Cómo multiplicar las fracciones ordinarias con enteros. Fracción. Multiplicación y división de fracciones.
) Y el denominador en el denominador (obtenemos un denominador del trabajo).
Fracciones de multiplicación de fórmulas:
Por ejemplo:
Antes de continuar con la multiplicación de números y denominadores, es necesario verificar la posibilidad de cortar la fracción. Si resulta acortar la fracción, entonces será más fácil llevar a cabo cálculos.
División de la fracción ordinaria en la fracción.
Fracciones de división con la participación de un número natural.
No es tan aterrador como parece. Como en el caso de agregar, traducimos un entero en la fracción con una unidad en el denominador. Por ejemplo:
Multiplicando las fracciones mezcladas.
Reglas de multiplicación de fracciones (mixtas):
- transformamos las fracciones mezcladas en el mal;
- reducir los números y denominadores de fracciones;
- reduciendo la fracción;
- si se recibe fracción irregular, Transformamos la fracción incorrecta en mixta.
¡Nota! Multiplicar fracción mixta A otra fracción mixta, debe comenzar, guíales a la mente de las fracciones equivocadas, y luego multiplica por la regla de la multiplicación de las fracciones ordinarias.
El segundo método de multiplicación de la fracción en un número natural.
Es más conveniente usar la segunda forma de multiplicar una fracción ordinaria para un número.
¡Nota! Para multiplicar la fracción en un número natural, un denominador de una fracción es dividir en este número, y el numerador se deja sin cambios.
A partir de lo anterior, el ejemplo está claro que esta opción es más conveniente para usar cuando el denoter de la fracción se divide sin un residuo en un número natural.
Fracciones de varios pisos.
En clases de secundaria, se encuentran fracciones de tres pisos (o más). Ejemplo:
Para traer tal fracción a la mente habitual, usar la división después de 2 puntos:
¡Nota!En la división de fracciones, el orden de la división es muy importante. Tenga cuidado, es fácil confundirse aquí.
Nota, p.ej:
Al dividir las unidades en cualquier fracción, el resultado será la misma fracción, solo invertida:
Consejos prácticos al multiplicar y dividir fracciones:
1. Lo más importante para trabajar con expresiones fraccionadas es la precisión y la atención. Todos los cálculos hacen cuidadosamente y suavemente, concentrativamente y claramente. Será mejor anotar algunas líneas innecesarias en los borradores, que confundirse en los cálculos en la mente.
2. En tareas con especies diferentes Fracciones: van a la forma de fracciones ordinarias.
3. Todas las fracciones reducen hasta que sea imposible cortar.
4. Las expresiones fraccionadas de varios pisos están en forma de ordinaria, utilizando la división después de 2 puntos.
5. Unidad de fracción dividida en mente, simplemente girando la fracción.
Para multiplicar correctamente la fracción de la fracción o fracción del número, debe conocer reglas simples. Estas reglas ahora miran en detalle.
Multiplicando la fracción ordinaria para la fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, es necesario calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas franes.
\\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \\ veces \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (A \\ veces c) (b \\ veces d) \\\\\\)
Considere un ejemplo:
Somos un numerador de la primera fracción que multiplicamos con la segunda fracción con un numerador, también el denominador del primer Fraci se multiplica con el denominador de la segunda fracción.
\\ (\\ Frac (6) (7) \\ veces \\ frac (2) (3) \u003d \\ frac (6 \\ veces 2) (7 \\ veces 3) \u003d \\ frac (12) (21) \u003d \\ frac (4 \\ Veces 3) (7 \\ veces 3) \u003d \\ frac (4) (7) \\\\\\)
La fracción \\ (\\ frac (12) (21) \u003d \\ frac (4 \\ veces 3) (7 \\ veces 3) \u003d \\ frac (4) (7) \\\\\\\\) se redujo en 3.
Multiplicando las fracciones por número.
Para empezar, recuerda la regla. cualquier número se puede representar como fracción \\ (\\ bf n \u003d \\ frac (n) (1) \\).
Utilizamos esta regla al multiplicar.
\\ (5 \\ Times \\ FRC (4) (7) \u003d \\ frac (5) (1) \\ veces \\ frac (4) (7) \u003d \\ frac (5 \\ veces 4) (1 \\ veces 7) \u003d \\ frac (20) (7) \u003d 2 \\ FRAC (6) (7) \\\\\\)
Fracción incorrecta \\ (\\ frac (20) (7) \u003d \\ frac (14 + 6) (7) \u003d \\ frac (14) (7) + \\ frac (6) (7) \u003d 2 + \\ frac (6) ( 7) \u003d 2 \\ FRC (6) (7) \\\\\\) se transfirió a una fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar el número de fracción, el número se multiplica por el numerador, y el denominador se deja sin cambios. Ejemplo:
\\ (\\ Frac (2) (5) \\ veces 3 \u003d \\ frac (2 \\ veces 3) (5) \u003d \\ FRAC (6) (5) \u003d 1 \\ FRAC (1) (5) \\\\\\\\\\\\ ) \\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \\ veces c \u003d \\ frac (A \\ Times C) (B) \\\\\\)
Multiplicando las fracciones mezcladas.
Para multiplicar las fracciones mezcladas, primero debe imaginar cada fracción mixta en forma de fracciones incorrectamente, y luego usar la regla de multiplicación. El numerador se multiplica con el numerador, el denominador se multiplicó con el denominador.
Ejemplo:
\\ (2 \\ FRAC (1) (4) \\ veces 3 \\ FRAC (5) (6) \u003d \\ FRC (9) (4) \\ Times \\ FRAC (23) (6) \u003d \\ FRC (9 \\ Times 23) (4 \\ Times 6) \u003d \\ FRAC (3 \\ Times \\ Color (Red) (3) \\ Times 23) (4 \\ Times 2 \\ Times \\ Color (Red) (3)) \u003d \\ FRC (69) (8) \u003d 8 \\ FRAC (5) (8) \\\\\\)
Multiplicando mutuamente fracciones y números.
La fracción \\ (\\ BF \\ FRC (A) (B) \\) está inversa para la fracción \\ (\\ BF \\ FRAC (B) (A) \\), bajo la condición A ≠ 0, B ≠ 0.
La fracción \\ (\\ bf \\ frac (a) (b) \\) y \\ (\\ bf \\ frac (b) (A) \\) se llama fracciones de devolución mutuamente. El trabajo de las fracciones de contracción mutuamente es 1.
\\ (\\ BF \\ FRAC (A) (B) \\ Times \\ FRAC (B) (A) \u003d 1 \\\\\\)
Ejemplo:
\\ (\\ Frac (5) (9) \\ veces \\ frac (9) (5) \u003d \\ frac (45) (45) \u003d 1 \\\\\\)
Preguntas sobre el tema:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación de un numerador con un numerador, denominador con un denominador. Para obtener un producto de fracciones mixtas, debe traducirlas a la fracción incorrecta y multiplicar por las reglas.
¿Cómo hacer la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: No importa lo mismo o diferentes denominantes En las fracciones, la multiplicación se produce de acuerdo con la regla del producto de un numerador con un numerador, denominador con un denominador.
¿Cómo multiplicar las fracciones mezcladas?
Respuesta: En primer lugar, es necesario traducir una fracción mixta a la fracción incorrecta y encontrar un producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar el número de la fracción?
Respuesta: El número se multiplica con el numerador, y el denominador deja lo mismo.
Ejemplo número 1:
Calcule el trabajo: a) \\ (\\ frac (8) (9) \\ veces \\ frac (7) (11) \\) b) \\ (\\ frac (2) (15) \\ veces \\ frac (10) (13) \\)
Decisión:
a) \\ (\\ frac (8) (9) \\ veces \\ frac (7) (11) \u003d \\ frac (8 \\ veces 7) (9 \\ veces 11) \u003d \\ frac (56) (99) \\\\\\\\\\ \\)
b) \\ (\\ frac (2) (15) \\ veces \\ frac (10) (13) \u003d \\ frac (2 \\ veces 10) (15 \\ veces 13) \u003d \\ FRAC (2 \\ Times 2 \\ Times \\ Color ( Rojo) (5)) (3 \\ veces \\ color (rojo) (5) \\ veces 13) \u003d \\ frac (4) (39) \\)
Ejemplo número 2:
Calcule las obras de números y fracciones: a) \\ (3 \\ Times \\ FRAC (17) (23) \\) B) \\ (\\ frac (2) (3) \\ veces 11 \\)
Decisión:
A) \\ (3 \\ Times \\ FRC (17) (23) \u003d \\ FRAC (3) (1) \\ Times \\ FRC (17) (23) \u003d \\ FRAC (3 \\ Times 17) (1 \\ Times 23) \u003d \\ FRC (51) (23) \u003d 2 \\ FRAC (5) (23) \\\\\\\\\\)
b) \\ (\\ frac (2) (3) \\ veces 11 \u003d \\ frac (2) (3) \\ veces \\ frac (11) (1) \u003d \\ frac (2 \\ veces 11) (3 \\ veces 1) \u003d \\ Frac (22) (3) \u003d 7 \\ frac (1) (3) \\)
Ejemplo número 3:
Escriba la fracción inversa del número \\ (\\ frac (1) (3) \\)?
Respuesta: \\ (\\ FRAC (3) (1) \u003d 3 \\)
Ejemplo número 4:
Calcule el producto de dos fracciones de inversión mutuamente: A) \\ (\\ FRAC (104) (215) \\ Times \\ FRC (215) (104) \\)
Decisión:
a) \\ (\\ frac (104) (215) \\ veces \\ frac (215) (104) \u003d 1 \\)
Ejemplo número 5:
Se pueden revertir mutuamente las fracciones ser:
a) al mismo tiempo las fracciones correctas;
b) Fracciones simultáneamente incorrectas;
c) ¿Simultáneamente con números naturales?
Decisión:
a) Para responder a la primera pregunta, dar un ejemplo. La fracción \\ (\\ FRAC (2) (3) \\) es correcta, la fracción inversa a él será igual a \\ (\\ FRAC (3) (2) \\) - Fracción incorrecta. Respuesta: No.
b) Casi con todas las franes de fracciones, esta condición no se realiza, pero hay algunos números que cumplen con la condición de ser una fracción incorrecta simultáneamente. Por ejemplo, la fracción incorrecta \\ (\\ FRC (3) (3) \\), la contaminación de la fracción es igual a \\ (\\ FRAC (3) (3) \\). Obtenemos dos fracciones incorrectas. Respuesta: No siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) Los números naturales son los números que usamos con la puntuación, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \\ (3 \u003d \\ FRAC (3) (1) \\), entonces la fracción transversal será \\ (\\ FRAC (1) (3) \\). La fracción \\ (\\ frac (1) (3) \\) no es un número natural. Si ejecutamos todos los números, siempre está fragmentado, excepto 1. Si tomamos el número 1, el converso de la fracción será \\ (\\ FRAC (1) (1) \u003d \\ FRAC (1) (1) \u003d 1 \\). Número natural número 1. Respuesta: Puede ser un número simultáneo natural solo en un caso, si es el número 1.
Ejemplo número 6:
Realizar un producto de fracciones mixtas: A) \\ (4 \\ Times 2 \\ FRAC (4) (5) \\) B) \\ (1 \\ frac (1) (4) \\ veces 3 \\ frac (2) (7) \\ )
Decisión:
a) \\ (4 \\ veces 2 \\ frac (4) (5) \u003d \\ frac (4) (1) \\ veces \\ frac (14) (5) \u003d \\ frac (56) (5) \u003d 11 \\ frac (1 )(cinco)\\\\\\\\ \\)
b) \\ (1 \\ frac (1) (4) \\ veces 3 \\ frac (2) (7) \u003d \\ frac (5) (4) \\ veces \\ frac (23) (7) \u003d \\ frac (115) ( 28) \u003d 4 \\ frac (3) (7) \\)
Ejemplo número 7:
¿Pueden los dos números invertidos mutuamente ser los números simultáneamente mezclados?
Considere en el ejemplo. Tome una fracción mixta \\ (1 \\ FRAC (1) (2) \\), encontraremos un disparo de espalda para ello, ya que esto lo traducimos en el disparo incorrecto \\ (1 \\ FRC (1) (2) \u003d \\ FRAC (3) (2) \\). La fracción inversa a él será igual a \\ (\\ FRAC (2) (3) \\). La fracción \\ (\\ frac (2) (3) \\) es la fracción correcta. Respuesta: Invertir mutuamente Invertir dos fracciones simultáneamente números mixtos no pueden ser.
Multiplicación de fracciones ordinarias
Considere un ejemplo.
Suponer que en un plato se encuentra $ \\ FRAC (1) (3) $ parte de la manzana. Es necesario encontrar $ \\ frac (1) (2) $ parte de ella. La parte necesaria es el resultado de la multiplicación de las fracciones de $ \\ frac (1) (3) $ y $ \\ frac (1) (2) $. El resultado de la multiplicación de dos fracciones ordinarias es una fracción ordinaria.
Multiplicando dos fracciones ordinarias
La regla de la multiplicación de las fracciones ordinarias:
El resultado de la multiplicación de la fracción en la fracción es la fracción, cuyo numerador es igual al producto de números de las fracciones multiplicadoras, y el denominador es igual al producto de los denominadores:
Ejemplo 1.
Realizar la multiplicación de fracciones ordinarias $ \\ FRC (3) (7) $ y $ \\ frac (5) (11) $.
Decisión.
Utilizamos la regla de multiplicación de fracciones ordinarias:
\\ [\\ FRAC (3) (7) \\ CDOT \\ FRAC (5) (11) \u003d \\ FRAC (3 \\ CDOT 5) (7 \\ CDOT 11) \u003d \\ FRAC (15) (77) \\]
Respuesta: $ \\ FRC (15) (77) $
Si, como resultado de la multiplicación de fracciones, se obtiene una fracción reducida o impropia, entonces es necesario simplificarla.
Ejemplo 2.
Realice la multiplicación de fracciones $ \\ frac (3) (8) $ y $ \\ frac (1) (9) $.
Decisión.
Utilizamos la regla de multiplicación de fracciones ordinarias:
\\ [\\ FRAC (3) (8) \\ CDOT \\ FRAC (1) (9) \u003d \\ FRAC (3 \\ CDOT 1) (8 \\ CDOT 9) \u003d \\ FRAC (3) (72) \\]
Como resultado, recibieron una fracción de reducción (sobre la base de la división en $ 3 $. El numerador y denominador de la división de Fraci en $ 3 $, obtenemos:
\\ [\\ FRAC (3) (72) \u003d \\ FRAC (3: 3) (72: 3) \u003d \\ FRAC (1) (24) \\]
Resumen:
\\ [\\ FRAC (3) (8) \\ CDOT \\ FRAC (1) (9) \u003d \\ FRAC (3 \\ CDOT 1) (8 \\ CDOT 9) \u003d \\ FRAC (3) (72) \u003d \\ FRC (1) (24) \\]
Respuesta: $ \\ Frac (1) (24). $
Al multiplicar las fracciones, los recortes y el denominador se pueden reducir a su trabajo. En este caso, el numerador y el denominador de la Frarávía disminuyeron a factores simples, después de lo cual se reducen los multiplicadores repetidos y el resultado es.
Ejemplo 3.
Calcule el trabajo de las fracciones de $ \\ frac (6) (75) $ y $ \\ frac (15) (24) $.
Decisión.
Utilizamos la fórmula de multiplicación de fracciones ordinarias:
\\ [\\ FRAC (6) (75) \\ CDOT \\ FRAC (15) (24) \u003d \\ FRAC (6 \\ CDOT 15) (75 \\ CDOT 24) \\]
Obviamente, hay números en el numerador y el denominador, que pueden estar en pares de $ 2 $, $ 3 $ y $ 5 $. Difunde el numerador y el denominador para factores simples y hará una reducción:
\\ [\\ FRAC (6 \\ CDOT 15) (75 \\ CDOT 24) \u003d \\ FRAC (2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 5) (3 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3) \u003d \\ FRAC (1) (5 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2) \u003d \\ FRAC (1) (20) \\]
Respuesta: $ \\ Frac (1) (20). $
Con la multiplicación de fracciones, se puede aplicar una ley de transferencia:
Multiplicación de la fracción ordinaria en un número natural.
La regla de la multiplicación de la fracción ordinaria en un número natural:
El resultado de la multiplicación de la fracción en un número natural es la fracción en la que el numerador es igual al producto de la fracción multiplicada en el número natural, y el denominador es igual al denominador de la multiplicación.
donde $ \\ frac (a) (b) $ es una fracción ordinaria, $ n $ es un número natural.
Ejemplo 4.
Realice la multiplicación de la fracción $ \\ FRAC (3) (17) $ $ 4 $.
Decisión.
Utilizamos la regla de multiplicación de una fracción ordinaria en un número natural:
\\ [\\ FRAC (3) (17) \\ CDOT 4 \u003d \\ FRAC (3 \\ CDOT 4) (17) \u003d \\ FRAC (12) (17) \\]
Respuesta: $ \\ Frac (12) (17). $
No se olvide de verificar el resultado de la multiplicación de la fracción o la fracción incorrecta.
Ejemplo 5.
Multiplique la fracción de $ \\ FRAC (7) (15) $ por número $ 3 $.
Decisión.
Utilizamos la fórmula para multiplicar la fracción en un número natural:
\\ [\\ FRAC (7) (15) \\ CDOT 3 \u003d \\ FRAC (7 \\ CDOT 3) (15) \u003d \\ FRAC (21) (15) \\]
Sobre la base de la división por el número $ 3 $), se puede determinar que la fracción resultante se puede reducir:
\\ [\\ Frac (21) (15) \u003d \\ FRAC (21: 3) (15: 3) \u003d \\ FRAC (7) (5) \\]
Como resultado, obtuvieron la fracción equivocada. Resaltamos toda la parte:
\\ [\\ FRAC (7) (5) \u003d 1 \\ FRAC (2) (5) \\]
Resumen:
\\ [\\ FRAC (7) (15) \\ CDOT 3 \u003d \\ FRAC (7 \\ CDOT 3) (15) \u003d \\ FRC (21) (15) \u003d \\ FRAC (7) (5) \u003d 1 \\ FRAC (2) (cinco)\\]
Reducir la fracción también podría ser reemplazada por números en un numerador y denominador en su descomposición en multiplicadores simples. En este caso, la decisión podría ser registrada así:
\\ [\\ FRAC (7) (15) \\ CDOT 3 \u003d \\ FRAC (7 \\ CDOT 3) (15) \u003d \\ FRAC (7 \\ CDOT 3) (3 \\ CDOT 5) \u003d \\ FRAC (7) (5) \u003d 1 \\ frac (2) (5) \\]
Respuesta: $ 1 \\ FRAC (2) (5). $
Al multiplicar la fracción en un número natural, se puede utilizar una ley de movimiento:
División de Fracciones Ordinarias
La operación de la división está de vuelta a la multiplicación y su resultado es una fracción en la que debe multiplicar una fracción conocida para obtener una pieza conocida de dos fracciones.
División de dos fracciones ordinarias.
La regla de la división de las fracciones ordinarias:Obviamente, el numerador y denominador de la fracción resultante se pueden descomponer en factores simples y reducir:
\\ [\\ FRAC (8 \\ CDOT 35) (15 \\ CDOT 12) \u003d \\ FRAC (2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 5 \\ CDOT 7) (3 \\ CDOT 5 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3) \u003d \\ FRAC (2 \\ CDOT 7) (3 \\ CDOT 3) \u003d \\ FRAC (14) (9) \\]
Como resultado, se obtuvo la fracción incorrecta a partir de la cual asignamos toda la parte:
\\ [\\ FRAC (14) (9) \u003d 1 \\ FRAC (5) (9) \\]
Respuesta: $ 1 \\ FRAC (5) (9). $
Diseño de la lecciónAdición de fracciones con los mismos denominadores.
La adición de fracciones es de dos tipos:
- Adición de fracciones con los mismos denominadores.
- Adición de fracciones con diferentes denominadores.
Primero estudiamos la adición de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para doblar las fracciones con los mismos denominadores, debe plegar sus numerales, y el denominador se deja sin cambios. Por ejemplo, doblar las fracciones y. Dobla los números, y el denominador no ha cambiado:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recuerda sobre la pizza, que se divide en cuatro partes. Si agrega pizza a pizza, entonces la pizza será:
Ejemplo 2. Dobla las fracciones y.
En respuesta, resultó la fracción equivocada. Si llega el final de la tarea, entonces desde las fracciones incorrectas, es habitual para deshacerse de. Para deshacerse de la fracción equivocada, debe resaltar toda la parte en ella. En nuestro caso, toda la parte se destaca fácilmente, dos divididos en dos es igual a uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recuerda sobre la pizza, que se divide en dos partes. Si se agrega pizza a la pizza, entonces una pizza completa será:
Ejemplo 3.. Dobla las fracciones y.
Nuevamente, plegamos los números, y el denominador no ha cambiado:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recuerda sobre la pizza, que se divide en tres partes. Si se agrega pizza a la pizza, entonces la pizza será:
Ejemplo 4. Encontrar un valor de expresión 
Este ejemplo se resuelve tan pronto como los anteriores. Los números deben estar plegados, y el denominador se deja sin cambios:
Intentemos retratar nuestra solución utilizando la imagen. Si agrega pizza a pizza y agrega pizza, entonces resultará 1 entero y pizza.
Como puede ver en la adición de fracciones con los mismos denominantes, no hay nada complicado. Basta con entender las siguientes reglas:
- Para doblar las fracciones con el mismo denominador, debe agregar sus numerales, y el denominador se deja sin cambios;
Adición de fracciones con diferentes denominadores.
Ahora aprende a poner una fracción con diferentes denominadores. Cuando las fracciones se pliegan, los denominadores de estas franes deben ser las mismas. Pero no siempre son lo mismo.
Por ejemplo, una fracción se puede plegar porque mismos denominantes.
Pero el Fraci e inmediatamente lo agrega imposible, porque estas franes tienen diferentes denominadores. En tales casos, el Fraci debe llevar al mismo denominador (general).
Hay varias formas de traer fracciones al mismo denominador. Hoy consideraremos solo uno de ellos, ya que los métodos restantes pueden parecer complejos para principiantes.
La esencia de este método es que se busca por primera vez a los denominadores (NOC) de ambas fracciones. Luego, el NOC se divide en un denominador de la primera fracción y obtenga el primer factor adicional. Es similar a y con la segunda fracción: el NOC se divide en un denominador de la segunda fracción y recibe un segundo factor adicional.
Luego, los numerales y denominadores de fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, las fracciones de las cuales fueron diferentes denominadores, se convierten en una fracción que tienen los mismos denominadores. Y cómo plegar tales fracciones que ya sabemos.
Ejemplo 1.. Mover el Fraci I.
En primer lugar, encontramos los denominadores múltiples generales más pequeños de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3, y el denominador de la segunda fracción, un número 2. El múltiplo total más pequeño de estos números es 6
NOK (2 y 3) \u003d 6
Ahora volvemos a las fracciones y. Al principio, dividimos al NC en el denominador de la primera fracción y obtenga el primer factor adicional. NOC es el número 6, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Delim 6 a 3, obtenemos 2.
El número 2 resultante es el primer factor adicional. Escríbelo a la primera fracción. Para hacer esto, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribimos un factor adicional encontrado sobre él:
Del mismo modo, lo hacemos con la segunda fracción. Dividimos el NOC al denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor opcional. NoC es el número 6, y el Denominador de la segunda fracción es un número 2. Delim 6 a 2, obtenemos 3.
El número 3 resultante es el segundo factor opcional. Escríbelo a la segunda fracción. Nuevamente, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y escribimos un factor opcional encontrado sobre él:
Ahora todo está listo para la adicción. Queda por multiplicar los números y denominadores de fracciones en sus factores adicionales:
Mira con cuidado a lo que llegamos. Vinimos al hecho de que las fracciones de las cuales tenían diferentes denominantes, se convirtieron en una fracción en la que los mismos denominadores. Y cómo plegar tales fracciones que ya sabemos. Vamos a hacer este ejemplo hasta el final:
Por lo tanto, se completa el ejemplo. Para agregarlo resulta.
Intentemos retratar nuestra solución utilizando la imagen. Si agrega pizza a pizza, entonces se obtendrá una pizza completa y otra sexta pizza:
Traer fracciones al mismo denominador (compartido) también se puede representar utilizando una imagen. Refiriendo una fracción y a un denominador común, obtuvimos una fracción y. Estas dos fracciones serán representadas con las mismas piezas de pizza. La diferencia solo será que esta vez se divide en acciones idénticas (se muestran al mismo denominador).
El primer dibujo muestra una fracción (cuatro piezas de seis), y el segundo dibujo representa una fracción (tres piezas de seis). Doblando estas piezas que obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es incorrecta, por lo que asignamos toda la parte en ella. Como resultado, recibieron (una pizza completa y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que pintamos contigo. este ejemplo Demasiado detallado. EN instituciones educacionales No se acepta para escribir tan explotado. Debe poder encontrar rápidamente la NIC de los denominadores y las fallas adicionales, así como multiplicar rápidamente las fallas adicionales encontradas en sus propios números y denominadores. Estar en la escuela, este ejemplo tendría que estar escrito de la siguiente manera:
Pero también está el reverso de la medalla. Si en las primeras etapas del estudio de las matemáticas no realizan registros detallados, entonces comienzan a aparecer preguntas "¿Y de dónde vino?", "¿Por qué la Fraratía se convierte en otra fracción? «.
Para que sea más fácil agregar fracciones con diferentes denominadores, puede usar las instrucciones siguientes paso a paso:
- Encontrar las fracciones de los rannels nok;
- Divide el NOC al denominador de cada fracción y obtenga un factor adicional para cada fracción;
- Multiplica los números y denominadores de fracciones en sus factores adicionales;
- Dobla las fracciones que tienen los mismos denominadores;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces se distingue por una parte entera;
Ejemplo 2. Encontrar un valor de expresión 
.
Utilizamos las instrucciones que se dan anteriormente.
Paso 1. Encuentra Fracciones Nok Rannels
Encontramos el NOC de los denominadores de ambas fracciones. Las fracciones de las fracciones son números 2, 3 y 4.
Paso 2. Para dividir el NOC al denominador de cada fracción y obtener un factor adicional para cada fracción
Delim NOK al denominador de la primera fracción. NOK es un número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 2. Delim 12 a 2, obtenemos 6. Recibimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos por encima de la primera fracción:
Ahora divide el NOK al firmante de la segunda fracción. NOK es un número 12, y el segundo denominador de fracción es el número 3. Delive 12 a 3, obtenemos 4. Recibimos la segunda fábrica opcional 4. Escribe sobre la segunda fracción:
Ahora dividimos al NOC al denominador de la tercera fracción. NOK es un número 12, y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Delim 12 a 4, obtenemos 3. Recibimos el tercer factor adicional 3. Grabarlo a través de la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones en sus factores adicionales.
Multiplicamos los números y denominadores en sus factores adicionales:
Paso 4. Dobla las fracciones en las que los mismos denominantes.
Vinimos al hecho de que las fracciones de las cuales tenían diferentes denominadores, se convirtieron en una fracción, que tienen los mismos denominadores (generales). Queda por doblar estas fracciones. Nos pliegamos:
La adición no encajó en una línea, por lo que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Está permitido en matemáticas. Cuando la expresión no se ajusta a una línea, se transfiere a la siguiente línea, y es necesario colocar el signo de igualdad (\u003d) al final de la primera línea y al comienzo de la nueva línea. El signo igual en la segunda línea sugiere que esta es una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si el disparo incorrecto resultó en la respuesta, entonces asignará la parte entera en ella
Nuestra respuesta resultó ser incorrecta. Debemos resaltar toda la parte. Resaltamos:
Recibió la respuesta
Restar fracciones con los mismos denominadores.
La resta de fracciones ocurre dos tipos:
- Restar fracciones con los mismos denominadores.
- Resta de fracciones con diferentes denominadores.
Primero estudiamos la resta de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para restar de una fracción otra, debe encontrar el segundo numerador de fracciones del número de la primera fracción, y el denominador se deja para el mismo.
Por ejemplo, encuentre el valor de la expresión. Para resolver este ejemplo, es necesario restar el segundo numerador de fracciones del número de la primera fracción, y el denominador se deja sin cambios. Y hazlo:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recuerda sobre la pizza, que se divide en cuatro partes. Si cortas la pizza de la pizza, entonces la pizza será:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión.
Nuevamente, desde el número de la primera fracción, restamos el segundo numerador de fracciones, y el denominador se deja sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recuerda sobre la pizza, que se divide en tres partes. Si cortas la pizza de la pizza, entonces la pizza será:
Ejemplo 3. Encontrar un valor de expresión 
Este ejemplo se resuelve tan pronto como los anteriores. Desde el numerador de la primera fracción, debe restar la configuración de las otras fracciones:
Como puede ver en la resta de fracciones con los mismos denominadores, no hay nada complicado. Basta con entender las siguientes reglas:
- Para restar de una fracción otra, debe restar el número de la segunda fracción del número de la primera fracción, y el denominador se deja sin cambios;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces necesita resaltar toda la parte.
Resta de fracciones con diferentes denominadores.
Por ejemplo, la fracción se puede restar, ya que estas fracciones tienen los mismos denominadores. Pero la fracción no se puede restar, ya que estas franes tienen diferentes denominadores. En tales casos, el Fraci debe llevar al mismo denominador (general).
El denominador general encuentra en el mismo principio que utilizamos al agregar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentran el NOC de los denominadores de ambas fracciones. Luego, el NOC se divide en un denominador de la primera fracción y recibe el primer factor adicional, que se registra por encima de la primera fracción. De manera similar, los NOC se dividen en un denominador de la segunda fracción y reciben un segundo factor adicional, que se registra por encima de la segunda fracción.
Luego, la Fraratía se multiplica por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, las fracciones de las cuales tenían diferentes denominadores, se convierten en una fracción que tienen los mismos denominadores. Y cómo deducir tales fracciones que ya conocemos.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión:
Estas franes tienen diferentes denominadores, por lo que debe llevarlos al mismo denominador (general).
Primero encontramos el NOC de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El múltiplo total más pequeño de estos números es 12
NOK (3 y 4) \u003d 12
Ahora volvemos a las fracciones y
Encuentra un factor adicional para la primera fracción. Para hacer esto, dividimos al ANC en el denominador de la primera fracción. NOK es un número 12, y el denominador de la primera fracción: el número 3. Delim 12 a 3, obtenemos 4. Escribe la cuarta sobre la primera fracción:
Del mismo modo, lo hacemos con la segunda fracción. Dividimos el ANC al denominador de la segunda fracción. El NOC es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Delim 12 a 4, obtenemos 3. Escribe los tres primeros sobre la segunda fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar la fracción en sus factores adicionales:
Vinimos al hecho de que las fracciones de las cuales tenían diferentes denominantes, se convirtieron en una fracción en la que los mismos denominadores. Y cómo deducir tales fracciones que ya conocemos. Vamos a hacer este ejemplo hasta el final:
Recibió la respuesta
Intentemos retratar nuestra solución utilizando la imagen. Si cortas la pizza de la pizza, entonces habrá pizza.
Esta es una versión detallada de la solución. Mientras que en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo más corto. Se vería como una solución tal de la siguiente manera:
Traer fracciones y a un denominador compartido también se puede representar utilizando una imagen. Bajando estas fracciones al denominador general, obtuvimos una fracción y. Estas fracciones se representarán con las mismas piezas de pizza, pero esta vez se dividirán en acciones idénticas (se muestran al mismo denominador):
El primer dibujo muestra una fracción (ocho piezas de doce), y el segundo dibujo - fracción (tres piezas de doce). Corté de ocho piezas tres piezas, tenemos cinco piezas de doce. Fracción y describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2. Encontrar un valor de expresión 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero necesitas llevarlos al mismo denominador (general).
Encontramos el NOC de los denominadores de estas franes.
Rannels of Frections Estos son los números 10, 3 y 5. El múltiplo total más pequeño de estos números es 30
NOK (10, 3, 5) \u003d 30
Ahora encontramos multiplicadores adicionales para cada fracción. Para hacer esto, dividimos al ANC al denominador de cada fracción.
Encuentra un factor adicional para la primera fracción. NOK es el número 30, y el denominador de la primera fracción es el número 10. Dividimos entre 30 y 10, obtenemos el primer factor adicional 3. Graba la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Dividimos el NOC en el signatador de la segunda fracción. El NOC es un número 30, y el canal de la segunda fracción es el número 3. Delim 30 a 3, obtenemos el segundo factor opcional 10. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Dividimos el NOC en el denominador de la tercera fracción. NoC es el número 30, y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Delim 30 a 5, obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos a través de la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar la fracción en sus factores adicionales:
Vinimos al hecho de que los fractos de los que tenían diferentes denominadores, se convirtieron en una fracción en la que los mismos denominadores (generales). Y cómo deducir tales fracciones que ya conocemos. Vamos a hacer este ejemplo.
La continuación del ejemplo no encaja en una línea, por lo que transferimos la continuación a la siguiente línea. No olvides el signo de la igualdad (\u003d) en la nueva línea:
La respuesta resultó la fracción correcta, y parece que todo nos conviene, pero ella es demasiado engorrosa y fea. Sería necesario hacerlo más fácil. ¿Y que se puede hacer? Puedes cortar esta fracción.
Para reducir la fracción, debe dividir su numerador y su denominador en los números (asentimiento) 20 y 30.
Entonces, encontramos los nodos de los números 20 y 30:
Ahora regresamos a nuestro ejemplo y dividemos el numerador y el denominador de la fracción en el nodo encontrado, es decir, a las 10
Recibió la respuesta
Multiplicación de fracciones por número
Para multiplicar la fracción por el número, necesita un numerador de esta fracción para multiplicarse por este número, y el denominador se deja a lo mismo.
Ejemplo 1.. Multiplica la fracción al número 1.
Multiplica la trituradora número 1
La grabación se puede entender cómo tomar la mitad de 1 vez. Por ejemplo, si la pizza toma 1 vez, entonces habrá pizza.
De las leyes de la multiplicación, sabemos que si el multiplicador y el multiplicador se cambian en lugares, el trabajo no cambiará. Si la expresión, escriba hacia abajo, entonces el trabajo aún será igual. Nuevamente, la regla de multiplicar el entero y la fracción se activan:
Esta entrada puede entenderse como la captura de la mitad de una. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y tomaremos la mitad de ella, entonces tendremos pizza:
Ejemplo 2.. Encontrar un valor de expresión
Multiplica el numerador de la trituradora en 4
En respuesta, resultó la fracción equivocada. Resaltamos toda la parte en ella:
La expresión puede entenderse como la captura de dos trimestres 4 veces. Por ejemplo, si la pizza toma 4 veces, entonces obtendrás dos pizzas enteras.
Y si cambia el multiplicador al multiplicador, obtendremos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión puede entenderse como la captura de dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar las fracciones, debe multiplicar sus numerales y denominadores. Si la respuesta es incorrecta, la trituración es posible, debe resaltar toda la parte en ella.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión.
Recibió una respuesta. Es aconsejable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir 2. Entonces, la solución final tomará el siguiente formulario:
La expresión puede entenderse como la toma de pizza de la mitad de la pizza. Supongamos que tenemos media pizza:
¿Cómo tomar dos tercios de esta mitad? Primero necesitas dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos piezas de estas tres piezas:
Tendremos pizza. Recuerda cómo se ve la pizza, dividida en tres partes:
Una pieza de esta pizza y las dos piezas tomadas por nosotros tendrán las mismas dimensiones:
En otras palabras, estamos hablando de la misma pizza. Por lo tanto, el valor de la expresión es igual.
Ejemplo 2.. Encontrar un valor de expresión
Multiplique el numerador de la primera fracción en el segundo numerador de fracciones, y el denominador de la primera fracción en el denominador de la segunda fracción:
En respuesta, resultó la fracción equivocada. Resaltamos toda la parte en ella:
Ejemplo 3. Encontrar un valor de expresión
Multiplique el numerador de la primera fracción en el segundo numerador de fracciones, y el denominador de la primera fracción en el denominador de la segunda fracción:
La respuesta resultó la fracción correcta, pero será buena si lo cortas. Para reducir esta fracción, necesita un numerador y denominador de esta fracción para dividir en el divisor común más grande (nodo) de los números 105 y 450.
Entonces, encuentra los nodos de los números 105 y 450:
Ahora divida el numerador y denominador de nuestra respuesta al nodo, que ahora hemos encontrado, es decir, a las 15.
La representación de un entero en forma de fracción.
Cualquier entero puede ser representado como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como. De esta Alardo no cambia su valor, ya que la expresión significa "el número cinco para dividirse con uno", y esto se conoce en los cinco primeros:
Números inversos
Ahora nos familiarizaremos con un tema muy interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Volver al númerouNA. llamado el número que al multiplicaruNA. Da una unidad.
Sustituyamos en esta definición en lugar de una variable uNA. Número 5 e intenta leer la definición:
Volver al número 5 llamado el número que al multiplicar 5 Da una unidad.
¿Es posible encontrar un número que al multiplicar por 5 le dé uno? Resulta. Imagina un cinco en forma de una fracción:
Luego, multiplica esta fracción para mí, solo cambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multiplicaré una fracción conmigo mismo, solo me entregaré:
¿Qué pasa como resultado de esto? Si seguimos resolviendo este ejemplo, obtendremos una unidad:
Así que revertir al número 5 es el número, ya que al multiplicar 5, se obtiene una unidad.
El número inverso también se puede encontrar para cualquier otro entero.
También puede encontrar la inteligencia para cualquier otra fracción. Para hacer esto, es suficiente para voltearlo.
Fracción de división
Supongamos que tenemos media pizza:
Lo dividimos por igual para dos. ¿Cuántas pizzas llegará a todos?
Se puede ver que, después de la separación de la mitad de la pizza, se produjeron dos piezas iguales, cada una de las cuales es la pizza. Así que todos llegarán a la pizza.
La división de fracciones se realiza utilizando números inversos. Los números inversos le permiten reemplazar la división por multiplicación.
Para dividir la fracción al número, debe multiplicar esta fracción al número, el divisor inverso.
Usando esta regla, escriba la división de nuestra mitad de la pizza en dos partes.
Por lo tanto, se requiere dividir la fracción al número 2. Aquí divisible es la fracción, y el divisor es el número 2.
Para dividir la fracción en el número 2, debe multiplicar esta fracción al número, el divisor inverso 2. El divisor 2 de reverso es una fracción. Así que necesitas multiplicar en
En este artículo analizaremos. multiplicando números mixtos. Primero, visitamos la regla de multiplicación de números mixtos y consideramos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos. Antes de hablar sobre la multiplicación de un número mixto y un número natural. Finalmente, aprenda a realizar la multiplicación del número mixto y la fracción ordinaria.
Navegando.
Multiplicando los números mixtos.
Multiplicando números mixtos Puede reducir la multiplicación de fracciones ordinarias. Para hacer esto, es suficiente para traducir números mixtos a la fracción incorrecta.
Nosotros escribimos regla de multiplicación musulmana:
- Primero, multiplicar los números mixtos deben ser reemplazados por fracciones impropias;
- En segundo lugar, debe usar la regla de la multiplicación de la fracción para una fracción.
Considere los ejemplos de aplicar esta regla al multiplicar un número mixto en un número mixto.
Realice la multiplicación de números mixtos y.
Primero, imagine la multiplicación de números mixtos en forma de fracciones incorrectas: 
y 
. Ahora podemos multiplicar números mezclados para reemplazar la multiplicación de fracciones ordinarias: 
. Aplicando una regla de multiplicación de fracción, obtenemos 
. La fracción resultante es discreta (consulte las fracciones reducidas y no interpretables), pero es incorrecta (consulte las fracciones correctas e incorrectas), por lo tanto, para obtener una respuesta final, permanece resaltando toda la parte de la fracción incorrecta :.
Escribimos toda la solución en una línea :.
.
Para asegurar las habilidades de la multiplicación de números mixtos, considere la decisión de otro ejemplo.
Realizar la multiplicación.
Los números divertidos son iguales, respectivamente, fracciones 13/5 y 10/9. Luego 
. En esta etapa, es hora de recordar el corte de la fracción: reemplazaremos todos los números en las fracciones de sus descomposiciones en factores simples, y hará una reducción en los mismos multiplicadores.
Multiplicando el número mixto y el número natural
Después de reemplazar un número mixto de fracción incorrecta, multiplicando el número mixto y el número natural Se describe en la multiplicación de una fracción ordinaria y un número natural.
Realice la multiplicación de un número mixto y un número natural 45.
El número mixto es la fracción, entonces 
. Reemplazamos el número en las fracciones resultantes de sus descomposición en multiplicadores simples, reduciremos, después de lo cual asignamos toda la parte :.
.
Multiplicar el número mixto y el número natural a veces es conveniente llevar a cabo utilizando las propiedades de distribución de la multiplicación en relación con la adición. En este caso, el producto de un número mixto y un número natural es igual a la cantidad de obras de toda la parte en este número natural y parte fraccionaria de este número natural, es decir, 
.
Calcular el trabajo.
Reemplace el número mixto de la suma de la parte total y fraccional, después de lo cual la propiedad de distribución es aplicable :.
Multiplicando el número mixto y la fracción ordinaria. Es más conveniente reducir la multiplicación de fracciones ordinarias, lo que representa un número mixto multiplicado como una fracción incorrecta.
Multiplique un número mixto para una fracción ordinaria 4/15.
Reemplazo de un número mixto por fracción, consigue 
.
www.cleverstudents.ru.
Multiplicación de números fraccionarios.
§ 140. Definiciones. 1) La multiplicación de un número fraccional se determina de la misma manera que la multiplicación de enteros, a saber: para multiplicar un número (multiplicador) a un entero (multiplicador): significa elaborar la cantidad de los mismos términos, en los que cada término igual al multiplicador, y el número de términos es un multiplicador.
Así que multiplica por 5 - significa encontrar la cantidad:
2) Multiplica algún número (multiplicador) a la fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicador.
Por lo tanto, encontrar una fracción del número dado, considerado por nosotros antes, ahora se llamará multiplicación por fracción.
3) Multiplique un número (multiplicador) a un número mixto (multiplicador) significa multiplicar primero el número multiplicador, luego la fracción multiplicadora, y los resultados de estas dos multiplicaciones se plegarán juntas.
Por ejemplo:
El número obtenido después de la multiplicación se llama en todos estos casos. trabaja, es decir, así como al multiplicar enteros.
De estas definiciones, está claro que la multiplicación de números fraccionarios tiene una acción siempre es posible y siempre inequívoca.
§ 141. La viabilidad de estas definiciones. Para comprender la viabilidad de introducir dos definiciones de multiplicación recientes en la aritmética, tomamos esa tarea:
Una tarea. Tren, moviéndose uniformemente pasa a una hora 40 km; ¿Cómo averiguar cuántos kilómetros va a este tren a esta cantidad de horas?
Si nos dejaron en esa definición de multiplicación, que se indica en la aritmética de enteros (adiciones iguales), entonces nuestra tarea tendría tres soluciones diferentes, a saber:
Si esta cantidad de horas es un todo (por ejemplo, 5 horas), entonces es necesario multiplicar a 40 km para resolver el problema.
Si esta cantidad de horas se expresa por una fracción (por ejemplo, una hora), tendrá que encontrar la cantidad de esta fracción de 40 km.
Finalmente, si se mezcla esta cantidad de horas (por ejemplo, una hora), entonces será necesario multiplicar 40 km a un entero en un número mixto, y para agregar un resultado de una fracción de una fracción de 40 km, que está en un número mixto.
Datos Somos definitivos Permiten todos estos casos posibles para dar una respuesta general:
es necesario multiplicar a 40 km de este número de horas, sea lo que sea.
Por lo tanto, si la tarea es enviar general Entonces:
Entrena, moviéndose uniformemente, pasa a una hora V km. ¿Cuántos kilómetros pasará el tren en T?
que cualquier número V y T, podemos expresar una respuesta: el número deseado se expresa por la fórmula V · t.
Nota. Para encontrar una fracción de este número, en nuestra definición, significa lo mismo que multiplica un número dado para esta fracción; Por lo tanto, por ejemplo, para encontrar el 5% (es decir, cinco centésimas) de este número significa lo mismo para multiplicar este número en o ON; Encuentre el 125% de este número significa lo mismo para multiplicar este número o encendido, etc.
§ 142. El comentario sobre cuándo aumenta el número de multiplicación y cuando disminuye.
Desde multiplicar a la fracción correcta, el número disminuye, y el número aumenta de la multiplicación a la fracción incorrecta, si esta fracción incorrecta es mayor que la unidad, y permanece sin cambios si es igual a uno.
Comentario. Al multiplicar los números fraccionarios, así como los enteros, el trabajo se toma igual a cero, si algunos de los factores son cero ,.
§ 143. Conclusión de las reglas de multiplicación.
1) Multiplicación de la fracción para un entero. Deje que tome una fracción de multiplicarse por 5. Significa aumentar 5 veces. Para aumentar la fracción 5 veces, basta con aumentar su numerador o reducir su denominador 5 veces (§ 127).
Por lo tanto:
Regla 1st. Para multiplicar la fracción para un entero, debe multiplicar el número de numerador en este entero, y el denominador deja el mismo; En su lugar, también es posible dividir el denominador de fracciones (si es posible), y el numerador puede dejar lo mismo.
Comentario. El trabajo de la fracción en su denominador es igual a su numerador.
Entonces:
Regla 2nd. Para multiplicar un número entero en la fracción, debe multiplicar el entero en el numerador de Fluster y este numerador realiza este producto, y el denominador firma el denominador de esta fracción.
Regla 3er. Para multiplicar la fracción en la fracción, debe multiplicar el numerador al numerador y el denominador al denominador y el primer producto para hacer el numerador, y el segundo denominador del trabajo.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar a la multiplicación de la fracción para un entero y un entero en la fracción, a menos que el entero se considere como una fracción con el denominador. Entonces:
Por lo tanto, las tres reglas descritas ahora están en una, que en general se puede expresar de la siguiente manera:
4) Multiplicación de números mixtos.
Regla 4. Para multiplicar los números mixtos, debe convertirlos en fracciones incorrectas y luego multiplica por las reglas de la multiplicación de fracciones. Por ejemplo:
§ 144. Reducción de la reducción.. Al multiplicar las fracciones, si es posible, es necesario hacer un precorte, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Dicha reducción se puede hacer porque la fracción no cambiará si el numerador y el denominador se reducirán al mismo número de veces.
§ 145. Cambiar el trabajo con un cambio en los factores. El producto de los números fraccionarios cuando los cambios de fábrica cambiarán completamente, así como el producto de enteros (§ 53), a saber,: si aumenta (o disminuye), algún tipo de fábrica es varias veces, entonces el trabajo aumentará (o disminuirá ) Al mismo tiempo.
Entonces, si en el ejemplo:
para multiplicar algunas fracciones, es necesario multiplicar sus numerales entre ellos y los denominadores entre ellos y el primer producto para hacer el numerador, y el segundo denominador del trabajo.
Comentario. Esta regla se puede aplicar a tales obras, en las que algunos multiplicadores de números son enteros o mixtos, a menos que el entero se considere como una fracción en la que el denominador es una unidad, y los números mixtos se convertirán en la fracción incorrecta. Por ejemplo:
§ 147. Las principales propiedades de la multiplicación. Aquellas propiedades de la multiplicación que hemos sido especificadas para enteros (§ 56, 57, 59) pertenecen a la multiplicación de números fraccionarios. Especificamos estas propiedades.
1) El producto no cambia de cambios en las instalaciones.
Por ejemplo:
De hecho, de acuerdo con la regla del párrafo anterior, el primer producto es la fracción, y el segundo igual a la fracción. Pero estas fracciones son las mismas, porque sus miembros difieren solo por el orden de los factores completos, y el producto de enteros no cambia al cambiar los asientos de los factores.
2) El trabajo no cambiará, si cualquier grupo de fábrica es reemplazado por su trabajo.
Por ejemplo:
Los resultados son iguales.
De esta propiedad de la multiplicación, puede retirar tal conclusión:
para multiplicar un número de en el trabajo, puede multiplicar este número a la primera fábrica, el número resultante se multiplica al segundo, etc.
Por ejemplo:
3) La ley de distribución de la multiplicación (en relación con la adición). Para multiplicar la cantidad de un número, puede multiplicarse por este número cada componente por separado y los resultados.
Esta ley fue explicada por nosotros (§ 59) en aplicada a números de enteros. Sigue siendo cierto sin ningún cambio para los números fraccionarios.
Vamos a mostrar, de hecho, esa igualdad.
(A + B + C +.) M \u003d am + bm + cm +.
(La ley de distribución de la multiplicación en relación con la adición) sigue siendo cierta y, cuando las letras significan números fraccionarios. Considere tres casos.
1) Supongamos primero que el multiplicador M tiene una cantidad de enteros, por ejemplo, M \u003d 3 (A, B, C, cualquier número de números). De acuerdo con la definición de multiplicación por un entero, es posible escribir (limitado a la simplicidad con tres términos):
(A + B + C) * 3 \u003d (A + B + C) + (A + B + C) + (A + B + C).
Sobre la base de la ley combatiente de adición, podemos omitir todos los paréntesis en el lado derecho; Aplicando el acto de movimiento de suma, y \u200b\u200bluego de nuevo el enfriador, obviamente podemos reescribir el lado derecho como este:
(A + A + A) + (B + B + B) + (C + C + C).
(A + B + C) * 3 \u003d A * 3 + B * 3 + C * 3.
Por lo tanto, la ley de distribución en este caso está confirmada.
Multiplicación y división de fracciones.
La última vez que aprendimos a doblar y deducir la fracción (consulte la adición de la lección "y la resta de fracciones"). El momento más difícil en las acciones fue traer fracciones al denominador general.
Ahora es el momento de lidiar con la multiplicación y la división. Buenas noticias es que estas operaciones se realizan incluso más fáciles que la adición y la resta. Para empezar, considere el caso más sencillo cuando haya dos fracciones positivas sin una parte seleccionada.
Para multiplicar dos fracciones, es necesario multiplicar sus numerales y denominadores. El primer número será el numerador de la nueva fracción, y el segundo es el denominador.
Para dividir dos fracciones, debe multiplicar la primera fracción al segundo "invertido".
A partir de la definición, se deduce que la división de las fracciones se reduce a la multiplicación. Para "voltear" la fracción, es suficiente para cambiar el numerador y el denominador en lugares. Por lo tanto, consideraremos toda la lección en su mayoría multiplicando.
Como resultado de la multiplicación, puede ocurrir (y, a menudo, realmente ocurre) una escasez de fracción, por supuesto, debe reducirse. Si después de todos los cortes, la fracción era incorrecta, se debe asignar a toda la parte. Pero lo que exactamente no será cuando se multiplique, es llevar a un denominador común: no hay métodos de "anciano cruzado", los multiplicadores más grandes y los múltiplos más pequeños.
Por definición, tenemos:
Multiplicación de fracciones con una parte entera y fracciones negativas.
Si en los fraudes hay una parte completa, deben traducirse en el incorrecto, y solo luego se multiplican de acuerdo con los esquemas anteriores.
Si hay un menos en un denoter en un denoter o antes de él, se puede llegar a la multiplicación o completamente eliminado de acuerdo con las siguientes reglas:
- Además, menos le da menos;
- Dos negativos hacen afirmativamente.
Hasta ahora, estas reglas se han cumplido solo al agregar y restar fracciones negativas cuando se requirió deshacerse de toda la parte. Para el trabajo, se pueden generalizar para "quemar" varias menos a la vez:
- Saco las menos en parejas hasta que desaparecen por completo. En casos extremos, uno menos puede sobrevivir, el que no encontró una pareja;
- Si no hay menos, la operación se completa, puede proceder a la multiplicación. Si los últimos menos no se atraviesan, ya que no encontró una pareja, lo soportamos fuera de la multiplicación. Resorta una fracción negativa.
Una tarea. Encuentra el valor de la expresión:
Todas las fracciones se traducen en el mal, y luego soportamos las menos de la multiplicación. Lo que queda, multiplica por las reglas habituales. Obtenemos:
Una vez más, le recuerdo que los menos, que se para antes de la fracción con toda la parte resaltada, pertenece a toda la fracción, y no solo a toda su parte (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También preste atención a los números negativos: al multiplicar, están entre paréntesis. Esto se hace para separar las desventajas de los signos de multiplicación y hacer que todo el registro sea más preciso.
Reducción de fracciones "sobre la marcha"
La multiplicación es una operación muy laboriosa. Los números aquí son bastante grandes, y para simplificar la tarea, puede intentar reducir más la fracción. a la multiplicación. Después de todo, esencialmente, los números y denominantes de fracciones son multiplicadores ordinarios y, por lo tanto, se pueden cortar utilizando la propiedad principal de la fracción. Eche un vistazo a los ejemplos:
Una tarea. Encuentra el valor de la expresión:
Por definición, tenemos:
En todos los ejemplos, los números que fueron sometidos a reducción fueron marcados, y lo que se mantuvo de ellos.
Tenga en cuenta: En el primer caso, los multiplicadores disminuyeron completamente. Hay pocas unidades en su lugar, que, en general, no se pueden escribir. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero el volumen total de cálculo aún estaba disminuido.
Sin embargo, en ningún caso no use esta técnica al agregar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que quieres cortar. Aquí, mira:
¡Así que no puedes hacer!
Se produce un error debido al hecho de que al agregar la fracción en el numerador, aparece la cantidad y no el producto de los números. Por lo tanto, es imposible aplicar la propiedad principal de la fracción, porque en esta propiedad se trata de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otros motivos para reducir las fracciones, por lo que la decisión correcta de la tarea anterior se vea así:
Como puedes ver, la respuesta correcta no fue tan hermosa. En general, tenga cuidado.
Multiplicación de fracciones.
Para multiplicar correctamente la fracción de la fracción o fracción del número, debe conocer reglas simples. Estas reglas ahora miran en detalle.
Multiplicando la fracción ordinaria para la fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, es necesario calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas franes.
Considere un ejemplo:
Somos un numerador de la primera fracción que multiplicamos con la segunda fracción con un numerador, también el denominador del primer Fraci se multiplica con el denominador de la segunda fracción.
Multiplicando las fracciones por número.
Para empezar, recuerda la regla. cualquier número se puede representar como una fracción \\ (\\ bf n \u003d \\ frac \\).
Utilizamos esta regla al multiplicar.
Fracción incorrecta \\ (\\ frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac + \\ frac \u003d 2 + \\ frac \u003d 2 \\ frac \\\\\\) traducido en una fracción mixta.
En otras palabras, al multiplicar el número de fracción, el número se multiplica por el numerador, y el denominador se deja sin cambios. Ejemplo:
Multiplicando las fracciones mezcladas.
Para multiplicar las fracciones mezcladas, primero debe imaginar cada fracción mixta en forma de fracciones incorrectamente, y luego usar la regla de multiplicación. El numerador se multiplica con el numerador, el denominador se multiplicó con el denominador.
Multiplicando mutuamente fracciones y números.
Preguntas sobre el tema:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación de un numerador con un numerador, denominador con un denominador. Para obtener un producto de fracciones mixtas, debe traducirlas a la fracción incorrecta y multiplicar por las reglas.
¿Cómo hacer la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: No importa los mismos o diferentes denominadores en fracciones, la multiplicación se produce de acuerdo con la regla del producto del numerador con un numerador, denominador con un denominador.
¿Cómo multiplicar las fracciones mezcladas?
Respuesta: En primer lugar, es necesario traducir una fracción mixta a la fracción incorrecta y encontrar un producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar el número de la fracción?
Respuesta: El número se multiplica con el numerador, y el denominador deja lo mismo.
Ejemplo número 1:
Calcule el trabajo: A) \\ (\\ FRAC \\ TIMES \\ FRAC \\) B) \\ (\\ FRAC \\ TIMES \\ FRAC \\)
Ejemplo número 2:
Calcule las obras del número y las fracciones: a) \\ (3 \\ Times \\ FRAC \\) B) \\ (\\ FRAC \\ Times 11 \\)
Ejemplo número 3:
Escribe el número de fracción inversa \\ (\\ frac \\)?
Respuesta: \\ (\\ frac \u003d 3 \\)
Ejemplo número 4:
Calcule el producto de dos fracciones inversas mutuamente: A) \\ (\\ FRAC \\ TIMES \\ FRAC \\)
Ejemplo número 5:
Se pueden revertir mutuamente las fracciones ser:
a) al mismo tiempo las fracciones correctas;
b) Fracciones simultáneamente incorrectas;
c) ¿Simultáneamente con números naturales?
Decisión:
a) Para responder a la primera pregunta, dar un ejemplo. La fracción \\ (\\ frac \\) es correcta, la conversación de la fracción será igual a \\ (\\ FRAC \\) - Fracción incorrecta. Respuesta: No.
b) Casi con todas las franes de fracciones, esta condición no se realiza, pero hay algunos números que cumplen con la condición de ser una fracción incorrecta simultáneamente. Por ejemplo, la fracción incorrecta \\ (\\ FRAC \\), la conversación de la fracción es igual a \\ (\\ FRAC \\). Obtenemos dos fracciones incorrectas. Respuesta: No siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) Los números naturales son los números que usamos con la puntuación, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \\ (3 \u003d \\ FRAC \\), entonces el converso de la fracción será \\ (\\ FRAC \\). La fracción \\ (\\ frac \\) no es un número natural. Si al mover todos los números, siempre está fragmentado, excepto 1. Si tomamos el número 1, el converso de la fracción será \\ (\\ frac \u003d \\ frac \u003d 1 \\). Número natural número 1. Respuesta: Puede ser un número simultáneo natural solo en un caso, si es el número 1.
Ejemplo número 6:
Realizar un producto de fracciones mixtas: A) \\ (4 \\ Times 2 \\ FRAC \\) B) \\ (1 \\ FRAC \\ Times 3 \\ FRAC \\)
Decisión:
a) \\ (4 \\ Times 2 \\ FRAC \u003d \\ FRAC \\ TIME \\ FRAC \u003d \\ FRAC \u003d 11 \\ FRAC \\\\\\\\ \\)
b) \\ (1 \\ frac \\ veces 3 \\ frac \u003d \\ frac \\ times \\ frac \u003d \\ frac \u003d 4 \\ frac \\)
Ejemplo número 7:
¿Pueden los dos números invertidos mutuamente ser los números simultáneamente mezclados?
Considere en el ejemplo. Tome la fracción mixta \\ (1 \\ FRAC \\), encontraremos un disparo de espalda para ello, ya que esto lo traducimos en la fracción incorrecta \\ (1 \\ FRAC \u003d \\ FRAC \\). La fracción inversa a él será igual a \\ (\\ FRAC \\). La fracción \\ (\\ frac \\) es la fracción correcta. Respuesta: Invertir mutuamente Invertir dos fracciones simultáneamente números mixtos no pueden ser.
Multiplicación de la fracción decimal en un número natural.
Presentación a la lección.
¡Atención! Vista previa Las diapositivas se utilizan exclusivamente con fines informativos y pueden no proporcionar ideas sobre todas las capacidades de presentación. Si estás interesado este trabajoPor favor descargue la versión completa.
- En una forma fascinante, introduzca a los estudiantes la regla de la multiplicación de la fracción decimal en un número natural, en la unidad de descarga y la regla de expresión de la fracción decimal como porcentaje. Desarrolle la capacidad de aplicar el conocimiento adquirido al resolver ejemplos y tareas.
- Desarrolle y active el pensamiento lógico de los estudiantes, la capacidad de identificar regularidades y generalizarlos, fortalecer la memoria, la capacidad de cooperar, ayudar, evaluar su trabajo y trabajar entre sí.
- Interés ferroviario en matemáticas, actividad, movilidad, habilidad para comunicarse.
Equipo: Tablero interactivo, cartel con un digital, carteles con declaraciones matemáticas.
- Tiempo de organización.
- La cuenta oral es una generalización del material temprano estudiado, preparación para el estudio de un nuevo material.
- Explicación de un nuevo material.
- Tarea en casa.
- Anexo físico matemático.
- La generalización y la sistematización del conocimiento ganadas en un formulario de juego usando una computadora.
- Estimacion.
2. Chicos, hoy nuestra lección será algo inusual, porque lo gastaré no solo, sino con mi amigo. Y mi amigo también es inusual, ahora lo verás. (La computadora-dibujos animados aparece en la pantalla). Mi amigo tiene un nombre y él sabe cómo hablar. ¿Cuál es tu nombre, amigo? Los composhes responden: "Mi nombre es un composh". ¿Estás listo para ayudarme hoy? ¡SÍ! Bueno, entonces vamos a empezar una lección.
Hoy vine el digital cifrado, los muchachos, que debemos decidir juntos y descifrar. (Un póster está colgado en la placa con una cuenta oral para la adición y la resta de fracciones decimales, como resultado de la decisión de la cual los muchachos reciben el siguiente código. 523914687. )
Descipher El código recibido ayuda a un Composh. Como resultado de la decodificación, se obtiene la palabra Multiplicación. La multiplicación es la palabra clave de la lección de hoy. El tema de la lección se muestra en el monitor: "Multiplicando la fracción decimal en un número natural"
Chicos, sabemos cómo se realiza la multiplicación. números naturales. Hoy consideraremos multiplicar los números decimales a un número natural. La multiplicación de la fracción decimal en un número natural puede considerarse como la suma de los términos, cada uno de los cuales es igual a esta fracción decimal, y el número de componentes es igual a este número natural. Por ejemplo: 5,21 · 3 \u003d 5,21 + 5, 21 + 5,21 \u003d 15.63, significa 5.21 · 3 \u003d 15.63. Representando 5.21 en forma de una fracción ordinaria en un número natural, obtenemos
Y en este caso, el mismo resultado fue 15.63. Ahora, no prestando atención a la coma, tomamos el número 521 y cambiamos a este número natural en lugar del número. Aquí debemos recordar que en uno de los multiplicadores del molino se mueven con dos categorías a la derecha. Al multiplicar los números 5, 21 y 3, obtenemos un producto igual a 15.63. Ahora, en este ejemplo, la coma se moverá hacia la izquierda para dos descargas. Por lo tanto, cuántas veces aumentó uno de los multiplicadores, el trabajo disminuyó en tantas veces. Basado en momentos similares de estos métodos, concluimos.
Multiplicar fracción decimal En el número natural, es necesario:
1) No prestar atención a la coma, para realizar la multiplicación de números naturales;
2) En el producto resultante, para separar la coma a la derecha de tantos signos, ya que están en la fracción decimal.
Los siguientes ejemplos se muestran en el monitor, que desmontamos con los composhes y los chicos: 5.21 · 3 \u003d 15.63 y 7.624 · 15 \u003d 114.34. Después de mostrar la multiplicación en un número redondo 12.6 · 50 \u003d 630. A continuación, paso a la multiplicación de la fracción decimal en la unidad de descarga. Muestro los siguientes ejemplos: 7.423 · 100 \u003d 742.3 y 5.2 · 1000 \u003d 5200. Entonces, ingresamos la regla de multiplicación de la fracción decimal en la unidad de descarga:
Para multiplicar una fracción decimal en unidades de descarga 10, 100, 1000, etc., es necesario en esta fracción mover la coma a la derecha a tantos signos como ceros en el registro de la unidad de descarga.
Termino la explicación de la expresión de la fracción decimal en porcentaje. Entro en la regla:
Para expresar una fracción decimal en porcentaje, es necesario multiplicar a 100 y atribuir un signo%.
Cito un ejemplo en una computadora 0.5 · 100 \u003d 50 o 0.5 \u003d 50%.
4. Al final de la explicación le doy a los chicos. tareaque también se destaca en el monitor de la computadora: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Para que los chicos descansen un poco, hacemos un apego físico matemático para consolidar los temas. Todos se levantan, muestro los ejemplos resueltos de clase y deben responder, correctamente o no resolverse el ejemplo. Si el ejemplo se resuelve correctamente, luego levantan las manos sobre sus cabezas y hacen palmeras de algodón. Si el ejemplo se decide, no es cierto, los chicos se detienen hacia el lado y aman los dedos.
6. Y ahora tienes un poco de descanso, puedes resolver las tareas. Abra el tutorial en la página 205, № 1029. En esta tarea, es necesario calcular el valor de las expresiones:
Las tareas aparecen en la computadora. A medida que los resuelven, la imagen aparece con la imagen de la nave, que está flotando con un conjunto completo.
Resolviendo esta tarea en la computadora, dobla gradualmente el cohete, decidiendo el último ejemplo, el cohete vuela. El profesor hace una pequeña información a los estudiantes: "Cada año con la tierra de Kazajstán desde el Cosmodrome de Baikonur, se quita a las estrellas naves espaciales. Junto a Baikonur, Kazajstán construye su nuevo cosmódromo "Baiterek".
Qué distancia se pasará en 4 horas, si la velocidad del automóvil de pasajeros es de 74.8 km / h.
¿El certificado de regalo no sabe qué dar a su segunda mitad, amigos, empleados, familiares? Aproveche nuestra oferta especial: "Certificado de regalo del hotel Dacha" Blue Selly ". El certificado da [...]