ளவில்லை. ஒரு புள்ளியை (எண்) எடுத்து அதில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: , அதாவது, செயல்பாட்டிற்குள்

"X" க்கு பதிலாக நீங்கள் மாற்ற வேண்டும். இப்போது அதை எடுத்துக்கொள்வோம்

தொகுக்கப்பட்ட செயல்பாடு அதிகரிப்பு உடனடியாக எளிதாக்குவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். எதற்காக? தீர்வை மேலும் வரம்பிற்கு எளிதாக்கவும் சுருக்கவும்.

நாங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து குறைக்கக்கூடிய அனைத்தையும் குறைக்கிறோம்:

வான்கோழி வறுத்துவிட்டது, வறுத்ததில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை:

இறுதியில்:

எந்த உண்மையான எண்ணையும் ஒரு மதிப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும் என்பதால், மாற்றீடு செய்து பெறுகிறோம் .

பதில்: a-priory.

சரிபார்ப்பு நோக்கங்களுக்காக, விதிகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

வேறுபாடு மற்றும் அட்டவணைகள்:

சரியான பதிலை முன்கூட்டியே தெரிந்துகொள்வது எப்போதும் பயனுள்ளதாகவும் இனிமையாகவும் இருக்கும், எனவே முன்மொழியப்பட்ட செயல்பாட்டை "விரைவான" வழியில், மனரீதியாக அல்லது வரைவில், தீர்வின் ஆரம்பத்திலேயே வேறுபடுத்துவது நல்லது.

வழித்தோன்றலின் வரையறையின் மூலம் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. விளைவு வெளிப்படையானது:

நடை #2: எடுத்துக்காட்டு 7க்கு திரும்புவோம்

என்ன நடக்க வேண்டும் என்பதை உடனடியாக கண்டுபிடிப்போம். மூலம் சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதி:

தீர்வு: ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கருத்தில் கொண்டு, அதில் வாதத்தின் அதிகரிப்பை அமைத்து, அதிகரிப்பை உருவாக்கவும்

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(1) நாங்கள் முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(2) சைனின் கீழ் நாம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், கொசைன் கீழ் இதே போன்ற சொற்களை வழங்குகிறோம்.

(3) சைன் கீழ் நாம் விதிமுறைகளை ரத்து செய்கிறோம், கோசைன் கீழ் நாம் காலத்தின் மூலம் வகுப்பின் காலத்தால் எண்களை வகுக்கிறோம்.

(4) சைனின் வித்தியாசம் காரணமாக, "மைனஸ்" ஐ வெளியே எடுக்கிறோம். கொசைன் கீழ்

காலத்தை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்.

(5) பயன்படுத்துவதற்காக வகுப்பில் செயற்கைப் பெருக்கத்தைச் செய்கிறோம் முதல் அற்புதமான வரம்பு. இதனால், நிச்சயமற்ற தன்மை நீக்கப்பட்டது, முடிவை ஒழுங்கமைப்போம்.

பதில்: நீங்கள் பார்க்க முடியும் என வரையறையின்படி, பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலின் முக்கிய சிரமம் உள்ளது

மிகவும் வரம்பு சிக்கலானது + பேக்கேஜிங்கின் சிறிய அசல் தன்மை. நடைமுறையில், வடிவமைப்பின் இரண்டு முறைகளும் நிகழ்கின்றன, எனவே இரண்டு அணுகுமுறைகளையும் முடிந்தவரை விரிவாக விவரிக்கிறேன். அவை சமமானவை, ஆனால் இன்னும், எனது அகநிலை அபிப்ராயத்தில், "X-zero" உடன் விருப்பம் 1 இல் ஒட்டிக்கொள்வது டம்மிகளுக்கு மிகவும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது.

வரையறையைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இது நீங்களே தீர்க்க வேண்டிய பணி. மாதிரி முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

சிக்கலின் அரிதான பதிப்பைப் பார்ப்போம்:

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

முதலாவதாக, அடிப்பகுதி என்னவாக இருக்க வேண்டும்? எண் நிலையான முறையில் பதிலைக் கணக்கிடுவோம்:

தீர்வு: ஒரு தெளிவான பார்வையில், இந்த பணி மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் சூத்திரத்தில், அதற்கு பதிலாக

ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு கருதப்படுகிறது.

புள்ளியில் அதிகரிப்பை அமைத்து, செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியில் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்:

நாங்கள் மிகவும் அரிதான தொடு வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மீண்டும் ஒருமுறை தீர்வை முதலில் குறைக்கிறோம்

குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு:

பதில்: ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் வரையறை மூலம்.

"பொதுவாக" சிக்கலைத் தீர்ப்பது அவ்வளவு கடினம் அல்ல - ஆணியை மாற்றுவது போதுமானது, அல்லது வடிவமைப்பு முறையைப் பொறுத்து. இந்த வழக்கில், முடிவு ஒரு எண்ணாக இருக்காது, ஆனால் பெறப்பட்ட செயல்பாடு என்பது தெளிவாகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 10 வரையறையைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் புள்ளியில்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

இறுதி போனஸ் பணியானது முதன்மையாக கணிதப் பகுப்பாய்வின் ஆழமான படிப்பைக் கொண்ட மாணவர்களுக்கானது, ஆனால் அது வேறு யாரையும் காயப்படுத்தாது:

செயல்பாடு வேறுபடுத்தப்படுமா? புள்ளியில்?

தீர்வு: துண்டு துண்டாகக் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் தொடர்கிறது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது அங்கு வேறுபடுத்தப்படுமா?

தீர்வு அல்காரிதம், மற்றும் துண்டு துண்டான செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமல்ல, பின்வருமாறு:

1) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இடது கை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

2) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் வலது கை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

3) ஒருபக்க வழித்தோன்றல்கள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் ஒத்துப்போகின்றன என்றால்:

, பின்னர் செயல்பாடு புள்ளியில் வேறுபட்டது

வடிவியல் ரீதியாக, இங்கே ஒரு பொதுவான தொடுகோடு உள்ளது (பாடத்தின் தத்துவார்த்த பகுதியைப் பார்க்கவும் வழித்தோன்றலின் வரையறை மற்றும் பொருள்).

இரண்டு பெற்றால் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்: (அவற்றில் ஒன்று எல்லையற்றதாக மாறலாம்), பின்னர் செயல்பாடு புள்ளியில் வேறுபடுத்த முடியாது.

ஒருபக்க வழித்தோன்றல்கள் இரண்டும் முடிவிலிக்கு சமமாக இருந்தால்

(அவை வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தாலும்), செயல்பாடு இல்லை

புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, ஆனால் ஒரு எல்லையற்ற வழித்தோன்றல் மற்றும் வரைபடத்திற்கு பொதுவான செங்குத்து தொடுகோடு உள்ளது (உதாரண பாடம் 5 ஐப் பார்க்கவும்இயல்பான சமன்பாடு) .

இயற்பியல் சிக்கல்கள் அல்லது கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது வழித்தோன்றல் மற்றும் அதைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் பற்றிய அறிவு இல்லாமல் முற்றிலும் சாத்தியமற்றது. வழித்தோன்றல் என்பது கணிதப் பகுப்பாய்வில் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். இன்றைய கட்டுரையை இந்த அடிப்படை தலைப்புக்கு அர்ப்பணிக்க முடிவு செய்தோம். ஒரு வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன, அதன் உடல் மற்றும் வடிவியல் பொருள் என்ன, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? இந்த கேள்விகள் அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைக்கலாம்: வழித்தோன்றலை எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது?

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் மற்றும் உடல் பொருள்

ஒரு செயல்பாடு இருக்கட்டும் f(x) , ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது (a, b) . x மற்றும் x0 புள்ளிகள் இந்த இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை. x மாறும்போது, ​​செயல்பாடே மாறுகிறது. வாதத்தை மாற்றுதல் - அதன் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு x-x0 . இந்த வேறுபாடு என எழுதப்பட்டுள்ளது டெல்டா x மற்றும் வாதம் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றம் அல்லது அதிகரிப்பு என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டு புள்ளிகளில் உள்ள மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். வழித்தோன்றலின் வரையறை:

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பாகும்.

இல்லையெனில், இதை இப்படி எழுதலாம்:

அத்தகைய வரம்பை கண்டுபிடிப்பதில் என்ன பயன்? அது என்ன என்பது இங்கே:

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், OX அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு சமமாக இருக்கும்.

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்: நேரத்தைப் பொறுத்து பாதையின் வழித்தோன்றல் நேர்கோட்டு இயக்கத்தின் வேகத்திற்கு சமம்.

உண்மையில், பள்ளி நாட்களில் இருந்தே வேகம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட பாதை என்பது அனைவருக்கும் தெரியும் x=f(t) மற்றும் நேரம் டி . ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு சராசரி வேகம்:

ஒரு நேரத்தில் இயக்கத்தின் வேகத்தைக் கண்டறிய t0 நீங்கள் வரம்பை கணக்கிட வேண்டும்:

விதி ஒன்று: மாறிலியை அமைக்கவும்

மாறிலியை வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கலாம். மேலும், இது செய்யப்பட வேண்டும். கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​அதை ஒரு விதியாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - நீங்கள் ஒரு வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த முடிந்தால், அதை எளிதாக்குவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் .

உதாரணமாக. வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்:

விதி இரண்டு: செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல்

இரண்டு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல் இந்த சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். செயல்பாடுகளின் வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கும் இதுவே உண்மை.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நாங்கள் வழங்க மாட்டோம், மாறாக ஒரு நடைமுறை உதாரணத்தை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

விதி மூன்று: செயல்பாடுகளின் விளைபொருளின் வழித்தோன்றல்

இரண்டு வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு: செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு:

சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவது பற்றி இங்கு பேசுவது முக்கியம். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைநிலை வாதம் மற்றும் சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து இந்தச் சார்பின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் நாம் வெளிப்பாட்டைக் காண்கிறோம்:

இந்த வழக்கில், இடைநிலை வாதம் ஐந்தாவது சக்திக்கு 8x ஆகும். அத்தகைய வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட, நாம் முதலில் இடைநிலை வாதத்தைப் பொறுத்து வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுகிறோம், பின்னர் சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலால் பெருக்குகிறோம்.

விதி நான்கு: இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றல்

இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றலைத் தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம்:

புதிதாக டம்மிகளுக்கான டெரிவேடிவ்களைப் பற்றி பேச முயற்சித்தோம். இந்த தலைப்பு தோன்றுவது போல் எளிதானது அல்ல, எனவே எச்சரிக்கையாக இருங்கள்: எடுத்துக்காட்டுகளில் அடிக்கடி ஆபத்துகள் உள்ளன, எனவே வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடும்போது கவனமாக இருங்கள்.

இது மற்றும் பிற தலைப்புகளில் ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், நீங்கள் மாணவர் சேவையைத் தொடர்பு கொள்ளலாம். குறுகிய காலத்தில், நீங்கள் இதற்கு முன் டெரிவேட்டிவ் கணக்கீடுகளைச் செய்யாவிட்டாலும், மிகவும் கடினமான சோதனையைத் தீர்க்கவும், பணிகளைப் புரிந்துகொள்ளவும் நாங்கள் உங்களுக்கு உதவுவோம்.