வரையறை.

கோளம் (பந்து மேற்பரப்பு) என்பது ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரே தூரத்தில் இருக்கும் முப்பரிமாண இடத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். கோளத்தின் மையம்(சுமார்).

ஒரு கோளத்தை முப்பரிமாண உருவமாக விவரிக்கலாம், அதன் விட்டத்தை சுற்றி ஒரு வட்டத்தை 180° அல்லது அரை வட்டத்தை 360° ஆல் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாகிறது.

வரையறை.

பந்துமுப்பரிமாண இடத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும் பந்தின் மையம்(O) (ஒரு கோளத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட முப்பரிமாண இடத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு).

ஒரு பந்தை முப்பரிமாண உருவமாக விவரிக்கலாம், அதன் விட்டத்தை சுற்றி ஒரு வட்டத்தை 180° அல்லது அரை வட்டத்தை 360° ஆல் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாகும்.

வரையறை. கோளத்தின் ஆரம் (பந்து)(R) என்பது கோளத்தின் மையத்திலிருந்து (பந்து) உள்ள தூரம் ஓகோளத்தின் எந்தப் புள்ளிக்கும் (பந்தின் மேற்பரப்பு).

வரையறை. கோளம் (பந்து) விட்டம்(D) என்பது ஒரு கோளத்தின் இரண்டு புள்ளிகளை (ஒரு பந்தின் மேற்பரப்பு) இணைத்து அதன் மையத்தின் வழியாக செல்லும் ஒரு பிரிவு ஆகும்.

சூத்திரம். கோள அளவு:

வி=	4	π ஆர் 3 =	1	π டி 3
	3		6

சூத்திரம். ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பு பகுதிஆரம் அல்லது விட்டம் மூலம்:

S = 4π R 2 = π D 2

கோள சமன்பாடு

1. கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றத்தில் R ஆரம் மற்றும் மையம் கொண்ட ஒரு கோளத்தின் சமன்பாடு:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆய (x 0, y 0, z 0) ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியில் R ஆரம் மற்றும் மையம் கொண்ட கோளத்தின் சமன்பாடு:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

வரையறை. முற்றிலும் எதிர் புள்ளிகள்விட்டம் மூலம் இணைக்கப்பட்ட ஒரு பந்தின் (கோளம்) மேற்பரப்பில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன.

ஒரு கோளம் மற்றும் ஒரு பந்தின் அடிப்படை பண்புகள்

1. கோளத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் மையத்திலிருந்து சமமாக தொலைவில் உள்ளன.

2. ஒரு கோளத்தின் எந்தப் பகுதியும் ஒரு விமானம் ஒரு வட்டம்.

3. ஒரு விமானத்தின் மூலம் ஒரு பந்தின் எந்தப் பகுதியும் ஒரு வட்டம்.

4. ஒரே பரப்பளவைக் கொண்ட அனைத்து இடஞ்சார்ந்த உருவங்களுக்கிடையில் கோளமானது மிகப்பெரிய அளவைக் கொண்டுள்ளது.

5. ஏதேனும் இரண்டு எதிர் எதிர் புள்ளிகள் மூலம் ஒரு கோளத்திற்கு பல பெரிய வட்டங்கள் அல்லது ஒரு பந்திற்கு வட்டங்களை வரையலாம்.

6. எந்த இரண்டு புள்ளிகள் மூலமாகவும், முற்றிலும் எதிரெதிர் புள்ளிகளைத் தவிர, நீங்கள் ஒரு கோளத்திற்கு ஒரு பெரிய வட்டத்தை அல்லது ஒரு பந்துக்கு ஒரு பெரிய வட்டத்தை மட்டுமே வரையலாம்.

7. ஒரு பந்தின் எந்த இரண்டு பெரிய வட்டங்களும் பந்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டில் வெட்டுகின்றன, மேலும் வட்டங்கள் இரண்டு குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன.

8. ஏதேனும் இரண்டு பந்துகளின் மையங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் அவற்றின் ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகையை விட குறைவாகவும், அவற்றின் ஆரங்களின் வேறுபாட்டின் மாடுலஸை விட அதிகமாகவும் இருந்தால், அத்தகைய பந்துகள் வெட்டுகின்றன, மற்றும் வெட்டும் விமானத்தில் ஒரு வட்டம் உருவாகிறது.

ஒரு கோளத்தின் செகண்ட், நாண், செகண்ட் விமானம் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

வரையறை. கோளம் செக்கன்ட்கோளத்தை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும் ஒரு நேர்கோடு. குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன துளையிடும் புள்ளிகள்மேற்பரப்பில் உள்ள மேற்பரப்புகள் அல்லது நுழைவு மற்றும் வெளியேறும் புள்ளிகள்.

வரையறை. ஒரு கோளத்தின் நாண் (பந்து)- இது ஒரு கோளத்தில் (ஒரு பந்தின் மேற்பரப்பு) இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு பகுதி.

வரையறை. வெட்டும் விமானம்கோளத்தை வெட்டும் விமானம் ஆகும்.

வரையறை. விட்டம் கொண்ட விமானம்- இது ஒரு கோளம் அல்லது பந்தின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் ஒரு செகண்ட் விமானம், அதற்கேற்ப பிரிவு உருவாகிறது பெரிய வட்டம்மற்றும் பெரிய வட்டம். பெரிய வட்டம் மற்றும் பெரிய வட்டம் கோளத்தின் மையத்துடன் (பந்து) இணைந்த ஒரு மையத்தைக் கொண்டுள்ளன.

ஒரு கோளத்தின் (பந்து) மையத்தின் வழியாக செல்லும் எந்த நாண் ஒரு விட்டம் ஆகும்.

நாண் என்பது ஒரு செகண்ட் கோட்டின் ஒரு பகுதி.

கோளத்தின் மையத்திலிருந்து செக்கன்ட்டுக்கான தூரம் d கோளத்தின் ஆரத்தை விட எப்போதும் குறைவாகவே இருக்கும்:

ஈ< R

வெட்டு விமானத்திற்கும் கோளத்தின் மையத்திற்கும் இடையிலான தூரம் எப்போதும் R ஆரம் விட குறைவாக இருக்கும்:

மீ< R

கோளத்தின் மீது வெட்டும் விமானத்தின் பிரிவின் இடம் எப்போதும் இருக்கும் சிறிய வட்டம், மற்றும் பந்து மீது பிரிவு இருக்கும் சிறிய வட்டம். சிறிய வட்டம் மற்றும் சிறிய வட்டம் அவற்றின் சொந்த மையங்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை கோளத்தின் மையத்துடன் (பந்து) ஒத்துப்போவதில்லை. அத்தகைய வட்டத்தின் ஆரம் r சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

r = √R 2 - மீ 2,

R என்பது கோளத்தின் ஆரம் (பந்து), m என்பது பந்தின் மையத்திலிருந்து வெட்டும் விமானத்திற்கு உள்ள தூரம்.

வரையறை. அரைக்கோளம் (அரைக்கோளம்)- இது ஒரு கோளத்தின் பாதி (பந்து), இது ஒரு விட்டம் கொண்ட விமானத்தால் வெட்டப்படும்போது உருவாகிறது.

ஒரு கோளத்திற்கு தொடுகோடு, தொடுகோடு விமானம் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

வரையறை. ஒரு கோளத்திற்கு தொடுகோடுகோளத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடும் நேர்கோடு.

வரையறை. ஒரு கோளத்திற்கு தொடு விமானம்ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே கோளத்தைத் தொடும் ஒரு விமானம்.

தொடுகோடு (விமானம்) எப்போதும் தொடர்பு புள்ளி வரை வரையப்பட்ட கோளத்தின் ஆரத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்

கோளத்தின் மையத்திலிருந்து தொடுகோடு (விமானம்) வரை உள்ள தூரம் கோளத்தின் ஆரத்திற்கு சமம்.

வரையறை. பந்து பிரிவு- இது ஒரு வெட்டு விமானத்தால் பந்திலிருந்து துண்டிக்கப்பட்ட பந்தின் பகுதி. பிரிவின் அடிப்படைபிரிவின் தளத்தில் உருவாக்கப்பட்ட வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிரிவு உயரம் h என்பது பிரிவின் அடிப்பகுதியின் நடுவில் இருந்து பிரிவின் மேற்பரப்பு வரை வரையப்பட்ட செங்குத்து நீளம்.

சூத்திரம். சதுரம் வெளிப்புற மேற்பரப்புகோளப் பிரிவு R கோளத்தின் ஆரம் வழியாக h உயரத்துடன்:

S = 2πRh

ஒரு கோளத்திற்கும் பந்துக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை மக்களிடம் கேட்டால், பலர் தங்கள் தோள்களை சுருக்கிக் கொள்கிறார்கள், உண்மையில் அவை ஒன்றுதான் (ஒரு வட்டம் மற்றும் வட்டத்துடன் ஒப்புமை). உண்மையில், பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் இருந்து நம் அனைவருக்கும் வடிவவியலை நன்கு அறிந்திருக்கிறதா, இந்தக் கேள்விக்கு உடனடியாக பதிலளிக்க முடியுமா? ஒரு கோளமானது ஒரு பந்திலிருந்து சில வேறுபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, இது அவர்களின் நிரூபிக்கப்பட்ட அறிவுக்கு நல்ல தரத்தைப் பெறுவதற்கு பள்ளிக் குழந்தைகள் மட்டுமல்ல, பல நபர்களும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, அவர்களின் வேலை நேரடியாக வரைபடங்களுடன் தொடர்புடையது.

வரையறை

பந்து- விண்வெளியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு. இந்த புள்ளிகள் அனைத்தும் வடிவியல் உடலின் மையத்திலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றை விட அதிக தொலைவில் அமைந்துள்ளன. இந்த தூரமே ஆரம் எனப்படும். ஒரு பந்து, ஒரு வடிவியல் உடலாக, பின்வருமாறு உருவாகிறது: ஒரு அரை வட்டம் அதன் விட்டம் அருகே சுழலும். கோளத்தைப் பொறுத்தவரை, இது பந்தின் மேற்பரப்பு (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மூடிய பந்து அதை உள்ளடக்கியது, திறந்த ஒன்று இல்லை). ஒரு பந்தின் பரப்பளவு அல்லது அளவைக் கணக்கிடுவது, வடிவியல் உருவத்தின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், மிகவும் சிக்கலான முழு வடிவியல் சூத்திரங்களையும் உள்ளடக்கியது.

கோளம், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, பந்தின் மேற்பரப்பு, அதன் ஷெல். விண்வெளியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் கோளத்தின் மையத்திலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளன. வடிவியல் உடலின் ஆரத்தைப் பொறுத்தவரை, இது எந்தப் பிரிவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, அதில் ஒரு புள்ளி நேரடியாக கோளத்தின் மையமாகும், மற்றொன்று மேற்பரப்பில் எந்த புள்ளியிலும் அமைந்திருக்கும். ஒரு கோளம் என்பது எந்த உள்ளடக்கமும் இல்லாமல் ஒரு பந்தின் ஷெல் என்று நாம் கூறலாம் (மேலும் குறிப்பிட்ட உதாரணங்கள்கீழே கொடுக்கப்படும்). ஒரு பந்தைப் போலவே, ஒரு கோளமும் ஒரு சுழற்சியின் உடல். மூலம், ஒரு கோளம் மற்றும் ஒரு பந்திலிருந்து ஒரு வட்டத்திற்கும் வட்டத்திற்கும் என்ன வித்தியாசம் என்று பலர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள். இங்கே எல்லாம் எளிது: முதல் வழக்கில் இவை ஒரு விமானத்தில் உள்ள புள்ளிவிவரங்கள், இரண்டாவது - விண்வெளியில்.

ஒப்பீடு

ஒரு கோளம் என்பது ஒரு பந்தின் மேற்பரப்பு என்று ஏற்கனவே கூறப்பட்டுள்ளது, இது ஏற்கனவே ஒரு குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாட்டின் அறிகுறியைப் பற்றி பேசுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. இரண்டு வடிவியல் உடல்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு வேறு சில அம்சங்களில் காணப்படுகிறது:

• பந்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் மையத்திலிருந்து ஒரே தூரத்தில் இருக்கும், அதே சமயம் உடல் மேற்பரப்பால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (உள்ளே காலியாக இருக்கும் ஒரு கோளம்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கோளம் குழிவானது. பொதுவாக, புரிந்துகொள்வதற்காக, ஒரு பலூன் மற்றும் ஒரு பில்லியர்ட் பந்துடன் ஒரு எளிய உதாரணம் கொடுக்கப்படுகிறது. இந்த இரண்டு பொருட்களும் பந்துகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஆனால் முதல் வழக்கில் நாம் ஒரு கோளத்துடன் கையாளுகிறோம், இரண்டாவதாக அதன் சொந்த உள்ளடக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முழு நீள பந்துடன்.
• ஒரு கோளத்திற்கு அதன் சொந்த பகுதி உள்ளது, ஆனால் அதற்கு எந்த அளவும் இல்லை. ஒரு கோளம் இதற்கு நேர்மாறானது: அதன் அளவைக் கணக்கிடலாம், அதே நேரத்தில் அதற்கு எந்தப் பகுதியும் இல்லை. இது என்று சிலர் கூறலாம் பிரதான அம்சம்வேறுபாடுகள், ஆனால் சில கணக்கீடுகளை (சிக்கலான வடிவியல் சூத்திரங்கள்) செய்ய வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால் மட்டுமே அது தோன்றும். எனவே, முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், கோளம் வெற்று, மற்றும் பந்து உள்ளே உள்ளடக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு உடல்.
• மற்றொரு வேறுபாடு ஆரத்தில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளத்தின் ஆரம் என்பது மையத்திற்கான புள்ளிகளின் தூரம் மட்டுமல்ல. ஆரம் என்பது ஒரு கோளத்தின் ஒரு புள்ளியை அதன் மையத்துடன் இணைக்கும் எந்தப் பிரிவாகவும் இருக்கலாம். இந்த அனைத்து பிரிவுகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை. பந்தைப் பொறுத்தவரை, அதன் உள்ளே இருக்கும் புள்ளிகள் மையத்திலிருந்து ஒரு ஆரம் குறைவாக இருக்கும் (துல்லியமாக அதைக் கட்டுப்படுத்தும் கோளம் காரணமாக).

முடிவுகளின் இணையதளம்

1. ஒரு கோளம் வெற்று, ஒரு பந்து உள்ளே நிரப்பப்பட்ட உடல். உதாரணமாக, சூடான காற்று பலூன் ஒரு கோளம், ஒரு பில்லியர்ட் பந்து ஒரு முழு நீள பந்து.
2. ஒரு கோளமானது பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அளவு இல்லை, ஆனால் ஒரு கோளம் அதற்கு நேர்மாறாக செயல்படுகிறது.
3. மூன்றாவது வேறுபாடு இரண்டு வடிவியல் உடல்களின் ஆரம் அளவீடு ஆகும்.

ஒரு பந்து என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றை விட அதிகமாக இல்லாத தூரத்தில் அமைந்துள்ள விண்வெளியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் கொண்ட ஒரு உடல். இந்த புள்ளி பந்தின் மையம் என்றும், இந்த தூரம் பந்தின் ஆரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பந்தின் எல்லை ஒரு கோள மேற்பரப்பு அல்லது கோளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் புள்ளிகள் அனைத்தும் பந்தின் புள்ளிகள் ஆகும், அவை மையத்திலிருந்து ஆரம் சமமான தூரத்தில் அகற்றப்படுகின்றன. ஒரு பந்தின் மையத்தை கோள மேற்பரப்பில் ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கும் எந்தப் பகுதியும் ஆரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. பந்தின் மையப்பகுதி வழியாக செல்லும் மற்றும் கோள மேற்பரப்பில் இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு விட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எந்த விட்டத்தின் முனைகளும் பந்தின் முற்றிலும் எதிர் புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு கூம்பு மற்றும் உருளை போன்ற ஒரு பந்து ஒரு புரட்சியின் உடல். ஒரு பந்து அதன் விட்டத்தைச் சுற்றி ஒரு அரை வட்டத்தை அச்சாகச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

பந்தின் பரப்பளவை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

இதில் r என்பது பந்தின் ஆரம், d என்பது பந்தின் விட்டம்.

பந்தின் அளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

V = 4/3 πr 3,

இதில் r என்பது பந்தின் ஆரம்.

தேற்றம். ஒரு விமானத்தில் ஒரு பந்தின் ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரு வட்டம். இந்த வட்டத்தின் மையம் பந்தின் மையத்திலிருந்து வெட்டும் விமானத்தின் மீது வரையப்பட்ட செங்குத்தாக உள்ளது.

இந்த தேற்றத்தின் அடிப்படையில், O மற்றும் R ஆரம் கொண்ட ஒரு பந்து விமானம் α ஆல் வெட்டப்பட்டால், குறுக்குவெட்டு K உடன் ஆரம் r இன் வட்டத்தை உருவாக்குகிறது. விமானத்தால் பந்தின் பிரிவின் ஆரம்: சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

மையத்திலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ள விமானங்கள் பந்தை சம வட்டங்களில் வெட்டுகின்றன என்பது சூத்திரத்திலிருந்து தெளிவாகிறது. பிரிவின் ஆரம் அதிகமாக உள்ளது, வெட்டு விமானம் பந்தின் மையத்திற்கு நெருக்கமாக உள்ளது, அதாவது சிறிய தூரம் சரி. மிகப்பெரிய ஆரம் பந்தின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் ஒரு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வட்டத்தின் ஆரம் பந்தின் ஆரத்திற்கு சமம்.

பந்தின் மையப்பகுதி வழியாக செல்லும் விமானம் மைய விமானம் எனப்படும். ஒரு பந்தின் விட்டம் கொண்ட விமானத்தின் பகுதி ஒரு பெரிய வட்டம் என்றும், ஒரு கோளத்தின் பகுதி ஒரு பெரிய வட்டம் என்றும், ஒரு கோளத்தின் பகுதி ஒரு பெரிய வட்டம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம். ஒரு பந்தின் எந்த விட்டம் கொண்ட விமானமும் அதன் சமச்சீர் விமானமாகும். பந்தின் மையம் அதன் சமச்சீர் மையமாகும்.

கோள மேற்பரப்பின் புள்ளி A வழியாக செல்லும் விமானம் மற்றும் புள்ளி A க்கு வரையப்பட்ட ஆரத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் விமானம் தொடுவான விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளி A தொடு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம். தொடுகோடு விமானம் பந்துடன் ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது - தொடர்பு புள்ளி.

இந்த புள்ளி வரையப்பட்ட ஆரம் செங்குத்தாக கோள மேற்பரப்பில் புள்ளி A வழியாக செல்லும் நேர்கோடு தொடுகோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம். எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான தொடுகோள்கள் கோளப் பரப்பில் உள்ள எந்தப் புள்ளியையும் கடந்து செல்கின்றன, மேலும் அவை அனைத்தும் பந்தின் தொடுகோடு விமானத்தில் உள்ளன.

ஒரு கோளப் பிரிவு என்பது ஒரு பந்திலிருந்து ஒரு விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்ட ஒரு பகுதி. வட்டம் ABC என்பது கோளப் பிரிவின் அடிப்படை. ABC வட்டத்தின் மைய N இலிருந்து கோள மேற்பரப்புடன் வெட்டும் வரை வரையப்பட்ட செங்குத்து பிரிவு MN கோளப் பிரிவின் உயரம் ஆகும். புள்ளி M என்பது கோளப் பிரிவின் உச்சி.

ஒரு கோளப் பிரிவின் பரப்பளவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

ஒரு கோளப் பிரிவின் அளவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்:

V = πh 2 (R - 1/3h),

R என்பது பெரிய வட்டத்தின் ஆரம், h என்பது கோளப் பிரிவின் உயரம்.

ஒரு கோளப் பிரிவு ஒரு கோளப் பிரிவு மற்றும் ஒரு கூம்பிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது. ஒரு கோளப் பிரிவு அரைக்கோளத்தை விட சிறியதாக இருந்தால், கோளப் பிரிவு ஒரு கூம்பால் நிரப்பப்படுகிறது, அதன் உச்சி பந்தின் மையத்தில் உள்ளது, மேலும் அடித்தளம் பிரிவின் அடிப்படையாகும். பிரிவு அரைக்கோளத்தை விட பெரியதாக இருந்தால், குறிப்பிட்ட கூம்பு அதிலிருந்து அகற்றப்படும்.

கோளப் பிரிவு என்பது ஒரு கோளப் பிரிவின் வளைந்த மேற்பரப்பால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பந்தின் ஒரு பகுதியாகும் (எங்கள் படத்தில் இது AMCB) மற்றும் கூம்பு மேற்பரப்பு(படத்தில் இது OABC ஆகும்), இதன் அடிப்பகுதி பிரிவின் அடிப்படை (ABC), மற்றும் உச்சியானது O பந்தின் மையமாகும்.

கோளத் துறையின் அளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

V = 2/3 πR 2 எச்.

ஒரு கோள அடுக்கு என்பது கோளப் பரப்பில் குறுக்கிடும் இரண்டு இணைத் தளங்களுக்கு (படத்தில் ஏபிசி மற்றும் டிஇஎஃப் விமானங்கள்) இடையே இணைக்கப்பட்ட பந்தின் ஒரு பகுதியாகும். கோள அடுக்கின் வளைந்த மேற்பரப்பு ஒரு கோள பெல்ட் (மண்டலம்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஏபிசி மற்றும் டிஇஎஃப் வட்டங்கள் கோள பெல்ட்டின் அடிப்படைகள். கோள பெல்ட்டின் தளங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் NK அதன் உயரம்.

blog.site, உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

- (கிரேக்க ஸ்பைரா பந்து). 1) அனைத்து மேற்பரப்பு புள்ளிகளும் சமமாக தொலைவில் இருக்கும் ஒரு திடமான உடல் உள் புள்ளி, பந்தின் மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; பூகோள வடிவில் பூமியின் படம். 2) கிரகம் அதன் பாதையை உருவாக்கும் இடத்தின் ஒரு பகுதி. 3) அடையாளப்பூர்வமாக... அகராதி வெளிநாட்டு வார்த்தைகள்ரஷ்ய மொழி

பெண், கிரேக்கம் பந்து, கோள உடல் அல்லது வெற்றிடம், அல்லது காகிதத்தில் அதன் படம்; வான உடல்களுக்கான பயன்பாட்டில்: ஒரு பந்து அதன் அச்சில் திரும்பியது, நமது பூமி அல்லது வானத்தை குறிக்கும், அனைத்து கற்பனை வட்டங்களின் அர்த்தத்துடன். ஆர்மில்லரி கோளம்,...... அகராதிடால்

கோளம்- ஒய், டபிள்யூ. கோளம் f. gr. ஸ்பைரா. 1. geom. ஒரு மூடிய மேற்பரப்பு, அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து சமமாக தொலைவில் உள்ளன (மையம் /. BAS 1. | பரிமாற்றம். பத்து காற்றுக் கோளங்கள் பறந்தன, தூரத்தில் ஒரு குடி வீட்டைக் கண்டேன். ஐ. நௌமோவ் யாசன். // வீர நகைச்சுவைக் கவிதை 560 2.…… ரஷ்ய மொழியின் காலிஸிஸங்களின் வரலாற்று அகராதி

கோளங்கள், பெண்கள் [கிரேக்கம் ஸ்பைரா பந்து]. 1. பந்து போன்றே (மேட்.). 2. பரிமாற்றம் பகுதி, இடம், அது இருக்கும், இயங்கும், வளரும், பயன்படுத்தப்படும் வரம்புகள். (நூல்). "கவிதை திறமையின் தன்மை மற்றும் அதன் வளர்ச்சியின் அளவைப் பொறுத்து, கோளம் ... உஷாகோவின் விளக்க அகராதி

கோளம், கள், பெண். 1. பரப்பு, ஏதோவொன்றின் விநியோக வரம்புகள். C. செயல்பாடுகள். C. செல்வாக்கு. 2. சுற்றுச்சூழல், சமூக சூழல். உங்கள் துறையில். உயர் கோளங்கள் (ஆளும், பிரபுத்துவ வட்டங்களைப் பற்றி). 3. மூடிய மேற்பரப்பு, திரளின் அனைத்து புள்ளிகளும் சமமாக தொலைவில் உள்ளன... ... ஓசெகோவின் விளக்க அகராதி

பகுதியைப் பார்க்கவும்... ஒத்த அகராதி

கோளம்- (கபரோவ்ஸ்க், ரஷ்யா) ஹோட்டல் வகை: 3 நட்சத்திர ஹோட்டல் முகவரி: Dezhneva Lane 15, Khabarovsk ... Hotel catalog

கோளக் கூறு கடினமான வார்த்தைகள், பொருள்: 1) கிரகங்கள் மற்றும் நட்சத்திரங்களின் ஓடுகளில் ஒன்று: அஸ்தெனோஸ்பியர் வளிமண்டலம் பாரிஸ்பியர் உயிர்க்கோளம் புவிக்கோளம் ஹீட்டோஸ்பியர் ஹைட்ரோஸ்பியர் ஹோமோஸ்பியர் அயனோஸ்பியர் லித்தோஸ்பியர் காந்த மண்டல மீசோஸ்பியர் ஸ்ட்ராடோஸ்பியர் சப்ஸ்ட்ராடோஸ்பியர்... ... விக்கிபீடியா

- (கிரேக்க ஸ்பைரா பந்திலிருந்து), 1) செயல் பகுதி, ஏதாவது பரவுவதற்கான வரம்புகள் (எடுத்துக்காட்டாக, செல்வாக்கு கோளம்). 2) சமூக சூழல், சூழல், அமைப்பு... நவீன கலைக்களஞ்சியம்

- (கிரேக்க ஸ்பைரா பந்திலிருந்து) 1) செயல்பாட்டின் பகுதி, ஏதாவது பரவுவதற்கான வரம்புகள் (உதாரணமாக, செல்வாக்கு மண்டலம்) 2) சமூக சூழல், சுற்றுச்சூழல், சூழ்நிலை ...

ஒரு மூடிய மேற்பரப்பு, அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து (கோளத்தின் மையம்) சமமாக தொலைவில் உள்ளன. கோளத்தின் மையத்தை அதன் எந்தப் புள்ளியுடனும் (அதன் நீளத்துடன்) இணைக்கும் பிரிவு கோளத்தின் ஆரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் மேற்பரப்பு S=4?R2, R என்பது கோளத்தின் ஆரம்... பெரிய கலைக்களஞ்சிய அகராதி

புத்தகங்கள்

• கோளம், முட்டைகள், டேவ். அமெரிக்க இலக்கியத்தின் புதிய அலையின் தலைவரின் ஒரு நாவல், ஒரு கொடூரமான நையாண்டி நவீன உலகம் சமுக வலைத்தளங்கள்மற்றும் தொடர்ச்சியான வெள்ளை சத்தம். SPHERE ஒரு நல்ல நிறுவனம்: அதை உருவாக்குவதன் மூலம் உலகை மேம்படுத்துகிறது...
• கோளம், டேவ் எகர்ஸ். மே ஹாலண்ட் மிகவும் அதிர்ஷ்டசாலி. அவர் "Sfera" என்ற சிறந்த நிறுவனத்தில் பணிபுரிகிறார் - ஒரு தலைமுறையின் புத்திசாலித்தனமான மனதின் ஒன்றியம், அங்கு எல்லோரும் எல்லோருக்கும் செவிசாய்க்கிறார்கள், மேலும் உலகத்தை மேம்படுத்த அனைவரும் ஈர்க்கப்படுகிறார்கள். மே இங்கே...

‌‌‌மாணவர்களின் ஆராய்ச்சி, வடிவமைப்பு மற்றும் படைப்புகளின் பிராந்திய அறிவியல் மற்றும் நடைமுறை மாநாடு "அறிவியலில் முதல் படிகள்"

ஆராய்ச்சிஇந்த தலைப்பில்:

"கோளமும் பந்தும் சாதாரண வடிவியல் உடல்கள்."

முடித்தவர்: MBOU இன் 9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்

"கோச்செடோவ்ஸ்கயா இரண்டாம் நிலை விரிவான பள்ளி» ரோமானோவ் டிமா.

தலைவர்: கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் ஆசிரியர் ட்ரெமாஸ்கினா வி.எஸ்.

அறிமுகம் ____________________________________________________________3

1. வடிவியல் உடல்களின் ஆய்வு வரலாறு: பந்து, கோளம்________________________3

2. கோளம் மற்றும் பந்து.

2.1 கோளம் மற்றும் பந்து பற்றிய கருத்து___________________________________________________3-4

2.2 கோள சமன்பாடு________________________________________________4

2.3 கோளம் மற்றும் விமானத்தின் ஒப்பீட்டு நிலை______________________________4-6

2.4 கோளத்திற்கு தொடு விமானம்__________________________________________6-7

2.5 ஒரு கோளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ஒரு பந்தின் அளவு _____________________________________________ 7

2.6 கோளத்தைப் பெறுதல்________________________________________________ 7-8

2.7 இயற்கையில் ஒரு கோளம் மற்றும் ஒரு பந்தைக் கண்டறிதல்______________________________ 9-13

2.8. அன்றாட வாழ்வில் கோளமும் பந்தும்_________________________________14-15

2.9. கட்டிடக்கலையில் கோளம் மற்றும் பந்தின் பயன்பாடு____________________________16-22

2.10. ஜியோடெஸியில் கோளம் மற்றும் பந்தின் பயன்பாடு______________________________23

2.11 வானியல் மற்றும் புவியியலில் கோளம் மற்றும் பந்தின் பயன்பாடு__________________24

2.12. கலையில் கோளம் மற்றும் பந்து________________________________________________25

முடிவு _________________________________________________________________________________________

இலக்கியம்_____________________________________________________________________26

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தலைப்பின் பொருத்தம்.

பல நூற்றாண்டுகளாக, மனிதகுலம் ஒன்று அல்லது மற்றொரு அறிவியல் துறையில் அதன் அறிவியல் அறிவை விரிவுபடுத்துவதை நிறுத்தவில்லை. பல விஞ்ஞான வடிவவியல், மற்றும் சாதாரண மக்கள் கூட, ஒரு பந்து மற்றும் அதன் "ஷெல்" போன்ற ஒரு உருவத்தில் ஆர்வமாக இருந்தனர், இது ஒரு கோளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இயற்பியல், வானியல், உயிரியல் மற்றும் பிறவற்றில் பல உண்மையான பொருள்கள் இயற்கை அறிவியல்ஒரு பந்தின் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, பந்தின் பண்புகள் பற்றிய ஆய்வு பல்வேறு வரலாற்று காலங்களில் குறிப்பிடத்தக்க பங்கைக் கொடுத்தது மற்றும் நம் காலத்தில் குறிப்பிடத்தக்க பங்கைக் கொண்டுள்ளது.

ஆய்வின் நோக்கம்:வடிவியல் உடல்கள் பந்து மற்றும் கோளத்தைப் படித்து, அறிவியலின் பல்வேறு துறைகளில் அவற்றின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், அன்றாட வாழ்க்கையில், இயற்கையில், "கோளம் மற்றும் பந்து - சாதாரண வடிவியல் உடல்கள்" என்ற விளக்கக்காட்சியை உருவாக்கவும்.

பணிகள்:

1. இணைய வளங்கள் உட்பட பல்வேறு தகவல் ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்தி பந்து மற்றும் கோளம் பற்றிய தகவல்களைச் சேகரிக்கவும்.

2. பந்து மற்றும் கோளம் பற்றிய பொருளை முறைப்படுத்தவும்.

4. விளக்கக்காட்சியை உருவாக்கவும்" கோளமும் பந்தும் சாதாரண வடிவியல் உடல்கள்».

5. "கோளம் மற்றும் பந்து" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும் போது வடிவியல் பாடத்தில் வேலையை வழங்கவும்.

ஆய்வு பொருள் : கோளம் மற்றும் பந்து

ஆய்வுப் பொருள் : கோளம் மற்றும் பந்தின் கூறுகள் மற்றும் பண்புகள்

கருதுகோள்: நமது உலகத்தை மிகவும் மாறுபட்டதாகவும், பெரியதாகவும் மாற்ற, நமக்கு பந்துகள் தேவை.

முறைகள்: பகுதி தேடல், ஆராய்ச்சி, ஒப்பீட்டு பகுப்பாய்வு, தொகுப்பு, நடைமுறை.

ஆராய்ச்சி முடிவு: பெற்ற அறிவு வானியலாளர்கள் மற்றும் நேவிகேட்டர்களுக்கு மட்டுமல்ல கடல் கப்பல்கள், விமானங்கள், விண்கலங்கள்நட்சத்திரங்களை அவற்றின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்துகிறார்கள், ஆனால் சுரங்கங்கள், சுரங்கப்பாதைகள், சுரங்கங்கள், கட்டிடக் கலைஞர்கள், அத்துடன் பூமியின் மேற்பரப்பின் பெரிய பகுதிகளின் ஜியோடெடிக் ஆய்வுகளின் போது, ​​அன்றாட வாழ்க்கையில் அதன் கோள வடிவத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டிய அவசியம் ஏற்படும் போது .

அறிவியல் புதுமை:உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்குப் புரியும் படிவத்தில் கோட்பாட்டுப் பொருள் வழங்கப்படுகிறது.

நடைமுறை முக்கியத்துவம்:"கோளம் மற்றும் பந்து" என்ற தலைப்புகளைப் படிக்கும் போது பாடங்களில், இயற்பியல் மற்றும் கணித வகுப்புகளில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பாடத்திற்கான அடிப்படையாக இந்த பொருள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

அறிமுகம்

பல நூற்றாண்டுகளாக, மனிதகுலம் ஒன்று அல்லது மற்றொரு அறிவியல் துறையில் அதன் அறிவியல் அறிவை விரிவுபடுத்துவதை நிறுத்தவில்லை. ஸ்டீரியோமெட்ரி, விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிவிவரங்களின் அறிவியலாக, பல அறிவியல் துறைகளுடன் ஒருங்கிணைந்ததாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த துறைகளில் அடங்கும்: கணிதம், இயற்பியல், கணினி அறிவியல் மற்றும் நிரலாக்கம், அத்துடன் வேதியியல் மற்றும் உயிரியல். பிந்தையது மைக்ரோகோஸ்மைப் படிப்பதில் சிக்கலை முன்வைக்கிறது, இது ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய விண்வெளியில் உள்ள பல்வேறு துகள்களின் சிக்கலான கலவையாகும். ஸ்டீரியோமெட்ரியின் கோட்பாடுகள் மற்றும் தொடர்புகள் தொடர்ந்து கட்டிடக்கலையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பல விஞ்ஞான ஜியோமீட்டர்கள், மற்றும் சாதாரண மக்கள் கூட, ஒரு பந்து மற்றும் அதன் "ஷெல்" போன்ற ஒரு உருவத்தில் ஆர்வமாக இருந்தனர். ஆச்சரியப்படும் விதமாக, ஒரு கன சதுரம், ஒரு ப்ரிசம் அல்லது பிற பல்வேறு பாலிஹெட்ரா போன்ற மற்ற ஒப்பிடக்கூடிய உடல்களின் தொகுதிக்கு சமமான ஒரு பெரிய பரப்பளவைக் கொண்ட ஒரே உடல் பந்து மட்டுமே. நாங்கள் ஒவ்வொரு நாளும் பந்துகளை சமாளிக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு நபரும் ஒரு பால்பாயிண்ட் பேனாவைப் பயன்படுத்துகிறார்கள், நிரப்பலின் முடிவில் ஒரு உலோகப் பந்தைப் பொருத்துகிறார்கள், அது அதற்கும் காகிதத்திற்கும் இடையிலான உராய்வின் செல்வாக்கின் கீழ் சுழல்கிறது, மேலும் திருப்பும் செயல்பாட்டில், பந்து மற்றொரு பகுதியை "வெளியே எடுக்கிறது". அதன் மேற்பரப்பில் மை. வாகனத் துறையில், பந்து மூட்டுகள் தயாரிக்கப்படுகின்றன, அவை ஒரு காரில் மிக முக்கியமான பகுதியாகும் மற்றும் சாலையில் சக்கரங்களின் சரியான சுழற்சி மற்றும் காரின் நிலைத்தன்மையை உறுதி செய்கின்றன. கார்கள், விமானங்கள், ராக்கெட்டுகள், மோட்டார் சைக்கிள்கள், எறிகணைகள் மற்றும் கப்பல்களின் கூறுகள் நீர் அல்லது காற்றில் தொடர்ந்து வெளிப்படும், முக்கியமாக ஃபேரிங்ஸ் எனப்படும் சில வகையான கோள மேற்பரப்புகளைக் கொண்டுள்ளன.

வடிவியல் உடல்களின் ஆய்வு வரலாறு: பந்து, கோளம்

ஒரு பந்து பொதுவாக ஒரு கோளத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. ஒரு பந்து மற்றும் ஒரு கோளம் வெவ்வேறு வடிவியல் உடல்கள். இருப்பினும், பந்து மற்றும் கோளம் ஆகிய இரண்டு சொற்களும் ஒரே கிரேக்க வார்த்தையான ஸ்பைரா - பந்து என்பதிலிருந்து வந்தவை. மேலும், "பந்து" என்ற சொல் sf என்ற மெய் எழுத்துக்களின் மாற்றத்திலிருந்து sh க்கு உருவாக்கப்பட்டது.

உறுப்புகளின் XI புத்தகத்தில், யூக்ளிட் ஒரு பந்தை ஒரு நிலையான விட்டம் சுற்றி சுழலும் ஒரு அரை வட்டத்தால் விவரிக்கப்பட்ட உருவமாக வரையறுக்கிறார். பண்டைய காலங்களில், கோளம் மிகவும் மதிக்கப்பட்டது. ஆகாயத்தின் வானியல் அவதானிப்புகள் எப்போதும் ஒரு கோளத்தின் உருவத்தை உருவாக்குகின்றன.

கோளம் எப்போதும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் பல்வேறு துறைகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

2.1 கோளம் மற்றும் பந்து பற்றிய கருத்து

ஒரு கோளம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்தில் அமைந்துள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் உள்ளடக்கிய ஒரு மேற்பரப்பு ஆகும்.

ஒரு கோளத்தால் கட்டப்பட்ட உடல் ஒரு பந்து என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த புள்ளி கோளத்தின் மையம் என்றும், இந்த தூரம் கோளத்தின் ஆரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கோளத்தில் இரண்டு புள்ளிகளை இணைத்து கடந்து செல்லும் பிரிவு

அதன் மையத்தின் வழியாக கோளத்தின் விட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கோளத்தின் மையம், ஆரம், விட்டம் ஆகியவை ஒரு பந்தின் மையம், ஆரம் மற்றும் விட்டம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

2.2. கோள சமன்பாடு

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அமைப்போம் பற்றிxyz

புள்ளி C (x 0;y 0;z 0) இல் மையத்துடன் ஒரு கோளத்தை உருவாக்குவோம்

மற்றும் ஆரம் ஆர்

MC = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2

MC = R, அல்லது MC2 = R2

எனவே சமன்பாடு

கோளத்திற்கு வடிவம் உள்ளது:

(x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = ஆர் 2

2.3 கோளம் மற்றும் விமானத்தின் ஒப்பீட்டு நிலை

கொடுக்கப்பட்டது:

C (x 0; y 0; z 0), புள்ளி M (x; y; z) உடன் R ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளம் கோளத்தின் மீது உள்ளது.

MC தூரம் என்ன?

ஏனெனில் MS = ஆர், பின்னர்

எம்

ஆர்

உடன்

உடன் உடன்எஸ்.எஸ்

கொடுக்கப்பட்டவை: விமானம் α, கோளம் (C; R),

d - மையம் C இலிருந்து விமானம் α க்கு தூரம்.

புள்ளி C (x 0 ;y 0 ;z 0) இருக்கும் இடத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம். கோளம் மற்றும் விமானம் α ஆகியவற்றின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.

z

பி
புள்ளி C ஐ z அச்சில் இருக்கட்டும். பின்னர் அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் (0; 0; d).

கோள சமன்பாடு:

விமானத்தின் சமன்பாடு α: z = 0

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஆராய்வோம்:

z = 0

பிறகு

d மற்றும் R விகிதத்தைப் பொறுத்து, 3 வழக்குகள் சாத்தியமாகும்...

1
) டி< R .

பிறகு

ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு (O; r)

ஒரு கோளத்தின் ஒரு கோளத்தின் பகுதி - ஒரு விமானம்

2
) டி = ஆர்.

பிறகு

IN சரியான நேரத்தில்

x = 0 மற்றும் y = 0

கோளத்திற்கும் விமானத்திற்கும் ஒரு பொதுவான புள்ளி உள்ளது.

3
) டி > ஆர்.

பிறகு

தீர்வுகள் இல்லை.

கோளத்திற்கும் விமானத்திற்கும் பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை.

2.4 ஒரு கோளத்திற்கு தொடு விமானம்

ஒரு கோளத்துடன் ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு விமானம் கோளத்திற்கு ஒரு தொடுநிலை விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அவற்றின் பொதுவான புள்ளி விமானத்திற்கும் கோளத்திற்கும் இடையிலான தொடு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம். கோளத்திற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு புள்ளியில் வரையப்பட்ட கோளத்தின் ஆரம் தொடுவான விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்டவை: மையத்துடன் கூடிய கோளம்பற்றி மற்றும் ஆரம்ஆர் , α - ஒரு புள்ளியில் கோளத்தின் தொடுகோடுஏ விமானம்.

நிரூபிக்க: ஓ.ஏ. ஏ .

ஆதாரம்: விடுங்கள் ஓ.ஏ. விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இல்லை ஏ , பிறகு ஓ.ஏ. விமானத்தின் மீது சாய்ந்துள்ளது, அதாவது மையத்திலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் ஈ < ஆர் . அந்த. கோளம் வட்டத்துடன் விமானத்தை வெட்ட வேண்டும், ஆனால் இது தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யாது. பொருள் ஓ.ஏ. ஏ .

உரையாடல் தேற்றத்தை நிரூபிப்போம்.

ஒரு கோளத்தின் ஆரம் அதன் முனை வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால், இந்த விமானம் கோளத்துடன் தொடுகோடு இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்டவை: மையத்துடன் கூடிய கோளம்பற்றி மற்றும் ஆரம் ஓ.ஏ. , ஏ, ஓ.ஏ. ஏ .

நிரூபிக்க:ஏ - தொடுகோடு விமானம்.

ஆதாரம்: ஏனெனில் ஓ.ஏ. ஏ , பின்னர் கோளத்தின் மையத்திலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் ஆரம் சமமாக இருக்கும். இதன் பொருள் கோளத்திற்கும் விமானத்திற்கும் ஒரு பொதுவான புள்ளி உள்ளது. வரையறையின்படி, ஒரு விமானம் ஒரு கோளத்திற்கு தொடுகோடு உள்ளது.

2.5 ஒரு கோளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ஒரு பந்தின் அளவு

மற்றும் பந்து ஆரம் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

ஆதாரம்

புள்ளியில் மையத்துடன் R ஆரம் வட்டத்தின் கால் பகுதியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான சமன்பாடு:, எங்கே.

செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது, அதிகரிக்கும், எதிர்மறையானது அல்ல. ஒரு வட்டத்தின் கால் பகுதி எருது அச்சில் சுழலும் போது, ​​ஒரு அரைக்கோளம் உருவாகிறது, எனவே:

Ch. முதலியவை எங்கிருந்து வருகின்றன?

ஆதாரம்

முதலியன

பந்தின் ஒரு பகுதி, [ ] அதிலிருந்து சில விமானம் மூலம் துண்டிக்கப்படுகிறது என்று அழைக்கப்படுகிறது கோள அல்லது கோளப் பிரிவு.ஒரு கோளப் பிரிவின் அடிப்பகுதி வட்டம் எனப்படும் ஏ பி சி டி. ஒரு கோளப் பிரிவின் உயரம் பிரிவு ஆகும் என்.எம்., அதாவது மையத்தில் இருந்து மீட்டமைக்கப்பட்ட செங்குத்து நீளம் என்அது பந்தின் மேற்பரப்புடன் வெட்டும் வரை அடிப்படை. புள்ளி எம்கோளப் பிரிவின் உச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பந்து பகுதியின் அளவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

வி = π ம 2 ( ஆர் − 1/3 h)

பந்து அடுக்கு - இது பந்தின் ஒரு பகுதி [ ], இரண்டு செகண்ட் இணை விமானங்களுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. பந்து பெல்ட் அல்லது பந்து மண்டலம் கோள அடுக்கின் வளைந்த மேற்பரப்பு ஆகும். வட்டங்கள் ஏபிசி மற்றும் DEF இவை கோள பெல்ட்டின் அடிப்படைகள். அடிப்படை இடைவெளி ஆன் கோள அடுக்கின் உயரம் ஆகும்.

பந்து அளவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

வி = 1/6 π ம 3 + 1/2 π( ஆர் 1 2 + ஆர் 2 2 ) ம

பந்து துறை- இது பந்தின் ஒரு பகுதி [ ], கோளப் பிரிவின் வளைந்த மேற்பரப்பு மற்றும் கூம்பு மேற்பரப்பு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது, இதன் அடித்தளம் பிரிவின் அடிப்படையாகும், மேலும் உச்சியானது பந்தின் மையமாகும்.

பந்து துறையின் அளவு சமம் , அதன் அடிப்பகுதி கோளப் பரப்பின் பகுதியின் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் உயரம் ஆரத்திற்கு சமமாக இருக்கும்

வி = 1/3 ஆர் எஸ் = 2/3 π ஆர் 2 ம

2.6 கோலம் பெறுதல்

விட்டம் AB ஐச் சுற்றி ACB அரை வட்டத்தைச் சுழற்றுவதன் மூலம் ஒரு கோளத்தைப் பெறலாம்

2.7. இயற்கையில் ஒரு கோளம் மற்றும் ஒரு பந்தைக் கண்டறிதல்

Z இயற்கையின் புதிர்கள் - பலூன்கள்-செய்திகள்.1940 களின் பிற்பகுதியில் மத்திய அமெரிக்கக் குடியரசின் கோஸ்டாரிகாவின் காடுகளில் இந்த மர்மமான செய்தபின் வட்டமான பாறை வடிவங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. பந்துகள் 10 செமீ முதல் 3-4 மீட்டர் விட்டம் வரை இருக்கும். வான்வழி புகைப்படத்தின் போது, ​​அவை பூமியின் மேற்பரப்பில் தோராயமாக சிதறவில்லை, ஆனால் வடிவியல் வடிவங்களை உருவாக்கியது. பந்துகள் சிதறாமல் இருப்பது கூட சாத்தியம், ஆனால் ஒரு பெரிய நட்சத்திர வரைபடத்தின் வடிவத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது; ஒவ்வொரு பந்தும் தொடர்புடைய விளக்கத்துடன் ஒரு நட்சத்திரம்.

பந்துகளின் தோற்றம் பற்றிய கருதுகோள்களில், கவர்ச்சியான பதிப்புகள் மட்டுமே உள்ளன: வேற்றுகிரகவாசிகள் முதல் அட்லாண்டிஸின் சிற்பிகள் வரை. பலூன்கள் வெள்ளத்தில் மூழ்கிய நாஜி குடியேறியவர்களால் வெட்டப்பட்டவை (சுற்றுலாவிலிருந்து எதிர்கால ஈவுத்தொகையை கணக்கிடுகின்றன) என்று ஒரு பதிப்பு உள்ளது. லத்தீன் அமெரிக்காமூன்றாம் ரீச்சின் சரிவுக்குப் பிறகு. இயற்கையான காரணங்களால் ஏராளமான பந்துகள் மற்றும் அவற்றில் உள்ள விசித்திரமான வடிவமைப்புகளை விளக்க முடியவில்லை. கஜகஸ்தானில், மணல் குவாரியை உருவாக்கும் போது, ​​போதுமான அளவு உள்ளது பெரிய ஆழம்இத்தகைய பாறைகளின் பல பெரிய மாதிரிகளும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன... இந்த கண்டுபிடிப்பு நிகழ்வு ஆணையத்தால் தெரிவிக்கப்பட்டது; ஐயோ, கண்டுபிடிப்புகளின் புகைப்படங்கள் எஞ்சியிருக்கவில்லை.

பளிங்கு பந்து. மேக்ரோ புகைப்படம் எடுத்தல். ஒரு மரத்தின் கிளையில் ஒரு கண்ணாடி பந்து கிடக்கிறது; அதைச் சுற்றியுள்ள இயல்பு அதில் பிரதிபலிக்கிறது. மிகவும் அழகான மஞ்சள் பூக்கள் மற்றும் பச்சை பசுமையான புல்.

உடன் படபடக்கும் பந்துகள்

அதிகாரம் உள்ள இடங்களில் உள்ள புகைப்படத்தில் - யுரேனியத்தின் சிதைவின் விளைவு அல்லது பிளாஸ்மாய்டு வாழ்க்கை வடிவமா?

புனித செபுல்கர் தேவாலயம் மற்றும் இஸ்ரேலின் பிற இடங்கள்

மற்றும்
சுவாரஸ்யமான இயற்கை நிகழ்வு மிச்சிகன் ஏரியின் கரையில் ஆயிரக்கணக்கான வழக்கமான பனிக்கட்டிகள் உருவாகின

அசாதாரண பந்துகள் வடிவில் கடற்பாசி

விசித்திரமான பந்துகள் ஜூன் 2002 இல் அமெரிக்காவின் கிழக்கு கடற்கரையில் உள்ள ஹாம்ப்டன் கடற்கரையில் தோன்றியது. அலை அலையானது எண்ணற்ற இந்த பச்சை நிற பந்துகளை செயல்படுத்தத் தொடங்கியது - மென்மையானது, ஒரு கடற்பாசி மற்றும் ஒரு டென்னிஸ் அல்லது கோல்ஃப் பந்தின் அளவு தெளிவில்லாமல் நினைவூட்டுகிறது. சுமார் 300 மீட்டர் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தொலைவில், முழு மணல் கடற்கரையும் உண்மையில் அத்தகைய பந்துகளால் சிதறடிக்கப்பட்டது. சர்ச்சைகள் உடனடியாகத் தொடங்கின - அது என்ன, அது எங்கிருந்து வருகிறது? கடல் உயிரியலாளர்கள், கடற்கரையில் விடுமுறைக்கு வருபவர்கள் மற்றும் சீரற்ற வழிப்போக்கர்கள் விவாதத்தில் ஈடுபட்டனர். இதற்கு முன் இங்கு யாரும் பார்த்ததில்லை.

இயற்கை சமச்சீர் பயம், இயற்கை இலட்சியம் தெரியாது வடிவியல் வடிவங்கள். ஆனால் மனிதன் இயற்கையை தனக்கு அந்நியமான இந்த வடிவங்களைப் பெறும்படி கட்டாயப்படுத்த முடியும். கொரிய கலைஞரான லீ ஜே-ஹியோவின் படைப்பு இதற்கு ஒரு தெளிவான எடுத்துக்காட்டுமரத்தின் தண்டுகள் சரியான கோளங்கள்

டி

அமெரிக்காவின் அரிசோனாவில் உள்ள பாலைவனத்தின் மையத்தில் ஆயிரக்கணக்கான சிறிய ஊதா நிற பந்துகள் விசித்திரமாக முடிந்தது. டக்சன் குடியிருப்பாளர்களான ஜெரால்டின் வர்காஸ் மற்றும் அவரது கணவர் இரண்டு வாரங்களுக்கு முன்பு அக்கம் பக்கத்தில் நடந்து கொண்டிருந்தபோது விவரிக்க முடியாத விசித்திரமான பந்துகளைக் கண்டுபிடித்தனர். "இந்த விசித்திரமான இடத்தை நாங்கள் கண்டபோது பாலைவனத்தின் இயல்பைப் புகைப்படம் எடுத்துக் கொண்டிருந்தோம் ... நாங்கள் அதை எப்படி உடனடியாக கவனிக்கவில்லை என்று எனக்குப் புரியவில்லை?" ஜெரால்டின் செய்தியாளர்களிடம் கூறினார். "இது வெயிலில் பிரகாசித்தது." புகைப்படக்காரர்கள் தங்கள் விலங்கியல் நண்பருக்கு விசித்திரமான பொருட்களின் புகைப்படங்களை அனுப்பினார்கள், ஆனால் அது என்னவென்று அவளால் சொல்ல முடியவில்லை, அதைப் பற்றி அவளுக்கு எந்த அனுமானமும் இல்லை.

கனிமங்களால் செய்யப்பட்ட பந்துகள்.

செவ்வந்தி.பிரேசில்.

பாறை படிகம், தெற்கு, செல்யாப் பகுதி, விற்கப்பட்டது.

அமேசானைட். கோலா தீபகற்பம். விற்கப்பட்டது.

2.8 அன்றாட வாழ்வில் கோளம் மற்றும் பந்து

என்
மற்றும் வடிவியல் பந்து ஒத்ததாகும் பூகோளம், கால்பந்து பந்து, புத்தாண்டு பொம்மைகள்.

DIY நுரை பந்து

சோர்பிங் - இது இன்று மிகவும் நாகரீகமான தீவிர பொழுதுபோக்குகளில் ஒன்றாகும். Zorbing புதிய, வழக்கத்திற்கு மாறாக பிரகாசமான மற்றும் சக்திவாய்ந்த உணர்வுகளை அனுபவிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் மற்றும் அன்றாட வாழ்க்கையின் இயல்பான தன்மையிலிருந்து உங்களை உலுக்கும்.

சோர்ப் பந்து என்றால் என்ன

Z உருண்டை (ZORB) 3.2 மீட்டர் விட்டம் கொண்ட ஒரு வெளிப்படையான கோளம் (பந்து) உள்ளே 1.8 மீட்டர் விட்டம் கொண்ட ஒரு கோளம் உள்ளது, அதில் உள்ளது சோர்போனாட் (ஜோர்பா பயணிகள்) இந்த கோளங்களுக்கிடையேயான இடைவெளி காற்றால் நிரப்பப்படுகிறது, அதன் அழுத்தம் கோளங்களைத் தள்ளிவிடுகிறது, மாறாக, ஸ்லிங்ஸ் மூலம் இடத்தில் வைக்கப்படுகிறது. இந்த அமைப்பு நன்றாக உறிஞ்சி, சீரற்ற நிலப்பரப்பை மென்மையாக்குகிறது மற்றும் பனிச்சறுக்கு பாதுகாப்பானது.

2.9.கட்டிடக்கலையில் கோளம் மற்றும் பந்தின் பயன்பாடு

இந்த வீடு அழைக்கப்படுகிறது விக்வாம். அத்தகைய வீடுகள் கட்டப்பட்டுள்ளன இந்தியர்கள்.

துருப்பிடிக்காத எஃகு பந்துகள் மற்றும் அரைக்கோளங்கள்

நீரூற்று "சுழலும்"பந்து "செயின்ட்.

செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க் -

நவீன வீடுகள்

மற்றும் என்றால்வீடு ஒரு மரத்தில் மட்டுமல்ல, ஒரு பந்து வடிவத்திலும்.

இது ஒரு உண்மையான கிராமம்சுற்று வீடுகள் .

உடன்
நவீன சுற்று வீடுகள்

மாண்ட்ரீல் பயோஸ்பியர் - கனடாவில் எக்ஸ்போ 67 இல் அமெரிக்க கண்காட்சி பெவிலியன்,

கட்டிடக் கலைஞர் ரிச்சர்ட் புல்லர் வடிவமைத்தார்.

வெளிப்படையான பந்துகள் வடிவில் ஹோட்டல்

IN
பிரெஞ்சு நகரமான ரூபைக்ஸைப் பற்றி, போர்ட்டபிள் ஹோட்டல் அறைகள் ஹோட்டல் போல்ஹா பூங்கா ஒன்றில் திறக்கப்பட்டது. நகர்ப்புறக் காட்டின் மையத்தில் இருந்தாலும், இயற்கையுடன் நெருக்கமாக இருக்க விரும்பும் மக்களுக்காக நாங்கள் இதைச் செய்தோம்.குமிழியின் கருத்து வடிவமைப்பாளர் Pierre Stéphane Dumas என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இந்த மேம்பட்ட வடிவமைப்பு விருந்தினர்களை தெரியாதவர்களுடன் தற்காலிகமாக இணைக்கும் குறிக்கோளுடன் உருவாக்கப்பட்டது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பல மக்கள் ஒரு சுற்று கூரையின் கீழ் தூங்க முடியாது.

பலூன் உடை.

நாட்டு அலுவலகம் வசந்த காலம் விரைவில் வருகிறது (பின்னர் கோடை) மற்றும் பலர் ஓய்வெடுக்க தங்கள் டச்சாக்களுக்குச் செல்லத் தொடங்குவார்கள்.
ஆனால் சில நேரங்களில் நீங்கள் டச்சாவில் வேலை செய்ய வேண்டும் (அடடா!). ஓய்வு பெற இடம் இல்லையா?
இது போன்ற ஒரு சிறிய கோள அமைப்பில் நீங்கள் ஒரு "ஆர்க்கிபாட்" உருவாக்கலாம்:

ஆற்றல் திறன்கட்டிடக்கலை . ஸ்மார்ட் ஹோம் என்பது ஒரு மூலக்கூறு.

பாரிஸின் கிழக்குப் புறநகரில் உள்ள இறைச்சிக் கூடத்தின் தளத்தில் கட்டப்பட்ட லா விலெட் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பப் பூங்காவில், பாரிஸின் வானத்தையும் சுற்றியுள்ள நிலப்பரப்பையும் பிரதிபலிக்கும் ஒரு மாபெரும் பந்து, கண்ணைக் கவரும். இன்று, இந்த கட்டிடம் உலகின் மிகச் சிறந்த கோள அமைப்பாக கருதப்படுகிறது. பாரிசியர்கள் இதை "ஜியோட்" என்று அழைக்கிறார்கள். இது பனோரமிக்

ஐரோப்பாவில் மிகப்பெரிய திரை கொண்ட சினிமா. பந்து வீடு கண்ணாடி

உங்கள் விடுமுறை வெளியில் நடந்தால் அல்லது கூரையிலிருந்து இந்த நூல் பந்துகளை மரக் கிளைகளில் தொங்கவிடலாம். விருந்து அட்டவணையை அலங்கரிக்கவும், மெழுகுவர்த்திகள் மற்றும் பூக்களுடன் கலவையை பூர்த்தி செய்யவும் அவை பயன்படுத்தப்படலாம்.

2.10 ஜியோடெஸியில் கோளம் மற்றும் பந்தின் பயன்பாடு.

வரைபட கணிப்புகள்

பூமியின் நீள்வட்டத்தின் முழு மேற்பரப்பையும் காட்டுகிறது (பார்க்க. ) அல்லது அதன் எந்தப் பகுதியும் ஒரு விமானத்தில், முக்கியமாக வரைபடத்தை உருவாக்கும் நோக்கத்திற்காக பெறப்பட்டது.

அளவுகோல்.கட்டுப்பாட்டு நிலையங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவில் கட்டப்பட்டுள்ளன. புவியின் நீள்வட்டத்தை மனதளவில் குறைக்கிறதுஎம்முறை, எடுத்துக்காட்டாக 10,000,000 முறை, அதன் வடிவியல் மாதிரியைப் பெறுகிறோம் - , ஒரு விமானத்தில் இருக்கும் வாழ்க்கை அளவு படம் இந்த நீள்வட்டத்தின் மேற்பரப்பின் வரைபடத்தை அளிக்கிறது. மதிப்பு 1:எம்(உதாரணமாக 1: 10,000,000) வரைபடத்தின் முக்கிய அல்லது பொதுவான அளவை தீர்மானிக்கிறது. ஏனெனில் ஒரு நீள்வட்ட மற்றும் ஒரு பந்தின் மேற்பரப்புகளை முறிவுகள் மற்றும் மடிப்புகள் இல்லாமல் ஒரு விமானத்தில் உருவாக்க முடியாது (அவை உருவாக்கக்கூடிய மேற்பரப்புகளின் வகுப்பைச் சேர்ந்தவை அல்ல (பார்க்க. )), எந்த வரைபடமும் எந்த வரைபடத்தின் சிறப்பியல்பு கோடுகள், கோணங்கள் போன்றவற்றின் நீளங்களில் சிதைவுகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. எந்த புள்ளியிலும் ஒரு விண்வெளி அமைப்பின் முக்கிய பண்பு பகுதி அளவு μ ஆகும். இது எல்லையற்ற பிரிவின் விகிதத்தின் பரஸ்பரமாகும்dsபூமியின் நீள்வட்டத்தில் அதன் உருவத்திற்குdσமேற்பரப்பில்: μ நிமிடம் ≤ μ ≤ μ அதிகபட்சம், மற்றும் இங்கே சமத்துவம் என்பது சில புள்ளிகளில் அல்லது வரைபடத்தில் சில கோடுகளில் மட்டுமே சாத்தியமாகும். எனவே, வரைபடத்தின் முக்கிய அளவுகோல் அதை பொதுவான சொற்களில், சில சராசரி வடிவத்தில் மட்டுமே வகைப்படுத்துகிறது. மனோபாவம் μ/M என்பது ஒப்பீட்டு அளவு அல்லது நீளத்தின் அதிகரிப்பு, வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எம் = 1.

1. கோள ஆயக் கோடுகளின் நெட்வொர்க்குகள்.

2.11 வானியல் மற்றும் புவியியலில் கோளம் மற்றும் கோளத்தின் பயன்பாடு.

உடன் கோளம் மற்றும் பந்து, அதே போல் வட்டம் மற்றும் வட்டம் ஆகியவை பண்டைய காலங்களில் கருதப்பட்டன. பூமியின் கோள வடிவத்தின் கண்டுபிடிப்பு மற்றும் வானக் கோளம் பற்றிய கருத்துக்களின் தோற்றம் ஒரு சிறப்பு அறிவியலின் வளர்ச்சிக்கு உத்வேகம் அளித்தது - SPHERE, இது கோளத்தில் அமைந்துள்ள புள்ளிவிவரங்களைப் படிக்கிறது.

மேற்கொள்ளுதல் உலகம் முழுவதும் பயணம், நேவிகேட்டர்கள் அதே இடத்திற்குத் திரும்பும்போது, ​​ஒரு நாள் முழுவதும் இழப்பு அல்லது லாபம் இருப்பதைக் கவனித்தனர், பூமி ஒரு வட்டின் வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால் அது முற்றிலும் சாத்தியமற்றது.

எனவே, தற்போது பூமியின் கோளத்தன்மைக்கான சான்றுகள்:

கடல் மற்றும் திறந்த தாழ்நிலங்கள் அல்லது பீடபூமிகளில் எப்போதும் அடிவானத்தின் ஒரு வட்ட உருவம்;

உலகம் முழுவதும் பயணம்.

படிப்படியான அணுகுமுறை அல்லது பொருட்களை அகற்றுதல்;

மற்றும்
பல்வேறு புவியியல் வரைபடங்களைப் படிக்கும் போது, ​​புவியியலில் உள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடித்தோம் புவியியல் பெயர்கள்பந்துடன் தொடர்புடையது. எடுத்துக்காட்டாக, நோவயா ஜெம்லியாவின் வடக்கு மற்றும் தெற்கு தீவுகளுக்கு இடையில் பேரன்ட்ஸை இணைக்கும் ஜலசந்தி உள்ளது. காரா கடல், இது மடோச்ச்கின் ஷார் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அல்லது வைகாச் தீவின் கரையோரங்களுக்கும் யூரேசியாவின் பிரதான நிலப்பகுதிக்கும் இடையிலான ஜலசந்தி - யுகோர்ஸ்கி ஷார். இந்த ஜலசந்திகளின் அளவு மற்றும் கீழ் வடிவம் ஒரு கோள மேற்பரப்பை ஒத்திருப்பதால் அவை பந்துகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று நாங்கள் நினைக்கிறோம்.

2.12 கலையில் கோளம் மற்றும் பந்து

எஷரின் கணிதம்

கூடுதலாக, பல்வேறு "சாத்தியமற்ற உருவங்களை" சித்தரிக்கும் எஷரின் ஓவியங்கள், இடத்தின் தர்க்கத்துடன் "விளையாடுகின்றன"; எஷர் அவற்றை தனித்தனியாகவும், பொருள் லித்தோகிராஃப்கள் மற்றும் வேலைப்பாடுகளிலும் சித்தரித்தார்

மூன்று கோளங்கள். 1946

பிரதிபலிப்பு கோளத்துடன் கை. 1935

முடிவுரை

நான் சேகரித்த பொருள் மற்றும் வேலையின் போது பெற்ற அறிவு வடிவியல் பாடங்கள், உழைப்பு பாடங்கள், அன்றாட வாழ்வில், இயற்பியல் மற்றும் கணிதம் வகுப்புகள் மற்றும் பாடநெறிக்கு ஒரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பாடத்தின் அடிப்படையாக பயன்படுத்தப்படலாம் என்று நினைக்கிறேன். மாணவர்களின் எல்லைகளை விரிவுபடுத்துவதற்கான நடவடிக்கைகள்.

இலக்கியம்

ஹடமார்ட் ஜே. எலிமெண்டரி ஜியாமெட்ரி. பகுதி 2. M. Uchpedgiz, 1958. Andreev

அதனஸ்யன் எல்.எஸ். வடிவியல். பகுதி 2. – எம்: கல்வி, 1987. – 352 பக்.

பாசிலேவ் வி.டி. வடிவியல். எம்: அறிவொளி, 1975.

பாசிலேவ் வி.டி. வடிவவியலில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு. எம்: அறிவொளி, 1980. -240 பக்.

எகோரோவ் ஐ.பி. வடிவியல். – எம்: கல்வி, 1979. – 256 பக்.

எகோரோவ் ஐ.பி. வடிவவியலின் அடிப்படைகள். – எம்: கல்வி, 1984. – 144 பக்.

சிக்கல் புத்தகம் "குவாண்டம்": கணிதம். பகுதி 1. / எட். என்.பி. வாசிலியேவா. எம்: 1997.

ரோசன்ஃபீல்ட் பி.ஏ. யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் வரலாறு. வடிவியல் இடத்தின் கருத்தின் வளர்ச்சி. எம். நௌகா., 1976. – 408 பக்.

தொடக்கக் கணிதத்தின் கலைக்களஞ்சியம். புத்தகம் 4 - வடிவியல். எம்., 1963.

10.இணைய வளங்கள்.