Universidad Estatal de Bélgorod

DEPARTAMENTO álgebra, teoría de números y geometría.

Tema de trabajo: Ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial.

Trabajo de graduación estudiante de la Facultad de Física y Matemáticas

Consejero científico:

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Revisor: _______________________________

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Bélgorod. 2006

Introducción			3
Sujeto I.	Análisis de la literatura sobre el tema de investigación.
Sujeto II.	Funciones y sus propiedades utilizadas en la resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales.
	I.1.	Función de potencia y sus propiedades.
	I.2.	Función exponencial y sus propiedades.
Sujeto III.	Resolución de ecuaciones de potencia exponencial, algoritmo y ejemplos.
Sujeto IV.	Resolución de desigualdades exponenciales, plan de solución y ejemplos.
Sujeto v.	Experiencia en la realización de clases con escolares sobre el tema: “Resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales”.
v. 1.	Material educativo.
v. 2.	Problemas para solución independiente.
Conclusión.	Conclusiones y ofertas.
Bibliografía.
Aplicaciones

Introducción.

“...la alegría de ver y comprender...”

A. Einstein.

En este trabajo intenté transmitir mi experiencia como profesor de matemáticas, transmitir al menos hasta cierto punto mi actitud hacia su enseñanza, una tarea humana en la que la ciencia matemática, la pedagogía, la didáctica, la psicología e incluso la filosofía están sorprendentemente entrelazadas.

Tuve la oportunidad de trabajar con niños y graduados, con niños en los extremos del desarrollo intelectual: los que estaban registrados con un psiquiatra y que realmente estaban interesados ​​en las matemáticas.

Tuve la oportunidad de resolver muchos problemas metodológicos. Intentaré hablar de los que logré resolver. Pero muchos más fracasaron, e incluso en aquellos que parecen haberse resuelto, surgen nuevas preguntas.

Pero aún más importantes que la experiencia misma son las reflexiones y dudas del docente: ¿por qué es exactamente así, esta experiencia?

Y el verano ahora es diferente y el desarrollo de la educación se ha vuelto más interesante. "Bajo los Júpiter" hoy no es una búsqueda de un sistema óptimo mítico de enseñanza de "todos y todos", sino del niño mismo. Pero entonces -por necesidad- el profesor.

EN curso escolarálgebra y comienzo del análisis, grados 10 - 11, al aprobar el Examen Estatal Unificado del curso escuela secundaria y en los exámenes de ingreso a las universidades hay ecuaciones y desigualdades que contienen una incógnita en la base y exponentes; estas son ecuaciones y desigualdades exponenciales.

Reciben poca atención en la escuela, prácticamente no hay tareas sobre este tema en los libros de texto. Sin embargo, me parece que dominar la técnica de su resolución es muy útil: aumenta la capacidad mental y Habilidades creativas estudiantes, se abren horizontes completamente nuevos ante nosotros. Al resolver problemas, los estudiantes adquieren primeras habilidades. trabajo de investigación, se enriquece su cultura matemática y se desarrollan sus habilidades de pensamiento lógico. Los escolares desarrollan cualidades de personalidad como determinación, fijación de objetivos e independencia, que les serán útiles en el futuro. Y también hay repetición, ampliación y asimilación profunda del material educativo.

Comencé a trabajar en este tema para mi tesis escribiendo mi trabajo de curso. Durante el cual estudié y analicé en profundidad la literatura matemática sobre este tema, identifiqué el método más adecuado para resolver ecuaciones y desigualdades exponenciales.

Consiste en que además del enfoque generalmente aceptado al resolver ecuaciones exponenciales (la base se toma mayor que 0) y al resolver las mismas desigualdades (la base se toma mayor que 1 o mayor que 0, pero menor que 1) , también se consideran los casos en los que las bases son negativas, iguales a 0 y 1.

Un análisis de los exámenes escritos de los estudiantes muestra que la falta de cobertura de la cuestión del valor negativo del argumento de una función exponencial en los libros de texto escolares les causa numerosas dificultades y les lleva a cometer errores. Y también tienen problemas en la etapa de sistematización de los resultados obtenidos, donde, debido a la transición a una ecuación - consecuencia o desigualdad - consecuencia, pueden aparecer raíces extrañas. Para eliminar errores, utilizamos una prueba usando la ecuación o desigualdad original y un algoritmo para resolver ecuaciones exponenciales, o un plan para resolver desigualdades exponenciales.

Para garantizar que los estudiantes puedan aprobar con éxito su graduación y exámenes de admisión, Creo que es necesario prestar más atención a la resolución de ecuaciones exponenciales y desigualdades en clases, o además en asignaturas optativas y clubes.

De este modo sujeto , mi tesis se define de la siguiente manera: “Ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial”.

Objetivos de este trabajo son:

1. Analizar la literatura sobre este tema.

2. Dar análisis completo Resolver ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial.

3. Proporcione una cantidad suficiente de ejemplos de varios tipos sobre este tema.

4. Verificar en clase, optativas y clases de club cómo se percibirán los métodos propuestos para la resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales. Dar recomendaciones adecuadas para estudiar este tema.

Sujeto Nuestra investigación tiene como objetivo desarrollar una metodología para la resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales.

El propósito y tema del estudio requirió resolver los siguientes problemas:

1. Estudie la literatura sobre el tema: “Ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial”.

2. Dominar las técnicas de resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales.

3. Seleccionar material educativo y desarrollar un sistema de ejercicios de diferentes niveles sobre el tema: “Resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales”.

Durante la investigación de tesis se analizaron más de 20 trabajos sobre el uso de varios métodos Resolver ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial. De aquí llegamos.

Plan de tesis:

Introducción.

Capítulo I. Análisis de la literatura sobre el tema de investigación.

Capitulo dos. Funciones y sus propiedades utilizadas en la resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales.

II.1. Función de potencia y sus propiedades.

II.2. Función exponencial y sus propiedades.

Capítulo III. Resolución de ecuaciones de potencia exponencial, algoritmo y ejemplos.

Capítulo IV. Resolución de desigualdades exponenciales, plan de solución y ejemplos.

Capítulo V. Experiencia en la realización de clases con escolares sobre este tema.

1.Material de formación.

2.Tareas para solución independiente.

Conclusión. Conclusiones y ofertas.

Lista de literatura usada.

El capítulo I analiza la literatura.

Primer nivel

Ecuaciones exponenciales. La guía definitiva (2019)

¡Hola! Hoy discutiremos contigo cómo resolver ecuaciones que pueden ser tanto elementales (y espero que después de leer este artículo, casi todas lo sean para ti), como las que se suelen dar “para completar”. Al parecer para finalmente quedarse dormido. Pero intentaré hacer todo lo posible para que ahora no te metas en problemas ante este tipo de ecuaciones. Ya no me andaré con rodeos, pero lo abriré enseguida. pequeño secreto: hoy estudiaremos ecuaciones exponenciales.

Antes de pasar a analizar las formas de resolverlas, les describiré inmediatamente una serie de preguntas (bastante pequeñas) que deberían repetir antes de lanzarse a atacar este tema. Entonces, para obtener mejores resultados, por favor repetir:

1. Propiedades y
2. Solución y ecuaciones

¿Repetido? ¡Asombroso! Entonces no te resultará difícil darte cuenta de que la raíz de la ecuación es un número. ¿Entiendes exactamente cómo lo hice? ¿Es verdad? Entonces continuemos. Ahora responde mi pregunta, ¿qué es igual a la tercera potencia? Estás absolutamente en lo correcto: . ¿Qué potencia de dos es ocho? Así es, ¡el tercero! Porque. Bueno, ahora intentemos resolver el siguiente problema: déjame multiplicar el número por sí mismo una vez y obtener el resultado. La pregunta es ¿cuántas veces me multipliqué? Por supuesto, puedes comprobar esto directamente:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinear)

Entonces puedes concluir que me multipliqué por mí mismo veces. ¿De qué otra manera puedes comprobar esto? He aquí cómo: directamente por definición de título: . Pero debes admitir que si te preguntara cuántas veces hay que multiplicar dos por sí mismo para obtener, digamos, me dirías: no me engañaré multiplicando por sí mismo hasta que me ponga azul. Y tendría toda la razón. Porque ¿cómo puedes anota todos los pasos brevemente(y la brevedad es hermana del talento)

donde - estos son los mismos "veces", cuando se multiplica por sí mismo.

Creo que sabes (y si no lo sabes, ¡urgentemente, muy urgentemente repite los grados!) que entonces mi problema quedará escrito en la forma:

¿Cómo se puede concluir razonablemente que:

Entonces, sin que nadie me diera cuenta, escribí lo más simple. ecuación exponencial:

Y hasta lo encontré raíz. ¿No crees que todo es completamente trivial? Pienso exactamente lo mismo. Aquí tienes otro ejemplo:

¿Pero qué hacer? Después de todo, no se puede escribir como una potencia de un número (razonable). No nos desesperemos y tengamos en cuenta que ambos números se expresan perfectamente mediante la potencia del mismo número. ¿Cuál? Bien: . Luego la ecuación original se transforma a la forma:

Donde, como ya entendiste, . No nos demoremos más y anótelo. definición:

En nuestro caso: .

Estas ecuaciones se resuelven reduciéndolas a la forma:

seguido de resolver la ecuación

De hecho, en el ejemplo anterior hicimos precisamente eso: obtuvimos lo siguiente: Y resolvimos la ecuación más simple.

Parece nada complicado, ¿verdad? Practiquemos primero con los más simples. ejemplos:

Nuevamente vemos que los lados derecho e izquierdo de la ecuación deben representarse como potencias de un número. Es cierto que a la izquierda esto ya se ha hecho, pero a la derecha hay un número. Pero está bien, porque mi ecuación milagrosamente se transformará en esto:

¿Qué tuve que usar aquí? ¿Qué regla? Regla de "grados dentro de grados" que dice:

Y si:

Antes de responder a esta pregunta, completemos la siguiente tabla:

Es fácil para nosotros notar que cuanto menor es el valor, pero aún así todos estos valores son mayores que cero. ¡¡¡Y SIEMPRE SERÁ ASÍ!!! ¡¡La misma propiedad es válida PARA CUALQUIER BASE CON CUALQUIER INDICADOR!! (para cualquiera y). Entonces, ¿qué podemos concluir sobre la ecuación? Esto es lo que es: no tiene raíces! Como cualquier ecuación no tiene raíces. Ahora practiquemos y Resolvamos ejemplos simples:

Vamos a revisar:

1. Aquí no se le exigirá nada más que el conocimiento de las propiedades de los grados (que, por cierto, ¡le pedí que repitiera!). Por regla general, todo conduce a la base más pequeña: , . Entonces la ecuación original será equivalente a la siguiente: Todo lo que necesito es usar las propiedades de las potencias: Al multiplicar números con las mismas bases se suman las potencias y al dividir se restan. Entonces obtendré: Bueno, ahora con la conciencia tranquila pasaré de la ecuación exponencial a la lineal: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(alinear)

2. En el segundo ejemplo, debemos tener más cuidado: el problema es que en el lado izquierdo no podemos representar el mismo número como una potencia. En este caso a veces es útil representar números como producto de potencias con diferentes bases, pero los mismos exponentes:

El lado izquierdo de la ecuación se verá así: ¿Qué nos dio esto? Esto es lo que: Se pueden multiplicar números con diferentes bases pero con los mismos exponentes.En este caso, las bases se multiplican, pero el indicador no cambia:

En mi situación esto dará:

\begin(alinear)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinear)

No está mal, ¿verdad?

3. No me gusta cuando, innecesariamente, tengo dos términos en un lado de la ecuación y ninguno en el otro (a veces, por supuesto, esto está justificado, pero ahora no es el caso). Moveré el término negativo hacia la derecha:

Ahora, como antes, escribiré todo en términos de potencias de tres:

Sumo los grados de la izquierda y obtengo una ecuación equivalente.

Puedes encontrar fácilmente su raíz:

4. Como en el ejemplo tres, ¡el término negativo tiene un lugar en el lado derecho!

A mi izquierda casi todo está bien, ¿excepto qué? Sí, me molesta el “grado equivocado” de los dos. Pero puedo solucionar este problema fácilmente escribiendo: . Eureka: a la izquierda todas las bases son diferentes, ¡pero todos los grados son iguales! ¡Multipliquemos inmediatamente!

Aquí nuevamente todo está claro: (si no entiendes cómo por arte de magia Saqué la última igualdad, me tomé un descanso de un minuto, tomé aire y volví a leer con mucha atención las propiedades del grado. ¿Quién dijo que puedes saltarte una carrera con una puntuación negativa? Bueno, eso es lo que digo, nadie). Ahora obtendré:

\begin(alinear)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(alinear)

Aquí tienes algunos problemas para que practiques, a los que sólo daré las respuestas (pero de forma “mixta”). ¡Resuélvelos, compruébalos y tú y yo continuaremos nuestra investigación!

¿Listo? Respuestas como estos:

1. cualquier número

Vale, vale, ¡estaba bromeando! A continuación se muestran algunos bocetos de soluciones (¡algunas muy breves!)

¿No crees que no es casualidad que una fracción de la izquierda sea la otra "invertida"? Sería pecado no aprovechar esto:

Esta regla se usa muy a menudo al resolver ecuaciones exponenciales, ¡recuérdala bien!

Entonces la ecuación original quedará así:

Habiendo decidido esto ecuación cuadrática, obtendrás estas raíces:

2. Otra solución: dividir ambos lados de la ecuación por la expresión de la izquierda (o derecha). Divido por lo que está a la derecha y obtengo:

¡¿Donde porque?!)

3. No quiero ni repetirme, ya está todo muy “masticado”.

4. equivalente a una ecuación cuadrática, raíces

5. Debes usar la fórmula dada en el primer problema y luego obtendrás lo siguiente:

La ecuación se ha convertido en una identidad trivial que es cierta para cualquiera. Entonces la respuesta es cualquier número real.

Bueno, ahora has practicado resolviendo ecuaciones exponenciales simples. Ahora quiero darte algunos ejemplos de vida, lo que le ayudará a comprender por qué son necesarios en principio. Aquí daré dos ejemplos. Uno de ellos es bastante cotidiano, pero es más probable que el otro tenga un interés científico más que práctico.

Ejemplo 1 (mercantil) Deja que tengas rublos, pero quieres convertirlos en rublos. El banco le ofrece retirarle este dinero a una tasa anual con capitalización mensual de intereses (devengo mensual). La pregunta es, ¿durante cuántos meses necesitas abrir un depósito para alcanzar el monto final requerido? Una tarea bastante mundana, ¿no? Sin embargo, su solución está asociada a la construcción de la ecuación exponencial correspondiente: Sea - el importe inicial, - el importe final, - el tipo de interés del período, - el número de períodos. Entonces:

En nuestro caso (si la tasa es anual, entonces se calcula por mes). ¿Por qué se divide entre? Si no sabes la respuesta a esta pregunta, ¡recuerda el tema “”! Entonces obtenemos esta ecuación:

Esta ecuación exponencial sólo se puede resolver usando una calculadora (su apariencia( no muy rápido, ¿verdad?).

Ejemplo 2 (bastante científico). A pesar de su cierto “aislamiento”, les recomiendo que le presten atención: regularmente “¡¡se presenta al Examen Estatal Unificado!! (el problema está tomado de la versión “real”) Durante la desintegración de un isótopo radiactivo, su masa disminuye según la ley, donde (mg) es la masa inicial del isótopo, (min.) es el tiempo transcurrido desde la momento inicial, (min.) es la vida media. En el momento inicial, la masa del isótopo es mg. Su vida media es min. ¿Después de cuántos minutos la masa del isótopo será igual a mg? Está bien: simplemente tomamos y sustituimos todos los datos en la fórmula que se nos propone:

Dividamos ambas partes entre "con la esperanza" de que a la izquierda obtengamos algo digerible:

Bueno, ¡tenemos mucha suerte! Está a la izquierda, entonces pasemos a la ecuación equivalente:

¿Dónde está mín.

Como puedes ver, las ecuaciones exponenciales tienen aplicaciones muy reales en la práctica. Ahora quiero mostrarte otra forma (sencilla) de resolver ecuaciones exponenciales, que se basa en sacar el factor común de entre paréntesis y luego agrupar los términos. No te asustes por mis palabras, ya te topaste con este método en séptimo grado cuando estudiabas polinomios. Por ejemplo, si necesitaras factorizar la expresión:

Agrupemos: el primer y tercer término, así como el segundo y cuarto. Está claro que el primero y el tercero son la diferencia de cuadrados:

y el segundo y el cuarto tienen un factor común de tres:

Entonces la expresión original es equivalente a esta:

Dónde derivar el factor común ya no es difícil:

Por eso,

Esto es aproximadamente lo que haremos al resolver ecuaciones exponenciales: buscar "común" entre los términos y sacarlo de los paréntesis, y luego, pase lo que pase, creo que tendremos suerte =)) Por ejemplo:

A la derecha está lejos de ser una potencia de siete (¡lo comprobé!) Y a la izquierda, es un poco mejor, por supuesto, puedes "cortar" el factor a del segundo del primer término y luego repartir con lo que tienes, pero seamos más prudentes contigo. No quiero lidiar con las fracciones que inevitablemente se forman al "seleccionar", así que ¿no debería eliminarlas? Entonces no tendré fracciones: como dicen, los lobos están alimentados y las ovejas están a salvo:

Calcula la expresión entre paréntesis. Mágicamente, mágicamente, resulta que (sorprendentemente, aunque ¿qué más deberíamos esperar?).

Luego reducimos ambos lados de la ecuación por este factor. Obtenemos: , de.

Aquí hay un ejemplo más complicado (bastante, en realidad):

¡Que problema! ¡Aquí no tenemos ningún punto en común! No está del todo claro qué hacer ahora. Hagamos lo que podamos: primero, mueva los “cuatros” hacia un lado y los “cinco” hacia el otro:

Ahora eliminemos al "general" de izquierda y derecha:

¿Y ahora qué? ¿Cuál es el beneficio de un grupo tan estúpido? A primera vista no se ve nada, pero veamos más profundamente:

Bueno, ahora nos aseguraremos de que a la izquierda solo tengamos la expresión c, y a la derecha, todo lo demás. Cómo hacemos esto? He aquí cómo: divide ambos lados de la ecuación primero por (para eliminar el exponente de la derecha) y luego divide ambos lados por (para eliminar el factor numérico de la izquierda). Finalmente obtenemos:

¡Increíble! A la izquierda tenemos una expresión y a la derecha tenemos una expresión simple. Entonces inmediatamente concluimos que

Aquí te dejamos otro ejemplo para que lo refuerces:

Le daré una breve solución (sin molestarme mucho con explicaciones), intentaré comprender usted mismo todas las "sutilezas" de la solución.

Ahora vamos a la consolidación final del material cubierto. Intente resolver los siguientes problemas usted mismo. Solo daré breves recomendaciones y consejos para solucionarlos:

1. Saquemos el factor común de paréntesis: Donde:
2. Presentemos la primera expresión en la forma: , divida ambos lados por y obtenga eso
3. , luego la ecuación original se transforma a la forma: Bueno, ahora una pista: ¡busca dónde tú y yo ya hemos resuelto esta ecuación!
4. Imagina cómo, cómo, ah, bueno, luego divide ambos lados entre, para obtener la ecuación exponencial más simple.
5. Sácalo de los soportes.
6. Sácalo de los soportes.

ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL PROMEDIO

Supongo que después de leer el primer artículo, que hablaba de ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y cómo resolverlas?, has dominado los conocimientos mínimos necesarios para resolver los ejemplos más simples.

Ahora veremos otro método para resolver ecuaciones exponenciales, este es

“método de introducir una nueva variable” (o reemplazo). Resuelve la mayoría de los problemas "difíciles" sobre el tema de ecuaciones exponenciales (y no sólo ecuaciones). Este método es uno de los más utilizados en la práctica. Primero, te recomiendo que te familiarices con el tema.

Como ya entendiste por el nombre, la esencia de este método es introducir tal cambio de variable que tu ecuación exponencial se transformará milagrosamente en una que puedas resolver fácilmente. Lo único que le queda después de resolver esta “ecuación simplificada” es hacer un “reemplazo inverso”: es decir, regresar de lo reemplazado a lo reemplazado. Ilustremos lo que acabamos de decir con un ejemplo muy sencillo:

Ejemplo 1:

Esta ecuación se resuelve mediante una “sustitución simple”, como la llaman despectivamente los matemáticos. De hecho, el reemplazo aquí es el más obvio. Sólo hay que ver que

Entonces la ecuación original se convertirá en esta:

Si además imaginamos cómo, queda absolutamente claro qué es lo que hay que sustituir: por supuesto, . ¿En qué se convierte entonces la ecuación original? Esto es lo que:

Puedes encontrar fácilmente sus raíces por tu cuenta: . ¿Qué debemos hacer ahora? Es hora de volver a la variable original. ¿Qué se me olvidó mencionar? A saber: al reemplazar un cierto grado con una nueva variable (es decir, al reemplazar un tipo), me interesará ¡Solo raíces positivas! Usted mismo puede responder fácilmente por qué. Por lo tanto, usted y yo no estamos interesados, pero la segunda raíz es bastante adecuada para nosotros:

Entonces de dónde.

Respuesta:

Como puedes ver, en el ejemplo anterior, un reemplazo solo pedía nuestras manos. Desafortunadamente, este no es siempre el caso. Sin embargo, no vayamos directamente a lo triste, sino que practiquemos con un ejemplo más con un reemplazo bastante simple.

Ejemplo 2.

Está claro que lo más probable es que tengamos que hacer un reemplazo (esta es la más pequeña de las potencias incluidas en nuestra ecuación), pero antes de introducir un reemplazo, nuestra ecuación debe estar "preparada" para ello, a saber: , . Luego puedes reemplazar, como resultado obtengo la siguiente expresión:

Oh horror: una ecuación cúbica con fórmulas absolutamente terribles para resolverla (bueno, hablando en vista general). Pero no nos desesperemos de inmediato, sino pensemos en lo que debemos hacer. Sugeriré hacer trampa: sabemos que para obtener una respuesta “hermosa”, necesitamos obtenerla en forma de alguna potencia de tres (¿por qué sería eso, eh?). Intentemos adivinar al menos una raíz de nuestra ecuación (comenzaré a adivinar con potencias de tres).

Primera suposición. No es una raíz. Ay y ah...

.
El lado izquierdo es igual.
Parte derecha: !
¡Comer! Adiviné la primera raíz. ¡Ahora las cosas serán más fáciles!

¿Conoce el esquema de división en “esquinas”? Por supuesto que sí, lo usas cuando divides un número por otro. Pero pocas personas saben que se puede hacer lo mismo con los polinomios. Hay un teorema maravilloso:

Aplicando a mi situación, esto me dice que es divisible sin resto por. ¿Cómo se lleva a cabo la división? Así es como:

Miro por qué monomio debo multiplicar para obtener Claramente, entonces:

Resto la expresión resultante y obtengo:

Ahora bien, ¿por qué necesito multiplicar para obtener? Está claro que, entonces obtendré:

y nuevamente restamos la expresión resultante de la restante:

Bueno, el último paso es multiplicar y restar de la expresión restante:

¡Hurra, se acabó la división! ¿Qué hemos acumulado en privado? Por sí mismo: .

Luego obtuvimos la siguiente expansión del polinomio original:

Resolvamos la segunda ecuación:

Tiene raíces:

Entonces la ecuación original:

tiene tres raíces:

Por supuesto, descartaremos la última raíz, ya que menos que cero. Y los dos primeros después del reemplazo inverso nos darán dos raíces:

Respuesta: ..

Con este ejemplo, no quería asustarlos en absoluto; más bien, mi objetivo era mostrar que, aunque tuvimos un reemplazo bastante simple, condujo a una ecuación bastante compleja, cuya solución requirió algunas habilidades especiales de nuestra parte. Bueno, nadie es inmune a esto. Pero el reemplazo en este caso fue bastante obvio.

Aquí hay un ejemplo con un reemplazo un poco menos obvio:

No está nada claro qué debemos hacer: el problema es que en nuestra ecuación hay dos bases diferentes y no se puede obtener una base de la otra elevándola a cualquier potencia (razonable, naturalmente). Sin embargo, ¿qué vemos? Ambas bases difieren sólo en signo, y su producto es la diferencia de cuadrados igual a uno:

Definición:

Por tanto, los números que son las bases en nuestro ejemplo son conjugados.

En este caso, el paso inteligente sería multiplica ambos lados de la ecuación por el número conjugado.

Por ejemplo, en, entonces el lado izquierdo de la ecuación será igual a y el lado derecho. Si hacemos una sustitución, entonces nuestra ecuación original quedará así:

sus raíces, entonces, y recordando eso, lo entendemos.

Respuesta: , .

Como regla general, el método de reemplazo es suficiente para resolver la mayoría de las ecuaciones exponenciales "escolares". Las siguientes tareas se toman del Examen Estatal Unificado C1 ( nivel aumentado dificultades). Ya eres lo suficientemente alfabetizado como para resolver estos ejemplos por tu cuenta. Sólo daré el reemplazo requerido.

1. Resuelve la ecuación:
2. Encuentra las raíces de la ecuación:
3. Resuelve la ecuación: . Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento:

Y ahora algunas breves explicaciones y respuestas:

1. Aquí nos basta señalar que... Entonces la ecuación original será equivalente a esta: Esta ecuación se puede resolver reemplazando. Haz los cálculos adicionales tú mismo. Al final, tu tarea se reducirá a resolver problemas trigonométricos sencillos (según seno o coseno). Veremos soluciones a ejemplos similares en otras secciones.
2. Aquí puedes incluso prescindir de la sustitución: simplemente mueve el sustraendo hacia la derecha y representa ambas bases mediante potencias de dos: y luego pasa directamente a la ecuación cuadrática.
3. La tercera ecuación también se resuelve de forma bastante estándar: imaginemos cómo. Luego, reemplazando, obtenemos una ecuación cuadrática: entonces,

   Ya sabes qué es un logaritmo, ¿verdad? ¿No? ¡Entonces lea el tema con urgencia!

   La primera raíz obviamente no pertenece al segmento, ¡pero la segunda no está clara! ¡Pero lo descubriremos muy pronto! Entonces (¡esta es una propiedad del logaritmo!) Comparemos:

   Restando de ambos lados obtenemos:

   El lado izquierdo se puede representar como:

   multiplica ambos lados por:

   se puede multiplicar por, entonces

   Entonces compare:

   Desde entonces:

   Entonces la segunda raíz pertenece al intervalo requerido.

   Respuesta:

Como ves, La selección de raíces de ecuaciones exponenciales requiere un conocimiento bastante profundo de las propiedades de los logaritmos., por lo que te aconsejo que tengas el mayor cuidado posible al resolver ecuaciones exponenciales. Como comprenderás, ¡en matemáticas todo está interconectado! Como decía mi profesor de matemáticas: “las matemáticas, como la historia, no se pueden leer de la noche a la mañana”.

Como regla general, todos La dificultad para resolver el problema C1 es precisamente la selección de las raíces de la ecuación. Practiquemos con un ejemplo más:

Está claro que la ecuación en sí se resuelve de forma bastante sencilla. Al hacer una sustitución, reducimos nuestra ecuación original a lo siguiente:

Primero veamos la primera raíz. Comparemos y: desde entonces. (propiedad de una función logarítmica, en). Entonces queda claro que la primera raíz no pertenece a nuestro intervalo. Ahora la segunda raíz: . Está claro que (ya que la función a es creciente). Queda por comparar y...

desde entonces, al mismo tiempo. De esta manera puedo “clavar una clavija” entre y. Esta clavija es un número. La primera expresión es menor y la segunda es mayor. Entonces la segunda expresión mas que el primero y la raíz pertenece al intervalo.

Respuesta: .

Finalmente, veamos otro ejemplo de una ecuación donde la sustitución no es estándar:

Comencemos de inmediato con lo que se puede hacer y lo que, en principio, se puede hacer, pero es mejor no hacerlo. Puedes imaginarlo todo a través de las potencias de tres, dos y seis. ¿A dónde lleva? No conducirá a nada: a un revoltijo de títulos, algunos de los cuales serán bastante difíciles de eliminar. ¿Qué se necesita entonces? Notemos que un ¿Y esto qué nos aportará? ¡Y el hecho de que podemos reducir la solución de este ejemplo a la solución de una ecuación exponencial bastante simple! Primero, reescribamos nuestra ecuación como:

Ahora dividamos ambos lados de la ecuación resultante por:

¡Eureka! Ahora podemos reemplazar, obtenemos:

Bueno, ahora te toca a ti resolver los problemas de demostración, y solo les daré breves comentarios para que no te confundas. el camino correcto! ¡Buena suerte!

1. ¡El más difícil! ¡Es tan difícil ver un reemplazo aquí! Sin embargo, este ejemplo se puede resolver completamente usando resaltando un cuadrado completo. Para solucionarlo basta señalar que:

Entonces aquí está tu reemplazo:

(¡¡Ten en cuenta que aquí durante nuestro reemplazo no podemos descartar la raíz negativa!!! ¿Por qué crees que?)

Ahora para resolver el ejemplo solo tienes que resolver dos ecuaciones:

Ambos pueden resolverse mediante un “reemplazo estándar” (¡pero el segundo en un ejemplo!)

2. Observe eso y haga un reemplazo.

3. Descomponga el número en factores coprimos y simplifique la expresión resultante.

4. Divide el numerador y denominador de la fracción por (o, si lo prefieres) y haz la sustitución o.

5. Observa que los números y están conjugados.

ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL AVANZADO

Además, veamos de otra manera: resolver ecuaciones exponenciales usando el método del logaritmo. No puedo decir que resolver ecuaciones exponenciales usando este método sea muy popular, pero en algunos casos solo puede llevarnos a la decisión correcta nuestra ecuación. Se utiliza especialmente para resolver el llamado " ecuaciones mixtas": es decir, aquellas donde se dan funciones de distinto tipo.

Por ejemplo, una ecuación de la forma:

en el caso general, solo se puede resolver tomando logaritmos de ambos lados (por ejemplo, a la base), en lo que la ecuación original quedará como sigue:

Veamos el siguiente ejemplo:

Está claro que según el ODZ de la función logarítmica, solo nos interesa. Sin embargo, esto se desprende no sólo de la ODZ del logaritmo, sino también por una razón más. Creo que no te resultará difícil adivinar cuál es.

Llevemos el logaritmo de ambos lados de nuestra ecuación a la base:

Como puedes ver, tomar el logaritmo de nuestra ecuación original nos llevó rápidamente a la respuesta correcta (¡y hermosa!). Practiquemos con un ejemplo más:

Aquí tampoco hay nada de malo: llevemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación a la base, luego obtenemos:

Hagamos un reemplazo:

Sin embargo, ¡nos perdimos algo! ¿Notaste dónde cometí un error? Después de todo, entonces:

que no cumple con el requisito (¡piense de dónde viene!)

Respuesta:

Intenta escribir la solución de las ecuaciones exponenciales a continuación:

Ahora compara tu decisión con esto:

1. Logaritmemos ambos lados hasta la base, teniendo en cuenta que:

(la segunda raíz no nos conviene debido a un reemplazo)

2. Logaritmo a la base:

Transformemos la expresión resultante a la siguiente forma:

ECUACIONES EXPONENTARIAS. BREVE DESCRIPCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Ecuación exponencial

Ecuación de la forma:

llamado la ecuación exponencial más simple.

Propiedades de los grados

Enfoques de solución

• Reducción a la misma base
• Reducción al mismo exponente.
• Reemplazo de variables
• Simplificando la expresión y aplicando una de las anteriores.

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Primero, recordemos las fórmulas básicas de las potencias y sus propiedades.

producto de un numero a ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. una norte una metro = una norte + metro

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un norte / un metro = un norte - metro

Ecuaciones de potencia o exponenciales– son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes) y la base es un número.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales:

EN en este ejemplo el número 6 es la base, siempre está abajo, y la variable X grado o indicador.

Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2×5=10
16x - 4x - 6=0

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.

Tomemos una ecuación simple:

2 x = 2 3

Este ejemplo se puede resolver incluso en tu cabeza. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debes poner el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo formalizar esta decisión:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver dicha ecuación, eliminamos motivos idénticos(es decir, dos) y anotó lo que quedaba, estos son grados. Obtuvimos la respuesta que estábamos buscando.

Ahora resumamos nuestra decisión.

Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesidad de comprobar lo mismo si la ecuación tiene bases a la derecha y a la izquierda. Si los motivos no son los mismos, buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grados y resuelve la nueva ecuación resultante.

Ahora veamos algunos ejemplos:

Comencemos con algo simple.

Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus potencias.

x+2=4 Se obtiene la ecuación más simple.
x=4 – 2
x=2
Respuesta:x=2

En el siguiente ejemplo puedes ver que las bases son diferentes: 3 y 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Primero, movemos el nueve hacia el lado derecho y obtenemos:

Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2. Usemos la fórmula de potencia (an) m = a nm.

3 3x = (3 2)x+8

Obtenemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Ahora está claro que en los lados izquierdo y derecho las bases son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.

3x=2x+16 obtenemos la ecuación más simple
3x - 2x=16
x=16
Respuesta:x=16.

Veamos el siguiente ejemplo:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

En primer lugar, nos fijamos en las bases, bases dos y cuatro. Y necesitamos que sean iguales. Transformamos los cuatro usando la fórmula (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2 x

Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Suma a la ecuación:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos molestan otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si miras de cerca puedes ver que en el lado izquierdo tenemos 2 2x repetido, aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x entre paréntesis:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculemos la expresión entre paréntesis:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda la ecuación por 6:

Imaginemos 4=2 2:

2 2x = 2 2 bases son iguales, las descartamos e igualamos los grados.
2x = 2 es la ecuación más simple. lo dividimos por 2 y obtenemos
x = 1
Respuesta: x = 1.

Resolvamos la ecuación:

9x – 12*3x +27= 0

Convirtamos:
9x = (3 2)x = 3 2x

Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nuestras bases son iguales, iguales a tres, en este ejemplo puedes ver que las tres primeras tienen el doble de grado (2x) que la segunda (solo x). En este caso puedes resolver método de reemplazo. Reemplazamos el número con el grado más pequeño:

Entonces 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Reemplazamos todas las potencias x en la ecuación con t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo por el discriminante obtenemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Volviendo a la variable X.

Tome t 1:
t 1 = 9 = 3x

Eso es,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 = 2; x2 = 1.

En la web podrás consultar cualquier duda que tengas en el apartado AYUDA A DECIDIR, seguro que te responderemos.

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¿Qué es una ecuación exponencial? Ejemplos.

Entonces, una ecuación exponencial... ¡Una nueva exhibición única en nuestra exposición general de una amplia variedad de ecuaciones!) Como casi siempre es el caso, la palabra clave de cualquier nueva término matemático es el adjetivo correspondiente que lo caracteriza. Así es aquí. La palabra clave en el término “ecuación exponencial” es la palabra "indicativo". ¿Qué significa? Esta palabra significa que la incógnita (x) se encuentra en términos de cualquier grado.¡Y sólo allí! Esto es extremadamente importante.

Por ejemplo, estas ecuaciones simples:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

O incluso estos monstruos:

2 sen x = 0,5

Preste atención inmediatamente a una cosa importante: razones grados (abajo) – sólo números. Pero en indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Absolutamente cualquiera.) Todo depende de la ecuación específica. Si, de repente, x aparece en algún otro lugar de la ecuación, además del indicador (digamos, 3 x = 18 + x 2), entonces dicha ecuación ya será una ecuación tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. Por lo tanto, no los consideraremos en esta lección. Para deleite de los estudiantes.) Aquí consideraremos sólo ecuaciones exponenciales en su forma “pura”.

En general, no todas y ni siquiera siempre las ecuaciones exponenciales puras se pueden resolver con claridad. Pero entre toda la rica variedad de ecuaciones exponenciales, hay ciertos tipos que pueden y deben resolverse. Son este tipo de ecuaciones las que consideraremos. Y definitivamente resolveremos los ejemplos). ¡Así que pongámonos cómodos y listo! Como en los shooters por ordenador, nuestro viaje se desarrollará a través de niveles). De elemental a simple, de simple a intermedio y de intermedio a complejo. En el camino, también le esperará un nivel secreto: técnicas y métodos para resolver ejemplos no estándar. Aquellos sobre los que no leerás en la mayoría de los libros de texto escolares... Bueno, y al final, por supuesto, te espera el jefe final en forma de tarea).

Nivel 0. ¿Cuál es la ecuación exponencial más simple? Resolver ecuaciones exponenciales simples.

Primero, veamos algunas cosas elementales francas. Tienes que empezar por algún lado, ¿verdad? Por ejemplo, esta ecuación:

2 x = 2 2

Incluso sin ninguna teoría, por simple lógica y sentido común está claro que x = 2. No hay otra manera, ¿verdad? Ningún otro significado de X es adecuado... Y ahora dirijamos nuestra atención a registro de decisión esta genial ecuación exponencial:

2 x = 2 2

X = 2

¿Qué nos pasó? Y sucedió lo siguiente. De hecho, lo tomamos y... ¡simplemente tiramos las mismas bases (dos)! Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el blanco!

Sí, efectivamente, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha lo mismo números en cualquier potencia, entonces estos números se pueden descartar y simplemente igualar los exponentes. Las matemáticas lo permiten.) Y luego puedes trabajar por separado con los indicadores y resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?

Aquí está la idea clave para resolver cualquier (sí, ¡exactamente cualquier!) ecuación exponencial: Usando transformaciones idénticas, es necesario asegurarse de que los lados izquierdo y derecho de la ecuación sean lo mismo números base en varias potencias. Y luego puedes eliminar con seguridad las mismas bases e igualar los exponentes. Y trabaja con una ecuación más simple.

Ahora recordemos la regla de hierro: Es posible eliminar bases idénticas si y sólo si los números a la izquierda y a la derecha de la ecuación tienen números de base. en orgullosa soledad.

¿Qué significa en espléndido aislamiento? Esto significa sin vecinos ni coeficientes. Dejame explicar.

Por ejemplo, en la ecuación.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

¡Los tres no se pueden eliminar! ¿Por qué? Porque a la izquierda no sólo tenemos un tres solitario por grado, sino trabajar 3·3x-5. Interfieren tres más: el coeficiente, ¿entiendes?)

Lo mismo puede decirse de la ecuación

5 3 x = 5 2 x +5 x

Aquí también todas las bases son iguales: cinco. Pero en la derecha no tenemos una única potencia de cinco: ¡hay una suma de potencias!

En resumen, tenemos derecho a eliminar bases idénticas sólo cuando nuestra ecuación exponencial se ve así y sólo así:

aF (X) = una g (X)

Este tipo de ecuación exponencial se llama lo más simple. O, científicamente, canónico . Y no importa qué ecuación complicada tengamos frente a nosotros, de una forma u otra la reduciremos precisamente a esta forma más simple (canónica). O, en algunos casos, a totalidad ecuaciones de este tipo. Entonces nuestra ecuación más simple se puede reescribir en forma general así:

F(x) = g(x)

Eso es todo. Esta sería una conversión equivalente. En este caso, f(x) y g(x) pueden ser absolutamente cualquier expresión con una x. Lo que sea.

Quizás un estudiante particularmente curioso se pregunte: ¿por qué diablos descartamos tan fácil y simplemente las mismas bases a la izquierda y a la derecha e igualamos los exponentes? La intuición es intuición, pero ¿y si, en alguna ecuación y por alguna razón, este enfoque resulta incorrecto? ¿Es siempre legal desechar los mismos motivos? Desafortunadamente, para obtener una respuesta matemática rigurosa a esta interesante pregunta, es necesario profundizar y profundizar seriamente en la teoría general de la estructura y el comportamiento de las funciones. Y un poco más concretamente - en el fenómeno estricta monotonía. En particular, la estricta monotonía. funcion exponencialy= una x. porque exactamente funcion exponencial y sus propiedades subyacen a la solución de ecuaciones exponenciales, sí.) Se dará una respuesta detallada a esta pregunta en una lección especial separada dedicada a resolver ecuaciones complejas no estándar utilizando la monotonicidad de diferentes funciones).

Explicar este punto en detalle ahora solo sorprendería al estudiante promedio y lo asustaría de antemano con una teoría seca y pesada. No haré esto.) Porque nuestra tarea principal en este momento es ¡Aprende a resolver ecuaciones exponenciales!¡Los más simples! Por lo tanto, no nos preocupemos todavía y descartemos con valentía las mismas razones. Este Poder, ¡créame!) Y luego resolvemos la ecuación equivalente f(x) = g(x). Como regla general, más simple que el exponencial original.

Se supone, por supuesto, que la gente ya sabe cómo resolver al menos ecuaciones , y, sin x en exponentes.) Para aquellos que aún no saben cómo, no duden en cerrar esta página, seguir los enlaces correspondientes y completar las viejas lagunas. De lo contrario lo pasarás mal, sí...

No me refiero a ecuaciones irracionales, trigonométricas y otras ecuaciones brutales que también pueden surgir en el proceso de eliminación de los cimientos. Pero no tengas miedo brutalidad absoluta Por ahora no lo consideraremos en términos de títulos: es demasiado pronto. Entrenaremos solo con las ecuaciones más simples).

Ahora veamos ecuaciones que requieren un esfuerzo adicional para reducirlas a lo más simple. Para distinguirlos, llamémoslos ecuaciones exponenciales simples. Entonces, ¡pasemos al siguiente nivel!

Nivel 1. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconozcamos los grados! Indicadores naturales.

Las reglas clave para resolver cualquier ecuación exponencial son reglas para tratar los títulos. Sin este conocimiento y habilidades nada funcionará. Pobre de mí. Entonces, si hay problemas con los títulos, primero eres bienvenido. Además, también necesitaremos. Estas transformaciones (¡dos de ellas!) son la base para resolver todas las ecuaciones matemáticas en general. Y no sólo los demostrativos. Entonces, quien lo haya olvidado, mire también el enlace: no los pongo ahí simplemente.

Pero las operaciones con poderes y transformaciones de identidad por sí solas no son suficientes. También se requiere observación personal e ingenio. Necesitamos las mismas razones, ¿no? ¡Así que examinamos el ejemplo y los buscamos de forma explícita o disfrazada!

Por ejemplo, esta ecuación:

3 2 x – 27 x +2 = 0

primer vistazo a jardines. ¡Ellos son diferentes! Tres y veintisiete. Pero es demasiado pronto para entrar en pánico y desesperarse. Es hora de recordar eso

27 = 3 3

¡Los números 3 y 27 son parientes de grado! Y cercanos.) Por tanto, tenemos todo el derecho a escribir:

27x+2 = (3 3)x+2

Ahora conectemos nuestro conocimiento sobre acciones con grados(¡y te lo advertí!). Hay una fórmula muy útil allí:

(un metro) n = un metro

Si ahora lo pones en acción, funciona genial:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

El ejemplo original ahora se ve así:

3 2x – 3 3(x +2) = 0

Genial, las bases de los títulos se han nivelado. Eso es lo que queríamos. La mitad de la batalla está terminada.) Ahora lanzamos la transformación de identidad básica: movemos 3 3(x +2) hacia la derecha. Nadie ha cancelado las operaciones elementales de las matemáticas, sí.) Obtenemos:

3 2 x = 3 3(x +2)

¿Qué nos aporta este tipo de ecuación? Y el hecho de que ahora nuestra ecuación se reduce. a la forma canónica: a la izquierda y a la derecha hay los mismos números (tres) en potencias. Además, ambos tres se encuentran en un espléndido aislamiento. Siéntete libre de eliminar los triples y obtener:

2x = 3(x+2)

Resolvemos esto y obtenemos:

X = -6

Eso es todo. Esta es la respuesta correcta.)

Ahora pensemos en la solución. ¿Qué nos salvó en este ejemplo? El conocimiento de los poderes de tres nos salvó. ¿Cómo exactamente? Nosotros identificado¡El número 27 contiene un tres cifrado! ¡Este truco (codificar la misma base con diferentes números) es uno de los más populares en ecuaciones exponenciales! A menos que sea el más popular. Sí, y de la misma forma, por cierto. ¡Es por eso que la observación y la capacidad de reconocer potencias de otros números en los números son tan importantes en las ecuaciones exponenciales!

Consejo practico:

Necesitas conocer las potencias de los números populares. ¡En la cara!

Por supuesto, cualquiera puede elevar dos a la séptima potencia o tres a la quinta potencia. No en mi mente, pero al menos en un borrador. Pero en las ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo no es necesario elevar a una potencia, sino descubrir qué número y a qué potencia se esconde detrás del número, digamos, 128 o 243. Y esto es más complicado que una simple elevación. Estarás de acuerdo. ¡Siente la diferencia, como dicen!

Dado que la capacidad de reconocer títulos en persona será útil no sólo en este nivel, sino también en los siguientes, aquí tienes una pequeña tarea:

Determina qué potencias y qué números son los números:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Respuestas (al azar, por supuesto):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

¡Sí Sí! No se sorprenda de que haya más respuestas que tareas. Por ejemplo, 2 8, 4 4 y 16 2 son todos 256.

Nivel 2. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconozcamos los grados! Indicadores negativos y fraccionarios.

En este nivel ya estamos aprovechando al máximo nuestros conocimientos de titulaciones. Es decir, ¡involucramos indicadores negativos y fraccionarios en este fascinante proceso! ¡Sí Sí! Necesitamos aumentar nuestro poder, ¿verdad?

Por ejemplo, esta terrible ecuación:

Una vez más, el primer vistazo está en los cimientos. ¡Las razones son diferentes! ¡Y esta vez no se parecen ni remotamente entre sí! 5 y 0.04... Y para eliminar las bases se necesitan las mismas... ¿Qué hacer?

¡Está bien! De hecho, todo es igual, solo que la conexión entre cinco y 0,04 es visualmente poco visible. ¿Cómo podemos salir? ¡Pasemos al número 0,04 como fracción ordinaria! Y entonces, verá, todo saldrá bien).

0,04 = 4/100 = 1/25

¡Guau! ¡Resulta que 0,04 es 1/25! Bueno, ¡quién lo hubiera pensado!)

¿Así que cómo? ¿Es ahora más fácil ver la conexión entre los números 5 y 1/25? Eso es todo...

Y ahora según las reglas de acciones con grados con indicador negativo Poder con mano firme anote:

Eso es genial. Entonces llegamos a la misma base: cinco. Ahora reemplazamos el número inconveniente 0.04 en la ecuación con 5 -2 y obtenemos:

De nuevo, según las reglas de las operaciones con grados, ahora podemos escribir:

(5-2)x-1 = 5-2(x-1)

Por si acaso, os recuerdo (por si alguien no lo sabe) que las normas básicas para tratar las titulaciones son válidas para cualquier indicadores! Incluso los negativos.) Por lo tanto, siéntase libre de tomar y multiplicar los indicadores (-2) y (x-1) de acuerdo con la regla adecuada. Nuestra ecuación mejora cada vez más:

¡Todo! Aparte de los cinco solitarios, no hay nada más en los poderes de izquierda y derecha. La ecuación se reduce a forma canónica. Y luego, por el camino moleteado. Quitamos los cinco y equiparamos los indicadores:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

El ejemplo está casi resuelto. Todo lo que queda son matemáticas de primaria y secundaria: abra (¡correctamente!) los corchetes y recopile todo lo que está a la izquierda:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Resolvemos esto y obtenemos dos raíces:

X 1 = 1; X 2 = 3

Eso es todo.)

Ahora pensemos de nuevo. ¡En este ejemplo nuevamente tuvimos que reconocer el mismo número en diferentes grados! Es decir, ver un cinco cifrado en el número 0,04. Y esta vez - en grado negativo!¿Cómo hicimos esto? De buenas a primeras, de ninguna manera. Pero después de la transición de decimal 0,04 a la fracción común 1/25 y ¡listo! Y luego toda la decisión fue como un reloj).

Por tanto, otro consejo práctico ecológico.

Si una ecuación exponencial contiene fracciones decimales, entonces pasamos de fracciones decimales a fracciones ordinarias. EN fracciones ordinarias¡Es mucho más fácil reconocer las potencias de muchos números populares! Después del reconocimiento, pasamos de fracciones a potencias con exponentes negativos.

¡Tenga en cuenta que este truco ocurre muy, muy a menudo en ecuaciones exponenciales! Pero la persona no está en el tema. Mira, por ejemplo, los números 32 y 0,125 y se enoja. Sin que él lo sepa, estos son los mismos dos, solo que en diferentes grados... ¡Pero tú ya lo sabes!)

Resuelve la ecuación:

¡En! Parece un horror silencioso... Sin embargo, las apariencias engañan. Esta es la ecuación exponencial más simple, a pesar de su apariencia intimidante. Y ahora te lo mostraré.)

Primero, veamos todos los números en las bases y coeficientes. Son, por supuesto, diferentes, sí. Pero aun así nos arriesgaremos y trataremos de hacerlos. idéntico! Intentemos llegar a el mismo número en diferentes potencias. Además, preferentemente, los números son lo más pequeños posible. Entonces, ¡comencemos a decodificar!

Bueno, con los cuatro todo queda claro de inmediato: son 2 2. Vale, eso ya es algo.)

Con una fracción de 0,25, todavía no está claro. Necesito comprobar. Utilicemos consejos prácticos: pase de una fracción decimal a una fracción ordinaria:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mucho mejor ya. Porque ahora se ve claramente que 1/4 es 2 -2. Genial, y el número 0,25 también es parecido a dos.)

Hasta ahora, todo bien. Pero la peor cifra de todas sigue siendo: raíz cuadrada de dos!¿Qué hacer con este pimiento? ¿Se puede representar también como una potencia de dos? Y quien sabe...

Bueno, ¡profundicemos nuevamente en nuestro tesoro de conocimientos sobre títulos! Esta vez además conectamos nuestro conocimiento. sobre las raíces. Del curso de noveno grado, tú y yo deberíamos haber aprendido que cualquier raíz, si se desea, siempre se puede convertir en un grado. con un indicador fraccionario.

Como esto:

En nuestro caso:

¡Guau! Resulta que la raíz cuadrada de dos es 2 1/2. ¡Eso es todo!

¡Está bien! Todos nuestros números inconvenientes en realidad resultaron ser dos cifrados). No lo discuto, en algún lugar cifrado de manera muy sofisticada. ¡Pero también estamos mejorando nuestra profesionalidad en la resolución de dichos cifrados! Y entonces todo ya es obvio. En nuestra ecuación reemplazamos los números 4, 0,25 y la raíz de dos por potencias de dos:

¡Todo! Las bases de todos los grados en el ejemplo fueron las mismas: dos. Y ahora se utilizan acciones estándar con grados:

soyun = soy + norte

un m: un n = un m-n

(un metro) n = un metro

Para el lado izquierdo obtienes:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Para el lado derecho será:

Y ahora nuestra ecuación malvada se ve así:

Para aquellos que no han descubierto exactamente cómo surgió esta ecuación, entonces la pregunta aquí no es sobre ecuaciones exponenciales. La pregunta es sobre acciones con grados. ¡Les pedí que se lo repitieran urgentemente a quienes tienen problemas!

¡Aquí está la línea de meta! ¡Se ha obtenido la forma canónica de la ecuación exponencial! ¿Así que cómo? ¿Te he convencido de que no todo da tanto miedo? ;) Eliminamos los dos y equiparamos los indicadores:

Todo lo que queda por hacer es resolverlo. ecuación lineal. ¿Cómo? Con la ayuda de transformaciones idénticas, por supuesto). ¡Decide qué está pasando! Multiplica ambos lados por dos (para eliminar la fracción 3/2), mueve los términos con X hacia la izquierda, sin X hacia la derecha, trae los similares, cuenta, ¡y serás feliz!

Todo debería salir maravillosamente:

x=4

Ahora pensemos nuevamente en la solución. En este ejemplo, nos ayudó la transición de raíz cuadrada A grado con exponente 1/2. Además, solo una transformación tan astuta nos ayudó a alcanzar la misma base (dos) en todas partes, ¡lo que salvó la situación! Y, si no fuera por esto, entonces tendríamos todas las posibilidades de quedarnos congelados para siempre y nunca hacer frente a este ejemplo, sí...

Por eso, no descuidamos los siguientes consejos prácticos:

Si una ecuación exponencial contiene raíces, entonces pasamos de raíces a potencias con exponentes fraccionarios. Muy a menudo sólo una transformación de este tipo aclara la situación ulterior.

Por supuesto, las potencias negativas y fraccionarias ya son mucho más complejas que las potencias naturales. ¡Al menos desde el punto de vista de la percepción visual y, sobre todo, del reconocimiento de derecha a izquierda!

Está claro que elevar directamente, por ejemplo, dos elevado a -3 o cuatro elevado a -3/2 no es un problema tan grande. Para los que saben.)

Pero ve, por ejemplo, inmediatamente date cuenta de que

0,125 = 2 -3

O

Aquí sólo manda la práctica y la rica experiencia, sí. Y, por supuesto, una idea clara, ¿Qué es un grado negativo y fraccionario? Y - Consejo practico! Si, si, esos mismos verde.) ¡Espero que aún te ayuden a navegar mejor por toda la variedad de títulos y aumenten significativamente tus posibilidades de éxito! Así que no los descuidemos. no soy en vano verde A veces escribo.)

Pero si se conocen incluso con potencias tan exóticas como las negativas y fraccionarias, entonces sus capacidades para resolver ecuaciones exponenciales se expandirán enormemente y podrán manejar casi cualquier tipo de ecuaciones exponenciales. Bueno, si no ninguna, entonces el 80 por ciento de todas las ecuaciones exponenciales, ¡seguro! ¡Sí, sí, no estoy bromeando!

Entonces, nuestra primera parte de nuestra introducción a las ecuaciones exponenciales ha llegado a su conclusión lógica. Y, como entrenamiento intermedio, tradicionalmente sugiero hacer un poco de autorreflexión).

Ejercicio 1.

Para que mis palabras sobre descifrar las potencias negativas y fraccionarias no queden en vano, ¡te propongo jugar un pequeño juego!

Expresar números como potencias de dos:

Respuestas (en desorden):

¿Sucedió? ¡Excelente! Luego hacemos una misión de combate: ¡resolvemos las ecuaciones exponenciales más simples y simples!

Tarea 2.

Resuelve las ecuaciones (¡todas las respuestas son un desastre!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Respuestas:

x = 16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

¿Sucedió? De hecho, ¡es mucho más sencillo!

Luego resolvemos el siguiente juego:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

Respuestas:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

¿Y estos ejemplos quedan uno? ¡Excelente! ¡Estás creciendo! Entonces aquí te dejamos algunos ejemplos más para que puedas picar:

Respuestas:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

¿Y esto está decidido? Bueno, respeto! Me quito el sombrero.) Esto significa que la lección no fue en vano y que el nivel inicial de resolución de ecuaciones exponenciales puede considerarse dominado con éxito. ¡Los siguientes niveles y ecuaciones más complejas están por venir! Y nuevas técnicas y enfoques. Y ejemplos no estándar. Y nuevas sorpresas.) ¡Todo esto está en la próxima lección!

¿Algo salió mal? Esto significa que lo más probable es que los problemas estén en . O en . O ambas cosas a la vez. Estoy impotente aquí. Una vez más, solo puedo sugerir una cosa: no seas perezoso y sigue los enlaces).

Continuará.)

En la etapa de preparación para el examen final, los estudiantes de secundaria deben mejorar sus conocimientos sobre el tema "Ecuaciones exponenciales". La experiencia de los últimos años sugiere que tareas similares causar ciertas dificultades a los escolares. Por lo tanto, los estudiantes de secundaria, independientemente de su nivel de preparación, deben dominar a fondo la teoría, recordar las fórmulas y comprender el principio de resolución de dichas ecuaciones. Habiendo aprendido a afrontar este tipo de problemas, los graduados pueden contar con puntuaciones altas al aprobar el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.

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Al revisar los materiales que han cubierto, muchos estudiantes se enfrentan al problema de encontrar las fórmulas necesarias para resolver ecuaciones. No siempre se dispone de un libro de texto escolar y seleccionar la información necesaria sobre un tema en Internet lleva mucho tiempo.

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Las definiciones y fórmulas básicas se presentan en la sección "Antecedentes teóricos".

Para comprender mejor el material, le recomendamos que practique completando las tareas. Revise detenidamente los ejemplos de ecuaciones exponenciales con soluciones presentados en esta página para comprender el algoritmo de cálculo. Posteriormente, proceda a realizar tareas en la sección “Directorios”. Puedes comenzar con las tareas más sencillas o pasar directamente a resolver ecuaciones exponenciales complejas con varias incógnitas o . La base de datos de ejercicios de nuestro sitio web se complementa y actualiza constantemente.

Aquellos ejemplos con indicadores que le causaron dificultades se pueden agregar a "Favoritos". De esta manera podrás encontrarlos rápidamente y discutir la solución con tu profesor.

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