விண்வெளியில் சமச்சீர் ஒரு வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் கருத்து வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகள். வீடியோ பாடம் “வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகள்

சமச்சீர் கூறுகள்துணை வடிவியல் படங்கள் (புள்ளி, கோடு, விமானம் மற்றும் அவற்றின் சேர்க்கைகள்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இதன் உதவியுடன் நீங்கள் விண்வெளியில் ஒரு படிகத்தின் (பாலிஹெட்ரான்) சம முகங்களை மனதளவில் இணைக்கலாம். அதே நேரத்தில், கீழ் சமச்சீர் படிகமானது அதன் சம முகங்கள் மற்றும் செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளின் இடைவெளியில் இயற்கையான மறுநிகழ்வாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

படிக சமச்சீரின் மூன்று முக்கிய கூறுகள் உள்ளன - சமச்சீர் மையம், சமச்சீர் விமானம் மற்றும் சமச்சீர் அச்சுகள்.

சமச்சீர் மையம் படிகத்தின் உள்ளே ஒரு கற்பனைப் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் கட்டுப்பாடான கூறுகளிலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளது (அதாவது, எதிர் முனைகள், விளிம்புகள் மற்றும் முகங்களின் நடுப்புள்ளிகள்). சமச்சீர் மையம் என்பது மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளியாகும் சரியான உருவம்(கனசதுரம், இணையான குழாய்) மற்றும் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது உடன், மற்றும் சர்வதேச ஹெர்மன்-மோகன் அமைப்பின் படி - ஐ.

ஒரு படிகத்தில் ஒரே ஒரு சமச்சீர் மையம் மட்டுமே இருக்க முடியும். இருப்பினும், சமச்சீர் மையம் இல்லாத படிகங்கள் உள்ளன. உங்கள் படிகத்தில் சமச்சீர் மையம் உள்ளதா என்பதை தீர்மானிக்கும் போது, ​​நீங்கள் வழிநடத்தப்பட வேண்டும் பின்வரும் விதி:

"ஒரு படிகத்தில் சமச்சீர் மையம் இருந்தால், அதன் ஒவ்வொரு முகமும் சமமான மற்றும் எதிர் முகத்திற்கு ஒத்திருக்கும்."

ஆய்வக மாதிரிகள் கொண்ட நடைமுறை வகுப்புகளில், ஒரு படிகத்தில் சமச்சீர் மையத்தின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை பின்வருமாறு நிறுவப்பட்டுள்ளது. மேசையின் விமானத்தில் படிகத்தை அதன் முகங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை வைக்கிறோம். மேலே சமமான மற்றும் இணையான விளிம்பு உள்ளதா என்பதை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம். படிகத்தின் ஒவ்வொரு முகத்திற்கும் அதே செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்கிறோம். ஒரு படிகத்தின் ஒவ்வொரு முகமும் மேலே சமமான மற்றும் இணையான முகம் இருந்தால், சமச்சீர் மையம் படிகத்தில் உள்ளது. ஒரு படிகத்தின் ஒரு முகத்திற்காவது மேலே சமமான மற்றும் இணையான முகம் இல்லை என்றால், படிகத்தில் சமச்சீர் மையம் இல்லை.

சமச்சீர் விமானம்(சர்வதேச குறியீட்டின் படி, P என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது - m) என்பது படிகத்தின் வடிவியல் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு கற்பனை விமானம் மற்றும் அதை இரண்டு கண்ணாடி போன்ற சம பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. சமச்சீர் விமானம் கொண்ட படிகங்கள் இரண்டு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. முதலாவதாக, அதன் இரண்டு பகுதிகள், சமச்சீர் சமதளத்தால் பிரிக்கப்பட்டு, சம அளவில் இருக்கும்; இரண்டாவதாக, அவை கண்ணாடியில் பிரதிபலிப்பதைப் போல சமமானவை.

படிகத்தின் பகுதிகளின் கண்ணாடி சமத்துவத்தை சரிபார்க்க, அதன் ஒவ்வொரு செங்குத்துகளிலிருந்தும் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு கற்பனையை வரைந்து, விமானத்திலிருந்து அதே தூரத்திற்கு நீட்டிக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு உச்சியும் படிகத்தின் எதிர் பக்கத்தில் பிரதிபலிக்கும் ஒரு உச்சிக்கு ஒத்திருந்தால், படிகத்தில் சமச்சீர் விமானம் உள்ளது. ஆய்வக மாதிரிகளில் சமச்சீர் விமானங்களை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​படிகமானது ஒரு நிலையான நிலையில் வைக்கப்பட்டு பின்னர் மனதளவில் சமமான பகுதிகளாக வெட்டப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் பகுதிகளின் கண்ணாடி சமத்துவம் சரிபார்க்கப்படுகிறது. படிகத்தை எத்தனை முறை மனதளவில் இரண்டு கண்ணாடி போன்ற சம பாகங்களாக வெட்டலாம் என்று எண்ணுகிறோம். படிகமானது அசைவில்லாமல் இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

படிகங்களில் உள்ள சமச்சீர் விமானங்களின் எண்ணிக்கை 0 முதல் 9 வரை மாறுபடும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செவ்வக இணையில் மூன்று சமச்சீர் விமானங்களைக் காண்கிறோம், அதாவது 3P.

சமச்சீர் அச்சுபடிகத்தின் வடிவியல் மையத்தின் வழியாக செல்லும் ஒரு கற்பனைக் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதைச் சுற்றி சுழலும் போது படிகமானது அதன் வடிவத்தை மீண்டும் மீண்டும் செய்கிறது தோற்றம்விண்வெளியில், அதாவது சுய-இணைப்பு. இதன் பொருள் ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் சுழற்றிய பிறகு, படிகத்தின் சில முகங்கள் அவற்றிற்கு சமமான மற்ற முகங்களால் மாற்றப்படுகின்றன.

சமச்சீர் அச்சின் முக்கிய குணாதிசயம் சுழற்சியின் மிகச்சிறிய கோணம் ஆகும், இதில் படிகமானது முதல் முறையாக விண்வெளியில் "மீண்டும்" வருகிறது. இந்த கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை அச்சு சுழற்சி கோணம் மற்றும் α ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

எந்த அச்சின் அடிப்படை சுழற்சிக் கோணமும் 360° இல் ஒரு முழு எண் எண்ணிக்கையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், அதாவது (முழு எண்), இங்கு n என்பது அச்சின் வரிசையாகும்.

இதனால் , அச்சு ஒழுங்கு கொடுக்கப்பட்ட அச்சின் சுழற்சியின் அடிப்படை கோணம் 360° இல் எத்தனை மடங்கு உள்ளது என்பதைக் குறிக்கும் முழு எண். இல்லையெனில், அச்சின் வரிசை என்பது கொடுக்கப்பட்ட அச்சில் அதன் முழு சுழற்சியின் போது விண்வெளியில் உள்ள படிகத்தின் "மீண்டும்" எண்ணிக்கையாகும்.

சமச்சீர் அச்சுகள் L என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன, அச்சின் வரிசை கீழ் வலதுபுறத்தில் ஒரு சிறிய எண்ணால் குறிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, L 2.

பின்வரும் சமச்சீர் அச்சுகள் மற்றும் தொடர்புடைய அடிப்படை சுழற்சி கோணங்கள் படிகங்களில் சாத்தியமாகும்.

அட்டவணை 1

சமச்சீர் அச்சுகளுக்கும் சுழற்சியின் அடிப்படை கோணங்களுக்கும் இடையிலான உறவு

எந்த படிகத்திலும் எண்ணற்ற முதல்-வரிசை சமச்சீர் அச்சுகள் உள்ளன, எனவே நடைமுறையில் அவை தீர்மானிக்கப்படவில்லை.

5வது சமச்சீர் அச்சுகள் மற்றும் 6வது வரிசைக்கு மேலே உள்ள எந்த வரிசையும் படிகங்களில் இல்லை. படிகங்களின் இந்த அம்சம் படிக சமச்சீர் விதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. படிகங்களின் சமச்சீர் விதி, அவற்றின் உள் கட்டமைப்பின் தனித்தன்மையால் விளக்கப்படுகிறது, அதாவது, 5, 7, 8 மற்றும் பலவற்றின் அச்சுகள் இருப்பதை அனுமதிக்காத இடஞ்சார்ந்த லட்டியின் இருப்பு.

ஒரு படிகமானது ஒரே வரிசையின் பல அச்சுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயில் 2வது வரிசையின் மூன்று அச்சுகள் உள்ளன, அதாவது 3L 2.

ஒரு கனசதுரத்தில் 4 வது வரிசையின் 3 அச்சுகள், 3 வது வரிசையின் 4 அச்சுகள் மற்றும் 2 வது வரிசையின் 6 அச்சுகள் உள்ளன. ஒரு படிகத்தில் உள்ள உயர்ந்த வரிசை சமச்சீர் அச்சுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமானவை.

ஆய்வகப் பயிற்சிகளின் போது மாதிரிகளில் சமச்சீர் அச்சுகளைக் கண்டறிவது பின்வரும் வரிசையில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. படிகமானது ஒரு கையின் விரல் நுனியில் அதன் எதிர் புள்ளிகளில் (செங்குத்துகள், விளிம்புகள் அல்லது முகங்களின் நடுப்புள்ளிகள்) எடுக்கப்படுகிறது. கற்பனை அச்சு உங்கள் முன் செங்குத்தாக வைக்கப்பட்டுள்ளது; படிகத்தின் எந்தவொரு சிறப்பியல்பு தோற்றமும் நினைவில் வைக்கப்படுகிறது. அதன் அசல் தோற்றம் விண்வெளியில் "மீண்டும்" வரும் வரை, படிகமானது ஒரு கற்பனை அச்சில் மற்றொரு கையால் சுழற்றப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட அச்சைச் சுற்றி ஒரு முழுமையான சுழற்சியின் போது விண்வெளியில் எத்தனை முறை படிகம் "மீண்டும்" திரும்புகிறது என்பதை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம். இது அவளுடைய கட்டளையாக இருக்கும். படிகத்தில் உள்ள சமச்சீர் அச்சின் கோட்பாட்டளவில் சாத்தியமான அனைத்து திசைகளும் இதே வழியில் சரிபார்க்கப்படுகின்றன. இந்த சமச்சீர் அச்சுகள் அழைக்கப்படுகின்றன எளிய.

அவை தவிர உள்ளன சிக்கலான சமச்சீர் அச்சுகள், கண்ணாடி-சுழற்சி மற்றும் தலைகீழ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கண்ணாடி-சுழலும் அச்சு சமச்சீர் என்பது ஒரு எளிய அச்சு மற்றும் அதற்கு செங்குத்தாக உள்ள சமச்சீர் விமானத்தின் மன கலவையாகும். மிரர்-ரோட்டரி அச்சுகள் எளிமையானவை போன்ற அதே ஆர்டர்களைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் நடைமுறையில் 4 வது வரிசை அச்சு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது L 4 2 என நியமிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் எப்போதும் L 2 க்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் நேர்மாறாக இல்லை.

தலைகீழ் அச்சுசமச்சீர் என்பது ஒரு எளிய சமச்சீர் அச்சு மற்றும் சமச்சீர் மையத்தின் மன கலவையாகும். நடைமுறையிலும் கோட்பாட்டிலும், 4வது மற்றும் 6வது வரிசை தலைகீழ் அச்சுகள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவை Li 4 மற்றும் Li 6 என நியமிக்கப்பட்டுள்ளன.

படிக சமச்சீர் அனைத்து கூறுகளின் கலவை, எழுதப்பட்டது சின்னங்கள், அது அழைக்கப்படுகிறது சமச்சீர் சூத்திரம் . சமச்சீர் சூத்திரம் முதலில் சமச்சீர் அச்சுகளையும், பின்னர் சமச்சீர் விமானங்களையும் பட்டியலிடுகிறது, கடைசியாக சமச்சீர் மையத்தின் இருப்பு காட்டப்படுகிறது. குறியீடுகளுக்கு இடையில் காலங்கள் அல்லது காற்புள்ளிகள் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்க்கான சமச்சீர் சூத்திரம்: 3L 3 3PC; கன சதுரம் - 3L 4 4L 3 6L 2 9PC.

படிக சமச்சீர் வகைகள்

சமச்சீர் வகைகள்படிகங்களில் உள்ள சமச்சீர் கூறுகளின் சாத்தியமான சேர்க்கைகளாகும். ஒவ்வொரு வகை சமச்சீர்மையும் ஒரு குறிப்பிட்ட சமச்சீர் சூத்திரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

மொத்தத்தில், படிகங்களுக்கு 32 வகையான சமச்சீர் இருப்பு கோட்பாட்டளவில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இவ்வாறு, மொத்தம் 32 படிக சமச்சீர் சூத்திரங்கள் உள்ளன.

அனைத்து வகையான சமச்சீர்மைகளும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன 7 படிகள் சமச்சீர், சிறப்பியல்பு சமச்சீர் கூறுகள் இருப்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது.

1. பழமையானது - சமச்சீர் வகைகள் ஒன்றிணைக்கப்படுகின்றன, வெவ்வேறு வரிசைகளின் சமச்சீர் ஒற்றை அச்சுகளால் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன: L 3, L 4, L 6.

2. மத்திய - சமச்சீர் ஒற்றை அச்சுகளுக்கு கூடுதலாக, சமச்சீர் மையம் உள்ளது; கூடுதலாக, சமச்சீர் அச்சுகளின் இருப்புடன், சமச்சீர் விமானமும் தோன்றும்: L 3 C, L 4 PC, L 6 PC.

3. திட்டவட்டமான (திட்டம் - விமானம், கிரேக்கம்) - ஒரு ஒற்றை அச்சு மற்றும் சமச்சீர் விமானங்கள் உள்ளன: L 2 2P, L 4 4P.

4. அச்சு (அச்சு - அச்சு, கிரேக்கம்) - சமச்சீர் அச்சுகள் மட்டுமே உள்ளன: 3L 2, L 3 3L 2, L 6 6L 2.

5. பிளானாக்ஸியல் - அச்சுகள், விமானங்கள் மற்றும் சமச்சீர் மையம் உள்ளன: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. தலைகீழ்-பழமையான - சமச்சீர் ஒற்றை தலைகீழ் அச்சின் இருப்பு: L i 4, L i 6.

7. தலைகீழ்-விமானம் - தலைகீழ் அச்சுக்கு கூடுதலாக, எளிய அச்சுகள் மற்றும் சமச்சீர் விமானங்களின் இருப்பு: L i 4 4L 2 2P, L i 6 3L 2 3P.

சமச்சீரின் ஒவ்வொரு நிலையும் இணைகிறது வெவ்வேறு அளவுகள்சமச்சீர் வகைகள்: 2 முதல் 7 வரை.

சிங்கனிஸ்

சிங்கோனிஒரே மாதிரியான சமச்சீர் அச்சு மற்றும் அதே பொது சமச்சீர் நிலை கொண்ட சமச்சீர் வகைகளின் குழு (சின் - ஒத்த, கோனியா - கோணம், மொழியில்: சின்கோனி - ஒத்த கோணம், கிரேக்கம்). ஒரு அமைப்பிலிருந்து மற்றொரு அமைப்பிற்கு மாறுவது படிகங்களின் சமச்சீர் அளவு அதிகரிப்புடன் சேர்ந்துள்ளது.

மொத்தம் 7 சின்கோனிகள் உள்ளன. படிகங்களின் சமச்சீர் அளவை தொடர்ச்சியாக அதிகரிக்கும் பொருட்டு, அவை பின்வருமாறு வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன.

1. ட்ரிக்ளினிக் சின்கோனி (ஆப்பு - கோணம், சாய்வு, கிரேக்கம்) அனைத்து முகங்களுக்கும் இடையிலான கோணங்கள் எப்போதும் சாய்வாக இருக்கும் படிகங்களின் தனித்தன்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அதன் பெயரைப் பெற்றது. C தவிர வேறு எந்த சமச்சீர் கூறுகளும் இல்லை.

2. மோனோகிளினிக் (மோனோஸ் - ஒன்று, கிரேக்கம்) - படிகங்களின் முகங்களுக்கு இடையில் ஒரு திசையில் கோணம் எப்போதும் சாய்வாக இருக்கும். படிகங்கள் எல் 2, பி மற்றும் சி ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கலாம். சமச்சீர் கூறுகள் எதுவும் குறைந்தது இரண்டு முறையாவது மீண்டும் நிகழாது.

3. ரோம்பிக் - படிகங்களின் சிறப்பியல்பு குறுக்குவெட்டில் இருந்து அதன் பெயரைப் பெற்றது (1 வது வகையான ரோம்பிக் கோணங்களை நினைவில் கொள்க).

4. முக்கோணம் - அதன் குணாதிசயமான குறுக்குவெட்டு (முக்கோணம்) மற்றும் பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள் (முக்கோணம், இருகோணங்கள்) ஆகியவற்றிற்காக பெயரிடப்பட்டது. ஒரு எல் 3 தேவை.

5. டெட்ராகோனல் - சதுர வடிவ குறுக்குவெட்டு மற்றும் பாலிஹெட்ரல் கோணங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது - டெட்ராகோனல் மற்றும் டிடெட்ராகோனல். L 4 அல்லது L i4 இருக்க வேண்டும்.

6. அறுகோணமானது - ஒரு வழக்கமான அறுகோண வடிவில் உள்ள பிரிவு, பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள் - அறுகோண மற்றும் இருகோண. ஒரு L 6 அல்லது L i 6 இருப்பது கட்டாயமாகும்.

7. கன சதுரம் - வழக்கமான கன படிக வடிவம். 4L 3 சமச்சீர் கூறுகளின் ஒரு சிறப்பியல்பு கலவை.

சிங்கனிகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன 3 வகைகள் : குறைந்த, நடுத்தர மற்றும் உயர்.

தொடர்புடைய தகவல்கள்.

மீண்டும் முன்னோக்கி

கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால் இந்த வேலை, முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

பாடத்தின் முறையான நியாயப்படுத்தல்.

இயற்பியல், வானியல், வேதியியல் பொறியியல், உயிரியல் ஆகியவற்றில் இருந்து ஒரு வடிவியல் பாடத்தில் உள்ள அறிவைப் பயன்படுத்துதல், தலைப்பில் தகவல்களை முறைப்படுத்துதல் “விண்வெளியில் சமச்சீர். வழக்கமான பாலிஹெட்ரா. வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகள்."

பாடம் வகை:மாணவர்களின் அறிவு, திறன்கள் மற்றும் திறன்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான பாடம்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கல்வி:வழக்கமான பாலிஹெட்ரா மற்றும் அவற்றின் சமச்சீர் கூறுகள், விண்வெளியில் சமச்சீர் பயன்பாடு பற்றிய தகவல்களை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல்.

கல்வி:

• இலக்கிய மொழியைப் பயன்படுத்தி ஒருவரின் எண்ணங்களை தர்க்கரீதியாக வெளிப்படுத்தும் திறனை வளர்ப்பது;
• வாத திறன்களின் வளர்ச்சி;
• கேட்கும் திறன்களின் வளர்ச்சி மற்றும் கேட்கும் போது கவனத்தை விநியோகித்தல்;
• தெளிவுபடுத்தும் கேள்விகளைக் கேட்கும் திறனை வளர்ப்பது;
• தரமற்ற சூழ்நிலைகளில் அறிவைப் பெற்ற திறன்களின் வளர்ச்சி;
• முக்கிய விஷயத்தை முன்னிலைப்படுத்த, ஒப்பிட்டு, பொதுமைப்படுத்தும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்;
• சுருக்க மற்றும் காட்சி-உருவ சிந்தனையின் வளர்ச்சி.

கல்வி:பொருள் மீதான அன்பை வளர்ப்பது, நனவான ஒழுக்கத்தை வளர்ப்பது, கட்டுப்பாடு மற்றும் சுய கட்டுப்பாடு திறன்களை வளர்த்தல், செயல்படுத்துதல் அறிவாற்றல் செயல்பாடுஒரு குழுவில் மற்றும் ஒத்துழைப்பு திறன்களை உருவாக்குதல், இடைநிலை தொடர்பு. அழகு, அழகியல் கல்விக்கான உணர்வுகளைத் தூண்டுதல்.

கற்றல் கோட்பாடுகள்.

டிடாக்டிக்:

• பயிற்சியின் முறைமை மற்றும் நிலைத்தன்மை.
• அணுகல் (மாணவர் அறிவை நம்புதல்).
• பயிற்சியின் தனிப்பயனாக்கம் (கணக்கியல் உளவியல் வகைகள்மாணவர்களால் பொருள் பற்றிய கருத்து, பணிகளுக்கான செயற்கையான பொருட்களின் வேறுபாடு).
• அறிவியல்.
• கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறைக்கு இடையிலான தொடர்பு.

பாட உபகரணங்கள்(கல்வி வழிமுறைகள்).

• காந்த பலகை.
• பாலிஹெட்ராவின் மாதிரிகள், வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் மாதிரிகள். மேசை.
• பணி அட்டைகள்.
• மாணவர்களின் மேசையில்: பாடப்புத்தகங்கள், குறிப்பேடுகள், பேனாக்கள் மற்றும் பென்சில்கள், ஆட்சியாளர்கள். துணை குறிப்புகள்.

பாட அமைப்பு:

1. நிறுவன நிலை.
2. வீட்டுப்பாடம் சரிபார்க்கும் நிலை.
3. விரிவான அறிவு சோதனையின் நிலை.
4. அறிவின் பொதுமைப்படுத்தல் மற்றும் முறைப்படுத்தலின் நிலை.
5. பாடத்தை சுருக்கவும்.
6. மாணவர் தகவல் நிலை வீட்டு பாடம், அதை செயல்படுத்துவதற்கான வழிமுறைகள்.

கட்டுப்பாட்டு முறைகள் கல்வி நடவடிக்கைகள்இந்த பாடத்தில்:

1. வாய்வழி மற்றும் எழுதப்பட்ட.
2. முன், குழு, தனிநபர்.
3. இறுதி கட்டுப்பாடு.

வகுப்புகளின் போது

1. நிறுவன நிலை.

ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்களிடையே பரஸ்பர வாழ்த்துக்கள்.

பாடத்தின் தலைப்பைப் புகாரளித்தல், பாடத்திற்கான வேலைத் திட்டம், தலைப்பில் தகவல்களை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல்.

ஒரு இலக்கை அமைத்தல்.

2. வீட்டுப்பாடம் சரிபார்க்கும் நிலை. பாலிஹெட்ராவின் வெற்று மாதிரிகள்.

3. விரிவான அறிவு சோதனையின் நிலை.

பரஸ்பர சரிபார்ப்புடன் கணித டிக்டேஷன் (எழுத்து மற்றும் அட்டைகள் ஆசிரியரிடம் ஒப்படைக்கப்படுகின்றன). இணைப்பு 1.

முன் ஆய்வு:

• பிளானிமெட்ரியில் சமச்சீர்மை.
• சமச்சீர் வகைகள்.
• சமச்சீர் சொத்து.
• தங்களுக்கு சமச்சீராக இருக்கும் உருவங்கள்.

4. பாடத் திட்டம்.

• "சமச்சீர்" மற்றும் அதன் வகைகள், வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகளின் கருத்து அறிமுகம்;
• நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகில் சமச்சீர் வெளிப்பாடுகளைப் படிப்பது;
• மனித செயல்பாட்டின் பல்வேறு துறைகளில் சமச்சீர் பயன்பாட்டிற்கான வாய்ப்புகள்.
  • விண்வெளியில் சமச்சீர். விவாதத்துடன் ஆசிரியரின் கதை.
  • இயற்கையில் சமச்சீர். மாணவர் செயல்திறன். மாணவர்களின் கேள்விகளுக்கான பதில்கள்.
  • கலையில் சமச்சீர்: கட்டிடக்கலை, சிற்பம், ஓவியம். மாணவர் செயல்திறன். மாணவர்களின் கேள்விகளுக்கான பதில்கள்.
  • வழக்கமான பாலிஹெட்ரா. ஆயத்த மாதிரிகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட மாணவர்களின் கதை.

கேள்விகள் முன்கூட்டியே மாணவர்களுக்கு வழங்கப்படுகின்றன.

கேள்விகள் மற்றும் பணிகள்.

1. ஒரு பாலிஹெட்ரான் கருத்து.
2. பிரமிட் கருத்து. மாதிரிகளை உருவாக்குங்கள்.
3. ஒரு ப்ரிஸத்தின் கருத்து. மாதிரிகளை உருவாக்குங்கள்.

தனிப்பட்ட:

1. குறிப்பு இலக்கியத்திலிருந்து, வழக்கமான பாலிஹெட்ரா பற்றிய பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
2. செய்திகளைத் தயாரிக்கவும்: "விண்வெளியில் சமச்சீர்", "இயற்கையில் சமச்சீர்", "கலையில் சமச்சீர்".
3. வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் மாதிரிகளை உருவாக்கவும்.

குழு:

1. விண்வெளி, இயற்கை மற்றும் கலை ஆகியவற்றில் சமச்சீர் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுங்கள்.
2. பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி பிளாட்டோ பற்றிய தகவல்களைத் தயாரிக்கவும்.

விண்வெளியில் சமச்சீர்.

"சமச்சீர்மை... மனிதன் பல நூற்றாண்டுகளாக ஒழுங்கு, அழகு மற்றும் பரிபூரணத்தை விளக்குவதற்கும் உருவாக்குவதற்கும் முயற்சித்த ஒரு யோசனையாகும்." இந்த வார்த்தைகள் பிரபல கணிதவியலாளர் ஹெர்மன் வெயிலுக்கு சொந்தமானது.

பிளானிமெட்ரியில் ஒரு புள்ளி மற்றும் கோட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளிவிவரங்களைப் பார்த்தோம். ஸ்டீரியோமெட்ரியில், ஒரு புள்ளி, கோடு மற்றும் விமானம் தொடர்பான சமச்சீர்நிலை கருதப்படுகிறது.

A மற்றும் A 1 புள்ளிகள் O என்பது AA 1 பிரிவின் நடுவில் இருந்தால், புள்ளி O (சமச்சீர் மையம்) உடன் தொடர்புடைய சமச்சீர் எனப்படும். புள்ளி O தன்னை சமச்சீராகக் கருதப்படுகிறது. வரைதல்.

A மற்றும் A 1 புள்ளிகள் கோட்டுடன் தொடர்புடைய சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஏ(சமச்சீர் அச்சு), கோடு AA 1 பிரிவின் நடுவில் சென்று இந்தப் பிரிவுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால். ஒவ்வொரு புள்ளியும் நேராக உள்ளது ஏதன்னை சமச்சீராகக் கருதப்படுகிறது. வரைதல்.ஒரு இலை, ஒரு ஸ்னோஃப்ளேக், ஒரு பட்டாம்பூச்சி ஆகியவை அச்சு சமச்சீரின் எடுத்துக்காட்டுகள். இணைப்பு 2.

ஒவ்வொரு நாளும், நாம் ஒவ்வொருவரும் ஒரு நாளைக்கு பல முறை கண்ணாடியில் ஒரு பிரதிபலிப்பைப் பார்க்கிறோம். இது மிகவும் பொதுவானது, நாம் ஆச்சரியப்படுவதில்லை, நாங்கள் கேள்விகளைக் கேட்பதில்லை, கண்டுபிடிப்புகளைச் செய்யவில்லை. ஜெர்மன் தத்துவஞானி இம்மானுவேல் கான்ட் பேசினார் கண்ணாடி படம்இது போல்: "கண்ணாடியில் அவர்களின் சொந்த பிரதிபலிப்பைக் காட்டிலும் என் கை அல்லது என் காது போன்றது எதுவாக இருக்கும்? இன்னும் நான் கண்ணாடியில் பார்க்கும் கையை நிரந்தர கையின் இடத்தில் வைக்க முடியாது...”

இது விமானத்துடன் தொடர்புடைய சமச்சீராகும்.

விமானம் AA 1 பிரிவின் நடுவில் சென்று இந்தப் பிரிவுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், A மற்றும் A 1 புள்ளிகள் சமச்சீர் சமச்சீர் எனப்படும். விமானத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் தனக்குத்தானே சமச்சீராகக் கருதப்படுகிறது. வரைதல்.

ஒரு உருவத்தின் மையம், அச்சு மற்றும் சமச்சீர் விமானம் பற்றிய கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

ஒரு புள்ளி (நேராகக் கோடு, விமானம்) ஒரு உருவத்தின் சமச்சீரின் மையம் (அச்சு, விமானம்) எனப்படும், உருவத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதே உருவத்தின் சில புள்ளிகளுடன் சமச்சீராக இருந்தால். ஒரு உருவத்திற்கு ஒரு மையம் (அச்சு, விமானம்) சமச்சீர் இருந்தால், அது மைய (அச்சு, கண்ணாடி) சமச்சீர்நிலையைக் கொண்டிருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது.

இயற்கையில் சமச்சீர்.

“ஒருமுறை, ஒரு கருப்பு பலகையின் முன் நின்று, அதன் மீது சுண்ணாம்பினால் வெவ்வேறு உருவங்களை வரைந்தபோது, ​​திடீரென்று ஒரு எண்ணம் என்னைத் தாக்கியது: சமச்சீர்மை ஏன் கண்ணுக்கு மகிழ்ச்சி அளிக்கிறது? சமச்சீர் என்றால் என்ன? இது ஒரு உள்ளார்ந்த உணர்வு, நானே பதிலளித்தேன். அது எதை அடிப்படையாகக் கொண்டது? வாழ்க்கையில் எல்லாவற்றிலும் சமச்சீர் இருக்கிறதா?” - நிகோலென்கா இர்டெனெவ், எல். டால்ஸ்டாய் எழுதிய "இளம் பருவத்தில்" இருந்து கேள்விகள் கேட்டார்.

இயற்கையில் ஏன் சமச்சீர் ஆட்சி செய்கிறது? நுண்ணுயிரிகள் முதல் மனிதர்கள் வரை வாழும் அனைத்தும் ஏன் சமச்சீராக இருக்கின்றன?

இயற்கையில் சமச்சீர் ஆதிக்கம் பிரபஞ்சம் முழுவதும் செயல்படும் ஈர்ப்பு விசையால் விளக்கப்படுகிறது. பிரபஞ்சத்தில் மிதக்கும் அண்ட உடல்கள் மற்றும் நீரில் இடைநிறுத்தப்பட்ட நுண்ணுயிரிகள் இரண்டும் மிக உயர்ந்த சமச்சீர் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதன் மூலம் ஈர்ப்பு அல்லது அதன் இல்லாமையின் செயல் விளக்கப்படுகிறது - கோளமானது (உருவத்தின் மையத்துடன் தொடர்புடைய எந்த சுழற்சியும் அதனுடன் ஒத்துப்போகிறது). இணைக்கப்பட்ட நிலையில் (மரங்கள்) வளரும் அல்லது கடல் தரையில் (நட்சத்திர மீன்) வாழும் அனைத்து உயிரினங்களும், அதாவது. புவியீர்ப்பு திசை தீர்க்கமான உயிரினங்கள் சமச்சீர் அச்சைக் கொண்டுள்ளன. நீர், காற்று அல்லது நிலத்தில் நகரும் திறன் கொண்ட விலங்குகளுக்கு, ஈர்ப்பு திசைக்கு கூடுதலாக, விலங்குகளின் இயக்கத்தின் திசையும் முக்கியமானது. அத்தகைய விலங்குகளுக்கு சமச்சீர் விமானம் உள்ளது. உயிரியலாளர்கள் இந்த விமானத்தை இருதரப்பு என்று அழைக்கிறார்கள், மேலும் சமச்சீர் வகை கண்ணாடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வாழும் இயற்கையில் சமச்சீரின் எடுத்துக்காட்டுகள் பூச்சிகள், அதாவது பூமியின் மிக அழகான உயிரினங்கள் - பட்டாம்பூச்சிகள், அவை கண்ணாடி சமச்சீர்மைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இணைப்பு 2.

இயற்கையில் உள்ள அனைத்து படிகங்களும் சமச்சீரானவை. இணைப்பு 3.

கலையில் சமச்சீர் (கட்டிடக்கலை, சிற்பம், ஓவியம், இலக்கியம், இசை, நடனம்).

தன்னைச் சுற்றியுள்ள உலகத்தை அவதானித்து, மனிதன் வரலாற்று ரீதியாக அதை அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ யதார்த்தமாக வெளிப்படுத்த முயன்றான் பல்வேறு வகையானகலை, எனவே ஓவியம், சிற்பம், கட்டிடக்கலை, இலக்கியம், இசை மற்றும் நடனம் ஆகியவற்றில் சமச்சீர்மையை கருத்தில் கொள்வது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது.

பழங்கால மனிதர்களின் குகை ஓவியங்களில் ஏற்கனவே ஓவியத்தில் சமச்சீர்மையைக் காணலாம். பண்டைய காலங்களில், வரைதல் கலையின் குறிப்பிடத்தக்க பகுதி சின்னங்களாக இருந்தன, இதன் உருவாக்கத்தில் கலைஞர்கள் கண்ணாடி சமச்சீர் பண்புகளைப் பயன்படுத்தினர். இன்று அவர்களைப் பார்க்கும்போது, ​​​​துறவிகளின் உருவங்களில் உள்ள அற்புதமான சமச்சீர்மையால் நீங்கள் தாக்கப்படுகிறீர்கள், சில சமயங்களில் ஒரு சுவாரஸ்யமான விஷயம் நடந்தாலும் - சமச்சீரற்ற படங்களில் சமச்சீரற்ற படங்களில் நாம் சமச்சீர்நிலையை ஒரு விதிமுறையாக உணர்கிறோம், இது கலைஞர் வெளிப்புற காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் விலகுகிறது.

கட்டிடங்களின் பொதுவான திட்டங்களில் சமச்சீர் கூறுகளைக் காணலாம். பின்னிணைப்பு 4. சிற்பம் மற்றும் ஓவியம் ஆகியவை அழகியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு சமச்சீரின் பயன்பாட்டின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன. கியேவில் உள்ள செயின்ட் சோபியா கதீட்ரலின் அப்சேயின் மொசைக், கிரேட் மைக்கேலேஞ்சலோவின் கியுலியானோ டி மெடிசியின் கல்லறை எடுத்துக்காட்டுகள், இதில் கிறிஸ்துவின் இரண்டு உருவங்கள் சித்தரிக்கப்படுகின்றன, ஒன்று ரொட்டியுடன், மற்றொன்று மதுவுடன்.

கிறிஸ்துவின் உருவத்தின் கண்ணாடி-சமச்சீர் பிளவு, நற்கருணையின் இரண்டு மிக முக்கியமான தருணங்களை ஒரே நேரத்தில் சித்தரிப்பதை சாத்தியமாக்கியது: மதுவுடன் ஒற்றுமை, இது கிறிஸ்துவின் இரத்தத்தை குறிக்கிறது. கிறிஸ்துவின் கண்ணாடியைப் பிரிப்பது கடைசி இரவு உணவின் உருவப்படத்தின் விருப்பமான நுட்பங்களில் ஒன்றாகும். இணைப்பு 5.

ஓவியம் மற்றும் கட்டிடக்கலை ஆகியவற்றிலிருந்து கட்டாயப்படுத்தப்பட்ட சமச்சீர்நிலை, படிப்படியாக மக்களின் வாழ்க்கையின் புதிய பகுதிகளை ஆக்கிரமித்தது - இசை மற்றும் நடனம். எனவே, 15 ஆம் நூற்றாண்டின் இசையில், ஒரு புதிய திசை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது - சாயல் பாலிஃபோனி, இது ஒரு ஆபரணத்தின் இசை அனலாக்; பின்னர் ஃபியூக்ஸ், ஒரு சிக்கலான வடிவத்தின் ஒலி பதிப்புகள் தோன்றின. நவீன பாடல் வகைகளில், கோரஸ் என்பது அச்சில் (பாடல் உரையின்) எளிமையான உருவ சமச்சீர்மைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்று நான் நம்புகிறேன். தொடர்ந்து மீண்டும் வரும் உருவங்கள் மற்றும் படிகளைப் பயன்படுத்தும் நடனங்களில், சமச்சீர்மையையும் காண்கிறோம், படத்தைப் பாருங்கள். இணைப்பு 6.

இலக்கியமும் சமச்சீர்மையை புறக்கணிக்கவில்லை. எனவே, இலக்கியத்தில் சமச்சீரின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு பாலிண்ட்ரோம்களாக இருக்கலாம், இவை உரையின் பகுதிகள், அவற்றின் தலைகீழ் மற்றும் நேரடி வரிசை எழுத்துக்கள் ஒத்துப்போகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, “மற்றும் ரோஜா அசோரின் பாதத்தில் விழுந்தது” (ஏ. ஃபெட்), “நான் அரிதாகவே என் கையால் சிகரெட் துண்டுகளை வைத்திருப்பேன்.” எப்படி சிறப்பு வழக்குபாலிண்ட்ரோம்கள், ரஷ்ய மொழியில் வடிவமாற்றுபவர்களான பல சொற்களை நாங்கள் அறிவோம்: கோக், டோபாட், கசாக் மற்றும் பல. புதிர்கள் - மறுப்புகள் - பெரும்பாலும் இத்தகைய சொற்களின் பயன்பாட்டில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன.

வழக்கமான பாலிஹெட்ரா.

வடிவவியலில், ஒரு உருவம் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமச்சீர் மையங்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (அச்சுகள்). ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரான் அதன் அனைத்து முகங்களும் சமமான வழக்கமான பாலிஹெட்ராவாக இருந்தால் மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு முனைகளிலும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான விளிம்புகள் ஒன்றிணைந்தால் அது வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் உதாரணம் ஒரு கனசதுரமாகும்.

வழக்கமான அறுகோணங்கள், ஹெப்டகன்கள் மற்றும் பொதுவாக 6 இல் இருக்கும் வழக்கமான பாலிஹெட்ரான் இல்லை என்பதை நிரூபிப்போம்.

6 இல், ஒவ்வொரு பலகோணத்தின் கோணமும் 120 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். மறுபுறம், பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு உச்சியிலும் குறைந்தது மூன்று விமான கோணங்கள் இருக்க வேண்டும். ஆனால் 120

அதே காரணத்திற்காக, வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு முனையும் 3, 4, 5 வழக்கமான முக்கோணங்கள், 3 சதுரங்கள் அல்லது 3 வழக்கமான பென்டகன்களின் உச்சியாக இருக்கலாம். அதாவது 5 வழக்கமான பாலிஹெட்ராக்கள் மட்டுமே உள்ளன. பின் இணைப்பு 7.

• டெட்ராஹெட்ரான் என்பது ஒரு டெட்ராஹெட்ரான்.
• ஹெக்ஸாஹெட்ரான் ஒரு அறுகோணம் (கனசதுரம்).
• ஆக்டாஹெட்ரான் ஒரு எண்முகம்.
• ஐகோசஹெட்ரான் என்பது இருபது பக்க அமைப்பு.
• Dodecahedron ஒரு dodecahedron.

பண்டைய காலங்களிலிருந்து, வழக்கமான பாலிஹெட்ரா விஞ்ஞானிகள், கட்டிடக் கலைஞர்கள் மற்றும் கலைஞர்களின் கவனத்தை ஈர்த்துள்ளது.

பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி பிளாட்டோ வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் பண்புகளை விரிவாக விவரித்தார். அதனால்தான் அவை பிளாட்டோனிக் திடப்பொருள்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. யூக்ளிட்டின் கூறுகளின் புத்தகம் 13 வழக்கமான பாலிஹெட்ராவுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. நெருப்பின் அணுக்கள் ஒரு டெட்ராஹெட்ரான், பூமி - ஒரு ஹெக்ஸாஹெட்ரான், காற்று - ஒரு எண்முகம், நீர் - ஒரு ஐகோசஹெட்ரான், மற்றும் முழு பிரபஞ்சமும் - ஒரு டோடெகாஹெட்ரானின் வடிவம் என்று பிளேட்டோ நம்பினார்.

"தி லாஸ்ட் சப்பர்" இல் ஸ்பானிஷ் ஓவியர் எஸ். டாலியின் ஓவியத்தின் ஹீரோக்கள் ஒரு பெரிய டோடெகாஹெட்ரானின் பின்னணியில் அமர்ந்துள்ளனர். பின்னிணைப்பு 5. "மெலன்கோலி" என்ற செதுக்கலில் கலைஞர் ஏ. டூடர் டோடெகாஹெட்ரானின் முன்னோக்கு படத்தைக் கொடுத்தார். பின் இணைப்பு 8.

மறுமலர்ச்சியின் போது, ​​மனச்சோர்வு மனோபாவம் படைப்பாற்றலுடன் அடையாளம் காணப்பட்டது. டியூரரின் வேலைப்பாடுகளில், மனச்சோர்வு கட்டிடக்கலை மற்றும் வடிவவியலின் பண்புகளால் சூழப்பட்டுள்ளது, அதனால்தான் கணிதவியலாளர்கள் இந்த தலைசிறந்த கிராஃபிக் கலையை ஒரு கணிதவியலாளரின் படைப்பு உணர்வின் உருவகமாக கருத விரும்புகிறார்கள், மேலும் அழகு உலகில் கணிதத்தின் பிரதிநிதியாக மனச்சோர்வு உள்ளது. .

ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொதுமைப்படுத்தலின் நிலை.

பாலிஹெட்ராவின் மாதிரிகள் வழங்கப்படுகின்றன:

1) ஒரு விளக்கம் கொடுக்க;

2) பாலிஹெட்ரா - பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களின் இந்த மாதிரிகளில் இருந்து தேர்வு செய்யவும்.

6. படித்த தலைப்பில் அறிவை சோதிக்கும் நிலை.

செயல்படுத்த செய்முறை வேலைப்பாடு. குழு வேலை. இணைப்பு 9.

7. பாடத்தின் முடிவு மாணவர்களால் செய்யப்படுகிறது.

எனவே இன்று நாம் என்ன கற்றுக்கொண்டோம்? இன்று எங்கள் தலைப்பில் உங்களுக்கு என்ன நினைவிருக்கிறது?

• விண்வெளியில் சமச்சீர்.
• இயற்கையில் சமச்சீர்.
• கலையில் சமச்சீர்: கட்டிடக்கலை, சிற்பம், ஓவியம்.
• வழக்கமான பாலிஹெட்ரா.

பாடத்தின் சுருக்கம்.

ஒரு பாடத்தை தரப்படுத்தும்போது, ​​மாணவர்கள் நடைமுறை வேலைகளின் தாள்களை ஒப்படைக்கிறார்கள்.

9. வீட்டுப்பாடம் பற்றிய தகவல்.

1) கைவினைகளை உருவாக்கவும் அல்லது வரையவும்: வடிவியல் வடிவங்கள், பொருள்கள், சமச்சீர் அச்சு (மையம்) கொண்ட உயிரினங்கள்.

2) பாடத்திற்கு நல்ல மற்றும் சிறந்த தரங்களைப் பெற்ற மாணவர்களுக்கான தனிப்பட்ட படைப்பு பணி. "அன்றாட வாழ்வில் சமச்சீர்மை, தொழில்நுட்பம் மற்றும் இயற்பியல்" என்ற தலைப்பில் ஒரு கட்டுரையை எழுதுங்கள்.

3) விளக்கக்காட்சி "நம்மைச் சுற்றியுள்ள சமச்சீர்"

10. குறிப்புகளின் பட்டியல்.

1. குழந்தைகள் கலைக்களஞ்சியம், 3வது பதிப்பு, “கல்வியியல்”, எம்., 1973.
2. எல். தாராசோவ், இந்த அதிசயமான சமச்சீர் உலகம், "அறிவொளி", எம்., 1980.
3. ஐ.எஃப். ஷரிகின், எல்.என். எர்கன்சீவா. காட்சி வடிவியல், "MIROS", 1995.

இணைய வளங்கள்.

மீண்டும் முன்னோக்கி

கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. இந்த வேலையில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

படிப்பின் நோக்கம்

• புதிய வகை குவிந்த பாலிஹெட்ரா - வழக்கமான பாலிஹெட்ராவை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்த.
• தத்துவக் கோட்பாடுகள் மற்றும் அற்புதமான கருதுகோள்களின் தோற்றத்தில் வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் செல்வாக்கைக் காட்டு.
• வடிவவியலுக்கும் இயற்கைக்கும் உள்ள தொடர்பைக் காட்டு.
• வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகளைப் படிக்கவும்.

கணிக்கப்பட்ட முடிவு

• வழக்கமான குவிந்த பாலிஹெட்ராவின் வரையறையை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.
• ஐந்து வகையான உடல்கள் மட்டுமே உள்ளன என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.
• வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் ஒவ்வொரு வகையையும் வகைப்படுத்த முடியும்.
• யூலரின் தேற்றத்தை (ஆதாரம் இல்லாமல்) அறிந்து கொள்ளுங்கள்.
• விண்வெளியில் சமச்சீர் கருத்தைக் கொண்டிருங்கள் (மத்திய, அச்சு, கண்ணாடி).
• உங்களைச் சுற்றியுள்ள உலகில் சமச்சீர்களின் உதாரணங்களை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.
• ஒவ்வொரு வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் சமச்சீர் கூறுகளை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.
• வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் கூறுகளைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடியும்.

பாட திட்டம்

• ஏற்பாடு நேரம்.
• அறிவைப் புதுப்பித்தல்.
• ஒரு புதிய கருத்தின் அறிமுகம், வழக்கமான குவிந்த பாலிஹெட்ரா பற்றிய ஆய்வு.
• பிளேட்டோவின் உலகின் தத்துவப் படத்தில் வழக்கமான பாலிஹெட்ரா (மாணவர் செய்தி).
• ஆய்லரின் சூத்திரம் ( ஆராய்ச்சிவர்க்கம்).
• வழக்கமான பாலிஹெட்ரா (மாணவர் செய்தி).
• சிறந்த கலைஞர்களின் ஓவியங்களில் வழக்கமான பாலிஹெட்ரா (மாணவர் செய்திகள்).
• வழக்கமான பாலிஹெட்ரா மற்றும் இயற்கை (மாணவர் செய்திகள்).
• வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகள் (மாணவர் செய்திகள்).
• சிக்கல் தீர்க்கும்.
• பாடத்தை சுருக்கவும்.
• வீட்டு பாடம்.

உபகரணங்கள்

• வரைதல் கருவிகள்.
• பாலிஹெட்ராவின் மாதிரிகள்.
• எஸ். டாலியின் "தி லாஸ்ட் சப்பர்" ஓவியத்தின் மறுஉருவாக்கம்.
• கணினி திரை தெறிகருவி.
• மாணவர் செய்திகளுக்கான விளக்கப்படங்கள்:
  • I. கெப்லரின் சூரிய குடும்பத்தின் மாதிரி;
  • பூமியின் ஐகோசஹெட்ரான்-டோடெகாஹெட்ரான் அமைப்பு;
  • இயற்கையில் வழக்கமான பாலிஹெட்ரா.

"எச்சரிக்கக்கூடிய வகையில் சில வழக்கமான பாலிஹெட்ராக்கள் உள்ளன, ஆனால் இது மிகவும் எளிமையானது
எண்களின் அடிப்படையில், பற்றின்மை பல்வேறு அறிவியல்களின் ஆழத்தில் ஊடுருவ முடிந்தது."
எல். கரோல்

வகுப்புகளின் போது

இந்த கட்டத்தில், நீங்கள் ஏற்கனவே ஒரு ப்ரிஸம் மற்றும் பிரமிடு போன்ற பாலிஹெட்ராவைப் பற்றிய யோசனையைப் பெற்றுள்ளீர்கள். இன்றைய பாடத்தில் பாலிஹெட்ரா பற்றிய உங்கள் அறிவை கணிசமாக விரிவுபடுத்த உங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது; வழக்கமான குவிந்த பாலிஹெட்ரா என்று அழைக்கப்படுவதைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்வீர்கள். நீங்கள் ஏற்கனவே சில கருத்துகளை நன்கு அறிந்திருக்கிறீர்கள் - இவை பாலிஹெட்ரா மற்றும் குவிந்த பாலிஹெட்ரா. அவர்களை நினைவில் கொள்வோம்.

• பாலிஹெட்ரானின் வரையறையை கொடுங்கள்.
• எந்த பாலிஹெட்ரான் குவிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

நாங்கள் ஏற்கனவே சொற்றொடர்களைப் பயன்படுத்தியுள்ளோம் " சரியான ப்ரிஸங்கள்"மற்றும் "வழக்கமான பிரமிடுகள்". பரிச்சயமான கருத்துகளின் புதிய கலவையானது வடிவியல் பார்வையில் முற்றிலும் புதிய கருத்தை உருவாக்குகிறது. எந்த குவிந்த பாலிஹெட்ராவை வழக்கமானதாக அழைப்போம்? வரையறையை கவனமாகக் கேளுங்கள்.

ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் முகங்கள் ஒரே எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களைக் கொண்ட வழக்கமான பாலிஹெட்ரா மற்றும் அதே எண்ணிக்கையிலான விளிம்புகள் பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு உச்சியிலும் ஒன்றிணைந்தால் அது வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறையின் இரண்டாம் பகுதி மிதமிஞ்சியதாகத் தோன்றலாம் மற்றும் குவிந்த பாலிஹெட்ரான் அதன் முகங்கள் ஒரே எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களைக் கொண்ட வழக்கமான பாலிஹெட்ராவாக இருந்தால் அதை வழக்கமானது என்று சொன்னால் போதும். இது உண்மையில் போதுமா?

பாலிஹெட்ரானைப் பாருங்கள். (ஒரு பாலிஹெட்ரானின் மாதிரி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இது இரண்டு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ராவிலிருந்து ஒரு முகத்துடன் ஒன்றோடொன்று ஒட்டப்பட்டுள்ளது). இது வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் தோற்றத்தை விட்டுவிடுகிறதா? ( இல்லை!) அதன் முகங்களைப் பார்ப்போம் - வழக்கமான முக்கோணங்கள். ஒவ்வொரு உச்சியிலும் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவோம். சில முனைகளில் மூன்று விளிம்புகள் சந்திக்கின்றன, மற்றவற்றில் நான்கு. வழக்கமான குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் வரையறையின் இரண்டாம் பகுதி திருப்தி அடையவில்லை மற்றும் கேள்விக்குரிய பாலிஹெட்ரான், உண்மையில், வழக்கமானது அல்ல. எனவே, நீங்கள் ஒரு வரையறையைக் கொடுக்கும்போது, ​​​​இரண்டு பகுதிகளையும் மனதில் கொள்ளுங்கள்.

வழக்கமான குவிந்த பாலிஹெட்ராவில் ஐந்து வகைகள் உள்ளன. அவற்றின் முகங்கள் வழக்கமான முக்கோணங்கள், வழக்கமான நாற்கரங்கள் (சதுரங்கள்) மற்றும் வழக்கமான பென்டகன்கள்.

வழக்கமான அறுகோணங்கள், ஹெப்டகன்கள் மற்றும் பொதுவாக, n 6 க்கு n-gons என்று வழக்கமான பாலிஹெட்ரான் இல்லை என்பதை நிரூபிப்போம்.

உண்மையில், n 6 இல் உள்ள வழக்கமான n-gon இன் கோணம் 120 o க்கும் குறைவாக இல்லை (ஏன் என்பதை விளக்குங்கள்). மறுபுறம், ஒரு பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு உச்சியிலும் குறைந்தது மூன்று விமான கோணங்கள் இருக்க வேண்டும். எனவே, n 6 உடன் வழக்கமான n-gons முகங்களைக் கொண்ட ஒரு வழக்கமான பாலிஹெட்ரான் இருந்தால், அத்தகைய பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு உச்சியிலும் தட்டையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 120 o * 3 = 360 o க்குக் குறையாமல் இருக்கும். . ஆனால் இது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு முனையிலும் உள்ள அனைத்து விமான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360 டிகிரிக்கும் குறைவாக உள்ளது.

அதே காரணத்திற்காக, வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு உச்சியும் மூன்று, நான்கு அல்லது ஐந்து சமபக்க முக்கோணங்கள் அல்லது சதுரங்கள் அல்லது மூன்று வழக்கமான பென்டகன்களின் உச்சியாக இருக்கலாம். வேறு எந்த வாய்ப்புகளும் இல்லை. இதற்கு இணங்க, பின்வரும் வழக்கமான பாலிஹெட்ராவைப் பெறுகிறோம்.

இந்த பாலிஹெட்ராவின் பெயர்கள் பண்டைய கிரேக்கத்திலிருந்து வந்தவை, மேலும் அவை முகங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன:

• "edra" - விளிம்பு
• "டெட்ரா" - 4
• "ஹெக்ஸா" - 6
• "ஒக்டா" - 8
• "இகோசா" - 20
• "டோடேகா" - 12

இந்த பாலிஹெட்ராவின் பெயர்களை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும், அவை ஒவ்வொன்றையும் வகைப்படுத்த முடியும் மற்றும் பட்டியலிடப்பட்ட ஐந்து தவிர வேறு எந்த வகையான வழக்கமான பாலிஹெட்ராக்கள் இல்லை என்பதை நிரூபிக்கவும்.

இன்றைய பாடத்தின் எபிகிராஃப்களான எல். கரோலின் வார்த்தைகளுக்கு நான் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன்: "பயனமளிக்கும் வகையில் சில வழக்கமான பாலிஹெட்ராக்கள் உள்ளன, ஆனால் இந்த மிகவும் அடக்கமான அணி பல்வேறு அறிவியல்களின் ஆழத்திற்குச் செல்ல முடிந்தது."

விஞ்ஞானிகள் தங்கள் அறிவியல் கற்பனைகளில் வழக்கமான பாலிஹெட்ரா எவ்வாறு பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதை எங்களிடம் கூறுவார்கள்:

செய்தி "உலகின் பிளேட்டோவின் தத்துவப் படத்தில் வழக்கமான பாலிஹெட்ரா"

வழக்கமான பாலிஹெட்ரா சில நேரங்களில் பிளாட்டோனிக் திடப்பொருள்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அவை பண்டைய கிரேக்கத்தின் சிறந்த சிந்தனையாளரான பிளாட்டோ (c. 428 - c. 348 BC) உருவாக்கிய தத்துவ உலகக் கண்ணோட்டத்தில் முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளன.

நெருப்பு, பூமி, காற்று மற்றும் நீர் ஆகிய நான்கு "உறுப்புகளிலிருந்து" உலகம் கட்டப்பட்டது என்று பிளேட்டோ நம்பினார், மேலும் இந்த "கூறுகளின்" அணுக்கள் நான்கு வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. டெட்ராஹெட்ரான் நெருப்பை உருவகப்படுத்தியது, ஏனெனில் அதன் உச்சி மேல்நோக்கி, எரியும் சுடர் போல; ஐகோசஹெட்ரான் - மிகவும் நெறிப்படுத்தப்பட்ட - நீர்; கன சதுரம் என்பது உருவங்களில் மிகவும் நிலையானது - பூமி, மற்றும் எண்முகம் காற்று. நம் காலத்தில், இந்த அமைப்பை பொருளின் நான்கு நிலைகளுடன் ஒப்பிடலாம் - திட, திரவ, வாயு மற்றும் சுடர். ஐந்தாவது பாலிஹெட்ரான், டோடெகாஹெட்ரான், முழு உலகத்தையும் அடையாளப்படுத்தியது மற்றும் மிக முக்கியமானதாகக் கருதப்பட்டது.

அறிவியலில் முறைமைப்படுத்தல் யோசனையை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான முதல் முயற்சிகளில் இதுவும் ஒன்றாகும்.

ஆசிரியர். இப்போது, ​​பண்டைய கிரேக்கத்திலிருந்து, 16 - 17 ஆம் நூற்றாண்டுகளில், அற்புதமான ஜெர்மன் வானியலாளரும் கணிதவியலாளருமான ஜோஹன்னஸ் கெப்லர் (1571 - 1630) வாழ்ந்து பணிபுரிந்த ஐரோப்பாவிற்குச் செல்வோம்.

செய்தி "கெப்லர் கோப்பை"

படம்.6. மாதிரி சூரிய குடும்பம் I. கெப்ளர்

கெப்லரின் இடத்தில் நம்மை கற்பனை செய்வோம். அவருக்கு முன்னால் பல்வேறு அட்டவணைகள் உள்ளன - எண்களின் நெடுவரிசைகள். சூரிய மண்டலத்தின் கிரகங்களின் இயக்கம் - அவரது சொந்த மற்றும் பெரிய முன்னோடி - வானியலாளர்களின் அவதானிப்புகளின் முடிவுகள் இவை. இந்த கணக்கீட்டு வேலை உலகில், அவர் சில வடிவங்களைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறார். ஜோஹன்னஸ் கெப்லர், வழக்கமான பாலிஹெட்ரா ஒரு விருப்பமான ஆய்வுப் பொருளாக இருந்தது, அந்த நேரத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஐந்து வழக்கமான பாலிஹெட்ராவிற்கும் சூரிய குடும்பத்தின் ஆறு கிரகங்களுக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பு இருப்பதாக பரிந்துரைத்தார். இந்த அனுமானத்தின் படி, சனியின் சுற்றுப்பாதையின் கோளத்தில் ஒரு கன சதுரம் பொறிக்கப்படலாம், அதில்

வியாழனின் சுற்றுப்பாதை கோளத்தில் பொருந்துகிறது. செவ்வாய் கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதையின் கோளத்திற்கு அருகில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள டெட்ராஹெட்ரான் அதற்குள் பொருந்துகிறது. டோடெகாஹெட்ரான் செவ்வாய் கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதையின் கோளத்தில் பொருந்துகிறது, அதில் பூமியின் சுற்றுப்பாதையின் கோளம் பொருந்துகிறது. மேலும் இது ஐகோசஹெட்ரானுக்கு அருகில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதில் வீனஸின் சுற்றுப்பாதையின் கோளம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த கிரகத்தின் கோளம் ஆக்டோஹெட்ரானைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதில் புதனின் கோளம் பொருந்துகிறது.

சூரிய குடும்பத்தின் இந்த மாதிரி (படம் 6) கெப்லரின் "காஸ்மிக் கோப்பை" என்று அழைக்கப்பட்டது. விஞ்ஞானி தனது கணக்கீடுகளின் முடிவுகளை "பிரபஞ்சத்தின் மர்மம்" புத்தகத்தில் வெளியிட்டார். பிரபஞ்சத்தின் ரகசியம் வெளிப்பட்டது என்று அவர் நம்பினார்.

ஆண்டுதோறும், விஞ்ஞானி தனது அவதானிப்புகளைச் செம்மைப்படுத்தினார், தனது சக ஊழியர்களின் தரவை இருமுறை சரிபார்த்தார், ஆனால் இறுதியாக கவர்ச்சியான கருதுகோளைக் கைவிடுவதற்கான வலிமையைக் கண்டறிந்தார். இருப்பினும், அதன் தடயங்கள் கெப்லரின் மூன்றாவது விதியில் தெரியும், இது சூரியனிலிருந்து சராசரி தூரத்தின் கனசதுரங்களைப் பற்றி பேசுகிறது.

ஆசிரியர். கிரகங்களுக்கும் அவற்றின் எண்ணிக்கைக்கும் இடையிலான தூரம் எந்த வகையிலும் பாலிஹெட்ராவுடன் தொடர்புடையது அல்ல என்று இன்று நாம் நம்பிக்கையுடன் கூறலாம். நிச்சயமாக, சூரியக் குடும்பத்தின் அமைப்பு சீரற்றது அல்ல, ஆனால் அது ஏன் இவ்வாறு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதற்கான உண்மையான காரணங்கள் இன்னும் அறியப்படவில்லை. கெப்லரின் கருத்துக்கள் பிழையானதாக மாறியது, ஆனால் கருதுகோள்கள் இல்லாமல், சில நேரங்களில் மிகவும் எதிர்பாராத, வெளித்தோற்றத்தில் பைத்தியக்காரத்தனமாக, அறிவியல் இருக்க முடியாது.

செய்தி "பூமியின் ஐகோசஹெட்ரல்-டோடெகாஹெட்ரல் அமைப்பு"

படம் 7. பூமியின் Icosahedral-dodecahedral அமைப்பு

நம் காலத்தில் உலகின் இணக்கமான கட்டமைப்போடு வழக்கமான பாலிஹெட்ராவை இணைப்பது பற்றிய பிளாட்டோ மற்றும் கெப்லரின் கருத்துக்கள் 80 களின் முற்பகுதியில் ஒரு சுவாரஸ்யமான அறிவியல் கருதுகோளில் தொடர்ந்தன. மாஸ்கோ பொறியாளர்கள் V. மகரோவ் மற்றும் V. மோரோசோவ் ஆகியோரால் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. பூமியின் மையமானது வளர்ந்து வரும் படிகத்தின் வடிவம் மற்றும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்று அவர்கள் நம்புகிறார்கள், இது கிரகத்தில் நிகழும் அனைத்து இயற்கை செயல்முறைகளின் வளர்ச்சியையும் பாதிக்கிறது. இந்த படிகத்தின் கதிர்கள், அல்லது மாறாக, அதன் சக்தி புலம், பூமியின் ஐகோசஹெட்ரான்-டோடெகாஹெட்ரான் கட்டமைப்பை தீர்மானிக்கிறது (படம் 7). என்ற உண்மையிலேயே அது வெளிப்படுகிறது பூமியின் மேலோடுபொறிக்கப்பட்டவர்களின் கணிப்புகள் போல பூமிவழக்கமான பாலிஹெட்ரா: ஐகோசஹெட்ரான் மற்றும் டோடெகாஹெட்ரான்.

பல கனிமப் படிவுகள் ஒரு ஐகோசஹெட்ரான்-டோடெகாஹெட்ரான் கட்டத்துடன் நீண்டுள்ளது; ஆசிரியர்களால் முனைகள் என்று அழைக்கப்படும் பாலிஹெட்ராவின் விளிம்புகளின் 62 முனைகள் மற்றும் நடுப்புள்ளிகள், சில புரிந்துகொள்ள முடியாத நிகழ்வுகளை விளக்குவதற்கு பல குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இங்குதான் ஹாட் ஸ்பாட்கள் அமைந்துள்ளன பண்டைய கலாச்சாரங்கள்மற்றும் நாகரிகங்கள்: பெரு, வடக்கு மங்கோலியா, ஹைட்டி, ஓப் கலாச்சாரம் மற்றும் பிற. இந்த புள்ளிகளில், உலகப் பெருங்கடலின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச வளிமண்டல அழுத்தம் மற்றும் ராட்சத சுழல் ஆகியவை காணப்படுகின்றன. இந்த முனைகளில் லோச் நெஸ் மற்றும் பெர்முடா முக்கோணம் உள்ளது. பூமியின் மேலதிக ஆய்வுகள் இந்த விஞ்ஞான கருதுகோள் மீதான அணுகுமுறையை தீர்மானிக்கலாம், இதில் காணக்கூடியது போல, வழக்கமான பாலிஹெட்ரா ஒரு முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளது.

ஆசிரியர். இப்போது விஞ்ஞான கருதுகோள்களிலிருந்து விஞ்ஞான உண்மைகளுக்கு செல்லலாம்.

ஆராய்ச்சிப் பணி "யூலரின் ஃபார்முலா"

எந்தவொரு பாலிஹெட்ராவைப் படிக்கும்போது, ​​​​அவர்களுக்கு எத்தனை முகங்கள் உள்ளன, எத்தனை விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகள் உள்ளன என்பதைக் கணக்கிடுவது மிகவும் இயல்பான விஷயம். பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கூறுகளின் எண்ணிக்கையையும் கணக்கிட்டு, அட்டவணை எண் 1 இல் முடிவுகளை உள்ளிடுவோம்.

அட்டவணை எண். 1 ஐ பகுப்பாய்வு செய்தால், கேள்வி எழுகிறது: "ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலும் அதிகரித்து வரும் எண்களில் ஒரு முறை உள்ளதா?" வெளிப்படையாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, “முகங்கள்” நெடுவரிசையில், ஒரு முறை தெரியும் (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), ஆனால் பின்னர் நோக்கம் கொண்ட முறை மீறப்பட்டது (8 + 2 12, 12 + 2 20) . "டாப்ஸ்" நெடுவரிசையில் ஒரு நிலையான அதிகரிப்பு கூட இல்லை.

செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கிறது (4 முதல் 8 வரை, 6 முதல் 20 வரை), அல்லது சில நேரங்களில் குறைகிறது (8 முதல் 6 வரை, 20 முதல் 12 வரை). "விளிம்புகள்" நெடுவரிசையில், எந்த வடிவமும் தெரியவில்லை.

ஆனால் இரண்டு நெடுவரிசைகளில் எண்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் கருத்தில் கொள்ளலாம், குறைந்தபட்சம் "விளிம்புகள்" மற்றும் "செங்குத்துகள்" நெடுவரிசைகளில் (G + V). எங்கள் கணக்கீடுகளின் புதிய அட்டவணையை உருவாக்குவோம் (அட்டவணை எண். 2 ஐப் பார்க்கவும்). இப்போது "குருடு" மட்டுமே வடிவங்களைக் கவனிக்கத் தவறிவிட முடியும். இதை இப்படி உருவாக்குவோம்: "முகங்கள் மற்றும் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகை 2 ஆல் அதிகரிக்கப்பட்ட விளிம்புகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்," அதாவது.

ஜி + பி = பி + 2

எனவே, 1640 இல் டெஸ்கார்ட்டால் ஏற்கனவே கவனிக்கப்பட்ட ஒரு சூத்திரத்தை நாங்கள் ஒன்றாக "கண்டுபிடித்தோம்", பின்னர் யூலர் (1752) என்பவரால் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, அதன் பெயரை அது அன்றிலிருந்து கொண்டுள்ளது. ஆய்லரின் சூத்திரம் எந்த குவிந்த பாலிஹெட்ராவிற்கும் பொருந்தும்.

இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள், சில சிக்கல்களைத் தீர்க்க இது உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

எஸ். டாலியின் "தி லாஸ்ட் சப்பர்"

சிற்பிகள், கட்டிடக் கலைஞர்கள் மற்றும் கலைஞர்களும் வழக்கமான பாலிஹெட்ரா வடிவங்களில் மிகுந்த ஆர்வம் காட்டினர். அவர்கள் அனைவரும் பாலிஹெட்ரான்களின் முழுமை மற்றும் இணக்கத்தால் ஆச்சரியப்பட்டனர். லியோனார்டோ டா வின்சி (1452 - 1519) பாலிஹெட்ராவின் கோட்பாட்டில் ஆர்வமாக இருந்தார், மேலும் அவற்றை தனது கேன்வாஸ்களில் அடிக்கடி சித்தரித்தார். "தி லாஸ்ட் சப்பர்" என்ற ஓவியத்தில், சால்வடார் டாலி இயேசு கிறிஸ்துவை தனது சீடர்களுடன் ஒரு பெரிய வெளிப்படையான டோடெகாஹெட்ரானின் பின்னணியில் சித்தரித்தார்.

விஞ்ஞானிகள் வழக்கமான குவிந்த பாலிஹெட்ராவை நன்றாகப் படித்திருக்கிறார்கள்; அத்தகைய பாலிஹெட்ராவில் ஐந்து வகைகள் மட்டுமே உள்ளன என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் மனிதனே அவற்றைக் கண்டுபிடித்தாரா? பெரும்பாலும், இல்லை, அவர் அவர்களை இயற்கையிலிருந்து "கண்டார்".

"வழக்கமான பாலிஹெட்ரா மற்றும் இயற்கை" என்ற செய்தியைக் கேட்போம்.

செய்தி "வழக்கமான பாலிஹெட்ரா மற்றும் இயற்கை"

வழக்கமான பாலிஹெட்ரா வாழும் இயற்கையில் காணப்படுகிறது. உதாரணமாக, ஒற்றை செல் உயிரினமான ஃபியோடாரியாவின் எலும்புக்கூடு ( Circjgjnia icosahtdra ) வடிவத்தில் ஐகோசஹெட்ரானை ஒத்திருக்கிறது (படம் 8).

ஃபியோடாரியாவின் இந்த இயற்கை வடிவியல் என்ன காரணம்? வெளிப்படையாக, ஒரே எண்ணிக்கையிலான முகங்களைக் கொண்ட அனைத்து பாலிஹெட்ராக்களும் இருப்பதால், இது மிகச்சிறிய பரப்பளவைக் கொண்ட மிகப்பெரிய அளவைக் கொண்ட ஐகோசஹெட்ரான் ஆகும். இந்த பண்பு கடல் உயிரினத்திற்கு நீர் நிரலின் அழுத்தத்தை கடக்க உதவுகிறது.

வழக்கமான பாலிஹெட்ரா மிகவும் சாதகமான புள்ளிவிவரங்கள். இயற்கையும் இதைப் பயன்படுத்துகிறது. சில படிகங்களின் வடிவத்தால் இது உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, டேபிள் உப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இது இல்லாமல் நாம் செய்ய முடியாது.

இது தண்ணீரில் கரையக்கூடியது மற்றும் மின்னோட்டத்தின் கடத்தியாக செயல்படுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது. மற்றும் படிகங்கள் டேபிள் உப்பு(NaCl) கனசதுர வடிவில் இருக்கும். அலுமினியம் உற்பத்தியில், அலுமினியம்-பொட்டாசியம் குவார்ட்ஸ் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் ஒற்றை படிகமானது வழக்கமான ஆக்டாஹெட்ரான் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. பைரைட் சல்பர் (FeS) இல்லாமல் சல்பூரிக் அமிலம், இரும்பு மற்றும் சிறப்பு வகை சிமெண்ட் உற்பத்தி முழுமையடையாது. இதன் படிகங்கள் இரசாயன பொருள்ஒரு dodecahedron வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

ஆண்டிமனி சோடியம் சல்பேட், விஞ்ஞானிகளால் தொகுக்கப்பட்ட ஒரு பொருள், பல்வேறு இரசாயன எதிர்வினைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஆன்டிமனி சோடியம் சல்பேட்டின் படிகமானது டெட்ராஹெட்ரான் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

கடைசி வழக்கமான பாலிஹெட்ரான், ஐகோசஹெட்ரான், போரான் படிகங்களின் (B) வடிவத்தை வெளிப்படுத்துகிறது. ஒரு காலத்தில், முதல் தலைமுறை குறைக்கடத்திகளை உருவாக்க போரான் பயன்படுத்தப்பட்டது.

ஆசிரியர். எனவே, வழக்கமான பாலிஹெட்ராவுக்கு நன்றி, அற்புதமான பண்புகள் மட்டுமல்ல வடிவியல் வடிவங்கள், ஆனால் இயற்கை நல்லிணக்கத்தை புரிந்து கொள்ளும் வழிகள். வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் பற்றிய செய்தியைக் கேட்போம்.

ஆயினும்கூட, நாங்கள் மீண்டும் கணக்கீடுகளுக்குத் திரும்புகிறோம்.

பல பிரச்சனைகளை தீர்ப்போம்.

பணி. படம் 9 இல் காட்டப்பட்டுள்ள பாலிஹெட்ரானின் முகங்கள், செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும். இந்த பாலிஹெட்ரானுக்கான யூலரின் சூத்திரத்தின் சாத்தியத்தை சரிபார்க்கவும்.

சிக்கல்: எண். 28.

பாடம் முடிவடைகிறது, சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

• இன்று நாம் என்ன புதிய வடிவியல் உடல்களை சந்தித்தோம்?
• இந்த பாலிஹெட்ராவின் முக்கியத்துவத்தை எல். கரோல் ஏன் மிகவும் அதிகமாகப் பாராட்டினார்?

வீட்டில்: பத்தி 3, பத்தி 32, எண் 274, 279. அரிசி. 9

இலக்கியம்.

• அசெவிச் ஏ.ஐ. நல்லிணக்கத்தின் இருபது பாடங்கள்: மனிதநேயம் மற்றும் கணித பாடம். எம்.: ஷ்கோலா-பிரஸ், 1998. ("பள்ளியில் கணிதம்" இதழின் நூலகம். வெளியீடு 7).
• வின்னிகர். பாலிஹெட்ராவின் மாதிரிகள். எம்., 1975.
• வடிவியல்: பாடநூல். 10-11 தரங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / எல்.எஸ். அதனஸ்யன், வி.எஃப். புட்சோவ், எஸ்.பி. கார்டோம்சேவ் மற்றும் பலர் - 5வது பதிப்பு - எம்.: கல்வி, 1997.
• கிராஸ்மேன் எஸ்., டர்னர் ஜே. உயிரியலாளர்களுக்கான கணிதம். எம்., 1983.
• கோவன்ட்சோவ் என்.ஐ. கணிதம் மற்றும் காதல். கீவ், 1976.
• ஸ்மிர்னோவா ஐ.எம். பாலிஹெட்ரா உலகில். எம்., 1990.
• ஷஃப்ரானோவ்ஸ்கி ஐ.ஐ. இயற்கையில் சமச்சீர். எல்., 1988.

பாடத்தின் உரை டிரான்ஸ்கிரிப்ட்:

பாலிஹெட்ராவுடன் எங்கள் அறிமுகம் தொடர்கிறது.

பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் பாலிஹெட்ரான் வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க:

1. குவிந்த பாலிஹெட்ரான்;

2. அதன் அனைத்து முகங்களும் சமமான வழக்கமான பலகோணங்கள்;

3. அதன் ஒவ்வொரு முனைகளிலும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான முகங்கள் ஒன்றிணைகின்றன;

4. அதன் அனைத்து இருமுனை கோணங்களும் சமம்.

முந்தைய பாடங்களில், ஐந்து வகையான வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் தனித்துவமான இருப்பைப் பற்றி நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்கள்:

tetrahedron, octahedron, icosahedron, hexahedron (cube) மற்றும் dodecahedron.

இன்று நாம் ஆய்வு செய்யப்பட்ட வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகளைப் பார்ப்போம்.

ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானுக்கு சமச்சீர் மையம் இல்லை.

அதன் சமச்சீர் அச்சு எதிர் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு.

சமச்சீர் விமானம் என்பது எதிர் விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக எந்த விளிம்பையும் கடந்து செல்லும் விமானம் ஆகும்.

ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில் மூன்று சமச்சீர் அச்சுகள் மற்றும் ஆறு சமச்சீர் விமானங்கள் உள்ளன.

கனசதுரத்தில் ஒரு சமச்சீர் மையம் உள்ளது - இது அதன் மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளியாகும்.

சமச்சீர் அச்சுகள் எதிரெதிர் முகங்களின் மையங்கள் வழியாக செல்லும் நேர்கோடுகள் மற்றும் ஒரே முகத்திற்கு சொந்தமில்லாத இரண்டு எதிர் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும்.

கனசதுரத்தில் ஒன்பது சமச்சீர் அச்சுகள் உள்ளன, அவை சமச்சீர் மையத்தின் வழியாக செல்கின்றன.

எந்த இரண்டு சமச்சீர் அச்சுகள் வழியாக செல்லும் விமானம் சமச்சீர் விமானம் ஆகும்.

கனசதுரம் ஒன்பது சமச்சீர் விமானங்களைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு வழக்கமான ஆக்டோஹெட்ரான் சமச்சீர் மையத்தைக் கொண்டுள்ளது - ஆக்டோஹெட்ரானின் மையம், 9 சமச்சீர் அச்சுகள் மற்றும் 9 சமச்சீர் விமானங்கள்: மூன்று சமச்சீர் அச்சுகள் எதிர் செங்குத்துகள் வழியாகவும், ஆறு விளிம்புகளின் நடுப்பகுதி வழியாகவும் செல்கின்றன.

ஆக்டோஹெட்ரானின் சமச்சீர் மையம் அதன் சமச்சீர் அச்சுகளை வெட்டும் புள்ளியாகும்.

டெட்ராஹெட்ரானின் 9 சமச்சீர் விமானங்களில் மூன்று ஒரே விமானத்தில் இருக்கும் எண்முகத்தின் ஒவ்வொரு 4 முனைகளிலும் செல்கின்றன.

சமச்சீரின் ஆறு விமானங்கள் ஒரே முகம் மற்றும் எதிர் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகளுக்குச் சொந்தமில்லாத இரண்டு செங்குத்துகள் வழியாக செல்கின்றன.

ஒரு வழக்கமான ஐகோசஹெட்ரான் 12 முனைகளைக் கொண்டுள்ளது. ஐகோசஹெட்ரான் சமச்சீர் மையத்தைக் கொண்டுள்ளது - ஐகோசஹெட்ரானின் மையம், 15 சமச்சீர் அச்சுகள் மற்றும் 15 சமச்சீர் விமானங்கள்: சமச்சீர் ஐந்து விமானங்கள் முதல் ஜோடி எதிர் செங்குத்துகள் வழியாக செல்கின்றன (ஒவ்வொன்றும் செங்குத்தாக உள்ள உச்சியைக் கொண்ட ஒரு விளிம்பின் வழியாக செல்கிறது. எதிர் கோணம்).

மூன்றாவது ஜோடிக்கு நாங்கள் 3 புதிய விமானங்களைப் பெறுகிறோம், நான்காவது - இரண்டு விமானங்கள் மற்றும் ஐந்தாவது ஜோடிக்கு ஒரே ஒரு புதிய விமானம்.

ஆறாவது ஜோடி செங்குத்துகள் வழியாக ஒரு புதிய சமச்சீர் விமானம் கூட செல்லாது.

ஒரு வழக்கமான dodecahedron பன்னிரண்டு வழக்கமான பென்டகன்களைக் கொண்டுள்ளது. டோடெகாஹெட்ரான் சமச்சீர் மையத்தைக் கொண்டுள்ளது - டோடெகாஹெட்ரானின் மையம், 15 சமச்சீர் அச்சுகள் மற்றும் 15 சமச்சீர் விமானங்கள்: சமச்சீர் விமானங்கள் எதிர் விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக, உச்சியைக் கொண்ட விளிம்பின் வழியாக செல்கின்றன. எனவே, 5 விமானங்கள் முதல் ஜோடி எதிர் பென்டகன் வழியாகவும், 4 இரண்டாவது ஜோடி வழியாகவும், 3 வழியாக மூன்றாவது, 2 வழியாக நான்காவது மற்றும் 1 ஐந்தாவது வழியாகவும் செல்கின்றன.

பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்தி பல பணிகளைத் தீர்ப்போம்.

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில் அதன் முகங்களின் மையங்களை இணைக்கும் பகுதிகள் சமமாக இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து முகங்களும் சமமாக இருப்பதால், அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றை அடிப்படையாகவும், மற்ற மூன்று பக்க முகங்களாகவும் கருதப்படலாம் என்பதால், OM மற்றும் ON ஆகிய பிரிவுகளின் சமத்துவத்தை நிரூபிக்க இது போதுமானதாக இருக்கும்.

ஆதாரம்:

1.கூடுதல் கட்டுமானம்: ஒரு நேர்கோடு DNஐ அது பக்கவாட்டு ஏசியுடன் வெட்டும் வரை, புள்ளி F ஐப் பெறுகிறது;

AB பக்கத்துடன் வெட்டும் வரை நேர் கோடு DM ஐ வரையவும், நாம் புள்ளி E ஐப் பெறுகிறோம்.

பின்னர் உச்சி A ஐ புள்ளி F உடன் இணைக்கவும்;

முனை E உடன் சி.

2. DEO மற்றும் DOP என்ற முக்கோணங்களைக் கவனியுங்கள், அவை

செவ்வக, ஏனெனில் DO என்பது டெட்ராஹெட்ரானின் உயரம், பின்னர் அவை ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலில் சமமாக இருக்கும்: DO-மொத்தம், DE = DF (டெட்ராஹெட்ரானின் சம முகங்களின் உயரங்கள்)).

இந்த முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து OE=OF, ME=NF (சம பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்)

கோணம் DEO கோணத்திற்கு சமம் DFO.

3. மேலே நிரூபிக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து, OEM மற்றும் OFN முக்கோணங்கள் இருபுறமும் சமமாக உள்ளன மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் (புள்ளி 2 ஐப் பார்க்கவும்).

மேலும் இந்த முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தில் இருந்து OM = ON.

கே.இ.டி.

ஒரு நாற்கர பிரமிடு உள்ளதா, அதன் எதிர் பக்கங்கள் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளனவா?

அத்தகைய பிரமிடு முரண்பாட்டால் இல்லை என்பதை நிரூபிப்போம்.

ஆதாரம்:

1. விளிம்பு PA1 பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாகவும், விளிம்பு PA2 அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும் இருக்கட்டும்.

2. பிறகு, தேற்றத்தின்படி (மூன்றாவது கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்கும்), RA1 விளிம்பு RA2 க்கு இணையாக இருப்பதைப் பெறுகிறோம்.

3. ஆனால் பிரமிடு அனைத்து பக்க விளிம்புகளுக்கும் (எனவே முகங்களுக்கும்) பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது - பிரமிட்டின் மேல்.

நாம் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், எனவே நாற்கர பிரமிடு இல்லை, அதன் எதிர் முகங்கள் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

விளக்கக்காட்சி மாதிரிக்காட்சிகளைப் பயன்படுத்த, Google கணக்கை உருவாக்கி அதில் உள்நுழையவும்: https://accounts.google.com

ஸ்லைடு தலைப்புகள்:

வழக்கமான பாலிஹெட்ரா வடிவவியலின் சமச்சீர் கூறுகள். தரம் 10.

டெட்ராஹெட்ரான் - (கிரேக்க டெட்ரா - நான்கு மற்றும் ஹெட்ரா - முகம்) - 4 சமபக்க முக்கோணங்களால் ஆன வழக்கமான பாலிஹெட்ரான். வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் வரையறையிலிருந்து, டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து விளிம்புகளும் சம நீளம் மற்றும் முகங்கள் உள்ளன. சம பரப்பளவு. ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் சமச்சீர் கூறுகள் ஒரு டெட்ராஹெட்ரானில் மூன்று சமச்சீர் அச்சுகள் உள்ளன, அவை வெட்டும் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்கின்றன. டெட்ராஹெட்ரானில் 6 சமச்சீர் விமானங்கள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பில் செங்குத்தாக அதை வெட்டுகிறது.

ஆக்டோஹெட்ரான் - (கிரேக்க மொழியில் இருந்து ஆக்டோ - எட்டு மற்றும் ஹெட்ரா - முகம்) - 8 சமபக்க முக்கோணங்களால் ஆன வழக்கமான பாலிஹெட்ரான். ஒரு எண்முகம் 6 செங்குத்துகள் மற்றும் 12 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஆக்டோஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு முனையும் 4 முக்கோணங்களின் உச்சியாகும், எனவே எண்கோணத்தின் உச்சியில் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 240° ஆகும். ஆக்டோஹெட்ரானின் சமச்சீர் கூறுகள் ஆக்டோஹெட்ரானின் 9 சமச்சீர் அச்சுகளில் மூன்று எதிர் முனைகள் வழியாகவும், ஆறு விளிம்புகளின் நடுப்பகுதி வழியாகவும் செல்கின்றன. ஆக்டோஹெட்ரானின் சமச்சீர் மையம் அதன் சமச்சீர் அச்சுகளை வெட்டும் புள்ளியாகும். டெட்ராஹெட்ரானின் 9 சமச்சீர் விமானங்களில் மூன்று ஒரே விமானத்தில் இருக்கும் எண்முகத்தின் ஒவ்வொரு 4 முனைகளிலும் செல்கின்றன. சமச்சீரின் ஆறு விமானங்கள் ஒரே முகம் மற்றும் எதிர் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகளுக்குச் சொந்தமில்லாத இரண்டு செங்குத்துகள் வழியாக செல்கின்றன.

ஐகோசஹெட்ரான் - (கிரேக்க மொழியில் இருந்து ஐகோ - ஆறு மற்றும் ஹெட்ரா - முகம்) 20 வழக்கமான முக்கோணங்களால் ஆன வழக்கமான குவிந்த பாலிஹெட்ரான். ஐகோசஹெட்ரானின் 12 செங்குத்துகள் ஒவ்வொன்றும் 5 சமபக்க முக்கோணங்களின் உச்சியாகும், எனவே உச்சியில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 300° ஆகும். சமச்சீர் கூறுகள் மற்றும் கோசஹெட்ரான் வழக்கமான ஐகோசஹெட்ரான் சமச்சீர் 15 அச்சுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் எதிரெதிர் இணையான விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்கின்றன. ஐகோசஹெட்ரானின் அனைத்து சமச்சீர் அச்சுகளையும் வெட்டும் புள்ளி அதன் சமச்சீர் மையமாகும். 15 சமச்சீர் சமதளங்களும் உள்ளன.சமச்சீரின் விமானங்கள் ஒரே விமானத்தில் உள்ள நான்கு செங்குத்துகள் மற்றும் எதிர் இணையான விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்கின்றன.

ஒரு கன சதுரம் அல்லது ஹெக்ஸாஹெட்ரான் (கிரேக்க ஹெக்ஸ் - ஆறு மற்றும் ஹெட்ரா - முகம்) 6 சதுரங்களால் ஆனது. கனசதுரத்தின் 8 செங்குத்துகள் ஒவ்வொன்றும் 3 சதுரங்களின் உச்சியாகும், எனவே ஒவ்வொரு உச்சியிலும் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 270 0 ஆகும். ஒரு கனசதுரம் சம நீளம் கொண்ட 12 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு கனசதுரத்தின் சமச்சீர் கூறுகள் ஒரு கனசதுரத்தின் சமச்சீர் அச்சு ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத இணையான விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாகவோ அல்லது எதிர் முகங்களின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளி வழியாகவோ செல்லலாம். ஒரு கனசதுரத்தின் சமச்சீர் மையம் அதன் மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளியாகும். சமச்சீர் மையத்தின் வழியாக 9 சமச்சீர் அச்சுகள் உள்ளன. கனசதுரத்தில் 9 சமச்சீர் விமானங்கள் உள்ளன, அவை எதிர் விளிம்புகள் வழியாகவோ (அத்தகைய 6 விமானங்கள் உள்ளன) அல்லது எதிர் விளிம்புகளின் நடுப்பகுதி வழியாகவோ (இதில் 3 உள்ளன) கடந்து செல்கின்றன.

டோடெகாஹெட்ரான் (கிரேக்க மொழியில் இருந்து டோடேகா - பன்னிரண்டு மற்றும் ஹெட்ரா - முகம்) என்பது 12 சமபக்க பென்டகன்களைக் கொண்ட ஒரு வழக்கமான பாலிஹெட்ரான் ஆகும். dodecahedron 20 முனைகளையும் 30 விளிம்புகளையும் கொண்டுள்ளது. டோடெகாஹெட்ரானின் உச்சி மூன்று ஐங்கோணங்களின் உச்சியில் உள்ளது, எனவே ஒவ்வொரு உச்சியிலும் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 324 0. டோடெகாஹெட்ரானின் சமச்சீர் கூறுகள் டோடெகாஹெட்ரான் சமச்சீர் மையத்தையும் 15 சமச்சீர் அச்சுகளையும் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு அச்சுகளும் எதிரெதிர் இணையான விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்கின்றன. டோடெகாஹெட்ரான் 15 சமச்சீர் விமானங்களைக் கொண்டுள்ளது. சமச்சீர் விமானங்களில் ஏதேனும் ஒன்று எதிர் விளிம்பின் மேல் மற்றும் நடுப்பகுதி வழியாக ஒவ்வொரு முகத்திலும் செல்கிறது.

வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் வளர்ச்சிகள் பல விளிம்புகளில் வெட்டுக்களைச் செய்த பிறகு, ஒரு பாலிஹெட்ரானை ஒரு விமானத்தின் மீது விரிவுபடுத்துவதற்கான ஒரு வழி மேம்பாடு ஆகும். வலை என்பது சிறிய பலகோணங்களால் ஆன ஒரு தட்டையான பலகோணம் - அசல் பாலிஹெட்ரானின் முகங்கள். ஒரே பாலிஹெட்ரான் பல்வேறு வளர்ச்சிகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.