Simetría en el espacio El concepto de poliedro regular Elementos de simetría de poliedros regulares. Lección en video “Elementos de simetría de poliedros regulares.

30.09.2019

Elementos de simetría se denominan imágenes geométricas auxiliares (punto, línea, plano y sus combinaciones), con la ayuda de las cuales se pueden combinar mentalmente caras iguales de un cristal (poliedro) en el espacio. Al mismo tiempo, bajo simetría Se entiende por cristal la repetición natural en el espacio de sus caras iguales, así como de sus vértices y aristas.

Hay tres elementos principales de simetría cristalina: el centro de simetría, el plano de simetría y los ejes de simetría.

centro de simetría llamado punto imaginario dentro del cristal, equidistante de sus elementos de restricción (es decir, vértices opuestos, puntos medios de aristas y caras). El centro de simetría es el punto de intersección de las diagonales. la figura correcta(cubo, paralelepípedo) y se designa con la letra CON, y según el sistema internacional Hermann-Mogen - I.

Sólo puede haber un centro de simetría en un cristal. Sin embargo, hay cristales en los que no existe ningún centro de simetría. Al decidir si hay un centro de simetría en su cristal, debe guiarse por la siguiente regla:

“Si en un cristal existe un centro de simetría, a cada una de sus caras le corresponde una cara igual y opuesta”.

En las clases prácticas con modelos de laboratorio se establece la presencia o ausencia de un centro de simetría en un cristal de la siguiente manera. Colocamos el cristal con cualquiera de sus caras sobre el plano de la mesa. Comprobamos si en la parte superior queda un borde igual y paralelo. Repetimos la misma operación para cada cara del cristal. Si cada cara de un cristal tiene una cara igual y paralela en la parte superior, entonces hay un centro de simetría en el cristal. Si en al menos una cara de un cristal no hay ninguna cara superior igual y paralela a ella, entonces no hay centro de simetría en el cristal.

Plano de simetría(denotado por la letra P, según el simbolismo internacional - m) es un plano imaginario que pasa por el centro geométrico del cristal y lo divide en dos mitades iguales en forma de espejo. Los cristales que tienen un plano de simetría tienen dos propiedades. En primer lugar, sus dos mitades, separadas por un plano de simetría, tienen el mismo volumen; en segundo lugar, son iguales, como reflejos en un espejo.

Para comprobar la igualdad especular de las mitades del cristal, es necesario trazar una perpendicular imaginaria al plano desde cada uno de sus vértices y extenderla a la misma distancia del plano. Si cada vértice corresponde a un vértice reflejado en él en el lado opuesto del cristal, entonces hay un plano de simetría en el cristal. Al determinar planos de simetría en modelos de laboratorio, el cristal se coloca en una posición fija y luego se corta mentalmente en mitades iguales. Se comprueba la igualdad especular de las mitades resultantes. Contamos cuántas veces podemos cortar mentalmente el cristal en dos partes iguales, parecidas a un espejo. ¡Recuerda que el cristal debe estar inmóvil!

El número de planos de simetría en los cristales varía de 0 a 9. Por ejemplo, en un paralelepípedo rectangular encontramos tres planos de simetría, es decir, 3P.

Eje de simetria llamada línea imaginaria que pasa por el centro geométrico del cristal, cuando se gira alrededor de la cual el cristal repite su patrón varias veces apariencia en el espacio, es decir, autocombinante. Esto significa que después de girar un cierto ángulo, algunas caras del cristal son reemplazadas por otras caras iguales a ellas.

La principal característica del eje de simetría es el ángulo de rotación más pequeño en el que el cristal “se repite” en el espacio por primera vez. Este ángulo se llama ángulo de rotación del eje elemental y se denota por α, por ejemplo:

El ángulo de rotación elemental de cualquier eje está necesariamente contenido en un número entero de veces en 360°, es decir (entero), donde n es el orden del eje.

De este modo , orden de los ejes es un número entero que indica cuántas veces el ángulo elemental de rotación de un eje dado está contenido en 360°. De lo contrario, el orden del eje es el número de “repeticiones” del cristal en el espacio durante su rotación completa alrededor de un eje determinado.

Los ejes de simetría se designan con la letra L, el orden de los ejes se indica con un pequeño número en la parte inferior derecha, por ejemplo, L 2.

En los cristales son posibles los siguientes ejes de simetría y los correspondientes ángulos de rotación elementales.

tabla 1

Relación entre ejes de simetría y ángulos elementales de rotación.

En cualquier cristal existe una infinidad de ejes de simetría de primer orden, por lo que en la práctica no están determinados.

Los ejes de simetría del quinto y cualquier orden superior al sexto no existen en absoluto en los cristales. Esta característica de los cristales se formula como la ley de simetría cristalina. La ley de simetría de los cristales se explica por la especificidad de su estructura interna, es decir, la presencia de una red espacial que no permite la existencia de ejes de orden 5, 7, 8, etc.

Un cristal puede tener varios ejes del mismo orden. Por ejemplo, en un paralelepípedo rectangular hay tres ejes de segundo orden, es decir, 3L 2.

En un cubo hay 3 ejes de 4º orden, 4 ejes de 3º orden y 6 ejes de 2º orden. Los ejes de simetría de mayor orden en un cristal se llaman los principales.

La búsqueda de ejes de simetría en modelos durante los ejercicios de laboratorio se realiza en el siguiente orden. El cristal se toma con la yema de los dedos de una mano en sus puntos opuestos (vértices, puntos medios de aristas o caras). El eje imaginario se coloca verticalmente frente a ti; Se recuerda cualquier aspecto característico del cristal. Luego se hace girar el cristal con la otra mano alrededor de un eje imaginario hasta que su apariencia original se “repita” en el espacio. Contamos cuántas veces el cristal se "repite" en el espacio durante una rotación completa alrededor de un eje determinado. Esta será su orden. Todas las demás direcciones teóricamente posibles del eje de simetría en el cristal se comprueban de forma similar. Estos ejes de simetría se llaman simple.

Además de ellos hay complejo Ejes de simetría, llamados de rotación especular y de inversión. Eje giratorio del espejo la simetría es una combinación mental de un eje simple y un plano de simetría perpendicular a él. Los ejes giratorios de espejo pueden ser del mismo orden que los simples, pero en la práctica solo se utiliza el eje de cuarto orden, que se denomina L 4 2 y siempre es igual a L 2, pero no al revés.

Eje de inversión la simetría es una combinación mental de un eje de simetría simple y un centro de simetría. En la práctica y en teoría, sólo se utilizan ejes de inversión de cuarto y sexto orden. Se denominan Li 4 y Li 6.

La combinación de todos los elementos de simetría de un cristal, escrita. simbolos, se llama fórmula de simetría . La fórmula de simetría enumera primero los ejes de simetría, luego los planos de simetría y, por último, se muestra la presencia de un centro de simetría. No hay puntos ni comas entre símbolos. Por ejemplo, la fórmula de simetría de un paralelepípedo rectangular es: 3L 3 3PC; cubo – 3L 4 4L 3 6L 2 9PC.

Tipos de simetría cristalina

Tipos de simetría son las posibles combinaciones de elementos de simetría en los cristales. Cada tipo de simetría corresponde a una determinada fórmula de simetría.

En total, se ha demostrado teóricamente la presencia de 32 tipos de simetría en los cristales. Por tanto, hay un total de 32 fórmulas de simetría cristalina.

Todos los tipos de simetría se combinan en 7 pasos simetría, teniendo en cuenta la presencia de elementos de simetría característicos.

1. Primitivo – los tipos de simetría se combinan, representados solo por ejes de simetría únicos de diferentes órdenes: L 3, L 4, L 6.

2. Central – además de los ejes de simetría individuales, existe un centro de simetría; Además, junto con la presencia de ejes de simetría pares, también aparece un plano de simetría: L 3 C, L 4 PC, L 6 PC.

3. plano (plan - plano, griego) - hay un solo eje y planos de simetría: L 2 2P, L 4 4P.

4. Axial (eje - eje, griego) - solo están presentes ejes de simetría: 3L 2, L 3 3L 2, L 6 6L 2.

5. planoaxial – hay ejes, planos y un centro de simetría: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. Primitivo de inversión – la presencia de un único eje de simetría de inversión: L i 4, L i 6.

7. Plano de inversión – la presencia, además del eje de inversión, de ejes simples y planos de simetría: L i 4 4L 2 2P, L i 6 3L 2 3P.

Cada nivel de simetría combina diferentes cantidades tipos de simetría: del 2 al 7.

Singonías

Singonía es un grupo de tipos de simetría que tienen el mismo eje principal de simetría y el mismo nivel general de simetría (syn - similar, gonia - ángulo, literalmente: singonía - ángulo similar, griego). La transición de un sistema a otro va acompañada de un aumento en el grado de simetría de los cristales.

Hay 7 singonías en total. Para aumentar sucesivamente el grado de simetría de los cristales, se disponen de la siguiente manera.

1. triclínica La singonía (cuña - ángulo, pendiente, griego) recibió su nombre teniendo en cuenta la peculiaridad de los cristales de que los ángulos entre todas las caras son siempre oblicuos. Aparte de C, no hay otros elementos de simetría.

2. monoclínica (monos - uno, griego) - en una dirección entre las caras de los cristales el ángulo es siempre oblicuo. Los cristales pueden contener L 2 , P y C. Ninguno de los elementos de simetría se repite al menos dos veces.

3. Rómbico - debe su nombre a la sección transversal característica de los cristales (recuerde los ángulos rómbicos del primer tipo).

4. trigonal – llamado así por su característica sección transversal (triángulo) y ángulos poliédricos (trigonal, ditrigonal). Se requiere un L 3.

5. tetragonal – caracterizado por una sección transversal de forma cuadrada y ángulos poliédricos – tetragonal y ditetragonal. Debe estar presente L 4 o L i4.

6. Hexagonal – sección en forma de hexágono regular, ángulos poliédricos – hexagonal y dicegonal. es obligatoria la presencia de un L 6 o L i 6.

7. Cúbico – forma típica de cristal cúbico. Una combinación característica de elementos de simetría 4L 3.

Las singonías se combinan en 3 categorías : bajo, medio y alto.

Información relacionada.

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

Justificación metodológica de la lección.

Utilizar conocimientos de física, astronomía, ingeniería química y biología en una lección de geometría al resumir la sistematización de información sobre el tema. “Simetría en el espacio. Poliedros regulares. Elementos de simetría de poliedros regulares”.

Tipo de lección: una lección sobre la aplicación de los conocimientos, habilidades y habilidades de los estudiantes.

Objetivos de la lección:

Educativo: generalización y sistematización de información sobre poliedros regulares y sus elementos de simetría, aplicación de la simetría en el espacio.

Educativo:

Desarrollar la capacidad de expresar lógicamente los propios pensamientos utilizando el lenguaje literario;
Desarrollo de habilidades argumentativas;
Desarrollo de habilidades auditivas y distribución de la atención durante la escucha;
Desarrollar la capacidad de hacer preguntas aclaratorias;
Desarrollo de habilidades, conocimientos adquiridos en situaciones atípicas;
Desarrollar la capacidad de resaltar lo principal, comparar, generalizar;
Desarrollo del pensamiento abstracto y visual-figurativo.

Educativo: Fomentar el amor por el tema, fomentar la disciplina consciente, desarrollar habilidades de control y autocontrol, activando actividad cognitiva en equipo y la formación de habilidades de cooperación, comunicación interdisciplinaria. Inculcar sentimientos por la belleza, educación estética.

Principios del aprendizaje.

Didáctico:

Sistematicidad y coherencia de la formación.
Accesibilidad (confianza en el conocimiento de los estudiantes).
Individualización de la formación (contabilidad tipos psicológicos percepción del material por parte de los estudiantes, diferenciación del material didáctico para los trabajos).
Científico.
La conexión entre teoría y práctica.

Equipo de lección(medios de educación).

Pizarra magnética.
Modelos de poliedros, modelos de poliedros regulares. Mesa.
Tarjetas de tareas.
Sobre el escritorio de los estudiantes: libros de texto, cuadernos, bolígrafos y lápices, reglas. Notas de apoyo.

Estructura de la lección:

Etapa organizacional.
Etapa de revisión de tareas.
Etapa de prueba integral de conocimientos.
La etapa de generalización y sistematización del conocimiento.
Resumiendo la lección.
Etapa de información estudiantil tarea, instrucciones para su implementación.

Métodos de control actividades educacionales en esta lección:

Oral y escrito.
Frontal, grupal, individual.
Control final.

durante las clases

1. Etapa organizativa.

Saludo mutuo entre profesor y alumnos.

Informar el tema de la lección, plan de trabajo de la lección, generalización y sistematización de la información sobre el tema.

Establecer una meta.

2. Etapa de revisión de tareas. Modelos en blanco de poliedros.

3. Etapa de prueba integral de conocimientos.

Dictado matemático con verificación mutua (por escrito y entrega de fichas al profesor). Anexo 1.

Encuesta frontal:

Simetría en planimetría.
Tipos de simetría.
Propiedad de simetría.
Figuras que son simétricas a sí mismas.

4. Plan de lección.

Introducción al concepto de “simetría” y sus tipos, elementos de simetría de poliedros regulares;
Estudiar las manifestaciones de simetría en el mundo que nos rodea;
Perspectivas para el uso de la simetría en diversos campos de la actividad humana.
- Simetría en el espacio. Cuento del profesor con discusión.
- Simetría en la naturaleza. Rendimiento estudiantil. Respuestas a las preguntas de los estudiantes.
- Simetría en el arte: arquitectura, escultura, pintura. Rendimiento estudiantil. Respuestas a las preguntas de los estudiantes.
- Poliedros regulares. Historia del estudiante basada en modelos prefabricados.

Las preguntas se proporcionan a los estudiantes con anticipación.

Preguntas y tareas.

El concepto de poliedro.
Concepto de pirámide. Hacer modelos.
El concepto de prisma. Hacer modelos.

Individual:

De la literatura de referencia, haga una selección de materiales sobre poliedros regulares.
Preparar mensajes: “Simetría en el espacio”, “Simetría en la naturaleza”, “simetría en el arte”.
Realizar modelos de poliedros regulares.

Grupo:

Dé ejemplos del uso de la simetría en el espacio, la naturaleza y el arte.
Prepare información sobre el antiguo científico griego Platón.

Simetría en el espacio.

“La simetría... es una idea con la que el hombre ha intentado durante siglos explicar y crear orden, belleza y perfección”. Estas palabras pertenecen al famoso matemático Hermann Weyl.

En planimetría nos fijamos en figuras relativas a un punto y una recta. En estereometría se considera la simetría respecto de un punto, recta y plano.

Los puntos A y A 1 se llaman simétricos con respecto al punto O (centro de simetría), si O es la mitad del segmento AA 1. El punto O se considera simétrico consigo mismo. Dibujo.

Los puntos A y A 1 se llaman simétricos con respecto a la línea. A(eje de simetría), si la línea pasa por el medio del segmento AA 1 y es perpendicular a este segmento. Cada punto es recto A se considera simétrico consigo mismo. Dibujo. Una hoja, un copo de nieve, una mariposa son ejemplos de simetría axial. Apéndice 2.

Cada día, cada uno de nosotros ve un reflejo en el espejo varias veces al día. Es tan común que no nos sorprendemos, no hacemos preguntas, no hacemos descubrimientos. El filósofo alemán Immanuel Kant habló sobre imagen de espejo así: “¿Qué podría parecerse más a mi mano o a mi oreja que su propio reflejo en el espejo? Y, sin embargo, la mano que veo en el espejo no puede sustituir a la mano permanente…”

Esta es la simetría relativa al plano.

Los puntos A y A 1 se llaman simétricos con respecto al plano (plano de simetría) si el plano pasa por el centro del segmento AA 1 y es perpendicular a este segmento. Cada punto del plano se considera simétrico a sí mismo. Dibujo.

Introduzcamos los conceptos de centro, eje y plano de simetría de una figura.

Un punto (recta, plano) se llama centro (eje, plano) de simetría de una figura si cada punto de la figura es simétrico respecto de él a algún punto de la misma figura. Si una figura tiene un centro (eje, plano) de simetría, entonces se dice que tiene simetría central (axial, especular).

Simetría en la naturaleza.

“Una vez, mientras estaba frente a una pizarra y dibujaba con tiza diferentes figuras, de repente me asaltó el pensamiento: ¿por qué la simetría es agradable a la vista? ¿Qué es la simetría? Este es un sentimiento innato, me respondí. ¿En qué se basa? ¿Hay simetría en todo en la vida? - Nikolenka Irtenev hizo preguntas sobre "La adolescencia" de L. Tolstoi.

¿Por qué reina la simetría en la naturaleza? ¿Por qué todo lo que vive, desde los microorganismos hasta los humanos, es simétrico?

El predominio de la simetría en la naturaleza se explica por la fuerza de gravedad que actúa en todo el Universo. La acción de la gravedad o su ausencia se explica por el hecho de que tanto los cuerpos cósmicos que flotan en el Universo como los microorganismos suspendidos en el agua tienen la forma más alta de simetría: la esférica (con cualquier rotación con respecto al centro de la figura coincide consigo misma). Todos los organismos que crecen en un estado adherido (árboles) o viven en el fondo del océano (estrellas de mar), es decir. Los organismos para los que la dirección de la gravedad es decisiva tienen un eje de simetría. Para los animales capaces de moverse en el agua, el aire o la tierra, además de la dirección de la gravedad, también es importante la dirección del movimiento del animal. Estos animales tienen un plano de simetría. Los biólogos llaman a este plano bilateral y el tipo de simetría se llama espejo.

Ejemplos de simetría en la naturaleza viva son los insectos, es decir, las criaturas más bellas de la tierra: las mariposas, que son un ejemplo de simetría especular. Apéndice 2.

Casi todos los cristales de la naturaleza son simétricos. Apéndice 3.

Simetría en el arte (arquitectura, escultura, pintura, literatura, música, danza).

Al observar el mundo que lo rodea, el hombre ha tratado históricamente de mostrarlo de manera más o menos realista en varios tipos arte, por lo que es muy interesante considerar la simetría en la pintura, la escultura, la arquitectura, la literatura, la música y la danza.

Ya podemos ver la simetría en la pintura en las pinturas rupestres de los pueblos primitivos. En la antigüedad, una parte importante del arte del dibujo eran los iconos, en cuya creación los artistas utilizaban las propiedades de la simetría especular. Al mirarlas hoy, uno se sorprende por la asombrosa simetría en las imágenes de los santos, aunque a veces sucede algo interesante: en las imágenes asimétricas sentimos la simetría como una norma, de la que el artista se desvía bajo la influencia de factores externos.

Se pueden ver elementos de simetría en los planos generales de los edificios. Apéndice 4. La escultura y la pintura también proporcionan muchos ejemplos sorprendentes del uso de la simetría para resolver problemas estéticos. Ejemplos de ello son la tumba de Giuliano de' Medici del gran Miguel Ángel, el mosaico del ábside de la catedral de Santa Sofía en Kiev, que representa dos figuras de Cristo, uno dando la comunión con pan y el otro con vino.

La división simétrica de espejo de la figura de Cristo permitió representar simultáneamente dos momentos más importantes de la Eucaristía: la comunión con el vino, que significaba la sangre de Cristo. La división en espejo de Cristo fue una de las técnicas favoritas de la iconografía de la Última Cena. Apéndice 5.

La simetría, expulsada de la pintura y la arquitectura, ocupó gradualmente nuevas áreas de la vida de las personas: la música y la danza. Así, en la música del siglo XV se descubrió una nueva dirección: la polifonía imitativa, que es un análogo musical de un adorno; más tarde aparecieron fugas, versiones sonoras de un patrón complejo. En el género de canciones modernas, creo, el coro es un ejemplo de la simetría figurativa más simple a lo largo del eje (del texto de la canción). En los bailes que utilizan figuras y pasos que se repiten constantemente, también encontramos simetría, mira la imagen. Apéndice 6.

La literatura tampoco ignoró la simetría. Así, un ejemplo de simetría en la literatura pueden ser los palíndromos, estas son partes del texto cuya secuencia inversa y directa de letras coinciden. Por ejemplo, "Y la rosa cayó sobre la pata de Azor" (A. Fet), "Rara vez sostengo una colilla en la mano". Cómo caso especial palíndromos, conocemos muchas palabras en el idioma ruso que cambian de forma: kok, topot, kazak y muchas otras. Los acertijos (rebuses) a menudo se basan en el uso de tales palabras.

Poliedros regulares.

En geometría, una figura puede tener uno o más centros de simetría (ejes). Un poliedro convexo se llama regular si todas sus caras son poliedros regulares iguales y en cada uno de sus vértices converge el mismo número de aristas. Un ejemplo de poliedro regular es un cubo.

Demostremos que no existe ningún poliedro regular cuyas caras sean hexágonos regulares, heptágonos y en general en 6.

En el 6, el ángulo de cada polígono es mayor o igual a 120. En cambio, en cada vértice del poliedro debe haber al menos tres ángulos planos. pero 120

Por la misma razón, cada vértice de un poliedro regular puede ser vértice de 3, 4, 5 triángulos regulares, 3 cuadrados o 3 pentágonos regulares. Esto significa que sólo hay 5 poliedros regulares. Apéndice 7.

Un tetraedro es un tetraedro.
El hexaedro es un hexágono (cubo).
El octaedro es un octaedro.
El icosaedro es una estructura de veinte lados.
Dodecaedro es un dodecaedro.

Desde la antigüedad, los poliedros regulares han atraído la atención de científicos, arquitectos y artistas.

El antiguo científico griego Platón describió en detalle las propiedades de los poliedros regulares. Por eso se les llama sólidos platónicos. El libro 13 de los Elementos de Euclides está dedicado a los poliedros regulares. Platón creía que los átomos de fuego tienen la forma de un tetraedro, la tierra - un hexaedro, el aire - un octaedro, el agua - un icosaedro y el universo entero - la forma de un dodecaedro.

Los héroes del cuadro del pintor español S. Dalí en “La Última Cena” están sentados con el telón de fondo de un enorme dodecaedro. Apéndice 5. El artista A. Duder en el grabado "Melancolía" dio una imagen en perspectiva del dodecaedro. Apéndice 8.

Durante el Renacimiento, el temperamento melancólico se identificaba con la creatividad. En el grabado de Durero, la melancolía está rodeada de atributos de arquitectura y geometría, por lo que a los matemáticos les gusta considerar esta obra maestra del arte gráfico como la personificación del espíritu creativo de un matemático, y la propia melancolía como representante de las matemáticas en el mundo de la belleza. .

Etapa de consolidación y generalización.

Se ofrecen modelos de poliedros:

1) dar una descripción;

2) elige entre estos modelos de poliedros – Sólidos platónicos.

6. Etapa de prueba de conocimientos sobre el tema estudiado.

Ejecutar trabajo practico. Trabajo en equipo. Apéndice 9.

7. La conclusión de la lección la hacen los propios alumnos.

Entonces, ¿qué aprendimos hoy? ¿Qué recuerdas de nuestro tema de hoy?

Simetría en el espacio.
Simetría en la naturaleza.
Simetría en el arte: arquitectura, escultura, pintura.
Poliedros regulares.

Resumen de la lección.

Al calificar una lección, los alumnos entregan hojas de trabajos prácticos.

9. Información sobre los deberes.

1) Hacer manualidades o dibujar: formas geométricas, objetos, seres vivos que tengan un eje (centro) de simetría.

2) Tarea creativa individual para los estudiantes que recibieron buenas y excelentes calificaciones en la lección. Escribe un ensayo sobre el tema: "Simetría en la vida cotidiana, la tecnología y la física".

3) Presentación “Simetría a nuestro alrededor”

10. Lista de referencias.

Enciclopedia infantil, 3ª edición, “Pedagogía”, M., 1973.
L. Tarasov, Este mundo sorprendentemente simétrico, “Ilustración”, M., 1980.
SI. Sharygin, L. N. Erganzhieva. Geometría visual, “MIROS”, 1995.

Recursos de Internet.

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Propósito del estudio

Introducir a los estudiantes en un nuevo tipo de poliedros convexos: los poliedros regulares.
Mostrar la influencia de los poliedros regulares en el surgimiento de teorías filosóficas e hipótesis fantásticas.
Muestra la conexión entre geometría y naturaleza.
Estudiar los elementos de simetría de poliedros regulares.

Resultado previsto

Conoce la definición de poliedros convexos regulares.
Ser capaz de demostrar que sólo existen cinco tipos de este tipo de organismos.
Ser capaz de caracterizar cada tipo de poliedros regulares.
Conoce el teorema de Euler (sin demostración).
Tener un concepto de simetría en el espacio (central, axial, especular).
Conoce ejemplos de simetrías en el mundo que te rodea.
Conoce los elementos de simetría de cada poliedro regular.
Ser capaz de resolver problemas de búsqueda de elementos de poliedros regulares.

Plan de estudios

Organizar el tiempo.
Actualización de conocimientos.
Introducción de un nuevo concepto, el estudio de los poliedros regulares convexos.
Poliedros regulares en la imagen filosófica del mundo de Platón (mensaje para estudiantes).
La fórmula de Euler ( investigación clase).
Poliedros regulares (mensaje del estudiante).
Poliedros regulares en las pinturas de grandes artistas (mensajes estudiantiles).
Poliedros regulares y naturaleza (mensajes para estudiantes).
Elementos de simetría de poliedros regulares (mensajes de estudiantes).
Resolución de problemas.
Resumiendo la lección.
Tarea.

Equipo

Herramientas de dibujo.
Modelos de poliedros.
Reproducción del cuadro de S. Dalí "La última cena".
Computadora, proyector.
Ilustraciones para mensajes de estudiantes:
- modelo del sistema solar de I. Kepler;
- estructura icosaedro-dodecaedro de la tierra;
- Poliedros regulares en la naturaleza.

"Hay alarmantemente pocos poliedros regulares, pero este es muy modesto
En términos numéricos, el destacamento pudo penetrar en las profundidades de diversas ciencias".
carroll

durante las clases

En este punto, ya tienes una idea de poliedros como un prisma y una pirámide. En la lección de hoy tienes la oportunidad de ampliar significativamente tus conocimientos sobre los poliedros, aprenderás sobre los llamados poliedros regulares convexos. Ya está familiarizado con algunos conceptos: poliedros y poliedros convexos. Recordémoslos.

Da la definición de poliedro.
¿Qué poliedro se llama convexo?

Ya hemos usado las frases " prismas correctos" y "pirámides regulares". Resulta que una nueva combinación de conceptos familiares forma un concepto completamente nuevo desde un punto de vista geométrico. ¿Qué poliedros convexos llamaremos regulares? Escuche atentamente la definición.

Un poliedro convexo se llama regular si sus caras son poliedros regulares con el mismo número de lados y el mismo número de aristas convergen en cada vértice del poliedro.

Puede parecer que la segunda parte de la definición es superflua y basta decir que un poliedro convexo se llama regular si sus caras son poliedros regulares con el mismo número de lados. ¿Es esto realmente suficiente?

Mira el poliedro. (Se demuestra un modelo de poliedro, que se obtiene a partir de dos tetraedros regulares pegados entre sí con una cara). ¿Da la impresión de un poliedro regular? ( ¡No!). Miremos sus caras: triángulos regulares. Contamos el número de aristas que convergen en cada vértice. En algunos vértices se encuentran tres aristas, en otros cuatro. La segunda parte de la definición de poliedro convexo regular no se cumple y el poliedro en cuestión, de hecho, no es regular. Entonces, cuando des una definición, ten en cuenta ambas partes.

Hay cinco tipos de poliedros convexos regulares. Sus caras son triángulos regulares, cuadriláteros (cuadrados) regulares y pentágonos regulares.

Demostremos que no existe ningún poliedro regular cuyas caras sean hexágonos regulares, heptágonos y, en general, n-gonos para n 6.

De hecho, el ángulo de un n-gón regular en n 6 no es menor que 120° (explique por qué). Por otro lado, en cada vértice de un poliedro debe haber al menos tres ángulos planos. Por lo tanto, si hubiera un poliedro regular cuyas caras fueran n-gonos regulares con n 6, entonces la suma de los ángulos planos en cada vértice de dicho poliedro sería no menor que 120 o * 3 = 360 o . Pero esto es imposible, ya que la suma de todos los ángulos planos en cada vértice de un poliedro convexo es menor que 360 grados.

Por la misma razón, cada vértice de un poliedro regular puede ser el vértice de tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros, o de cuadrados, o de tres pentágonos regulares. No hay otras posibilidades. De acuerdo con esto, obtenemos los siguientes poliedros regulares.

Los nombres de estos poliedros proceden de la Antigua Grecia, e indican el número de caras:

"edra" - borde
"tetra" - 4
"hexa" - 6
"okta" - 8
"Ikosa" - 20
"dodeka" - 12

Es necesario recordar los nombres de estos poliedros, poder caracterizar cada uno de ellos y demostrar que no existen otros tipos de poliedros regulares además de los cinco enumerados.

Llamo la atención sobre las palabras de L. Carroll, que son el epígrafe de la lección de hoy: "Hay alarmantemente pocos poliedros regulares, pero este equipo muy modesto logró adentrarse en las profundidades de diversas ciencias".

Los científicos nos contarán cómo se utilizaban los poliedros regulares en sus fantasías científicas:

Mensaje "Los poliedros regulares en la imagen filosófica del mundo de Platón"

Los poliedros regulares a veces se denominan sólidos platónicos porque ocupan un lugar destacado en la cosmovisión filosófica desarrollada por el gran pensador de la antigua Grecia, Platón (c. 428 - c. 348 a. C.).

Platón creía que el mundo está construido a partir de cuatro "elementos": fuego, tierra, aire y agua, y los átomos de estos "elementos" tienen la forma de cuatro poliedros regulares. El tetraedro personificaba el fuego, ya que su vértice apunta hacia arriba, como una llama ardiente; icosaedro, como el más aerodinámico, agua; el cubo es la más estable de las figuras: la tierra y el octaedro es el aire. Hoy en día, este sistema se puede comparar con los cuatro estados de la materia: sólido, líquido, gaseoso y en llamas. El quinto poliedro, el dodecaedro, simbolizaba el mundo entero y era considerado el más importante.

Este fue uno de los primeros intentos de introducir la idea de sistematización en la ciencia.

Maestro. Y ahora, de la Antigua Grecia, pasemos a la Europa de los siglos XVI y XVII, cuando vivió y trabajó el maravilloso astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1571 - 1630).

Mensaje "Copa Kepler"

Fig.6. Modelo sistema solar yo kepler

Imaginémonos en el lugar de Kepler. Frente a él hay varias tablas: columnas de números. Estos son los resultados de las observaciones del movimiento de los planetas del sistema solar, tanto los propios como los de sus grandes predecesores, los astrónomos. En este mundo del trabajo computacional, quiere encontrar algunos patrones. Johannes Kepler, para quien los poliedros regulares eran un tema de estudio favorito, sugirió que existía una conexión entre los cinco poliedros regulares y los seis planetas del sistema solar descubiertos en ese momento. Según esta suposición, se puede inscribir un cubo en la esfera de la órbita de Saturno, en la que

encaja en la esfera orbital de Júpiter. En ella encaja, a su vez, el tetraedro descrito cerca de la esfera de la órbita de Marte. El dodecaedro encaja en la esfera de la órbita de Marte, en la que encaja la esfera de la órbita de la Tierra. Y se describe cerca del icosaedro, en el que está inscrita la esfera de la órbita de Venus. La esfera de este planeta se describe alrededor del octaedro, en el que encaja la esfera de Mercurio.

Este modelo del Sistema Solar (Fig. 6) fue llamado “Copa Cósmica” de Kepler. El científico publicó los resultados de sus cálculos en el libro "El misterio del universo". Creía que el secreto del Universo había sido revelado.

Año tras año, el científico perfeccionó sus observaciones, volvió a verificar los datos de sus colegas, pero finalmente encontró la fuerza para abandonar la tentadora hipótesis. Sin embargo, sus huellas son visibles en la tercera ley de Kepler, que habla de cubos a distancias medias del Sol.

Maestro. Hoy podemos decir con seguridad que las distancias entre los planetas y su número no tienen ninguna relación con los poliedros. Por supuesto, la estructura del sistema solar no es aleatoria, pero aún se desconocen las verdaderas razones por las que está estructurado de esta manera y no de otra manera. Las ideas de Kepler resultaron erróneas, pero sin hipótesis, a veces las más inesperadas, aparentemente locas, la ciencia no puede existir.

Mensaje "Estructura icosaédrica-dodecaédrica de la Tierra"

Figura 7. Estructura icosaédrica-dodecaédrica de la Tierra.

Las ideas de Platón y Kepler sobre la conexión de los poliedros regulares con la estructura armoniosa del mundo en nuestro tiempo tuvieron continuación en una interesante hipótesis científica, que a principios de los años 80. expresado por los ingenieros moscovitas V. Makarov y V. Morozov. Creen que el núcleo de la Tierra tiene la forma y las propiedades de un cristal en crecimiento, lo que influye en el desarrollo de todos los procesos naturales que ocurren en el planeta. Los rayos de este cristal, o mejor dicho, su campo de fuerza, determinan la estructura icosaedro-dodecaedro de la Tierra (Fig. 7). Se manifiesta en el hecho de que la corteza terrestre como si proyecciones de aquellos inscritos en Tierra Poliedros regulares: icosaedro y dodecaedro.

Muchos depósitos minerales se extienden a lo largo de una cuadrícula de icosaedro-dodecaedro; Los 62 vértices y puntos medios de las aristas de los poliedros, llamados por los autores nodos, tienen una serie de propiedades específicas que permiten explicar algunos fenómenos incomprensibles. Aquí es donde se encuentran los puntos calientes. culturas antiguas y civilizaciones: Perú, Norte de Mongolia, Haití, cultura Ob y otras. En estos puntos se observan presiones atmosféricas máximas y mínimas y remolinos gigantes del Océano Mundial. Estos nodos contienen el lago Ness y el Triángulo de las Bermudas. Otros estudios de la Tierra pueden determinar la actitud ante esta hipótesis científica, en la que, como puede verse, los poliedros regulares ocupan un lugar importante.

Maestro. Y ahora pasemos de las hipótesis científicas a los hechos científicos.

Trabajo de investigación "Fórmula de Euler"

A la hora de estudiar cualquier poliedro, lo más natural es contar cuántas caras tiene, cuántas aristas y vértices tiene. También calcularemos el número de elementos indicados de los sólidos platónicos e ingresaremos los resultados en la tabla No. 1.

Al analizar el cuadro No. 1, surge la pregunta: “¿Existe un patrón en los números crecientes en cada columna?” Aparentemente no. Por ejemplo, en la columna "caras", parecería que se ve un patrón (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), pero luego se viola el patrón deseado (8 + 2 12, 12 + 2 20) . Ni siquiera hay un aumento estable en la columna de "tops".

El número de vértices aumenta (de 4 a 8, de 6 a 20) o, a veces, disminuye (de 8 a 6, de 20 a 12). En la columna "bordes" tampoco se ve ningún patrón.

Pero puedes considerar la suma de números en dos columnas, al menos en las columnas "aristas" y "vértices" (G + V). Creemos una nueva tabla de nuestros cálculos (ver Tabla No. 2). Ahora sólo los “ciegos” pueden no darse cuenta de los patrones. Formulémoslo así: “La suma del número de caras y vértices es igual al número de aristas aumentado en 2”, es decir

G + B = P + 2

Así, juntos “descubrimos” una fórmula que ya había advertido Descartes en 1640 y posteriormente redescubierta por Euler (1752), cuyo nombre lleva desde entonces. La fórmula de Euler es válida para cualquier poliedro convexo.

Recuerda esta fórmula, te será útil para solucionar algunos problemas.

"La última cena" de S. Dali

Escultores, arquitectos y artistas también mostraron gran interés por las formas de los poliedros regulares. Todos quedaron asombrados por la perfección y armonía de los poliedros. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) estaba interesado en la teoría de los poliedros y, a menudo, los representaba en sus lienzos. En el cuadro "La Última Cena", Salvador Dalí representó a Jesucristo con sus discípulos con el telón de fondo de un enorme dodecaedro transparente.

Los científicos han estudiado bastante bien los poliedros convexos regulares; se ha demostrado que solo existen cinco tipos de tales poliedros, pero ¿los inventó el hombre mismo? Lo más probable es que no, los "divisó" en la naturaleza.

Escuchemos el mensaje: "Los poliedros regulares y la naturaleza".

Mensaje "Poliedros regulares y naturaleza"

Los poliedros regulares se encuentran en la naturaleza viva. Por ejemplo, el esqueleto del organismo unicelular Feodaria ( Circjgjnia icosahtdra ) tiene forma de icosaedro (Fig. 8).

¿Qué causó esta geometrización natural de feodaria? Aparentemente, debido a que todos los poliedros tienen el mismo número de caras, es el icosaedro el que tiene el mayor volumen con la menor superficie. Esta propiedad ayuda al organismo marino a superar la presión de la columna de agua.

Los poliedros regulares son las figuras más ventajosas. Y la naturaleza hace un amplio uso de esto. Esto lo confirma la forma de algunos cristales. Tomemos como ejemplo la sal de mesa, de la que no podemos prescindir.

Se sabe que es soluble en agua y sirve como conductor de corriente eléctrica. y los cristales sal de mesa(NaCl) tienen forma de cubo. En la producción de aluminio se utiliza cuarzo de aluminio y potasio, cuyo monocristal tiene la forma de un octaedro regular. La producción de ácido sulfúrico, hierro y tipos especiales de cemento no está completa sin pirita-sulfuro (FeS). cristales de este sustancia química tiene forma de dodecaedro.

El sulfato de antimonio y sodio, una sustancia sintetizada por los científicos, se utiliza en diversas reacciones químicas. El cristal de sulfato de antimonio y sodio tiene forma de tetraedro.

El último poliedro regular, el icosaedro, tiene la forma de cristales de boro (B). Hubo un tiempo en que el boro se utilizaba para crear semiconductores de primera generación.

Maestro. Entonces, gracias a los poliedros regulares, no solo se revelan propiedades asombrosas. formas geométricas, pero también formas de entender la armonía natural. Escuchemos el mensaje sobre la simetría de los poliedros regulares.

Sin embargo, volvemos nuevamente a los cálculos.

Resolvamos varios problemas.

Tarea. Determine el número de caras, vértices y aristas del poliedro que se muestra en la Figura 9. Compruebe la viabilidad de la fórmula de Euler para este poliedro.

Problema: No. 28.

La lección llega a su fin, resumamos.

¿Qué nuevos cuerpos geométricos hemos conocido hoy?
¿Por qué L. Carroll valoró tanto la importancia de estos poliedros?

En casa: párrafo 3, párrafo 32, núm. 274, 279. Arroz. 9

Literatura.

Azevich a.i. Veinte lecciones de armonía: curso de humanidades y matemáticas. M.: Shkola-Press, 1998. (Biblioteca de la revista "Mathematics at School". Número 7).
Winniger. Modelos de poliedros. M., 1975.
Geometría: libro de texto. para 10-11 grados. educación general instituciones / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kardomtsev y otros - 5ª ed. - M.: Educación, 1997.
Grosman S., Turner J. Matemáticas para biólogos. M., 1983.
Kovantsov N.I. Matemáticas y romance. Kyiv, 1976.
Smirnova I.M. En el mundo de los poliedros. M., 1990.
Shafranovsky I.I. Simetría en la naturaleza. L., 1988.

TRANSCRIPCIÓN DE TEXTO DE LA LECCIÓN:

Nuestro conocimiento de los poliedros continúa.

Recuerde que un poliedro se llama regular si se cumplen las siguientes condiciones:

1.poliedro convexo;

2. todas sus caras son polígonos regulares iguales;

3. en cada uno de sus vértices converge el mismo número de caras;

4. todos sus ángulos diédricos son iguales.

En lecciones anteriores, aprendiste sobre la existencia única de cinco tipos de poliedros regulares:

tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro (cubo) y dodecaedro.

Hoy veremos los elementos de simetría de los poliedros regulares estudiados.

Un tetraedro regular no tiene centro de simetría.

Su eje de simetría es una línea recta que pasa por los puntos medios de aristas opuestas.

El plano de simetría es el plano que pasa por cualquier arista perpendicular al borde opuesto.

Un tetraedro regular tiene tres ejes de simetría y seis planos de simetría.

El cubo tiene un centro de simetría: este es el punto de intersección de sus diagonales.

Los ejes de simetría son rectas que pasan por los centros de caras opuestas y por los puntos medios de dos aristas opuestas que no pertenecen a la misma cara.

El cubo tiene nueve ejes de simetría que pasan por el centro de simetría.

Un plano que pasa por dos ejes de simetría cualesquiera es un plano de simetría.

El cubo tiene nueve planos de simetría.

Un octaedro regular tiene un centro de simetría: el centro del octaedro, 9 ejes de simetría y 9 planos de simetría: tres ejes de simetría pasan por los vértices opuestos, seis por los puntos medios de los bordes.

El centro de simetría de un octaedro es el punto de intersección de sus ejes de simetría.

Tres de los 9 planos de simetría del tetraedro pasan por cada 4 vértices del octaedro que se encuentran en el mismo plano.

Seis planos de simetría pasan por dos vértices que no pertenecen a la misma cara y por los puntos medios de aristas opuestas.

Un icosaedro regular tiene 12 vértices. El icosaedro tiene un centro de simetría: el centro del icosaedro, 15 ejes de simetría y 15 planos de simetría: cinco planos de simetría pasan a través del primer par de vértices opuestos (cada uno de ellos pasa a través de un borde que contiene el vértice, perpendicular a el ángulo opuesto).

Para el tercer par obtenemos 3 aviones nuevos, para el cuarto dos aviones y para el quinto par solo un avión nuevo.

Ningún nuevo plano de simetría pasará por el sexto par de vértices.

Un dodecaedro regular consta de doce pentágonos regulares. El dodecaedro tiene un centro de simetría: el centro del dodecaedro, 15 ejes de simetría y 15 planos de simetría: los planos de simetría pasan por el borde que contiene el vértice, perpendicular al borde opuesto. Por lo tanto, 5 aviones pasan por el primer par de pentágonos opuestos, 4 por el segundo par, 3 por el tercero, 2 por el cuarto y 1 por el quinto.

Resolvamos varias tareas utilizando los conocimientos adquiridos.

Demuestre que en un tetraedro regular los segmentos que conectan los centros de sus caras son iguales.

Como todas las caras de un tetraedro regular son iguales y cualquiera de ellas puede considerarse base, y las otras tres pueden considerarse caras laterales, bastará con demostrar la igualdad de los segmentos OM y ON.

Prueba:

1.Construcción adicional: trazar una línea recta DN hasta que se cruce con el lado AC, obteniendo el punto F;

trazamos la recta DM hasta que se cruce con el lado AB, obtenemos el punto E.

Luego conecte el vértice A al punto F;

vértice C con el punto E.

2. Considere los triángulos DEO y DOP, ellos

rectangular, porque DO es la altura del tetraedro, entonces son iguales en hipotenusa y cateto: DO-total, DE = DF (alturas de caras iguales del tetraedro)).

De la igualdad de estos triángulos se deduce que OE=OF, ME=NF (puntos medios de lados iguales),

ángulo DEO igual al ángulo DFO.

3. De lo demostrado anteriormente se deduce que los triángulos OEM y OFN son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos (ver punto 2).

Y de la igualdad de estos triángulos se deduce que OM = ON.

Q.E.D.

¿Existe una pirámide cuadrangular cuyos lados opuestos sean perpendiculares a la base?

Demostremos que tal pirámide no existe por contradicción.

Prueba:

1. Deje que el borde PA1 sea perpendicular a la base de la pirámide y el borde PA2 también perpendicular a la base.

2. Luego, según el teorema (dos rectas perpendiculares a la tercera son paralelas), obtenemos que la arista RA1 es paralela a la arista RA2.

3. Pero la pirámide tiene un punto común para todos los bordes laterales (y por lo tanto, las caras): la cima de la pirámide.

Hemos obtenido una contradicción, por lo tanto no existe ninguna pirámide cuadrangular cuyas caras opuestas sean perpendiculares a la base.

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Títulos de diapositivas:

Elementos de simetría de poliedros regulares Geometría. Grado 10.

Tetraedro - (del griego tetra - cuatro y hedra - cara): un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros. De la definición de poliedro regular se deduce que todas las aristas del tetraedro tienen la misma longitud y las caras son área igual. Elementos de simetría de un tetraedro Un tetraedro tiene tres ejes de simetría que pasan por los puntos medios de las aristas que se cruzan. El tetraedro tiene 6 planos de simetría, cada uno de los cuales pasa por una arista del tetraedro perpendicular a la arista que lo intersecta.

Octaedro - (del griego okto - ocho y hedra - cara): un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros. Un octaedro tiene 6 vértices y 12 aristas. Cada vértice del octaedro es el vértice de 4 triángulos, por lo que la suma de los ángulos planos en el vértice del octaedro es 240°. Elementos de simetría del octaedro Tres de los 9 ejes de simetría del octaedro pasan por vértices opuestos, seis por el centro de las aristas. El centro de simetría de un octaedro es el punto de intersección de sus ejes de simetría. Tres de los 9 planos de simetría del tetraedro pasan por cada 4 vértices del octaedro que se encuentran en el mismo plano. Seis planos de simetría pasan por dos vértices que no pertenecen a la misma cara y por los puntos medios de aristas opuestas.

Icosaedro – (del griego ico - seis y hedra - cara) un poliedro convexo regular formado por 20 triángulos regulares. Cada uno de los 12 vértices del icosaedro es el vértice de 5 triángulos equiláteros, por lo que la suma de los ángulos en el vértice es 300°. Elementos de simetría y el cosaedro El icosaedro regular tiene 15 ejes de simetría, cada uno de los cuales pasa por los puntos medios de aristas paralelas opuestas. El punto de intersección de todos los ejes de simetría del icosaedro es su centro de simetría. También hay 15 planos de simetría. Los planos de simetría pasan por cuatro vértices que se encuentran en el mismo plano y los puntos medios de aristas paralelas opuestas.

Un cubo o hexaedro (del griego hex - seis y hedra - cara) se compone de 6 cuadrados. Cada uno de los 8 vértices del cubo es el vértice de 3 cuadrados, por lo que la suma de los ángulos planos en cada vértice es 270 0. Un cubo tiene 12 aristas de igual longitud. Elementos de simetría de un cubo El eje de simetría de un cubo puede pasar por los puntos medios de aristas paralelas que no pertenecen a la misma cara, o por el punto de intersección de las diagonales de caras opuestas. El centro de simetría de un cubo es el punto de intersección de sus diagonales. Hay 9 ejes de simetría que pasan por el centro de simetría. El cubo también tiene 9 planos de simetría y pasan por aristas opuestas (hay 6 de esos planos) o por el centro de aristas opuestas (hay 3 de estos).

El dodecaedro (del griego dodeka - doce y hedra - cara) es un poliedro regular compuesto por 12 pentágonos equiláteros. El dodecaedro tiene 20 vértices y 30 aristas. El vértice del dodecaedro es el vértice de tres pentágonos, por lo que la suma de los ángulos planos en cada vértice es 324 0. Elementos de simetría del dodecaedro El dodecaedro tiene un centro de simetría y 15 ejes de simetría. Cada uno de los ejes pasa por los puntos medios de aristas paralelas opuestas. El dodecaedro tiene 15 planos de simetría. Cualquiera de los planos de simetría pasa en cada cara por la parte superior y media del borde opuesto.

Desarrollos de poliedros regulares Un desarrollo es una forma de desplegar un poliedro en un plano después de realizar cortes a lo largo de varias aristas. La red es un polígono plano formado por polígonos más pequeños: las caras del poliedro original. Un mismo poliedro puede tener varios desarrollos distintos.