Definición

Esfera (superficie de la pelota) es el conjunto de todos los puntos en el espacio tridimensional que están a la misma distancia de un punto, llamado centro de la esfera (ACERCA DE).

Una esfera se puede describir como una figura tridimensional que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro en 180 ° o un semicírculo alrededor de su diámetro en 360 °.

Definición

Pelota es un conjunto de todos los puntos en el espacio tridimensional, cuya distancia no excede una cierta distancia a un punto llamado centro de pelota (O) (el conjunto de todos los puntos del espacio tridimensional delimitados por una esfera).

Una bola se puede describir como una figura tridimensional, que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro en 180 ° o un semicírculo alrededor de su diámetro en 360 °.

Definición El radio de la esfera (bola) (R) es la distancia desde el centro de la esfera (bola) O a cualquier punto de la esfera (la superficie de la pelota).

Definición El diámetro de la esfera (bola). (D) es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (la superficie de una pelota) y pasa por su centro.

Fórmula. Volumen de la bola:

V \u003d	4	π R 3 \u003d	1	π D 3
	3		6

Fórmula. Área de superficie de la esfera a través del radio o diámetro:

S \u003d 4π R 2 \u003d π D 2

Ecuación de esfera

1. Ecuación de una esfera con radio R y centro al comienzo del sistema de coordenadas cartesianas:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d R 2

2. La ecuación de una esfera con radio R y centro en un punto con coordenadas (x 0, y 0, z 0) en un sistema de coordenadas cartesianas:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 \u003d R 2

Definición Puntos diametralmente opuestos Se llaman dos puntos cualquiera en la superficie de la bola (esfera) que están conectados por un diámetro.

Las principales propiedades de la esfera y la bola.

1. Todos los puntos de la esfera están igualmente distantes del centro.

2. Cualquier sección de una esfera por un plano es un círculo.

3. Cualquier sección de una pelota por un plano es un círculo.

4. La esfera tiene el mayor volumen entre todas las figuras espaciales con la misma área de superficie.

5. A través de dos puntos diametralmente opuestos, puedes dibujar muchos círculos grandes para una esfera o círculos para una pelota.

6. A través de dos puntos, excepto los puntos diametralmente opuestos, puede dibujar solo un círculo grande para una esfera o un círculo grande para una pelota.

7. Cualquiera de los dos círculos grandes de una bola se cruzan en línea recta pasando por el centro de la bola, y los círculos se cruzan en dos puntos diametralmente opuestos.

8. Si la distancia entre los centros de cualquiera de las dos bolas es menor que la suma de sus radios y mayor que el módulo de la diferencia de sus radios, entonces dichas bolas intersecarse, y en el plano de intersección se forma un círculo.

Secante, acorde, plano secante de una esfera y sus propiedades.

Definición Esferas de corte es una línea recta que cruza una esfera en dos puntos. Los puntos de intersección se llaman puntos de perforación superficie o puntos de entrada y salida en la superficie.

Definición Acorde de una esfera (bola) es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (la superficie de una pelota).

Definición Plano de corte Es un plano que cruza una esfera.

Definición Plano diametrico - este es un plano secante que pasa por el centro de una esfera o bola, circunferencia grande y gran círculo. El círculo grande y el círculo grande tienen un centro que coincide con el centro de la esfera (bola).

Cualquier cuerda que pase por el centro de una esfera (bola) es un diámetro.

El acorde es una sección de una línea secante.

La distancia d desde el centro de la esfera a la secante es siempre menor que el radio de la esfera:

re< R

La distancia m entre el plano secante y el centro de la esfera es siempre menor que el radio R:

metro< R

La sección transversal del plano secante en la esfera siempre será pequeño círculo, y en la pelota la sección será pequeño círculo. El círculo pequeño y el círculo pequeño tienen sus centros que no coinciden con el centro de la esfera (bola). El radio r de dicho círculo se puede encontrar mediante la fórmula:

r \u003d √R 2 - m 2,

Donde R es el radio de la esfera (bola), m es la distancia desde el centro de la bola al plano secante.

Definición Hemisferio (Hemisferio) - esta es la mitad de la esfera (bola), que se forma durante su sección transversal por un plano diametral.

Tangente, plano tangente a la esfera y sus propiedades.

Definición Tangente a esfera es una línea recta que toca una esfera en un solo punto.

Definición Plano tangente a esfera es un plano que contacta la esfera en un solo punto.

La línea tangente (plano) siempre es perpendicular al radio de la esfera dibujada al punto de contacto.

La distancia desde el centro de la esfera a la línea tangente (plano) es igual al radio de la esfera.

Definición Segmento de bola - Esta es la parte de la pelota que está separada de la pelota por un plano secante. Base de segmento llamado el círculo que se formó en la sección. Altura del segmento h es la longitud de la perpendicular dibujada desde el medio de la base del segmento hasta la superficie del segmento.

Fórmula. Zona superficie exterior segmento de esfera con altura h a través del radio de la esfera R:

S \u003d 2π Rh

Cuando a las personas se les pregunta cómo difieren las esferas de una pelota, muchos simplemente se encogen de hombros, pensando que, de hecho, es lo mismo (analogía con un círculo y un círculo). De hecho, ¿todos conocemos bien la geometría del currículo escolar y podemos responder de inmediato a esta pregunta? La esfera tiene algunas diferencias con respecto a la esfera que no solo los escolares necesitan saber para obtener una buena calificación por su conocimiento demostrado, sino también para muchas otras personas, por ejemplo, cuyo trabajo está directamente relacionado con los dibujos.

Definición

Pelota - la totalidad de todos los puntos en el espacio. Todos estos puntos están ubicados desde el centro del cuerpo geométrico a una distancia que no es mayor que la especificada. Esta distancia en sí misma se llama radio. Una bola, como un cuerpo geométrico, se forma de la siguiente manera: un semicírculo gira cerca de su diámetro. En cuanto a la esfera, esta es la superficie de la bola (por ejemplo, una bola cerrada la incluye, una abierta no). El cálculo del área o volumen de una pelota son fórmulas geométricas completas que son muy complejas, a pesar de la aparente simplicidad de la figura geométrica misma.

Esfera, como se señaló anteriormente, representa la superficie de la pelota, su caparazón. Desde el centro de la esfera, todos los puntos en el espacio son equidistantes. En cuanto al radio del cuerpo geométrico, lo llaman cualquier segmento, un punto del cual es directamente el centro de la esfera, y el otro puede estar en cualquier punto de la superficie. Podemos decir que una esfera es una cáscara de bola sin ningún contenido (se darán ejemplos más específicos a continuación). Como una pelota, una esfera es un cuerpo de revolución. Por cierto, muchos también se preguntan qué hace que un círculo y un círculo sean diferentes de una esfera y una bola. Aquí todo es simple: en el primer caso, se trata de figuras en un plano, en el segundo, en el espacio.

Comparación

Ya se ha dicho que la esfera es la superficie de la pelota, lo que ya hace posible hablar de un signo significativo de diferencia. La diferencia entre los dos cuerpos geométricos se observa en otros aspectos:

• Todos los puntos de la pelota están a la misma distancia del centro, mientras que el cuerpo está limitado por la superficie (una esfera que está vacía por dentro). En otras palabras, la esfera es hueca. Por lo general, por simplicidad de comprensión, dan un ejemplo simple con un globo y una bola de billar. Ambos objetos se llaman bolas, pero en el primer caso estamos tratando con una esfera, y en el segundo con una bola completa con su contenido dentro.
• La esfera tiene su propia área, pero no tiene volumen. La pelota es al revés: su volumen se puede calcular, mientras que no tiene área. Alguien puede decir que este es el principal signo de diferencia, pero aparece solo si es necesario realizar algunos cálculos (fórmulas geométricas complejas). Por lo tanto, la principal diferencia es que la esfera es hueca y la bola es un cuerpo con contenido dentro.
• Otra diferencia radica en el radio. Por ejemplo, el radio de una esfera no es solo la distancia de los puntos al centro. El radio se puede llamar cualquier segmento que conecta un punto en una esfera con su centro. Todos estos segmentos son iguales entre sí. En cuanto a la pelota, los puntos que se encuentran dentro de ella son menores que el radio desde el centro (solo por la esfera que la limita).

Conclusiones del sitio web

1. La esfera es hueca, mientras que la pelota es un cuerpo lleno por dentro. Por ejemplo, un globo es una esfera, una bola de billar es un globo hecho y derecho.
2. Una esfera tiene un área y no tiene un volumen; una esfera, por el contrario.
3. La tercera diferencia es la medida del radio de dos cuerpos geométricos.

Una pelota es un cuerpo que consiste en todos los puntos del espacio que están a una distancia no mayor que un punto dado. Este punto se llama centro de la pelota, y esta distancia se llama radio de la pelota. El límite de una pelota se llama superficie o esfera esférica. Los puntos de una esfera son todos los puntos de la pelota que se eliminan del centro en una distancia igual al radio. Cualquier segmento que conecta el centro de la pelota a un punto en la superficie de la pelota también se llama radio. El segmento que pasa por el centro de la pelota, que conecta dos puntos de la superficie de la pelota, se llama diámetro. Los extremos de cualquier diámetro se denominan puntos diametralmente opuestos de la pelota.

Una pelota es un cuerpo de revolución, así como un cono y un cilindro. Se obtiene una bola girando un semicírculo alrededor de su diámetro como eje.

El área de superficie de la pelota se puede encontrar mediante las fórmulas:

donde r es el radio de la pelota, d es el diámetro de la pelota.

El volumen de la pelota se encuentra por la fórmula:

V \u003d 4/3 πr 3,

donde r es el radio de la pelota.

Teorema. Cada sección de una pelota por un avión es un círculo. El centro de este círculo es la base de la perpendicular caída desde el centro de la pelota hasta el plano secante.

Según este teorema, si una bola con el centro O y el radio R se intersecta con el plano α, entonces en la sección obtenemos un círculo de radio r con el centro K. El radio de la sección de la bola por el plano se puede encontrar por la fórmula

De la fórmula se puede ver que los planos equidistantes del centro se cruzan con la pelota en círculos iguales. El radio de la sección es mayor, cuanto más cerca esté el plano secante del centro de la bola, es decir, menor será la distancia correcta. El radio más grande tiene una sección de un avión que pasa por el centro de la pelota. El radio de este círculo es igual al radio de la pelota.

El plano que pasa por el centro de la pelota se llama plano diametral. Una sección de una esfera con un plano diametral se llama círculo grande, y una sección de una esfera se llama círculo grande, y una sección de una esfera se llama círculo grande.

Teorema. Cualquier plano diametral de una pelota es su plano de simetría. El centro de la pelota es su centro de simetría.

El plano que pasa por el punto A de la superficie esférica y es perpendicular al radio dibujado al punto A se llama plano tangente. El punto A se llama punto de tangencia.

Teorema. El plano tangente tiene solo un punto común con la pelota: el punto tangente.

Una línea que pasa por el punto A de la superficie de la bola perpendicular al radio dibujado a este punto se llama tangente.

Teorema. Un número infinito de tangentes pasan por cualquier punto de la superficie esférica, todas las cuales se encuentran en el plano tangente de la pelota.

El segmento esférico es la parte de la bola que el avión corta de ella. El círculo ABC es la base del segmento de la pelota. El segmento MN de la perpendicular dibujada desde el centro N del círculo ABC hasta la intersección con la superficie esférica es la altura del segmento esférico. El punto M es la parte superior del segmento esférico.

La superficie del segmento esférico se puede calcular mediante la fórmula:

El volumen de un segmento esférico se puede encontrar mediante la fórmula:

V \u003d πh 2 (R - 1 / 3h),

donde R es el radio del círculo grande, h es la altura del segmento esférico.

El sector esférico se obtiene del segmento esférico y el cono, como sigue. Si el segmento esférico es más pequeño que el hemisferio, entonces el segmento esférico se complementa con un cono con un vértice en el centro de la pelota y la base es la base del segmento. Si el segmento es más grande que el hemisferio, entonces el cono especificado se elimina de él.

El sector esférico es la parte de la bola delimitada por la superficie curva del segmento esférico (en nuestra figura, esto es AMCB) y superficie cónica (en la figura, esto es OABC), cuya base es la base del segmento (ABC), y el vértice es el centro de la bola O.

El volumen del sector esférico se encuentra mediante la fórmula:

V \u003d 2/3 πR 2 H.

Una capa esférica es una parte de una esfera encerrada entre dos planos paralelos (en la figura, planos ABC y DEF) que se cruzan con una superficie esférica. La superficie curva de una capa esférica se llama cinturón esférico (zona). Círculos ABC y DEF: la base de la zona de la pelota. La distancia NK entre las bases del cinturón de bolas es su altura.

blog.site, con copia total o parcial del material, se requiere una referencia a la fuente.

- (Griego: bola sphaira). 1) un cuerpo sólido en el que todos los puntos de la superficie están igualmente distantes punto internollamado el centro de la pelota; Imagen de globo de la tierra. 2) parte del espacio en el que el planeta se abre paso. 3) en la figurativa ... Vocabulario palabras extranjeras idioma ruso

Mujer, griego bola, cuerpo esférico o vacío, o su imagen en papel; como se aplica a los cuerpos celestes: una esfera dibujada sobre su eje, que representa nuestra tierra, o firmamento del cielo, con el significado de todos los círculos imaginarios. Esfera armilar, ... ... Diccionario explicativo Dalya

alcance - s, w. sphère f. columna sphaira 1. geome. Una superficie cerrada, cuyos puntos están igualmente distantes de un punto (centro /. BAS 1. | trans. Esferas diez volando aérea, vi una casa de bebidas en la distancia. I. Naumov Jason. // Iroi comic poema 560. 2. ... ... ... Diccionario Histórico de Gallicismos de la Lengua Rusa

Esferas, esposas [Griego bola de sphaira]. 1. Lo mismo que una pelota (mat.). 2. trans. El área, lugar, límites a los que existe, actúa, se desarrolla, aplica ese n. (libro). "Dependiendo de la propiedad del talento poético y del grado de sofisticación, la esfera ... Diccionario explicativo de Ushakov

ALCANCE, s, esposas 1. El área, cuyos límites de distribución son n. C. Actividades. C. influencia. 2. Medio ambiente, ambiente público. En su campo. Esferas superiores (sobre gobernantes, círculos aristocráticos). 3. Una superficie cerrada, todos los puntos al enjambre se eliminan por igual ... ... Diccionario explicativo Ozhegova

Ver área ... Diccionario de sinónimos

Esfera - (Khabarovsk, Rusia) Categoría del hotel: hotel de 3 estrellas Dirección: 15 Dezhnev Lane, Khabarovsk ... Catálogo del hotel

Alcance del componente palabras compuestas, lo que significa: 1) una de las capas de los planetas y las estrellas: atmósfera de astenosfera barisfera biosfera geosfera heterosfera hidrosfera homosfera ionosfera litosfera magnetosfera mesosfera estratosfera substratosfera ... ... Wikipedia

- (del griego sphaira ball), 1) el alcance, los límites de distribución de algo (por ejemplo, la esfera de influencia). 2) Entorno público, medio ambiente, mobiliario ... Enciclopedia moderna

- (del griego. sphaira ball) 1) el alcance, los límites de la distribución de algo (por ejemplo, la esfera de influencia) .2) El entorno público, el entorno, el entorno ...

Una superficie cerrada, cuyos puntos están igualmente distantes de un punto (el centro de la esfera). Un segmento que conecta el centro de una esfera con cualquier punto de la misma (así como su longitud) se llama radio de la esfera. El área de superficie de la esfera S \u003d 4? R2, donde R es el radio de la esfera ... Diccionario enciclopédico grande

Libros

• Esfera, Eggers, Dave. Líder romano de una nueva ola de literatura estadounidense, una sátira brutal sobre mundo moderno redes sociales y continua ruido blanco. SPHERE es una corporación del bien: está perfeccionando el mundo al hacerlo ...
• Esfera, Dave Eggers. May Holland tiene mucha suerte. Ella trabaja en la compañía ideal "Esfera", una alianza de mentes brillantes de una generación en la que todos escuchan a todos y todos inspiran al mundo a mejorar. Que aquí ...

‌‌‌V\u200c conferencia regional científico-práctica de investigación, diseño y trabajo creativo de estudiantes "Primeros pasos en la ciencia"

Trabajo de investigación sobre el tema:

"La esfera y la bola son cuerpos geométricos ordinarios".

Completado: estudiante de noveno grado MBOU

"Kochetovskaya promedio escuela comprensiva»Romanov Dima.

Jefe: profesor de matemáticas y física Tremaskina V.S.

Introducción ___________________________________________________________3

1. La historia del estudio de los cuerpos geométricos: bola, esfera _______________________ 3

2. Esfera y pelota.

2.1. El concepto de una esfera y una bola ___________________________________________ 3-4

2.2. Ecuación de esfera ________________________________________________ 4

2.3. Disposición mutua de la esfera y el plano _________________________ 4-6

2.4. Plano tangente a esfera ____________________________________ 6-7

2.5. Área de esfera y volumen de bola ____________________________________ 7

2.6. Obtención de una esfera _______________________________________________ 7-8

2.7. Encontrar una esfera y una pelota en la naturaleza ______________________________ 9-13

2.8 Esfera y bola en la vida cotidiana _________________________________ 14-15

2.9.Aplicación de la esfera y la esfera en la arquitectura ____________________________ 16-22

2.10. El uso de la esfera y la pelota en la geodesia ______________________________ 23

2.11 Aplicación de la esfera y la pelota en astronomía y geografía _________________ 24

2.12. Esfera y bola en el arte _________________________________________ 25

Conclusión ___________________________________________________________ 25

Literatura ___________________________________________________________ 26

La relevancia del tema seleccionado.

A través de los siglos, la humanidad no ha dejado de reponer sus conocimientos científicos en un campo particular de la ciencia. Muchos científicos de geómetras, e incluso personas comunes, estaban interesados \u200b\u200ben una figura como una bola y su "caparazón", llamada esfera. Muchos objetos reales en física, astronomía, biología y otros. ciencias tener la forma de una pelota Por lo tanto, el estudio de las propiedades de la pelota fue asignado en varias épocas históricas y juega un papel importante en nuestro tiempo.

Propósito del estudio:para estudiar los cuerpos geométricos de la pelota y la esfera, para considerar su aplicación en diversos campos de la ciencia, en la vida cotidiana, en la naturaleza, para crear una presentación "La esfera y la pelota son cuerpos geométricos ordinarios".

Tareas:

1. Reúna material sobre la esfera y la esfera utilizando diversas fuentes de información, incluidos los recursos de Internet.

2. Sistematizar material sobre la pelota y la esfera.

4. Crear una presentación " Esfera y bola - cuerpos geométricos ordinarios».

5. Presente el trabajo en una lección de geometría mientras estudia el tema "Esfera y bola".

Objeto de estudio : esfera y bola

Tema de estudio : elementos y propiedades de una esfera y bola

Hipótesis: Necesitamos pelotas para hacer que nuestro mundo sea más diverso y voluminoso.

Métodos búsqueda parcial, investigación, análisis comparativo, síntesis, práctica.

El resultado del estudio: el conocimiento adquirido es necesario no solo por los astrónomos, navegadores barcos de maraviones naves espaciales, que determinan sus coordenadas por estrellas, pero también a los constructores de minas, subterráneos, túneles, arquitectos, así como al inspeccionar grandes áreas de la superficie de la Tierra, cuando es necesario tener en cuenta su esfericidad en la vida cotidiana.

Novedad científica: El material teórico se presenta de forma accesible para los estudiantes de secundaria.

Significado práctico:este material puede usarse como base para un curso electivo en las clases de perfil físico y matemático, en las lecciones al estudiar los temas "Esfera y Pelota".

Introducción

Durante muchos siglos, la humanidad no ha dejado de reponer sus conocimientos científicos en un campo particular de la ciencia. La estereometría, como ciencia de las figuras en el espacio, está indisolublemente ligada a muchas de las disciplinas científicas. Dichas disciplinas incluyen: matemáticas, física, informática y programación, así como química y biología. En el último, existe el problema de estudiar el micromundo, que es una combinación compleja de varias partículas en el espacio entre sí. En arquitectura, los teoremas y las consecuencias de la estereometría se usan constantemente.

Muchos científicos de geómetras, e incluso personas comunes, estaban interesados \u200b\u200ben una figura como una bola y su "caparazón", llamada esfera. Sorprendentemente, la pelota es el único cuerpo con un área de superficie más grande con un volumen igual al volumen de otros cuerpos que se comparan, como un cubo, prisma u otros poliedros diferentes. Nos ocupamos de las bolas todos los días. Por ejemplo, casi todos usan un bolígrafo al final de una varilla que tiene una bola de metal montada que gira bajo la acción de fricción entre este y el papel y, en el proceso de girar sobre su superficie, la bola "saca" otra porción de tinta. En la industria automotriz, se fabrican rodamientos de bolas, que son una parte muy importante en el automóvil y aseguran la rotación correcta de las ruedas y la estabilidad de la máquina en la carretera. Los elementos de automóviles, aviones, cohetes, motocicletas, proyectiles, embarcaciones de natación, expuestos a una exposición constante al agua o al aire, tienen principalmente algún tipo de superficie esférica llamada carenados.

Historia del estudio de los cuerpos geométricos: esfera, esfera.

Una pelota generalmente se llama cuerpo limitado por una esfera, es decir. una esfera y una esfera son cuerpos geométricos diferentes. Sin embargo, las palabras "bola" y "esfera" provienen de la misma palabra griega "sfaira": la bola. Además, la palabra "bola" se formó a partir de la transición de consonantes a s.

En el undécimo libro, "Principios", Euclides define una pelota como una figura descrita por un semicírculo que gira alrededor de un diámetro fijo. En la antigüedad, la esfera se tenía en alta estima. Las observaciones astronómicas sobre la bóveda del cielo siempre evocaban la imagen de una esfera.

El campo siempre ha sido ampliamente utilizado en diversos campos de la ciencia y la tecnología.

2.1. El concepto de una esfera y una pelota.

Una esfera es una superficie que consiste en todos los puntos del espacio ubicados a una distancia dada de un punto dado.

Un cuerpo delimitado por una esfera se llama bola.

Este punto se llama el centro de la esfera, y esta distancia se llama el radio de la esfera.

Una línea que conecta dos puntos de una esfera y pasa

a través de su centro, se llama diámetro de la esfera.

El centro, el radio y el diámetro de una esfera también se llaman centro, radio y diámetro de la pelota.

2.2. Ecuación de esfera

Definir un sistema de coordenadas rectangulares. ACERCA DExyz

Construimos una esfera con centro en el punto C (x 0; y 0; z 0)

y radio R

MS \u003d (x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2

MS \u003d R o MS2 \u003d R2

de ahí la ecuación

las esferas tienen la forma:

(x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 \u003d R 2

2.3. Disposición relativa de una esfera y un plano.

Dado:

Una esfera de radio R con centro C (x 0; y 0; z 0), el punto M (x; y; z) se encuentra en la esfera.

¿Cuál es la distancia de la EM?

T. a MS \u003d R entonces

METRO

R

de

DE DESS

Dado: plano α, esfera (C; R),

d es la distancia desde el centro C al plano α.

Introducimos el sistema de coordenadas donde el punto es C (x 0; y 0; z 0). Componemos las ecuaciones de la esfera y el plano α.

z

PAGS
el punto de boca C se encuentra en el eje z. Entonces sus coordenadas son (0; 0; d).

Ecuación de la esfera:

La ecuación del plano α: z = 0

Estudiamos el sistema de ecuaciones:

z \u003d 0

Luego

Dependiendo de la relación de d y R, son posibles 3 casos ...

1
) d< R .

Luego

ecuación circular (0; r)

Sección de una esfera por un plano - círculo

2
) d \u003d R.

Luego

EN con

x \u003d 0 e y \u003d 0

La esfera y el plano tienen un punto común.

3
) d\u003e R.

Luego

no tiene decisiones.

La esfera y el plano no tienen puntos comunes.

2.4. Plano tangente a esfera

Un plano que solo tiene un punto común con la esfera se llama plano tangente a la esfera, y su punto común se llama punto tangente del plano y la esfera.

Teorema. El radio de la esfera dibujada en el punto de contacto de la esfera y el plano es perpendicular al plano tangente.

Dado: esfera con centroACERCA DE y radioR , α - tangente a la esfera en el puntoY avión.

Probar: Oa y .

Prueba: Let Oa no perpendicular al plano y luego Oa está inclinado hacia el plano, lo que significa la distancia desde el centro al plano re < R . Aquellos. la esfera debe cruzarse con el plano en un círculo, pero esto no satisface la condición del teorema. Medio Oa y .

Probemos el teorema inverso.

Si el radio de la esfera es perpendicular al plano que pasa por su extremo sobre la esfera, entonces este plano es tangente a la esfera.

Dado: esfera con centroACERCA DE y radio Oa y Oa y .

Probar:y - plano de la tangente.

Prueba: porque Oa y , entonces la distancia desde el centro de la esfera al plano es igual al radio. Esto significa que la esfera y el plano tienen un punto común. Por definición, un plano es tangente a una esfera.

2.5. Área de esfera y volumen de bola

y radio de bola están determinados por las fórmulas:

Evidencia

Tome un cuarto de círculo de radio R centrado en. La ecuación del círculo de este círculo:de donde.

La función es continua, creciente, no negativa. Cuando una cuarta parte del círculo gira alrededor del eje Ox, se forma un hemisferio, por lo tanto:

¿De dónde viene Ch. T.

Evidencia

H.t.

Parte de la pelota, [ ] cortado por cualquier avión se llama segmento esférico o esférico. La base del segmento de la pelota se llama círculo. A B C D . La altura del segmento esférico se llama segmento Nuevo Méjico es decir longitud perpendicular recuperada del centro norte base a la intersección con la superficie de la pelota. Punto METRO llamado la parte superior del segmento de pelota.

Volumen del segmento de bola se expresa mediante la fórmula:

V = π h 2 ( R − 1/3 h)

Capa de bola es parte de la pelota [ ], encerrado entre dos planos paralelos secantes. Cinturón de bola o Zona de bolas - Esta es la superficie curva de la capa esférica. Círculos A B C y Def estas son las bases del cinturón de bolas. Distancia base activada es la altura de la capa esférica.

Volumen de la capa de bola se expresa mediante la fórmula:

V = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

Sector de la pelotaes parte de la pelota [ ], delimitada por la superficie curva del segmento esférico y la superficie cónica, cuya base es la base del segmento, y la parte superior es el centro de la bola.

Volumen del sector de bolas es igual a , cuya base tiene la misma área que la parte de corte de sector de la superficie esférica, y la altura es igual al radio

V = 1/3 R s = 2/3 π R 2 h

2.6. Obteniendo una esfera

La esfera se puede obtener girando el semicírculo ASV alrededor del diámetro AB

2.7. Encontrar una esfera y una pelota en la naturaleza

3 agadies of nature - Bolas-mensajes.Estas misteriosas formaciones de piedra de forma perfectamente redonda fueron descubiertas a fines de la década de 1940 en la jungla de la República Centroamericana de Costa Rica. Las bolas tienen tamaños de 10 cm a 3-4 metros de diámetro. Durante la fotografía aérea, resultó que no están dispersos por la superficie de la tierra por casualidad, sino que constituyen figuras geométricas. Incluso es posible que las bolas no estén dispersas, sino que estén dispuestas en forma de un gran mapa estelar; cada bola es una estrella con una descripción correspondiente.

Entre las hipótesis del origen de las bolas, solo hay versiones exóticas: desde extraterrestres hasta escultores de la Atlántida. Existe una versión de que las bolas fueron cortadas (contando con futuros dividendos del turismo) por inmigrantes nazis aburridos que inundaron America latina después del colapso del Tercer Reich. Las razones naturales para explicar la abundancia de bolas y los patrones extraños en ellas fallaron. En Kazajstán, cuando se desarrolla un pozo de arena suficiente aguas profundas también se descubrieron varios especímenes grandes de tales rocas ... La Comisión de Fenómenos informó este hallazgo; Por desgracia, las fotos de los hallazgos no se conservaron.

Bola de cristal. Tiro macro Una bola de cristal descansa sobre una rama de un árbol, y la naturaleza circundante se refleja en ella. Muy bonitas flores amarillas y verde hierba jugosa.

DE globos

en la foto en lugares de poder: ¿el resultado de la descomposición del uranio o una forma de vida plasmoidea?

Iglesia del Santo Sepulcro y otros lugares de Israel.

Y
fenómeno natural interesante en la orilla del lago Michigan formaron miles de bolas de hielo regulares

Algas en forma de bolas inusuales

Bolas extrañas apareció en la costa de Hampton, en la costa este de los Estados Unidos, en junio de 2002. El maremoto comenzó a soportar una miríada de pelotas verdosas, suaves, que recordaban vagamente una esponja y el tamaño de una pelota de tenis o golf. A una distancia de unos 300 metros o más, toda la playa de arena estaba literalmente salpicada de tales bolas. La controversia comenzó de inmediato: ¿qué es y de dónde? Los biólogos resultaron estar involucrados en biólogos marinos, vacacionistas en la playa y transeúntes ocasionales. Nadie había visto algo así aquí antes.

La naturaleza teme a la simetría, no conoce las formas geométricas ideales. Pero el hombre puede hacer que la naturaleza adquiera estas formas ajenas a ella. Un buen ejemplo de esto es el trabajo del artista coreano Lee Jae-Hyo, quien creatroncos de árboles esferas perfectas

T

miles de pequeñas cuentas de color púrpura terminaron extrañamente en medio de un desierto en Arizona, EE. UU. Los residentes de Tucson Geraldine Vargas y su esposo descubrieron un grupo inexplicable de bolas oscuras hace un par de semanas mientras caminaban por el vecindario. "Tomamos fotos de la naturaleza del desierto cuando nos encontramos con este extraño lugar ... ¿No entiendo cómo no nos dimos cuenta de inmediato?", Dijo Geraldina a los periodistas. "Simplemente brillaba al sol". Los fotógrafos le enviaron una foto con objetos extraños al zoólogo, pero ella no pudo decir qué era, ni siquiera tenía suposiciones sobre esto.

Bolas de minerales.

Amatista, Brasil.

Rhinestone. Sur. Chelyab. Región. Vendido.

Amazonita. Península de Kola. Vendido.

2.8 La esfera y la pelota en la vida cotidiana

norte
y la bola geométrica es similar globo, balón de fútbol, \u200b\u200bjuguetes de año nuevo.

Bola de espuma de bricolaje

Zorbing - Este es uno de los entretenimientos extremos más de moda en la actualidad. Zorbing te permitirá experimentar sensaciones nuevas, inusualmente vívidas y poderosas, y sacudirte de la rutina de la vida cotidiana.

¿Qué es una bola zorb?

3 orbe (zorb) es una esfera transparente (esfera) con un diámetro de 3.2 metros dentro de la cual es una esfera con un diámetro de 1.8 metros en la cual zorbonauta (pasajero zorb) El espacio entre estas esferas está lleno de aire, cuya presión estallan las esferas entre sí, y las eslingas, por el contrario, se mantienen. Tal sistema se absorbe muy bien, suaviza los baches en la pista y hace que el esquí sea seguro.

2.9.Aplicación de la esfera y la pelota en la arquitectura.

Esta casa se llama WIGWAM. Ellos construyen tales casas Indios.

Bolas de acero inoxidable y hemisferios

Fuente giratoriapelota "en St.

Petersburgo

Casas modernas

Y sicasa no solo en un árbol, sino también en forma de bola.

Este es un verdadero pueblocasas redondas .

DE
casas redondas modernas

Biosfera de Montreal: el pabellón de exposiciones de EE. UU. En la Expo 67 en Canadá,

creado por el arquitecto Richard Fuller.

Hotel en forma de bolas transparentes.

EN
sobre la ciudad francesa de Roubaix en uno de los parques abrió las habitaciones portátiles de hotel del Hotel Bolha. Lo hicieron específicamente para personas que, incluso en el centro de la jungla urbana, quieren estar más cerca de la naturaleza.El concepto de la burbuja fue inventado por el diseñador Pierre Stefan Dumas. Un diseño tan avanzado fue creado con el objetivo de unir temporalmente a los invitados a lo desconocido. Después de todo, no muchos pueden permitirse dormir bajo un techo redondo.

Vestido hecho de bolas.

Oficina de campo Pronto la primavera (y allí el verano) y muchos irán al país a descansar.
Pero a veces en el país necesitas trabajar (¡para que tú!). ¿No hay lugar para retirarse?
Puede aquí en una estructura esférica tan pequeña "Archipod":

EFICIENCIA ENERGÉTICA enarquitectura . Smart Home es una molécula.

El Parque Científico y Tecnológico La Vilette, construido en el sitio de un matadero en las afueras del este de París, atrapa una bola gigante, cuya superficie refleja el cielo parisino y el paisaje circundante. Hoy este edificio se considera la estructura esférica más perfecta del mundo. Los parisinos lo llaman "Geoda" (Geode). Es una panorámica

cine con la pantalla más grande de Europa. espejo de bola de la casa

Tales bolas de hilo simplemente se pueden colgar de las ramas de un árbol, si sus vacaciones se llevan a cabo al aire libre o en el techo. Y también pueden organizar una mesa de banquete, complementando la composición de velas y flores.

2.10. El uso de la esfera y la pelota en la geodesia.

Proyecciones cartográficas

muestra toda la superficie del elipsoide de la tierra (Ver ) o cualquiera de sus partes en el plano, obtenidas principalmente con el propósito de construir un mapa.

Escala.A. Los artículos se construyen en una escala determinada. Disminuir mentalmente el elipsoide de la tierra enMETROveces, por ejemplo, 10,000,000 de veces, obtenga su modelo geométrico - cuya imagen ya es de tamaño natural en un plano da un mapa de superficie de este elipsoide. Valor 1:METRO(en el ejemplo 1: 10,000,000) define la escala principal o general del mapa. Dado que las superficies de un elipsoide y una bola no se pueden convertir en un plano sin espacios y pliegues (no pertenecen a la clase de superficies en desarrollo (ver )), cualquier distorsión inherente de K.p. de las longitudes de líneas, ángulos, etc., inherente a cualquier mapa. La característica principal de K. p. En cualquiera de sus puntos es la escala parcial μ. Este es el recíproco de la relación de un segmento infinitesimal.dsen la tierra elipsoide a su imagendσen la superficie: μ min ≤ μ ≤ μ max, y la igualdad solo es posible en puntos individuales o en algunas líneas del mapa. Por lo tanto, la escala principal del mapa lo caracteriza solo en términos generales, en una cierta forma promediada. Actitud μ / M se llama escala relativa, o aumento de longitud, la diferencia M \u003d 1.

1. Redes de líneas de coordenadas esféricas.

2.11. El uso de la esfera y la bola en astronomía y geografía.

DE una esfera y una esfera, así como un círculo y un círculo, se consideraban desde la antigüedad. El descubrimiento de la esfericidad de la Tierra, el surgimiento de ideas sobre la esfera celestial dio un impulso al desarrollo de una ciencia especial: la ESFÉRICA, que estudia las figuras ubicadas en la esfera.

Haciendo ejercicio viajar alrededor del mundo, los marineros notaron que al regresar al mismo lugar hay una pérdida o ganancia de días completos, lo que sería completamente imposible si la Tierra tuviera la forma de un disco.

Entonces, la evidencia de la esfericidad de la Tierra en la actualidad es:

Siempre una figura circular del horizonte en el océano y en tierras bajas o mesetas abiertas;

Viajar alrededor del mundo.

Aproximación gradual o eliminación de objetos;

Y
al estudiar varios mapas, encontramos que en geografía hay nombres geográficosrelacionado con la pelota. Por ejemplo, entre las islas Norte y Sur de Novaya Zemlya hay un estrecho que conecta Barents y Mar de Karallamado Matochkin Shar, o el estrecho entre las costas de la isla Vaygach y el continente de Eurasia - Ugra Shar. Creemos que estos estrechos se llaman bolas debido al hecho de que su tamaño y forma del fondo se asemejan a una superficie esférica.

2.12 Esfera y pelota en el arte

Math esher

Además, el "juego" con la lógica del espacio son las pinturas de Escher, que representan varias "figuras imposibles"; Escher los representó por separado y en litografías y grabados sujetos.

Tres esferas 1946

Mano con una esfera reflectante. 1935

Conclusión

Creo que el material que recopilé y el conocimiento adquirido durante el trabajo realizado pueden usarse en geometría, trabajo, en la vida cotidiana, como base para un curso electivo en clases en el perfil físico y matemático, así como en actividades extracurriculares para expandir los horizontes de los estudiantes.

Literatura

Hadamard J. Geometría elemental. Parte 2. M. Uchpedgiz, 1958. Andreev

Atanasyan L.S. Geometría. Parte 2. - M: Ilustración, 1987 .-- 352s.

Bazylev V.T. Geometría. M: Educación, 1975.

Bazylev V.T. Colección de problemas en geometría. M: Ilustración, 1980.240 s.

Egorov I.P. Geometría. - M: Educación, 1979. - 256p.

Egorov I.P. Los fundamentos de la geometría. - M: Educación, 1984. - 144p.

Libro de tareas de "Quantum": Matemáticas. Parte 1. / Ed. nótese bien Vasilieva M: 1997.

Rosenfeld B.A. Historia de la geometría no euclidiana. El desarrollo del concepto de espacio geométrico. M. Nauka., 1976.- 408p.

Enciclopedia de las matemáticas elementales. Libro 4 - Geometría. M., 1963.

10. Recursos de internet.