Definición.

Esfera (superficie de la bola) es la colección de todos los puntos en el espacio tridimensional que están a la misma distancia de un punto, llamado centro de la esfera(ACERCA DE).

Una esfera puede describirse como una figura tridimensional que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro 180° o un semicírculo alrededor de su diámetro 360°.

Definición.

Pelota es una colección de todos los puntos en el espacio tridimensional, cuya distancia no excede una cierta distancia hasta un punto llamado centro de la pelota(O) (el conjunto de todos los puntos del espacio tridimensional limitado por una esfera).

Una bola puede describirse como una figura tridimensional que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro 180° o un semicírculo alrededor de su diámetro 360°.

Definición. Radio de la esfera (bola)(R) es la distancia desde el centro de la esfera (bola) oh a cualquier punto de la esfera (superficie de la pelota).

Definición. Diámetro de la esfera (bola)(D) es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (la superficie de una pelota) y pasa por su centro.

Fórmula. Volumen de esfera:

V=	4	π R 3 =	1	πD 3
	3		6

Fórmula. Área de superficie de una esfera a través del radio o diámetro:

S = 4π R 2 = π D 2

ecuación de esfera

1. Ecuación de una esfera con radio R y centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ecuación de una esfera con radio R y centro en un punto de coordenadas (x 0, y 0, z 0) en el sistema de coordenadas cartesiano:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definición. Puntos diametralmente opuestos son dos puntos cualesquiera en la superficie de una bola (esfera) que están conectados por un diámetro.

Propiedades básicas de una esfera y una pelota.

1. Todos los puntos de la esfera están a la misma distancia del centro.

2. Cualquier sección de una esfera por un plano es un círculo.

3. Cualquier sección de una pelota por un plano es un círculo.

4. La esfera tiene el volumen más grande entre todas las figuras espaciales con la misma superficie.

5. A través de dos puntos diametralmente opuestos se pueden dibujar muchos círculos grandes para una esfera o círculos para una pelota.

6. A través de dos puntos cualesquiera, excepto los puntos diametralmente opuestos, solo puedes dibujar un círculo grande para una esfera o un círculo grande para una bola.

7. Dos círculos máximos cualesquiera de una bola se cruzan a lo largo de una línea recta que pasa por el centro de la bola, y los círculos se cruzan en dos puntos diametralmente opuestos.

8. Si la distancia entre los centros de dos bolas cualesquiera es menor que la suma de sus radios y mayor que el módulo de la diferencia de sus radios, entonces dichas bolas intersecarse, y se forma un círculo en el plano de intersección.

Secante, cuerda, plano secante de una esfera y sus propiedades.

Definición. Esfera secante es una recta que corta a la esfera en dos puntos. Los puntos de intersección se llaman puntos de perforación superficies o puntos de entrada y salida en la superficie.

Definición. Acorde de una esfera (bola)- este es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (la superficie de una bola).

Definición. Plano de corte es el plano que corta a la esfera.

Definición. Plano diametral- este es un plano secante que pasa por el centro de una esfera o bola, la sección se forma en consecuencia círculo grande Y gran circulo. El círculo máximo y el círculo máximo tienen un centro que coincide con el centro de la esfera (bola).

Cualquier cuerda que pase por el centro de una esfera (bola) es un diámetro.

Una cuerda es un segmento de una recta secante.

La distancia d desde el centro de la esfera a la secante es siempre menor que el radio de la esfera:

d< R

La distancia m entre el plano de corte y el centro de la esfera es siempre menor que el radio R:

metro< R

La ubicación de la sección del plano de corte sobre la esfera siempre será pequeño círculo, y en la pelota la sección será pequeño círculo. El círculo pequeño y el círculo pequeño tienen centros propios que no coinciden con el centro de la esfera (bola). El radio r de dicho círculo se puede encontrar mediante la fórmula:

r = √R 2 - metros 2,

Donde R es el radio de la esfera (bola), m es la distancia desde el centro de la bola hasta el plano de corte.

Definición. hemisferio (hemisferio)- Esta es la mitad de una esfera (bola), que se forma cuando se corta por un plano diametral.

Tangente, plano tangente a una esfera y sus propiedades.

Definición. Tangente a una esfera es una línea recta que toca la esfera en un solo punto.

Definición. Plano tangente a una esfera. es un plano que toca la esfera en un solo punto.

La línea tangente (plano) siempre es perpendicular al radio de la esfera trazada hasta el punto de contacto.

La distancia desde el centro de la esfera a la recta tangente (plano) es igual al radio de la esfera.

Definición. segmento de bola- esta es la parte de la bola que está separada de la bola por un plano de corte. Base del segmento llamado el círculo que se formó en el sitio de la sección. Altura del segmento h es la longitud de la perpendicular trazada desde el centro de la base del segmento hasta la superficie del segmento.

Fórmula. Cuadrado Superficie exterior segmento de esfera con altura h que pasa por el radio de la esfera R:

S = 2πRh

Cuando a la gente se le pregunta la diferencia entre una esfera y una pelota, muchos simplemente se encogen de hombros, pensando que en realidad son lo mismo (la analogía con un círculo y un círculo). De hecho, ¿conocemos todos bien la geometría del plan de estudios escolar y podemos responder de inmediato a esta pregunta? Una esfera tiene algunas diferencias con una pelota, que no sólo los escolares necesitan conocer para sacar una buena nota por sus conocimientos demostrados, sino también muchas otras personas, por ejemplo, cuyo trabajo está directamente relacionado con los dibujos.

Definición

Pelota– el conjunto de todos los puntos en el espacio. Todos estos puntos están ubicados desde el centro del cuerpo geométrico a una distancia que no es mayor que una determinada. Esta distancia en sí misma se llama radio. Una bola, como cuerpo geométrico, se forma de la siguiente manera: un semicírculo gira cerca de su diámetro. En cuanto a la esfera, esta es la superficie de la bola (por ejemplo, una bola cerrada la incluye, una abierta no). Calcular el área o el volumen de una pelota implica fórmulas geométricas enteras que son muy complejas, a pesar de la aparente simplicidad de la propia figura geométrica.

Esfera, como se señaló anteriormente, es la superficie de la pelota, su caparazón. Todos los puntos del espacio están equidistantes del centro de la esfera. En cuanto al radio de un cuerpo geométrico, se llama cualquier segmento, uno de cuyos puntos es directamente el centro de la esfera y el otro puede ubicarse en cualquier punto de la superficie. Podemos decir que una esfera es el cascarón de una pelota sin ningún contenido (más ejemplos específicos se indicará a continuación). Al igual que una pelota, una esfera es un cuerpo de rotación. Por cierto, muchos también se preguntan cuál es la diferencia entre un círculo y un círculo de una esfera y una bola. Aquí todo es simple: en el primer caso se trata de figuras en un plano, en el segundo, en el espacio.

Comparación

Ya se ha dicho que una esfera es la superficie de una pelota, lo que ya permite hablar de un signo significativo de diferencia. La diferencia entre los dos cuerpos geométricos se observa en algunos otros aspectos:

• Todos los puntos de la pelota están a la misma distancia del centro, mientras que el cuerpo está limitado por la superficie (una esfera que está vacía por dentro). En otras palabras, la esfera es hueca. Normalmente, para facilitar la comprensión, se da un ejemplo sencillo con un globo y una bola de billar. Ambos objetos se llaman bolas, pero en el primer caso se trata de una esfera y en el segundo de una bola en toda regla con su propio contenido en su interior.
• Una esfera tiene su propia área, pero no tiene volumen. Una esfera es todo lo contrario: se puede calcular su volumen, mientras que no tiene área. Algunos podrían decir que esto es caracteristica principal diferencias, pero sólo aparece si es necesario hacer algunos cálculos (fórmulas geométricas complejas). Por tanto, la principal diferencia es que la esfera es hueca y la bola es un cuerpo con contenido en su interior.
• Otra diferencia radica en el radio. Por ejemplo, el radio de una esfera no es sólo la distancia de los puntos al centro. Un radio puede ser cualquier segmento que conecte un punto de una esfera con su centro. Todos estos segmentos son iguales entre sí. En cuanto a la pelota, los puntos que se encuentran en su interior están alejados del centro menos de un radio (precisamente debido a la esfera que la rodea).

Sitio web de conclusiones

1. Una esfera es hueca, mientras que una bola es un cuerpo lleno por dentro. Por ejemplo, un globo aerostático es una esfera, una bola de billar es una bola en toda regla.
2. Una esfera tiene área y no volumen, pero una esfera hace lo contrario.
3. La tercera diferencia es la medida del radio de dos cuerpos geométricos.

Una pelota es un cuerpo formado por todos los puntos del espacio que se encuentran a una distancia no mayor que una determinada de un punto determinado. Este punto se llama centro de la pelota y esta distancia se llama radio de la pelota. El límite de una pelota se llama superficie esférica o esfera. Los puntos de la esfera son todos los puntos de la bola que se alejan del centro a una distancia igual al radio. Cualquier segmento que conecta el centro de una bola con un punto de la superficie esférica también se llama radio. El segmento que pasa por el centro de la bola y conecta dos puntos de la superficie esférica se llama diámetro. Los extremos de cualquier diámetro se denominan puntos diametralmente opuestos de la bola.

Una pelota es un cuerpo de revolución, al igual que un cono y un cilindro. Una bola se obtiene haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro como eje.

El área de la superficie de la pelota se puede encontrar usando las fórmulas:

donde r es el radio de la pelota, d es el diámetro de la pelota.

El volumen de la pelota se encuentra mediante la fórmula:

V = 4/3 πr 3,

donde r es el radio de la pelota.

Teorema. Cada sección de una pelota por un plano es un círculo. El centro de este círculo es la base de la perpendicular trazada desde el centro de la bola hasta el plano de corte.

Con base en este teorema, si una bola con centro O y radio R es intersectada por el plano α, entonces la sección transversal da como resultado un círculo de radio r con centro K. El radio de la sección de la bola por el plano se puede encontrar por la fórmula

De la fórmula se desprende claramente que los planos equidistantes del centro cortan la pelota en círculos iguales. El radio de la sección es mayor cuanto más cerca está el plano de corte del centro de la bola, es decir, menor es la distancia OK. El radio mayor tiene una sección por un plano que pasa por el centro de la pelota. El radio de este círculo es igual al radio de la pelota.

El plano que pasa por el centro de la pelota se llama plano central. La sección de una pelota por el plano diametral se llama círculo máximo, la sección de una esfera se llama círculo máximo y la sección de una esfera se llama círculo máximo.

Teorema. Cualquier plano diametral de una pelota es su plano de simetría. El centro de la pelota es su centro de simetría.

El plano que pasa por el punto A de la superficie esférica y es perpendicular al radio trazado hacia el punto A se llama plano tangente. El punto A se llama punto tangente.

Teorema. El plano tangente tiene sólo un punto común con la pelota: el punto de contacto.

La recta que pasa por el punto A de la superficie esférica perpendicular al radio trazado hasta este punto se llama tangente.

Teorema. Por cualquier punto de la superficie esférica pasa un número infinito de tangentes y todas ellas se encuentran en el plano tangente de la pelota.

Un segmento esférico es la parte de una bola separada de ella por un plano. El círculo ABC es la base del segmento esférico. El segmento perpendicular MN trazado desde el centro N del círculo ABC hasta la intersección con la superficie esférica es la altura del segmento esférico. El punto M es el vértice del segmento esférico.

El área de superficie de un segmento esférico se puede calcular mediante la fórmula:

El volumen de un segmento esférico se puede encontrar mediante la fórmula:

V = πh 2 (R – 1/3h),

donde R es el radio del círculo máximo, h es la altura del segmento esférico.

A partir de un segmento esférico y un cono se obtiene un sector esférico de la siguiente manera. Si un segmento esférico es más pequeño que un hemisferio, entonces el segmento esférico se complementa con un cono, cuyo vértice está en el centro de la bola y la base es la base del segmento. Si el segmento es más grande que un hemisferio, entonces se le quita el cono especificado.

Un sector esférico es parte de una bola delimitada por la superficie curva de un segmento esférico (en nuestra figura es AMCB) y superficie cónica(en la figura esto es OABC), cuya base es la base del segmento (ABC) y el vértice es el centro de la bola O.

El volumen del sector esférico se encuentra mediante la fórmula:

V = 2/3 πR 2 H.

Una capa esférica es parte de una bola encerrada entre dos planos paralelos (planos ABC y DEF en la figura) que cruzan la superficie esférica. La superficie curva de la capa esférica se llama cinturón (zona) esférico. Los círculos ABC y DEF son las bases del cinturón esférico. La distancia NK entre las bases del cinturón esférico es su altura.

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- (bola griega sphaira). 1) un cuerpo sólido en el que todos los puntos de la superficie están igualmente distantes de punto interno, llamado centro de la pelota; Imagen de la tierra en forma de globo. 2) parte del espacio en el que el planeta hace su recorrido. 3) en sentido figurado... Diccionario palabras extranjeras idioma ruso

Mujer, Griega bola, cuerpo esférico o vacío, o su imagen en papel; en aplicación a los cuerpos celestes: una bola girada sobre su eje, que representa nuestra tierra, o el firmamento, con el significado de todos los círculos imaginarios. Esfera armilar,... ... Diccionario dahl

esfera- y, w. esfera f. gramo. sphaira. 1. geom. Una superficie cerrada, cuyos puntos están igualmente distantes de un punto (centro /. BAS 1. | transferencia. Pasaron diez esferas de aire, vi una casa de bebidas en la distancia. I. Naumov Yason. // Poema cómico heroico 560 .2.…… … Diccionario histórico de galicismos de la lengua rusa.

Esferas, mujeres. [Griego bola de sphaira]. 1. Igual que la pelota (mat.). 2. transferencia Área, lugar, límites en que existe, opera, se desarrolla, se aplica. (libro). “Dependiendo de la naturaleza del talento poético y del grado de su desarrollo, el ámbito... Diccionario explicativo de Ushakov

ESFERA, s, hembra. 1. Área, límites de distribución de algo. C. actividades. C. influencia. 2. Medio ambiente, entorno social. En tu campo. Esferas superiores (sobre círculos gobernantes, aristocráticos). 3. Superficie cerrada, todos los puntos hacia el enjambre están igualmente distantes... ... Diccionario explicativo de Ozhegov

Ver zona... Diccionario de sinónimos

Esfera- (Khabarovsk, Rusia) Categoría de hotel: hotel de 3 estrellas Dirección: Dezhneva Lane 15, Khabarovsk ... Catálogo de hoteles

Componente de esfera palabras difíciles, es decir: 1) una de las capas de planetas y estrellas: astenosfera atmósfera barisfera biosfera geosfera heterosfera hidrosfera homosfera ionosfera litosfera magnetosfera mesosfera estratosfera subestratosfera... ... Wikipedia

- (del griego sphaira ball), 1) área de acción, los límites de propagación de algo (por ejemplo, esfera de influencia). 2) Entorno social, entorno, entorno... enciclopedia moderna

- (del griego sphaira ball) 1) área de acción, los límites de la propagación de algo (por ejemplo, esfera de influencia) 2) Entorno social, entorno, situación ...

Una superficie cerrada, cuyos puntos están igualmente distantes de un punto (el centro de la esfera). El segmento que conecta el centro de la esfera con cualquier punto de ella (así como su longitud) se llama radio de la esfera. Área de superficie de la esfera S=4?R2, donde R es el radio de la esfera... Gran diccionario enciclopédico

Libros

• Esfera, Eggers, Dave. Una novela del líder de la nueva ola de literatura estadounidense, una cruel sátira sobre mundo moderno redes sociales y continuo ruido blanco. SPHERE es una buena corporación: mejora el mundo haciéndolo...
• Esfera, Dave Eggers. Mae Holland tuvo mucha suerte. Trabaja en la empresa ideal "Sfera", una unión de mentes brillantes de una generación, donde todos escuchan a todos y todos se inspiran para mejorar el mundo. Mayo ya está aquí...

‌‌‌V‌ Congreso científico y práctico regional de investigación, diseño y trabajos creativos de estudiantes “Primeros pasos en la ciencia”

Investigación sobre este tema:

"La esfera y la pelota son cuerpos geométricos ordinarios".

Completado por: estudiante de noveno grado de MBOU

"Kochetovskaya secundaria escuela comprensiva» Romanov Dima.

Responsable: profesora de matemáticas y física Tremaskina V.S.

Introducción _________________________________________________________________3

1. Historia del estudio de los cuerpos geométricos: bola, esfera_______________________3

2. Esfera y pelota.

2.1. El concepto de esfera y bola_________________________________________________3-4

2.2. Ecuación de esfera________________________________________________4

2.3. La posición relativa de la esfera y el plano____________________________4-6

2.4. Plano tangente a la esfera__________________________________________6-7

2.5. Área de una esfera y volumen de una pelota__________________________________________ 7

2.6. Conseguir la esfera____________________________________________________________ 7-8

2.7. Encontrar una esfera y una pelota en la naturaleza____________________________ 9-13

2.8.Esfera y pelota en la vida cotidiana_________________________________14-15

2.9.Uso de esfera y pelota en arquitectura____________________________16-22

2.10. Aplicación de esfera y bola en geodesia____________________________23

2.11 Aplicación de la esfera y la bola en astronomía y geografía_________________24

2.12. Esfera y bola en el arte_______________________________________________25

Conclusión________________________________________________________________________________25

Literatura_________________________________________________________________26

Relevancia del tema elegido.

A lo largo de los siglos, la humanidad no ha dejado de ampliar sus conocimientos científicos en uno u otro campo de la ciencia. Muchos geómetras científicos, e incluso la gente corriente, estaban interesados ​​en una figura como la bola y su "cáscara", llamada esfera. Muchos objetos reales en física, astronomía, biología y otros. Ciencias Naturales tener forma de bola. Por lo tanto, el estudio de las propiedades de la pelota tuvo un papel importante en varias épocas históricas y se le asigna un papel importante en nuestro tiempo.

Propósito del estudio: estudie los cuerpos geométricos bola y esfera, considere su aplicación en diversos campos de la ciencia, en la vida cotidiana, en la naturaleza, cree una presentación "Esfera y bola: cuerpos geométricos ordinarios".

Tareas:

1. Recopile material sobre la pelota y la esfera utilizando diversas fuentes de información, incluidos recursos de Internet.

2. Sistematizar el material sobre la pelota y la esfera.

4. Crea una presentación" La esfera y la bola son cuerpos geométricos ordinarios.».

5. Presentar el trabajo en una lección de geometría al estudiar el tema “Esfera y bola”.

Objeto de estudio : esfera y bola

Tema de estudio : elementos y propiedades de la esfera y la bola

Hipótesis: Necesitamos pelotas para hacer nuestro mundo más diverso y voluminoso.

Métodos: parcialmente buscar, investigar, análisis comparativo, síntesis, práctica.

Resultado de la investigación: Los conocimientos adquiridos no sólo los necesitan los astrónomos y navegantes. barcos de mar, aviones, naves espaciales que utilizan las estrellas para determinar sus coordenadas, pero también para los constructores de minas, metros, túneles, arquitectos, así como durante los estudios geodésicos de grandes áreas de la superficie de la Tierra, cuando se hace necesario tener en cuenta su forma esférica en la vida cotidiana. .

Novedad científica: El material teórico se presenta en una forma que sea comprensible para los estudiantes de secundaria.

Significado práctico: Este material se puede utilizar como base para un curso optativo en las clases de física y matemáticas, en lecciones al estudiar los temas "Esfera y bola".

Introducción

Durante muchos siglos, la humanidad no ha dejado de ampliar sus conocimientos científicos en uno u otro campo de la ciencia. La estereometría, como ciencia de las figuras en el espacio, está integralmente relacionada con muchas disciplinas científicas. Estas disciplinas incluyen: matemáticas, física, informática y programación, así como química y biología. Este último plantea el problema de estudiar el microcosmos, que es una combinación compleja de varias partículas en el espacio entre sí. Los teoremas y corolarios de la estereometría se utilizan constantemente en arquitectura.

Muchos geómetras científicos, e incluso la gente corriente, estaban interesados ​​en una figura como la bola y su “cáscara”, llamada esfera. Sorprendentemente, la bola es el único cuerpo que tiene una superficie mayor con un volumen igual al de otros cuerpos comparables, como un cubo, un prisma u otros poliedros diversos. Nos ocupamos de pelotas todos los días. Por ejemplo, casi todas las personas usan un bolígrafo con una bola de metal montada en el extremo de la recarga, que gira bajo la influencia de la fricción entre ella y el papel, y en el proceso de girar, la bola "saca" otra porción. de tinta en su superficie. En la industria del automóvil se fabrican rótulas, que son una pieza muy importante en un coche y aseguran el correcto giro de las ruedas y la estabilidad del coche en la carretera. Los elementos de automóviles, aviones, cohetes, motocicletas, proyectiles y barcos que están constantemente expuestos al agua o al aire tienen principalmente una especie de superficies esféricas llamadas carenados.

Historia del estudio de los cuerpos geométricos: bola, esfera.

A una bola se le suele llamar cuerpo delimitado por una esfera, es decir una pelota y una esfera son cuerpos geométricos diferentes. Sin embargo, ambas palabras bola y esfera provienen de la misma palabra griega sphaira - bola. Además, la palabra "bola" se formó a partir de la transición de las consonantes sf a sh.

En el Libro XI de los Elementos, Euclides define una bola como una figura descrita por un semicírculo que gira alrededor de un diámetro fijo. En la antigüedad, la esfera era muy apreciada. Las observaciones astronómicas del firmamento evocaban invariablemente la imagen de una esfera.

La esfera siempre ha sido ampliamente utilizada en diversos campos de la ciencia y la tecnología.

2.1. Concepto de esfera y bola.

Una esfera es una superficie que consta de todos los puntos del espacio ubicados a una distancia determinada de un punto determinado.

Un cuerpo limitado por una esfera se llama bola.

Este punto se llama centro de la esfera y esta distancia se llama radio de la esfera.

Un segmento que conecta dos puntos en una esfera y pasa

que pasa por su centro se llama diámetro de la esfera.

El centro, radio y diámetro de una esfera también se llama centro, radio y diámetro de una bola.

2.2. ecuación de esfera

Establezcamos un sistema de coordenadas rectangular. ACERCA DExyz

Construyamos una esfera con centro en el punto C (x 0;y 0;z 0)

y radio R

CM = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2

MC = R, o MC2 = R2

de ahí la ecuación

la esfera tiene la forma:

(x-x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 =R 2

2.3. La posición relativa de la esfera y el plano.

Dado:

Una esfera de radio R con centro C (x 0; y 0; z 0), punto M (x; y; z) se encuentra sobre la esfera.

¿Cuál es la distancia MC?

Porque MS = R, entonces

METRO

R

Con

CON CONSS

Dado: plano α, esfera (C; R),

d - distancia desde el centro C al plano α.

Introduzcamos un sistema de coordenadas donde el punto C es (x 0; y 0; z 0). Compongamos las ecuaciones de la esfera y el plano α.

z

PAG
Supongamos que el punto C se encuentre en el eje z. Entonces sus coordenadas son (0; 0; d).

Ecuación de esfera:

Ecuación del plano α: z = 0

Exploremos el sistema de ecuaciones:

z = 0

Entonces

Dependiendo de la relación de d y R, son posibles 3 casos...

1
) d< R .

Entonces

ecuación de un círculo (O; r)

Sección de una esfera por un plano - círculo

2
) re = R .

Entonces

EN a la derecha en

x = 0 y y = 0

La esfera y el plano tienen un punto común.

3
) re > R .

Entonces

no tiene soluciones.

La esfera y el plano no tienen puntos comunes.

2.4. Plano tangente a una esfera.

Un plano que tiene un solo punto común con una esfera se llama plano tangente a la esfera, y su punto común se llama punto de tangencia entre el plano y la esfera.

Teorema. El radio de una esfera dibujada hasta el punto de contacto entre la esfera y el plano es perpendicular al plano tangente.

Dado: esfera con centroACERCA DE y radioR , α - tangente a la esfera en un puntoA avión.

Probar: O.A. A .

Prueba: deja O.A. no perpendicular al plano A , Entonces O.A. está inclinado al plano, lo que significa la distancia desde el centro al plano d < R . Aquellos. la esfera debe cortar el plano a lo largo del círculo, pero esto no satisface las condiciones del teorema. Medio, O.A. A .

Demostremos el teorema inverso.

Si el radio de una esfera es perpendicular al plano que pasa por su extremo que se encuentra sobre la esfera, entonces este plano es tangente a la esfera.

Dado: esfera con centroACERCA DE y radio O.A. , A, O.A. A .

Probar:A - plano de la tangente.

Prueba: porque O.A. A , entonces la distancia desde el centro de la esfera al plano es igual al radio. Esto significa que la esfera y el plano tienen un punto común. Por definición, un plano es tangente a una esfera.

2.5. Área de una esfera y volumen de una pelota

Y radio de la bola están determinados por las fórmulas:

Prueba

Tome un cuarto de círculo de radio R con centro en el punto. La ecuación para la circunferencia de este círculo es:, dónde.

La función es continua, creciente y no negativa. Cuando un cuarto de círculo gira alrededor del eje Buey, se forma un hemisferio, por lo tanto:

¿De dónde viene Ch. etc.?

Prueba

Etc.

Parte de la pelota, [ ] separado de él por algún avión se llama segmento esférico o esférico. La base de un segmento esférico se llama círculo. A B C D. La altura de un segmento esférico es el segmento. NUEVO MÉJICO., es decir. longitud de la perpendicular restablecida desde el centro norte base hasta que se cruce con la superficie de la pelota. Punto METRO se llama vértice del segmento esférico.

Volumen del segmento de bola expresado por la fórmula:

V = π h 2 ( R − 1/3 h)

capa de bolas - esto es parte de la pelota [ ], encerrado entre dos planos paralelos secantes. cinturón de bolas o Zona de pelota es la superficie curva de la capa esférica. circulos A B C Y DEF estas son las bases del cinturón esférico. Espaciado de bases activado es la altura de la capa esférica.

Volumen de bola expresado por la fórmula:

V = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

sector de pelota- esto es parte de la pelota [ ], delimitada por la superficie curva del segmento esférico y la superficie cónica cuya base es la base del segmento, y el vértice es el centro de la bola.

Volumen del sector de bolas es igual , cuya base tiene la misma área que la parte de la superficie esférica cortada por el sector, y la altura es igual al radio

V = 1/3 rs = 2/3 π R 2 h

2.6. Conseguir la esfera

Se puede obtener una esfera girando el semicírculo ACB alrededor del diámetro AB.

2.7. Encontrar una esfera y una pelota en la naturaleza.

z Acertijos de la naturaleza - Globos-mensajes.Estas misteriosas formaciones rocosas perfectamente redondas fueron descubiertas a finales de la década de 1940 en las selvas de la República Centroamericana de Costa Rica. Las bolas varían en tamaño desde 10 cm hasta 3-4 metros de diámetro. Durante la fotografía aérea, resultó que no estaban esparcidos aleatoriamente sobre la superficie de la tierra, sino que formaban formas geométricas. Incluso es posible que las bolas no estén dispersas, sino dispuestas en forma de un enorme mapa estelar; cada bola es una estrella con su descripción correspondiente.

Entre las hipótesis sobre el origen de las bolas, solo existen versiones exóticas: desde extraterrestres hasta escultores de la Atlántida. También hay una versión de que los globos fueron cortados (contando con los futuros dividendos del turismo) por inmigrantes nazis aburridos que inundaron América Latina tras el colapso del Tercer Reich. Las causas naturales no podían explicar la abundancia de bolas y los extraños diseños que tenían. En Kazajstán, cuando se desarrolla una cantera de arena, hay suficiente gran profundidad también se descubrieron varios ejemplares grandes de tales rocas... Este descubrimiento fue informado por la comisión de Fenómenos; Lamentablemente, no ha sobrevivido ninguna fotografía de los hallazgos.

Bola de cristal. Fotografía macro. Hay una bola de cristal apoyada en la rama de un árbol; en ella se refleja la naturaleza que la rodea. Flores amarillas muy bonitas y hierba verde y exuberante.

CON bolas revoloteando

en la foto en lugares de poder: ¿el resultado de la desintegración del uranio o una forma de vida plasmoide?

Iglesia del Santo Sepulcro y otros lugares de Israel

Y
interesante fenómeno natural Miles de bolas de hielo regulares se formaron en la orilla de un lago de Michigan

Algas en forma de bolas inusuales.

bolas extrañas Apareció en la costa de Hampton, en la costa este de Estados Unidos, en junio de 2002. El maremoto comenzó a arrastrar innumerables bolas verdosas, suaves, que recuerdan vagamente a una esponja y del tamaño de una pelota de tenis o de golf. A una distancia de unos 300 metros o más, toda la playa de arena estaba literalmente sembrada de bolas de este tipo. Inmediatamente comenzaron las disputas: ¿qué es y de dónde viene? En el debate participaron biólogos marinos, turistas en la playa y transeúntes al azar. Nadie había visto nada parecido aquí antes.

La naturaleza teme a la simetría, la naturaleza no conoce el ideal. formas geométricas. Pero el hombre puede obligar a la naturaleza a adquirir estas formas que le son ajenas. Un claro ejemplo de ello es el trabajo del artista coreano Lee Jae-Hyo, quien crea a partir deLos troncos de los árboles son esferas perfectas.

t

Miles de pequeñas bolas de color violeta terminaron extrañamente en el centro del desierto de Arizona, Estados Unidos. Los residentes de Tucson, Geraldine Vargas y su esposo, descubrieron un inexplicable grupo de bolas extrañas hace un par de semanas mientras caminaban por el vecindario. "Estábamos fotografiando la naturaleza del desierto cuando nos encontramos con este extraño lugar... No entiendo cómo no lo notamos de inmediato", dijo Geraldine a los periodistas. "Simplemente brillaba bajo el sol". Los fotógrafos enviaron fotografías de objetos extraños a su amiga zoóloga, pero ella no pudo decir qué era, ni siquiera tenía ninguna suposición al respecto.

Bolas hechas de minerales.

Amatista.Brasil.

Cristal de roca, Sur, región de Chelyab. Vendido.

Amazonita Península de Kola Vendido.

2.8 Esfera y pelota en la vida cotidiana

norte
y la bola geométrica es similar globo terráqueo, balón de fútbol, ​​juguetes de Año Nuevo.

bola de espuma de bricolaje

Zorbing – Este es uno de los entretenimientos extremos más de moda en la actualidad. Zorbing te permitirá experimentar sensaciones nuevas, inusualmente brillantes y poderosas y liberarte de la rutina de la vida cotidiana.

¿Qué es una pelota Zorb?

z orbe (ZORB) es una esfera transparente (bola) de 3,2 metros de diámetro en cuyo interior hay una esfera de 1,8 metros de diámetro, en la que hay Zorbonauta (pasajero zorba). El espacio entre estas esferas se llena de aire, cuya presión las separa y, por el contrario, las eslingas las mantienen en su lugar. Este sistema absorbe muy bien, suaviza el terreno irregular y hace que esquiar sea seguro.

2.9.Aplicación de esfera y bola en arquitectura.

Esta casa se llama WIGWAM. Estas casas se construyen INDIOS.

Bolas y hemisferios de acero inoxidable.

Fuente "giratoria"pelota "en st.

San Petersburgo -

Casas modernas

Y sicasa no sólo en un árbol, sino también en forma de bola.

Este es un verdadero pueblocasas redondas .

CON
casas redondas modernas

Montreal Biosphere: pabellón de exposiciones de EE. UU. en la Expo 67 en Canadá,

diseñado por el arquitecto Richard Fuller.

Hotel en forma de bolas transparentes.

EN
En la ciudad francesa de Roubaix, en uno de los parques se abrieron habitaciones portátiles del Hotel Bolha. Hicimos esto especialmente para las personas que, incluso en el centro de la jungla urbana, quieren estar más cerca de la naturaleza.El concepto de burbuja fue inventado por el diseñador Pierre Stéphane Dumas. Este diseño avanzado fue creado con el objetivo de conectar temporalmente a los huéspedes con lo desconocido. Al fin y al cabo, no mucha gente puede permitirse el lujo de dormir bajo un techo redondo.

Vestido globo.

Oficina de país Pronto llegará la primavera (y luego el verano) y muchos empezarán a ir a sus casas de campo para relajarse.
Pero a veces necesitas trabajar en la casa de campo (¡maldito seas!). ¿No tienes un lugar para jubilarte?
Puedes crear un “Arquípodo” en una pequeña estructura esférica como esta:

EFICIENCIA ENERGÉTICA enarquitectura . Smart Home es una molécula.

En el parque científico y tecnológico de La Vilette, construido en el lugar de un matadero en la periferia este de París, llama la atención una bola gigante, en cuya superficie de espejo se refleja el cielo parisino y el paisaje circundante. Hoy en día, este edificio se considera la estructura esférica más perfecta del mundo. Los parisinos lo llaman "Géode". esto es panorámico

Cine con la pantalla más grande de Europa.. espejo de la casa de bolas

Estos ovillos de hilo se pueden colgar simplemente de las ramas de los árboles si las vacaciones se desarrollan al aire libre o del techo. También se pueden utilizar para decorar una mesa de banquete, complementando la composición con velas y flores.

2.10. Aplicación de esfera y bola en geodesia.

Proyecciones de mapas

mostrando toda la superficie del elipsoide terrestre (Ver. ) o cualquier parte del mismo en un avión, obtenido principalmente con el fin de construir un mapa.

Escala.Las estaciones de control se construyen a cierta escala. Reducir mentalmente el elipsoide de la Tierra aMETROveces, por ejemplo 10.000.000 de veces, obtenemos su modelo geométrico - , cuya imagen a tamaño natural en un plano da un mapa de la superficie de este elipsoide. Valor 1:METRO(en el ejemplo 1: 10.000.000) determina la escala principal o general del mapa. Debido a que las superficies de un elipsoide y una bola no pueden desarrollarse en un plano sin roturas y pliegues (no pertenecen a la clase de superficies desarrollables (ver. )), cualquier mapa se caracteriza por distorsiones en las longitudes de líneas, ángulos, etc., características de cualquier mapa. La principal característica de un sistema espacial en cualquier punto es la escala parcial μ. Este es el recíproco de la razón del segmento infinitesimal.dsen el elipsoide de la Tierra a su imagendσ en la superficie: μ mín. ≤ μ ≤ μ máximo, y la igualdad aquí solo es posible en ciertos puntos o a lo largo de ciertas líneas en el mapa. Así, la escala principal del mapa lo caracteriza sólo en términos generales, en alguna forma promedio. Actitud μ/M se llama escala relativa, o aumento de longitud, la diferencia METRO = 1.

1. Redes de líneas de coordenadas esféricas.

2.11. Aplicación de la esfera y esfera en astronomía y geografía.

CON la esfera y la pelota, así como el círculo y el círculo, fueron considerados en la antigüedad. El descubrimiento de la forma esférica de la Tierra y el surgimiento de ideas sobre la esfera celeste impulsaron el desarrollo de una ciencia especial: ESFERA, que estudia las figuras ubicadas en la esfera.

llevando a cabo viajes alrededor del mundo, los navegantes notaron que al regresar al mismo lugar se perdía o ganaba un día entero, lo que sería completamente imposible si la Tierra tuviera forma de disco.

Entonces, la evidencia de la esfericidad de la Tierra en la actualidad es:

Siempre una figura circular del horizonte en el océano y en tierras bajas o mesetas abiertas;

Viajando alrededor del mundo.

Acercamiento o retirada gradual de objetos;

Y
Al estudiar varios mapas geográficos, descubrimos que en geografía hay nombres geográficos asociado con la pelota. Por ejemplo, entre las islas del norte y del sur de Novaya Zemlya hay un estrecho que conecta Barents y Mar de Kara, que se llama Matochkin Shar, o el estrecho entre las costas de la isla Vaygach y el continente de Eurasia: Yugorsky Shar. Creemos que estos estrechos se llaman bolas debido a que su tamaño y forma de fondo se asemejan a una superficie esférica.

2.12. Esfera y pelota en el arte.

Las matemáticas de Escher

Además, las pinturas de Escher, que representan varias “figuras imposibles”, “juegan” con la lógica del espacio; Escher los representó tanto por separado como en litografías y grabados temáticos.

Tres esferas. 1946

Mano con esfera reflectante. 1935

Conclusión

Creo que el material que recopilé y los conocimientos adquiridos en el transcurso del trabajo realizado se pueden utilizar en lecciones de geometría, lecciones laborales, en la vida cotidiana, como base para un curso optativo en clases de física y matemáticas, así como en actividades extracurriculares. Actividades para ampliar los horizontes de los estudiantes.

Literatura

Hadamard J. Geometría elemental. Parte 2. M. Uchpedgiz, 1958. Andreev

Atanasian L.S. Geometría. Parte 2. – M: Educación, 1987. – 352 p.

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Yegorov I.P. Geometría. – M: Educación, 1979. – 256 p.

Yegorov I.P. Fundamentos de la geometría. – M: Educación, 1984. – 144 p.

Libro de problemas "Quantum": Matemáticas. Parte 1. / Ed. NÓTESE BIEN. Vasiliev. M: 1997.

Rosenfeld B.A. Historia de la geometría no euclidiana. Desarrollo del concepto de espacio geométrico. M. Nauka., 1976. – 408 p.

Enciclopedia de matemáticas elementales. Libro 4 – Geometría. M., 1963.

10.Recursos de Internet.